你在这里gydF4y2Ba
非线性连续介质力学几何“，gydF4y2Ba
这是一个尝试，将非线性问题的讨论在连续介质力学(CM)下的现代微分几何(DG)的全面监督。有些人会说工程师不需要那么多数学知识，但这种观点肯定表明他们对数学知识缺乏了解。事实上，我是一名工程师，一名大学教师和一名结构工程设计师，我的经验是，如果我接受了DG的基本训练，就可以省去很多麻烦。gydF4y2Ba
无论如何，DG的概念和概念很少被采纳，导致时间和精力浪费在对不恰当的问题进行辩论上。事实上，在基本问题和计算问题上的长期讨论和困难可以通过自然但谨慎的几何推理路径来解决。gydF4y2Ba
对这种CM方法的第一个贡献已经发表在论文中gydF4y2Ba
G. Romano和R. Barretta:协变低弹性，2011，gydF4y2Ba欧洲力学杂志- A/固体gydF4y2Ba．gydF4y2Ba
doi: 10.1016 / j.euromechsol.2011.05.005gydF4y2Ba
诚邀知识渊博、思想开放的学者和科学家发表宝贵意见。gydF4y2Ba
我们热忱邀请有才华的年轻研究人员体验这条通往物理与工程专业(CM)的激动人心的新途径。gydF4y2Ba
»gydF4y2Ba
- Giovanni Romano的博客gydF4y2Ba
- 登录gydF4y2Ba或gydF4y2Ba注册gydF4y2Ba发表评manbetx体育论gydF4y2Ba
- 111555年读gydF4y2Ba
评论gydF4y2Ba
回复:非线性连续介质力学的几何gydF4y2Ba
嗨,乔凡尼,gydF4y2Ba
在你的一篇论文(或者是一次演示?)中，你提到变形梯度的乘法分解在几何上是不一致的。你能详细说明一下吗?gydF4y2Ba
——BiswajitgydF4y2Ba
乘法分解失败gydF4y2Ba
嗨Biswajit,gydF4y2Ba
让我用清晰的论据来回答你这个有趣的问题。gydF4y2Ba
首先，让我们从你的博客评论中考虑以下问题:gydF4y2Ba
对数自旋gydF4y2Ba提交的gydF4y2Ba安德鲁·诺里斯gydF4y2Ba星期一，2007-07-02 14:5，gydF4y2Ba
其中引用了著名的公式L = \dot{F}F^{-1} = d+W。gydF4y2Ba
重点是gydF4y2Ba著名的gydF4y2Ba公式处理gydF4y2Ba时间导数gydF4y2BaF \点{}gydF4y2Ba
其定义从未明确给出。如果有人试图提供一个明确的答案，gydF4y2Ba
他很快就会被迫认识到，没有合适的方法来给出定义gydF4y2Ba
随时间变化的"变形梯度"的时间导数gydF4y2BaFgydF4y2Ba(t)。gydF4y2Ba
事实上，是变形图gydF4y2BaφgydF4y2Ba源体和目标体位置之间是否存在异胚性gydF4y2Ba
还有"变形梯度"gydF4y2BaFgydF4y2Ba对应的是切线映射吗gydF4y2BaTφgydF4y2Ba哪个是同构gydF4y2Ba
在与身体相关位置的切线束之间。gydF4y2Ba
因此gydF4y2BaFgydF4y2Ba是一个材料映射，以线性方式转换，切向量的基础上，在点gydF4y2Ba
源位置，转换为基于目标位置中相应位移点的切向量。gydF4y2Ba
假设目标位置是随时间变化的，唯一附加物理意义的方式gydF4y2Ba
的时间导数gydF4y2BaFgydF4y2Ba就是给它一个"自然"的定义，gydF4y2Ba
这是一个没有任何武断选择的定义。gydF4y2Ba
此外，还要求时间导数仍然是作用于的线性变换gydF4y2Ba
基于源位置上某一点的切向量，这个性质使它成为一个物质张量gydF4y2Ba
以本构关系出现gydF4y2Ba
微分几何提供的工具，然后被唯一地检测:gydF4y2Ba谎言gydF4y2Ba沿运动方向的时间导数。gydF4y2Ba
不幸的是，这个时间导数gydF4y2Ba消失相同gydF4y2Ba因为它只是时间偏导，gydF4y2Ba
在固定的源点，前推的回拉，这就是单位映射。gydF4y2Ba
在文学作品中隐含采用的工具是，如果有任何证据，gydF4y2Ba
沿着运动的平行(或协变)时间导数，gydF4y2Ba
根据空间流形中的一个连接。gydF4y2Ba
然而，这个衍生品受到两个致命错误的影响:gydF4y2Ba
1)连接的选择是相当随意的，因此gydF4y2Ba失去了自然gydF4y2Ba．gydF4y2Ba
2)对于低维物体(如三维欧几里得空间中的线和膜)，并行时间导数gydF4y2Ba
的gydF4y2BaFgydF4y2Ba(t)(更确切地说是其空间沉浸)将在源位置的切线束之外有一个范围，gydF4y2Ba
因为在空间中的平行移动并不能将切向量转换为目标位置gydF4y2Ba
源位置的切向量。gydF4y2Ba
因此，的平行时间导数gydF4y2BaFgydF4y2Ba(t)gydF4y2Ba不能出现在本构关系中gydF4y2Ba．gydF4y2Ba
然后，是的时间导数gydF4y2BaFgydF4y2Ba(t)在构成关系中不可采用的，它还剩下什么gydF4y2Ba
一种用链式分解描述运动学的塑性理论gydF4y2Ba
随时间变化的变形梯度?gydF4y2Ba
这里不提已经讨论过的乘法分解的缺点，gydF4y2Ba
如中间线性空间的固有不确定性gydF4y2Ba
(这对于中间配置来说是一个更好的名称)。gydF4y2Ba
关于整件事的详细介绍将出现在gydF4y2Ba
论文已提交出版，我会通知你的。gydF4y2Ba
真诚gydF4y2Ba
乔凡尼·罗马诺gydF4y2Ba
回复:乘法分解的失败gydF4y2Ba
亲爱的乔凡尼:gydF4y2Ba
谢谢你们有趣的讨论。我不同意你关于……的推理gydF4y2BaFgydF4y2Ba不是一个可接受的变形测量。gydF4y2Ba
我同意李导数gydF4y2BaFgydF4y2Ba随着运动消失(我不认为这是“不幸的”;这只是一个事实)。的确，您可以选择不同的连接(在这里的环境空间中为协变时间导数)。让我们不要忘记，我们确实需要在环境空间(和参考配置)中选择一个度量，以便能够从中得到一个标量gydF4y2BaFgydF4y2Ba(两点张量)。这可能看起来“不自然”或令人不快，但在弹性中，我们需要知道如何在环境空间中测量距离。如果一个弹性薄片附着在一个弯曲的2流形上，显然，必须有环境空间度量来计算存储的能量。关键是:你必须明确地在你的存储能量(或拉格朗日密度)中包含环境空间的度量和参考配置。现在有了一个度量，自然的连接(在环境空间中)将是列维- civita连接。然而，你可以选择任何其他的连接，你最终会得到一个不同的“时间导数”的度量gydF4y2BaFgydF4y2Ba．这并没有使这个理论在任何意义上都软弱或不一致gydF4y2BaFgydF4y2Ba不可接受的变形量在连续介质力学中有不同的应力测量方法是一种灾难吗?不。只要选择合适的变形量，理论是一致的。gydF4y2Ba
另外一点:如果你愿意的话gydF4y2BaFgydF4y2Ba作为一种变形测量，然后在计算存储能量的李导数(假设你在看非线性弹性)的李导数gydF4y2BaFgydF4y2Ba的李导数消失gydF4y2BaggydF4y2Ba(环境空间度量)没有，它将是你的“应变率”。如果你选择协变时间导数你会得到的协变时间导数gydF4y2BaFgydF4y2Ba的协变时间导数gydF4y2BaggydF4y2Ba消失(假设使用Levi-Civita连接)。gydF4y2Ba
现在关于"低维体"变形体是环境空间流形的子流形所以你可以使用诱导连接来得到正确的协变时间导数。gydF4y2Ba
我同意乘法分解gydF4y2BaFgydF4y2Ba有一些问题，但不是“失败”。我也同意你称之为"中间构型" "中间线性空间"gydF4y2Ba
问候,gydF4y2Ba
乔gydF4y2Ba
论CM的几何方法gydF4y2Ba
亲爱的乔,gydF4y2Ba
让我说，很高兴有机会与一位在微分几何(DG)方面有扎实背景的连续介质力学(CM)领域的科学家和研究人员讨论基本问题。gydF4y2Ba
我想gydF4y2Ba带gydF4y2Ba请注意gydF4y2Ba以下问题。gydF4y2Ba
1)空间(和时间)仿射流形中的度规张量场是CM理论的基本组成部分。不同的选择导致不同的理论。gydF4y2Ba
2)赋予度规张量场的时空流形是黎曼流形，列维- civita连接是该流形中唯一的无扭(即对称)和度规连接，但不同的连接可以而且实际上经常被考虑，例如由一般坐标系诱导的连接，它们很可能是非对称的。然后是依赖于连接的时间速率定义gydF4y2Ba不是天然的gydF4y2Ba．gydF4y2Ba
3)给定环境空间流形中的一个连接，在低维体(环境空间流形的一个子流形)的放置中诱导的连接定义了一个协变导数，该导数在每个点上沿与子流形相切的向量执行。协变时间导数在它的定义域之外，因为它们沿着gydF4y2Ba速度矢量gydF4y2Ba哪一个gydF4y2Ba五月gydF4y2Ba不gydF4y2Ba是gydF4y2Ba与子流形相切gydF4y2Ba．gydF4y2Ba
为了建立CM的一般理论，最合适的DG背景由四维事件流形和轨迹子流形提供。gydF4y2Ba
致以最亲切的问候gydF4y2Ba
乔凡尼gydF4y2Ba
关于CM的几何方法gydF4y2Ba
亲爱的乔凡尼:gydF4y2Ba
谢谢你的夸奖。gydF4y2Ba
1)我同意度规张量是连续介质力学的任何几何理论的基本组成部分。在固体的情况下，对于参考流形，如果要求参考构型无应力，则可能失去选择任意度量的自由。gydF4y2Ba
2)我同意你关于Levi-Civita联系的陈述。在这里，也许你应该澄清一下你所说的“自然”究竟是什么意思。列维和奇维塔之间的联系并不总是自然的联系。例如，给定一个具有分布位错的固体，自然连接(在参考构型中)是Weitzenbock连接(度量兼容，平坦，但具有扭转)。近藤和Bilby在20世纪50年代首次意识到这一点。gydF4y2Ba
3)诱导连接作用于子流形的切线空间。但我不认为这是本次讨论的主要问题。gydF4y2Ba
问候,gydF4y2Ba
乔gydF4y2Ba
变形梯度的时间导数是多少?gydF4y2Ba
亲爱的乔,gydF4y2Ba
让我们的讨论有一个坚实的基础。gydF4y2Ba
在信中gydF4y2Ba乘法分解失败gydF4y2Ba，在回复Biswajit的请求时，我已经揭示了为什么我考虑时间导数的定义的动机。gydF4y2BaFgydF4y2Ba几何上站不住脚。gydF4y2Ba
由于您的观点与我反对可塑性中的乘法分解的论点不一致，请您提供一个时间导数\dot{的定义。gydF4y2BaFgydF4y2Ba}？gydF4y2Ba
这将有助于我们触及问题的核心。gydF4y2Ba
问候,gydF4y2Ba
乔凡尼gydF4y2Ba
回复:变形梯度的时间导数是什么?gydF4y2Ba
亲爱的乔凡尼:gydF4y2Ba
环境空间是黎曼流形。如果你需要一个时间导数gydF4y2BaFgydF4y2Ba在我看来，协变时间导数使用Levi-Civita连接是完全没问题的。如果你认为这不是一个自然时间导数，我想知道你对“自然时间导数”的定义是什么。gydF4y2Ba
问候,gydF4y2Ba
乔gydF4y2Ba
回复:变形梯度的时间导数gydF4y2Ba
感谢Arash和Givoanni花时间解释你们的观点。我不太懂，我的理解可能是完全错误的。gydF4y2Ba
Gioovanni的观点似乎是，如果没有gydF4y2Ba独特的gydF4y2Ba应用于固体力学的联系，那么我们处于同样的情况，当名词客观率是流行的时候。乔瓦尼，你能解释一下你们的自然联系吗。gydF4y2Ba
Arash说一般(局部?)协方差是我们所需要的;本质上是另一种伪装的客观性。Arash，你能解释一下协方差的物理含义吗?gydF4y2Ba
而且，既然我们不是在处理相对论力学，那么在固体力学中事情不是更简单吗?我们能从相对论中得到结果，然后付诸实践吗?gydF4y2Ba
如何通过实验来指导这些理论并给它们一个坚实的基础?有没有什么不寻常的预测可以用来为我们提供导数的正确定义?gydF4y2Ba
——BiswajitgydF4y2Ba
\dot F的定义gydF4y2Ba
来吧，先生们，让我们不要得意忘形，说\点F在连续介质力学中没有精确定义，需要一个“正确”的定义。gydF4y2Ba
去看看Gurtin的《连续介质力学导论》。它是完全精确和自洽的。gydF4y2Ba
现在你可能会很紧张地说，我不想把沉浸在三维欧几里得点空间中的三维物体构型的两个点的切线空间看作是相同的——这是你的选择，但这并不意味着在有限维向量空间的微分中，变形梯度率不能被赋予精确的数学(和物理)意义。你认识了一个点空间和它相关的平动空间学了一点关于弗雷谢导数的知识就可以了。gydF4y2Ba
让我们不要把那些我们能控制并知道如何精确理解的事情看得太重。在连续介质力学中有更大的问题要解决——比如解决连续介质力学中出现的一些困难的非线性偏微分方程——我可以向你保证，再多的微分几何化也不会减轻这个负担。gydF4y2Ba
回复:\dot F的定义gydF4y2Ba
我同意阿米特的观点。我的观点是:谎言的导数gydF4y2BaFgydF4y2Ba消失了，但是协变时间导数gydF4y2BaFgydF4y2Ba是定义良好且有效的时间导数，也是“客观的”。gydF4y2Ba
在我看来，我们应该避免发生在“理性力学”人身上的事情(痴迷于符号和“等量原理”等有趣的事情)。如果微分几何所能提供的只是使事情看起来更复杂，那么它就没有真正的贡献，我们应该忘记它。几何学确实可以带来重要的贡献，而不仅仅是对已知事物的简单重新解释。我们应该关注的是解决现有理论/方法无法解决的问题。gydF4y2Ba
问候,gydF4y2Ba
乔gydF4y2Ba
关于时间导数的定义gydF4y2Ba
让我更详细地解释gydF4y2Ba自然性gydF4y2Ba和几何动机，为什么似乎适当的协变时间导数在环境空间是不倾向于定义的时间率gydF4y2Ba材料张量gydF4y2Ba(进入本构关系的那些)作用于与当前物体位置相切的向量。gydF4y2Ba
1)对流时间导数，只依赖于运动，gydF4y2Ba
哪个是理论的基本成分，是agydF4y2Ba自然gydF4y2Ba的概念。gydF4y2Ba
相反，选择一种连接方式在弹道流形中执行gydF4y2Ba
物质张量的平行时间导数gydF4y2Ba
自然性gydF4y2Ba失去时间速率的概念。gydF4y2Ba
2)对于较低维度的物体gydF4y2Ba
(如三维欧几里得空间中的导线和膜，如图1,2所示gydF4y2Ba
沿着运动的回拉将物质向量转换为物质向量gydF4y2Ba
(图1、2中的红色箭头)。gydF4y2Ba
相反，浸入物质的切向量沿粒子的平行移动，gydF4y2Ba
通常会产生一个与物体位置不相切的空间向量吗gydF4y2Ba
(图1、2中的黑色箭头)。gydF4y2Ba
然后，对于低维体，给出了时间导数的定义gydF4y2BaFgydF4y2Ba如果结果被采用在本构关系中，通过平行传输的方式是不可接受的，因为只有物质向量(与身体位置相切)而不是空间向量(与环境空间相切)是可接受的。gydF4y2Ba
我假设连续介质力学的概念和定义应该同样适用于任何维度的物体，如电缆、膜和球。gydF4y2Ba
作为最后的观察，我想指出的是，这一理论是由采用gydF4y2Ba自然gydF4y2Ba时间速率的定义显然更简单，更适合于计算应用。gydF4y2Ba
另一个需要考虑的问题是gydF4y2Ba欧拉gydF4y2Ba的拉伸公式是度规张量的对流时间导数的表达式。根据对偶性，应力的时间导数也是对流时间导数。那么，在处理变形梯度时，为什么要通过平行移动计算时间导数呢?仅仅因为对流导数消失了，但这表明了一个基本的困难。的时间导数实际上没有必要考虑gydF4y2BaFgydF4y2Ba在本构关系中，测量变形的合适候选者是环境空间中的度规张量(或者更好的是它对物体位置的拉回，以包括低维物体)。gydF4y2Ba
致以最亲切的问候gydF4y2Ba
乔凡尼·罗马诺gydF4y2Ba
关于时间导数的定义gydF4y2Ba
亲爱的乔凡尼:gydF4y2Ba
我知道你喜欢使用回拉度规和它的时间导数。这完全没问题。你可以等效地使用空间度规的李导数。我想你同意连续介质力学可以用空间和物质描述一致地表述?我也知道你想要一个最小的几何结构的工作。有了运动李导数，甚至不需要度规就可以定义。现在我的观点是:这个论点不足以驳回gydF4y2BaFgydF4y2Ba作为变形测量。让我强调一下，我不是变形梯度乘法分解的倡导者，但同时也不认为它是不一致的。问题在于使用中间“配置”，它只在本地定义，正如您前面提到的，它甚至不是一个配置。gydF4y2Ba
我还假设你同意度规是一个重要的组成部分我们必须有一种测量距离的方法来计算弹性能?那么黎曼流形中的自然联系就是列维-奇维塔联系(在经典框架中)。如果一个人对相对论效应感兴趣，也许更复杂的时空可以用来解释宇宙学缺陷)，并使用的协变时间导数gydF4y2BaFgydF4y2Ba应该能得出一个可以接受的理论。人们可能仍在争论哪个更自然，哪个更基本。我认为不变量是能量密度的时间导数(一个标量)这个标量可以写成拉回度规的时间导数和第二个皮奥拉-基尔霍夫应力的时间导数或的协变时间导数gydF4y2BaFgydF4y2Ba以及第一Piola-Kirchhoff应力。你怎么看?gydF4y2Ba
让我们也记住，为了写出平衡方程，我们确实需要使用协变导数，即使用列维- civita联系是不可避免的;柯西应力的发散需要使用列维-奇维塔连接。我也想知道你对这一点的看法。gydF4y2Ba
问候,gydF4y2Ba
乔gydF4y2Ba
关于时间导数的定义gydF4y2Ba
我不理解diff几何，但我发现这个解释和含义相当有趣。谢谢你！gydF4y2Ba
NachiketgydF4y2Ba
我也很有趣。也许gydF4y2Ba
我也很有趣。也许我们可以教我??gydF4y2Ba
_____________________________________________gydF4y2Ba
Lampu苏利耶gydF4y2BaLampu Jalan Tenaga SuryagydF4y2BaLampu Jalan太阳能电池gydF4y2Ba
傻鱼gydF4y2Ba
我看到了gydF4y2Ba鱼的油炸锅gydF4y2Ba以一种有点不礼貌的方式进入博客。gydF4y2Ba
我不想让他得意忘形，而是建议他gydF4y2Ba学习烹饪的艺术gydF4y2Ba然后吐他的食谱。炸错的鱼可能会有可怕的味道，对健康有害。gydF4y2Ba
对于其他正在阅读这个博客的朋友，我注意到gydF4y2Ba邻衍生品gydF4y2Ba定义gydF4y2Ba在线性空间中gydF4y2Ba使用合适的拓扑结构。在这个博客开始的讨论中，问题是如何沿着gydF4y2Ba非线性轨迹流形gydF4y2Ba到线性空间上的(Fréchet)导数。我所支持的是，在微分几何(DG)提供的两种可能性中，即平行移动和沿运动的推拉变换，只有第二种是自然的，适合于材料张量场进入本构关系。这一点并没有被Morton Gurtin在他关于gydF4y2Ba连续介质力学导论。gydF4y2Ba
撇开这个讨论，把DG看作一种无用的方式，就像试图用线性代数的唯一工具求导一样。gydF4y2Ba
我真的很惊讶，同样知识渊博的研究人员可以表达同意这样一个固执的盲目的观点。我对努力说服信徒不感兴趣，但更愿意以礼貌的方式与其他思想开放的人讨论科学问题。gydF4y2Ba
乔凡尼·罗马诺gydF4y2Ba
eqns用\dot F表示，用于bvp的分析gydF4y2Ba
看看Hill在固体力学(1978)文章中的不变性，何时可以方便地将客观速率本构方程转换为变形梯度速率和名义应力(速率)，在这里可能有用。结果证明，这是非常有用的分析bvp和分岔在速率无关的设置。这也是三维物体力学的内容。当然，希尔不是乘法分解的支持者，我同意他的观点。我认为最重要的是理解不同等价表示之间的转换。gydF4y2Ba
在那篇文章中，Hill还解释了对流导数(在一个比流形流更一般的设置中，例如Jaumann速率(对于可变形体)只能在那种情况下被理解)，这可能对本博客的读者也很有用。在我看来，他很好地解释了李导数的概念，即向后拉-时间导数-向前推，对于那些没有接触过DG的人来说，这是第一次接触这个概念。一旦人们理解了这一点，那么也许很容易将其应用于沿着流动的同一物质点的切线空间不能被声明为相同的情况(如壳，膜，棒)-当然，也在这种情况下，人们可以理解为什么这是一个有用的概念。gydF4y2Ba
DG的概念在低维体的CM中当然是重要的——那些做过三维CM并且玩过壳层理论(并在数值上实现了它们)的人知道并理解这一点。但这篇博客的主要问题之一与乘法分解的失败有关，以及诺里斯的声明是否有意义。这些发展是在三维空间的三维物体的背景下完成的——在那里它们有完美的精确意义(至少对我来说)。gydF4y2Ba
从西莫的作品开始，也有一段在CM中进行DGizing的历史。对于本博客的读者(尤其是年轻的研究人员)来说，这可能也是一种开放的努力，看看那些工作的主体，并得出他们自己的结论，从那次练习中学到了什么。也许Romano教授的论文已经涵盖了这一点。gydF4y2Ba
Re:用\dot F表示的eqns用于bvp的分析gydF4y2Ba
亲爱的阿米特:gydF4y2Ba
很长一段时间以来，人们(甚至是最杰出的人)都对客观时间导数感到困惑。我认为主要原因是缺乏对几何技术的熟悉。由于某种原因，连续介质力学的研究人员把自己孤立起来(不是全部，而是大多数)，认为他们研究的是一个非常特殊的理论，而没有意识到这只是物理学中众多场论中的一个。在物理学的许多发展中，几何一直是必不可少的，我们应该从这一经验中学习。我想你会同意我的观点吧?gydF4y2Ba
变形梯度有一个固定的腿和一个随可变形体移动的腿(两点张量)。因此，除非一切都是欧几里得的，否则就不能求(朴素)时间导数。很可能古汀也是这么做的?gydF4y2Ba
我相信几何概念总是很重要的当你处理有残余应力的物体时不管它是什么维数。gydF4y2Ba
西莫是极少数既懂几何又能在计算力学中正确运用几何的人之一。不幸的是，他英年早逝。gydF4y2Ba
让我重复一下，我坚信解决特定的(非线性)问题是让其他人相信几何技术有用的正确方向。gydF4y2Ba
问候,gydF4y2Ba
乔gydF4y2Ba
回复:Arash关于CM的几何化gydF4y2Ba
乔,gydF4y2Ba
你问了一个有趣的哲学问题(几何在许多发展中都是必不可少的....)，我很乐意在我们有时间的时候讨论这个问题。但也许你应该先开始一个单独的线程。gydF4y2Ba
- - - - - -阿米特gydF4y2Ba
阿拉什，我同意阿米特的看法。gydF4y2Ba
阿拉什，我同意阿米特的看法。这是一个发人深省的讨论。如果你有时间，请开始一个单独的线程。gydF4y2Ba
此前,gydF4y2Ba
在连续介质力学的基础上gydF4y2Ba
亲爱的同事,gydF4y2Ba
我来说说gydF4y2Ba
希望这个博客可以提供一个关于gydF4y2Ba
连续介质力学的基础(gydF4y2Ba厘米gydF4y2Ba）.gydF4y2Ba
这就是我开博客的目的，在我看来，目标可以是gydF4y2Ba
只有当到达时才会像任何人一样不急于要求得到东西gydF4y2Ba
在他的训练中学会的，毋宁是一种思考和思考的态度gydF4y2Ba
耐心和深度将被试验，以提供建设性的批评。gydF4y2Ba
我曾经学过这个教训gydF4y2Ba
更在我学术生涯结束的时候才意识到，要克服一个很深的困难gydF4y2Ba
对大多数治疗不满意的感觉gydF4y2Ba厘米gydF4y2Ba，gydF4y2Ba
特别是关于速率公式和本构理论，gydF4y2Ba
为了从一个高度混乱的局面中找到一个基本原理，我必须学习基础知识gydF4y2Ba
微分几何的概念和概念，这些都没有教过我gydF4y2Ba
我作为工科学生的训练，后来被认为是gydF4y2Ba
科学界把数学当作一门复杂的学科而毫不关心gydF4y2Ba
在应用力学中。gydF4y2Ba
在中国有句老话gydF4y2Ba
意大利的那不勒斯，翻译过来就是:gydF4y2Ba
最好的聋子是无意倾听的人。gydF4y2Ba
我理解改变想法gydF4y2Ba
对专家来说，研究基本面是一项非常艰巨的任务，但非凡非凡gydF4y2Ba
的经验gydF4y2Ba爱因斯坦gydF4y2Ba的gydF4y2Ba
相对论(gydF4y2Ba戒除言语尿症gydF4y2Ba）gydF4y2Ba
应该学会我们开放的思想。gydF4y2Ba
这个理论的幸运之处在于gydF4y2Ba
人们喜欢gydF4y2Ba希尔伯特gydF4y2Ba，gydF4y2Ba克莱因gydF4y2Ba，gydF4y2Ba庞加莱gydF4y2Ba而且gydF4y2Ba闵可夫斯基gydF4y2Ba，gydF4y2Ba
非常有知识和权威的专家，对爱因斯坦的方法很感兴趣gydF4y2Ba
和他一样有孩子气的热情。gydF4y2Ba
有一些重要的gydF4y2Ba
这种情况与目前关于连续体的情况有相似之处gydF4y2Ba
力学。gydF4y2Ba
在这两种情况下都是agydF4y2Ba
完整的理论丰富的含义和解释gydF4y2Ba
实验事实，但有一些无法解释的困难和悖论。gydF4y2Ba
在这两种情况下都是正确的想法gydF4y2Ba
通过收集其他人提出的旧建议的提示和部分答案gydF4y2Ba
有价值的研究。gydF4y2Ba
在我们关心的领域，gydF4y2Ba
连续介质力学，主要的新思想如下。gydF4y2Ba
1）gydF4y2Ba
仔细的几何定义和区分gydF4y2Ba
空间张量场和物质张量场之间。gydF4y2Ba
2）gydF4y2Ba
协方差范式的陈述(gydF4y2BaCPgydF4y2Ba)表示比较的规则gydF4y2Ba
在材料张量之间是根据相关的微分胚的推gydF4y2Ba
转换。gydF4y2Ba
第一项是基本的，但简单而明显gydF4y2Ba
从未用恰当的几何形式明确表示过。第二件物品制作完成gydF4y2Ba
身体和周围环境之间的空间巧合更加微妙gydF4y2Ba
空间，但对于低维度的物体是自我提出的。gydF4y2Ba
要把握其动机，应注意到gydF4y2Ba
材料张量之间的比较是指一个物体沿a的两个位置gydF4y2Ba
轨迹(无论是真实的还是虚拟的)都被认为是相关的gydF4y2Ba
它们之间的进化异胚性。的gydF4y2Ba自然gydF4y2Ba
进行比较的方法就是诉诸进化论gydF4y2Ba
微分胚本身，和它的切线映射，来执行推拉gydF4y2Ba
转换。这个想法可以追溯到gydF4y2Ba欧拉gydF4y2Ba对他来说gydF4y2Ba庆祝gydF4y2Ba公式gydF4y2Ba伸展运动。gydF4y2Ba
这种方法在概念上的清晰性是毋庸置疑的gydF4y2Ba
而采用这种方法的非凡效果很快就会显现出来gydF4y2Ba
应用于构造本构关系，讨论基本问题等gydF4y2Ba
具有时无关性、时不变性、框架不变性和可积性gydF4y2Ba
条件。gydF4y2Ba
虚构中所面临的困难gydF4y2Ba厘米gydF4y2Ba都被冲走了gydF4y2BaCPgydF4y2Ba
这就引出了速率本构关系gydF4y2Ba
弹黏塑性(和类似模型的材料行为)在一个直接gydF4y2Ba
并明确了方法，解决了长期以来关于材料价格的争论gydF4y2Ba
给出一个唯一的，简单的，定义明确的答案。gydF4y2Ba
这一新方法的首次公开已作出贡献gydF4y2Ba
doi: 10.1016 / j.euromechsol.2011.05.005gydF4y2Ba
在论文中gydF4y2Ba
G. Romano和R. Barretta:协变低弹性，2011，gydF4y2Ba欧洲力学杂志- A/固体gydF4y2Ba．gydF4y2Ba
更全面的治疗方法是gydF4y2Ba在itineregydF4y2Ba．gydF4y2Ba
真诚gydF4y2Ba
乔凡尼·罗马诺gydF4y2Ba
关于连续介质力学的基础gydF4y2Ba
亲爱的乔凡尼:gydF4y2Ba
我完全同意一个人应该思想开放，愿意质疑大多数人已经接受的东西。我还认为，在科学讨论中，提问/回答问题应该非常具体和清楚。让我重复我之前的一个(未回答的)问题。你在写线性动量平衡时需要联系吗?如果不是，你会怎么写?gydF4y2Ba
问候,gydF4y2Ba
乔gydF4y2Ba
论动力学中线性连接的作用gydF4y2Ba
亲爱的乔,gydF4y2Ba
我非常感谢你的问题，这将引导我们讨论经典连续介质动力学中的一个基本问题(gydF4y2BaCCDgydF4y2Ba）.gydF4y2Ba
不久前，我向我提出了同样的问题，为了给我一个满意的答案，我需要进行艰苦的调查，从文献中恢复基本的信息，提取潜在的几何概念和结果，以及新的贡献。gydF4y2Ba
我将尝试在后面总结基本的想法，重点是线性连接在环境空间中的作用，并引用我和同事最近的一些文章，其中的基础gydF4y2BaCCDgydF4y2Ba都进行了详细的处理。gydF4y2Ba
的基础gydF4y2BaCCDgydF4y2Ba通过关于轨迹的变分原理和相关的演化算符，以最一般的方式给出。这个原理可以用an的标准几何形式表示gydF4y2Ba作用原理gydF4y2Ba其中，通过在容器流形中置换弹道，进行了变分原理的试验。为此，轨迹被认为是状态空间流形的子流形，状态空间流形被定义为速度-时间(或协速度-时间)流形，而一个gydF4y2Ba行动1 -gydF4y2Ba在状态空间上通过适当提升标量拉格朗日量来设计。在通常的规则假设下，动作原理可以被局部化以提供差分gydF4y2Ba欧拉gydF4y2Ba方程gydF4y2Ba和gydF4y2Ba角条件gydF4y2Ba在奇点上。gydF4y2Ba
在此之前，状态空间流形中没有几何联系进入理论，因此可以肯定gydF4y2BaCCDgydF4y2Ba可以根据演化算符和拉格朗日量以一种自然的方式建立，没有任何额外的假设，如在gydF4y2Ba
G. Romano, R. Barretta和M. Diaco，连续介质动力学，gydF4y2Ba
j .数学。物理学报50(2009)102903-1-26。DOI:gydF4y2Bahttp://dx.doi.org/10.1063/1.3215979gydF4y2Ba
等效原理可以通过施加轨迹的位移使能量泛函不变来表述，从而得到的广义形式gydF4y2Ba莫佩尔图斯最小作用原理gydF4y2Ba如gydF4y2Ba
G. Romano, R. Barretta, A. Barretta，关于动力学中的Maupertuis原理，gydF4y2Ba
众议员数学。物理学报，63(3)(2009)331-346。DOI:gydF4y2Bahttp://dx.doi.org/10.1016/s0034 - 4877 (09) 00015 - 9gydF4y2Ba
然而，线性连接的引入提供了一个非常有价值的工具，用于研究沿着满足作用原理的轨迹的演化性质，选择特殊连接是一个方便的问题。例如，一个曲线坐标系将产生一个相关的远距离平行度和一个相应的线性连接，它具有消失的扭转和曲率形式。采用gydF4y2BaLevi-CivitagydF4y2Ba连接将诱导无扭转和度量连接与一个不消失的曲率。在这方面，我们必须注意到，只有线性连接的扭转进入动力学方程。提供了一个重要的例子gydF4y2Ba庞加莱gydF4y2Ba的动力学定律，该定律是采用与曲线坐标相关的移动参考系诱导的远距离平行移动的结果。在这种情况下，扭转形式等于的对边gydF4y2Ba李氏括号gydF4y2Ba因此基向量场的李括号的分量(命名为gydF4y2Ba结构系数gydF4y2Ba)出现在动力学方程中。gydF4y2Ba
轨道上的列维-契维塔联系，与单位质量动能给出的拉格朗日量，导致广义gydF4y2Ba欧拉gydF4y2Ba的年代,gydF4y2Ba达朗贝尔gydF4y2Ba的动力学定律。标准配方已在gydF4y2Ba欧几里得gydF4y2Ba平动赋予平行移动的空间。这些问题在引用的参考文献中有详细的讨论。gydF4y2Ba
总之，gydF4y2Ba回答gydF4y2Ba问题是:gydF4y2Ba
线性动量的平衡(欧拉动力学定律公式的一部分)是在欧几里得空间中选择与平动平行移动相关的标准连接的结果。它是一般表达式的一种特殊形式，不依赖于连接的选择。gydF4y2Ba
致以最良好的问候和祝福:圣诞快乐，新年快乐gydF4y2Ba
乔凡尼·罗马诺gydF4y2Ba
关于动力学中线性连接的作用gydF4y2Ba
亲爱的Giavanni:gydF4y2Ba
谢谢你详细而翔实的解释。我同意欧拉-拉格朗日方程来自于一个作用原理都是用偏导数来表示的。我认为人们应该仔细考虑的一件事是弹性中的拉格朗日密度明显依赖于度量标准。这就导致了使用Levi-Civita连接(应力散度…)将EL方程写成等效的和众所周知的形式。下面的参考资料是相关的。gydF4y2Ba
马斯登等，变分方法，多辛几何和连续介质力学，物理学报38(3-4)，pp. 253-284, 2001。gydF4y2Ba
让我再补充一点。有一个体积形式的散度是用李导数来定义的。有了连接，就可以定义兼容的卷形式(以明显的方式)。事实证明，标准黎曼体积形式是列维-奇维塔连接的相容体积形式。gydF4y2Ba
节日快乐!gydF4y2Ba
问候,gydF4y2Ba
乔gydF4y2Ba
微分几何和流体力学gydF4y2Ba
我有几个一般性的问题。微分几何是否被应用到流体力学的研究中?有没有人或大学在这方面进行研究?将微分几何应用于流体力学到底有效吗?gydF4y2Ba
变形梯度的时间导数gydF4y2Ba
我要指出变形梯度的时间导数gydF4y2BaFgydF4y2Ba(t)是gydF4y2Ba数学上精确定义gydF4y2Ba在这方面gydF4y2Ba材料时间导数gydF4y2Ba，通过gydF4y2Ba环境空间中的协变导数gydF4y2Ba，如[1]所规定(第1.4章第4.19条及第4.2章第2.2项)。一个gydF4y2Ba更复杂的推导gydF4y2Ba，基于gydF4y2Ba所有光滑嵌入的无限维黎曼流形gydF4y2Ba在[2]中暴露，并在[1]第2.4章框4.2中回顾。更多信息请参见[3]gydF4y2Ba
[1]马斯登，j.e.，休斯，t.j.r.:弹性的数学基础。多佛，纽约(1993年)gydF4y2Ba
[2]爱泼斯坦、塞格夫:连续介质力学中的可微分流形和虚功原理。j .数学。物理学报21,1243-1245 (1980)gydF4y2Ba
[3]菲亚拉，Z.:客观时间导数修正。ZAMP 71，文章编号:4 (2020)gydF4y2Ba