四阶张量

嗨,华美达,

产生不变量的一种直接方法是进行收缩，直到所有指标变为虚值。例如，对于二阶张量T_{ij}，你可以做一次收缩T_{ii}，然后你就得到了第一个不变量。类似的，如果你取平方T^2_{ik} = T_{ij}T_{jk}然后取一个收缩函数T_{ij}T_{ji}你就得到了平方的迹，这是另一个不变量。对四阶张量做同样的处理。缩并四阶张量的方法更多。C_{ijij}， C_{iijj}， C_{ijji}， C_{iiii}是我能想到的。当然你可以取张量的幂，然后收缩得到更多。收缩基本上是乘以克罗内克函数。你也可以用列维-奇维塔符号来思考乘法。例如,侦破(T) = 1/6e_ {ijk} e_ {pqr} T_ {ip}识别T_{金桥}T_ {kr}识别识别。

如果你有标准正交基，这是成立的。否则，使用适当的定义，例如克罗内克delta，并遵循相同的程序。

亲爱的Ramdas:

你要找的是所谓的完整性基。坐标变换下的不变性等价于SO(3) (O(3)的保向子群)下的不变性。然后你想看看四阶张量的多项式函数在这个群的作用下是不变的。在各向同性张量函数的情况下，可以将感兴趣的函数的相关性减少为不可约基不变量。正如你提到的，对于二阶张量有三个主要不变量。同样地，你可以用基本不变量来重写这些。用A表示二阶张量，这些是A的迹，A^2=A。A^3= a.a.a在四阶张量的情况下，有六个基本(和主)不变量。用C表示四阶张量，这些是C^i, i=1，…，6的迹。

看下面的短文:J. Betten，二阶和四阶张量的完整基，国际数学与数学科学杂志5(1)，87-96,1982。

问候,
乔

到目前为止，我所见过的最好的介绍性文章是

张量分析简介詹姆斯·g·西蒙兹

——Biswajit

你好,

讨论得很好。这是我的5美分。这是一些张量分析的链接(都是介绍性的)，我在学习张量的时候发现它们很有用。

1) (NASA简介)http://www.grc.nasa.gov/WWW/K-12/Numbers/Math/documents/Tensors_TM200221..。

2)(鲁斯兰·沙里波夫)http://arxiv.org/abs/math.HO/0403252

3)(斯特兰德伯格)http://medlem.spray.se/gorgelo/tensors.pdf

阿伦

R M Brannon的一个更有用的参考:

http://www.mech.utah.edu/~brannon/public/Tensors.pdf

亲爱的Ramdas

你可能会对下面这篇关于连续介质力学中四阶张量及其操作的论文感兴趣:

"四阶张量-张量微分在连续介质力学中的应用。第一部分:经典张量分析，作者:O. Kintzel, Y. Ba基于“增大化现实”技术。

除此之外，我还建议你们掌握一些对称群和张量积的概念。你可能会喜欢阅读:

阿尔丁的《代数》

谢谢

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你好亲爱的阿伦•克里希南

你的Nasa张量书链接http://www.grc.nasa.gov / WWW / k - 12 /数字/数学/文件/ Tensors_TM2002211716.pdf很有帮助。和比你比斯瓦吉特，Arun和Sivakumar感谢你们帮助我们了解更多张量．我很高兴我访问了这个网站。

谢谢Rene Hubert

亲爱的Wordi,

我还读了Nasa链接张量书(http://www.grc.nasa.gov / WWW / k - 12 /数字/数学/文件/ Tensors_TM2002211716.pdf)你说得对，它很有帮助。

还有Arun发布的第三个链接http://medlem.spray.se/gorgelo/tensors.pdf)对我来说真的很有趣。

谢谢你的分享，阿伦。

它对于学习张量非常有用。

问候
马努

我偶然发现了这个主题——它相当古老，然而对称(!)四阶张量的不变量是我研究的主题——也许有人会发现这些信息有用。

问题只涉及四阶张量C满足对称条件C_(ijkl)=C_(jikl)=C_(ijlk)=C_(klij)——所谓的胡克张量(例如弹性-刚度S和顺应性C -张量)。它们有3^4=81个分量，其中只有21个分量是独立的，这是由于应力张量和应变张量的对称性以及弹性势微分的对称性。其中我们可以区分:

-6个特征值(不变量)

-12个刚度分布(不变量)

-3定向参数(非不变)

这最后3个参数不是不变量——它们仅用于在考虑的坐标系中定位材料的内部结构(例如欧拉角，或3个正交量的分量(+9个分量-3正交条件-3归一化条件)——在正交异性或四方或立方对称的情况下尤其明显，但它涉及所有8个弹性对称。

重要的是要注意弹性张量在对称二阶张量(让我们用T2s来表示)的线性空间中作为线性自同构算子。如果我们考虑“相对应力”空间(无量纲空间)，则应力和应变状态的空间都等效于T2s。T2s实际上是6维的-这就是为什么我们只能区分C和S的6个特征值- Rychlewski建议称它们为“开尔文模”(William Thomson，开尔文男爵首先引入了它们)-它们是不变量。

12刚度分布被定义为特征态(或特征量-对称二阶张量T2s的“向量空间”中的特征向量)的不变函数，这也是符号不敏感的。二阶张量的特征向量是简单的向量(一阶张量)-它们由张量主方向的方向唯一给出。对于4阶张量我们一般有6个特征态每个都由6个独立的分量组成。这些状态必须相互正交并归一化-它给了我们6*6-(5+4+3+2+1)-6=15个参数。其中3个为上述定向参数。刚度分布体决定了本征态的形式(每个本征态各分量之间的比值)。例如，某些对称的某些本征态是两个不同大小的纯剪切态的组合-这些大小的比值是刚度分布的函数。

随着C和S对称性的增加，独立不变量的数量减少——一些开尔文模彼此相等，一些刚度分布“消失”。

还有其他6个不变量I1，…，I6 of C - the coefficients of its charateristic polynomial p(L) - they can be expressed in terms of the Kelvin moduli L1,...,L6:

L p (L) = ^ 6-I1 * L ^ 5 + I2 * L ^ 4-I3 * L ^ 3 +预告* L ^ 2-I5 * L + 16 = (L-L1) * (L-L2) * (L-L3) * (L-L4) * (L-L5) * (L-L6)

它们可以通过对一个6x6矩阵的特征问题分析来发现(以及开尔文模和刚度分布的某些函数)，该矩阵是C在T2s中的表示(最好用所谓的孟德尔表示法来做——与经典的Voigt表示法有点不同)。这些不变量的物理解释是相当不清楚的。

这些问题首先由J. rychlewski在1983年讨论(在一个几乎不可用的俄语小字中)，然后在1984年(J. rychlewski，“关于胡克定律”，J.应用数学机械，48,3 (1984)，pp. 303-314)，后来由M.Mehrabadi和S.Cowin独立讨论(“线性各向异性弹性材料的特征量”，Q J机械应用数学，43 (1990)，第15-41页)(然而这两篇论文在本征态不变量的独立性和谱分解的唯一性上都有一些小错误)，然后由s.s sutcliffe(“弹性张量的谱分解”，ASME学报762,59卷，(1992))。

它涉及到c的光谱分析的所有不变量。研究c的所谓各向同性(或谐波)分解可能也很有趣。我对这个主题不太了解，所以我只能推荐一些文章-值得一看:

K. Kowalczyk-Gajewska, J. Ostrowska-Maciejewska，“线弹性材料所有对称群Hooke's张量的谱分解”，工程学报，57 (2009)

J.Rychlewski，“胡克张量的定性方法。第1部分”，力学档案，卷52,4-5 (2000)

J. Rychlewski，“胡克张量的定性方法。Pt. 2”，力学档案，53,1 (2001)

我认为(http://www.grc.nasa.gov / WWW / k - 12 /数字/数学/文件/ Tensors_TM2002211716.pdf)在这一点上是最好的，我很感激这个。pdf提供的信息，非常感谢!

问候与祝福，
Henningsen

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我在这里和里面找到了柱子https://en.wikipedia.org/wiki/Invariants_of_tensors非常有用，也许这里有人可以告诉我，如果我在这个问题上错了(*)。

Tsai-Wu失效准则是一个张量多项式I=I(s,F)，其中I是失效指数(I=1表示即将失效)，s是正交各向异性层板中的应力张量，F是材料强度参数(每个应力分量一个)。

在我看来，在符号中https://en.wikipedia.org/wiki/Invariants_of_tensors， s是“不定式”。

I(s,F)对坐标变换是不变的这一事实意味着I(s,F)=I(s'，F)其中s'是通过s的坐标变换得到的。

应力由应变计算，应变由载荷N计算，使用4阶柔度张量S=C^-1，其中C是刚度张量。

问题(*)I(s,F)=I(s'，F)这一事实并不意味着你可以将C转换为C'，将s转换为s'，而不将负载转换为N'，因为这样你就会得到不正确的应力s'和不正确的I(s'，F)。我是莱特?