本文研究了平衡的不变性在群下相互作用的粒子系统的能量转换。能量的平衡和不变性是第一位的在欧几里得空间中检验。与连续介质的情况不同,结果表明,守恒和平衡定律不成立从能量平衡不变性的假设环境空间的时变等距。然而,任意条件下能量平衡不变性的假设环境(欧几里得)空间的微分同态,确实产生了守恒定律。然后将这些想法扩展到案例中当环境空间是黎曼流形时。成对在测地线完备黎曼坐标系下的相互作用环境流形是通过假设相互作用来定义的电势明显取决于的成对距离粒子。假设能量平衡及其不变性任意随时间变化的空间微分同态产生的平衡为线性动量。可见成对的力是有方向的沿着测地线端点的切线。一个人也得到离散版的道尔-埃里克森公式,它与内力的大小对变化率的影响原子间的能量相对于一个离散度规就是与背景度量相关。
乔,
在公式3.19之后,你说原子间作用力并不总是自平衡的。对于你所看到的两两互动的类型,我不确定我是否理解了这个说法。具体来说,公式3.4和公式3.19不是一致的吗?如果是这样,那么3.19之后的语句如何为真?如果不是,你能解释一下原因吗?
谢谢,
乍得
附注:我还在努力完成剩下的部分。
我知道我的困惑在哪里了。出于某种原因,我把3.19读成一个双和,而不是一个单和。
亲爱的乍得:
谢谢你的兴趣。其他部分如有不清楚的,请联系我。
问候,乔
那么,这在哲学上意味着什么呢?我们是否应该期望能量守恒加上任意微分同构变换来平衡线性矩?乍一想,它会看到它不应该看到的东西。然而,仔细想想,也许这是显而易见的,因为每个粒子本身就是一个系统,应该有自己的不变性要求。这就意味着命题3.1的逆命题不成立,因为微分同态只需要是离散的。
这与将粒子系统解释为高维空间中的单个粒子有什么关系呢?这个空间中的刚性坐标平移和能量守恒是否会给线性动量带来平衡?
而且,既然从牛顿力学到拉格朗日力学或者哈密顿力学并不难,这意味着什么呢?
Eric Mockensturm
亲爱的埃里克:
是的,整个系统的能量守恒加上任意时变微分同态下的不变性(实际上匀速就足够了)会得到线性动量守恒。我不确定我是否理解你所说的每个粒子的不变性要求。对我来说,不变性意味着某些泛函、函数、作用等在群(这里是微分)的作用下保持不变。在某种程度上(如果我理解对了吗?)任意的微分同态意味着能量平衡在微分同态下是不变的一次只作用于一个粒子。我不明白为什么这就意味着3.1的逆式不成立。如果你假设线性动量平衡并观察两种不同坐标系下能量平衡的差异任意微分同构下能量平衡的不变性会告诉你这个差异为零。还请注意,不变性组是连续的;有有限数量的粒子,但群(微分同态)连续作用于它们。也许我没听懂你说的不连续是什么意思?
本部分的主要结论如下。在经典弹性中,任意时间相关等距(刚性平移和旋转)下能量平衡的不变性将给出所有的平衡定律(反之也成立),但在粒子系统中这是不成立的;我们需要扩大群体。这也类似于我们在非局部弹性理论中看到的。
我不明白你把粒子集合解释成高维系统中的单个粒子到底是什么意思。也许你指的是具有某种微观结构的单个粒子,就像我们这里看到的一样?我不认为等距测量能给出你想要的平衡定律。但也许你可以在这里提供更多细节。
能量平衡不变性与拉格朗日力学之间存在联系。当然,经典的结果是,如果拉格朗日密度在时移下不变,那么能量必须守恒(诺特定理)。据我所知,能量平衡(一个全局量)不变性与欧拉-拉格朗日方程、诺特定理等之间的确切联系在文献中并不完全清楚(我与杰里·马斯登(Jerry Marsden)和其他几位数学家正在准备一篇关于这方面的论文,当它的形式更完整时,我很乐意寄给你一份草稿)。在粒子系统中,你可以很容易地写出一个动作,然后将其极端化。这样,每个粒子都有自己独立的变化(这是一个有限维场论,每个粒子的位置都是一个场)。这类似于任意的微分同态(不仅仅是刚性运动)。
你好,亚瓦里医生
我读了一篇关于变换组下能量平衡的论文。它非常有趣。特别是对于分子动力学模拟,该模型似乎非常有用。我有一个小问题。如果粒子有随机运动;比如布朗运动(有跳跃)我们能应用这个模型吗?我对此有点困惑。我们需要临时操作员吗?请让我知道。
谢谢
Rezwan
亲爱的Yavari
你能用一两张幻灯片给我解释一下这个应用是什么吗?我没有看到任何数字,我迷失在数学中了。也许列奥纳多的“figare e descrivere”是一个很好的建议(列奥纳多每页至少有4幅画)。这里我看到了课文和数学……请帮助像我这样的可怜的实际工程师!!
问候
迈克
米歇尔ciavarellawww.micheleciavarella.it
亲爱的迈克:
事实上,报纸上只有一个人!我同意数字总是有帮助,但在数学文献中,有太多的赋格并不常见。如果你相信数字,每个方程可能都需要一个数字;它隐含地假设读者会在他/她的脑海中描绘出一些形象。
现在是简短的描述。在每一个理论中都有平衡定律、守恒量、不平等等等。人们总是会问,给定的平衡定律是一个简化理论的“假设”,还是有更多的东西,例如线性动量的平衡。另一个希望是理解同一物理现象的不同表述之间的联系以及如何从一种表述过渡到另一种表述。“不变性”或不变性是任何物理理论中的一个关键思想。在这里,我们看看“能量平衡”的不变性,它可以被明确地写在许多系统中。不变性总是由一组变换来定义的,在这种意义上,不指定变换组来讨论不变性是没有意义的。本文讨论了不同变换组下粒子系统能量平衡的不变性以及假设不变性的结果。
潜在的应用(我还没能算出细节)是简化一个给定的(多体)原子间的势能,方法是进入一个想象的空间,在这个空间中粒子以一种更简单的方式相互作用(很像进入傅里叶空间或拉普拉斯空间,简化一个线性微分方程)。
关于达芬奇的写作方法,我非常尊重他,但同时我也不认为我们必须甚至不应该在每一篇论文中都遵循他的写作风格。
我不是在暗示你应该改变数学风格,但你不应该指望工程师读你的书!这就是生活
你说得很有道理。我同意写得清楚,让人们能够理解你的想法、推导等是很重要的。我个人不喜欢不必要的抽象和复杂的东西,本质上是简单的。我认为好的想法是简单的,应该用简单的语言来解释。说了这么多,我们应该希望人们遵循他/她写的东西。就这篇论文而言,我已经尽了最大的努力。
简单地说,在推导给定理论的控制方程时有不同的方法。原则上,理解这些不同表述之间的联系是有用和重要的。例如,您可以从F=ma或从虚功原理开始。它们是“等价的”。但似乎某些配方在特定应用中是优选的。有限元法的弱公式就是一个很好的例子。
亲爱的Rezwan:
我对随机过程了解不多。我想说,如果你知道修正后的能量平衡是什么(如果有任何修正的话),那么不变性论证应该不会有那么大的不同。如果你能寄给我一些你想要的更多细节(arash.yavari@ce.gatech.edu我也许能提供一些建议/想法。
亲爱的乔
你的论文只有少数人读,而你说你不愿意也不能使它更简单易懂。但在未来,这种情况将会改变。这是因为你的论文很“结实”,周围有太多的论文。
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嗨
我试图对拓扑/可微流形的相关工作做一些基本的介绍。说明性的解释可以使任何话题更生动,这是很常见的。不幸的是,有时候抽象的数学概念很难被阐释。然而,流形的概念可以被可视化为一个几何实体;更清晰的表面。简单地说,任何平面、球面、椭球面等在某种意义上都是流形。但基本概念扩展到更复杂的领域。在欧几里得空间中,我们可以使用勾股定理,但在曲线空间中,它在全局意义上是不成立的。如果我们取极限条件,就有可能把它看作欧几里得空间(假设球面上的一个点,这个点周围的一个很小的区域可以看作欧几里得空间,但如果我们一直远离球面上的这个点,我们就不能保留这个想法了)。为了解决这类问题流形的概念就出现了。 So if we draw a line on a sphere that is no longer a line. Hence we need to use Differential Geometry. Using the theories of differential geometry we can find the length, tangent sets on the line (Actually path). If we have more than one lines we can fine the shortest line or path which are called Geodesics. The Riemannian manifold comes when we deal with these kind of concepts. As mentioned earlier, a path on the sphere is not necessarily a straight line, so the pythagorian theorem must be modified little bit. Hence Riemannain metric comes into the scenario. We can say sphere as smooth surface. So it is Riemannian manifold. Because we can have a continous tangent space on the sphere. The concept of Riemannian manifold made the analysis easier.If we use topological operation such as a sphere is deformed to be an elliosoid, we can say a smooth manifold becomes another smooth maniflod. So it is a homeomorphism which preserves the differentiability condition on every point. Now if a question comes in mind that when a sphere became an ellipsoid, will they become totally independently seperate entities? In order to find this question we have to look for invariance property. The invariance features will say that both of the manifolds are the same at some extent. I tried to give this above explanation in order to give a physical idea of manifolds. In theoretical physics maniy fields such as relativity (Obvious;y general one), magnetohydrodynamics, plasmadynamics, quantum machanics, string theory etc they use these beautiful mathematical tools in order to explain plysical phenomena. Now a days in many theories such as fracture mechanics, damage mechanics, particale dynamics (Dr. Yavari's paper) etc are being tried to be explained by the concept of classical differential geometry. Please kindly have alook on the following link if some one is more interested on the theory of manifold.
"http://www.math.washington.edu/ ~李/书/导管/ c1.pdf”而不是通过教科书上面的文件是非常有用的,有一个基本的想法一目了然。
约翰·m·李确实是一位优秀的作家。
我想再增加一些关于拓扑和流形理论的书。据我所知,这些书在讨论这些抽象的数学主题方面非常好:
拓扑学:James Munkers。
黎曼流形,曲率简介:约翰·m·李
拓扑流形导论:John M. Lee
这些书非常生动地解释了基本的一般拓扑、同伦理论、微分几何和理论流形的物理概念。
我没有错。这本书的名字是:
拓扑学:James Munkers
对此我很抱歉。