为什么非线性有限元中的速率方程?

亲爱的Ramdas和Rui:

我不是这方面的专家，但有一些建议可能会有所帮助。

1)正如Biswajit已经提到的，连续介质力学中现有的客观时间导数都是(关于空间速度场的)李导数。事实上，不同的客观导数只不过是同一个李导数的不同表示(使用度规张量来提高和降低指标)。众所周知，不存在“更多”的客观应力率。

人们应该注意到，目标时间导数的类别比李导数更大。下面的两篇论文对此进行了详细的解释。

i) F. Bampi和A. Morro，连续介质物理中的客观性和客观时间导数，物理基础10(1980)，905-920。
ii)Jean-Luc Thiffeault，动力学系统的协变时间导数，物理学报A 34(2001)， 5875-5885。

2)非耗散固体比超弹性固体大得多。下面这篇最近的论文讨论了其中一些微妙的问题。

K.R. Rajagopal和A.R. Srinivasa，关于非耗散固体的响应，皇家学会学报A 463(2007)， 357-367。

问候,
乔

我发了个问题，发现了这条
讨论。我再发一遍我的问题。

http://万博manbetx平台m.limpotrade.com/node/4725

在上面的文章中，我们展示了这一点Truesdell率可以通过
假设F .=，简化为Green-Naghdi速率。R可以是
假设W .=，进一步简化为Jaumann速率。(.) R (T),
在那里,=。均值近似相等

在拉伸主导变形时，三种速率给出不同的结果
应力率。这通常被解释为我们需要一个不同的
不同目标速率的切向模量。然而，它是
很难理解为什么我们需要改变“材料”模量当我们使用
不同的“数学”形式的客观率，因为他们都应该是
“等效”。

一个简单的解释就是Jaumann和Green-Naghdi速率
当拉伸变形占主导时是“不准确的”。正如我们所知
在剪切变形中，Jaumann速率给出了一个随剪切应力变化的“sin”，而
Truesdell给出了确切的答案(线性变化)(见Ted Belytschko, Wing Kam Liu和Brian
莫兰。连续体与结构的非线性有限元换句话说，
这三种速率形式可能不相等，特别是在拉伸时
变形优势种

一个简单的问题是为什么我们经常用焦曼速率，而不是
大变形有限元分析中的Truesdell率?从…的角度来看
执行的时候，不管我们哪个速率都不应该有太大的差别
选择。

请参阅http://万博manbetx平台m.limpotrade.com/files/stress%20rate.pdf为
三种速率之间的关系。

荣添

你好Ramdas,

我以前也有同样的问题，但我找到了一些有用的信息。

我没有在(公式)编码等方面做过大量的工作，因此我不知道从计算的角度来看上面这一点的任何原因。然而，如果我们从实验的角度来看，这是有道理的。

我想大家都知道，当受到不同的加载速率时，大多数工程材料在非线性部分(即塑性变形范围)的材料响应都发生了显著的变化。材料的弹性行为不受加载速率的影响(除非粘弹性)。这可能是由于一些微观机制。

因此，在弹性区域可能不需要速率方程来模拟材料响应。

我希望这些信息对你有所帮助。

问候,

湿婆

这里有两个问题:

1)虚功率(或虚权原理)

2)速率形成本构方程

这些都不是非线性有限元分析所必需的，尽管速率形式被广泛使用(特别是在显式代码中)。

Simo和Pister的“计算不弹性”采用了不使用虚功原理的速率形式的方法。这本书讨论了弹性的速率形式本构方程的问题，并最终提出了总形式超弹性是最好的方法。由于各种原因(另一个评论者引用了一些原因)，费率表单用于依赖于历史的行为。

如果你喜欢Belytschko, Liu, Moran所写的“连续和结构的非线性有限元素”的虚功原理的速率形式，那么Moran给出了大量的例子。

速率形式的本构方程通常比总形式更容易构造(并且可能更容易用增量线性形式表示)。

我想让本构关系方面的专家为我们提供一些关于使用速率本构方程的更深层次的原因的见解。

——Biswajit

似乎我们正在谈论的“速率”有两个含义:“速率”与实时有关，“速率”与某些参数有关(例如，负载增量)。

如果材料的行为是速率依赖的，或者系统中存在一些依赖于物体速度的能量耗散(例如速度依赖摩擦)，则应使用与时间相关的“速率形式”虚功原理(虚功率原理)。在这种情况下，测试场通常被命名为“虚拟速度”，基本的未知变量是结构中的TRUE velocity场。

对于超弹性材料的分析，由于这是一个保守系统，平衡方程可以用“总形式”表示。但是这个“总形式”方程在状态变量方面是非线性的，如位移场等。因此，线性化和迭代是求解该问题的必要手段。在迭代的每一步，都应该使用虚功原理的“增量线性形式”。在这种情况下，测试场通常被命名为“虚拟位移增量”，基本的未知变量是与当前加载步长相关的结构中的TRUE(在线性化意义上)增量位移场。在线性化过程中还得到了切线模量。

对于不依赖于时间速率的材料，由于其始终是路径相关的，因此必须使用“增量形式”。在这种情况下，在迭代的每一步，也应该使用虚拟功原理的“增量线性形式”。

从我的角度来看，对于与雷尔时间无关的问题，术语“增量线性形式”比“速率形式”更合适。当然，你也可以认为“速率”是相对于负载增量的速率……

希望这能有所帮助。

致以最亲切的问候
X.Guo

1)即使本构律是速率相关的，也不需要速率方程。

例:S = A E + B dE/dt

不是一个真正的“速率方程”，即使dE/dt出现在右边。我们可以把dE/dt看做一个自变量。

2)速率本构关系通常是这样的

dS/dt = A(E) dE/dt

正如前面的评论所讨论的那样，这种关系可以有各种用途。

3)你不“需要”速率方程，除非速率出现在你公式的某个部分。对于准静态问题尤其如此。再次看到与Rui的讨论。

4)最简单的方法是生成自己的接触公式，看看需要什么本构模型。Belytschko的书使用了虚拟权力的方法。这不是必须的。你可以用位移的变化来代替速度的变化，然后从这里开始做功。

——Biswajit