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关于柯西应力张量的性质
在iMechanica网站万博manbetx平台上，我发现了一些关于柯西应力张量的讨论，无论它是协变还是逆变。一个张量既不是协变也不是逆变的，而它可以用它的协变、逆变或混合分量在任意坐标系下表示。见所附简短说明。
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- Sia Nemat-Nasser的博客
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评论
关于张量
嗨，Nasser博士，
谢谢你的澄清。所以这完全取决于选择什么样的基向量(协变基或逆变基)。那么每个张量，不管它是什么类型(速度向量，沙发张量等)都可以协变或逆变地表示和转换，对吗?
张量及其分量
是的，向量是一阶张量。任何张量在任何合适的坐标系下都可以用协变、逆变或混合分量来表示。请阅读我原始评论底部引用的章节。SNN
张量代数
谢谢纳赛尔，
的确，张量的协变和逆变的概念取决于你选择的表示方式。
马利克
反变张量和协变张量可以是不同的
撇开柯西应力不谈，我应该注意到，如果连续介质中没有笛卡尔结构，反变张量和协变张量可能是不同的(马斯登和休斯:“弹性的数学基础”)。在经典连续介质力学中，除了基于变形梯度乘法分解的理论，我们几乎总是有笛卡尔结构，这意味着存在不相容的中间构型。这样的构型不是可以引入全局笛卡尔结构的物理连续体。
张量的逆变和协变分量
张量既不是协变也不是逆变的。这些项指的是张量的分量。对于一般的曲线坐标系，这些分量的矩阵通常是不相同的。因此，我们不应该把张量称为协变或逆变的。一旦选择了特定的坐标系，这些术语就表示它们的分量。一个张量，例如一个矢量，通常具有独立于任何坐标系的物理意义，人们可以选择表示它的协变或逆变分量。SNN
再保险
亲爱的Nemat-Nasser教授:我只同意你所说的在欧几里得空间中连续性变形，在那里笛卡尔结构可以被强制执行。但情况并非总是如此。例如，塑性乘法理论中的中间构型不在欧几里得空间中。非欧几里得空间中另一个物理理论的例子当然是广义相对论。如果空格是非欧几里得的共反变量和混合变量表示不同的对象，而不是同一对象的不同表示。Kosta
一般情况下的协变和逆变
沃洛克教授
我明白你的意思了。我相信你的意思是在某些情况下对于连续介质中的结构协张量和逆变张量是不同的。你关于“变形梯度的乘法分解”的观点让我们想起了连续介质力学中不能被赋予笛卡尔结构的一些构型。
然而，由于我没有读过你在评论中引用的那本书，我希望你能就你提到的情况给我们一些解释。我的意思是，协变和逆变在什么意义上是不同的?
再生能源。纳赛尔指出，我们只对张量的分量说协变和逆变。我相信他正在考虑一个度量张量可以定义的黎曼流形(我指的是Pfr。Arash Yavari在之前的讨论中的评论)。
我有点困惑，但我相信这两个概念在复杂流形的情况下可能是不同的。
在非黎曼流形的情况下，说协变张量和逆变张量是不同的是正确的吗?
问候,
马利克
回复:非黎曼流形
我相信黎曼流形是由一个具有正定度规张量的可微流形组成的结构。非黎曼流形既可以是不可微的，也可以没有度量张量，或者是一个非pos-def度量。直观地说，我不认为在一般的非黎曼情况下考虑物理张量是很有成效的。谁能给我举个例子来反驳我的直觉?
同样，切线空间可以在不可微流形上的一点上唯一地定义吗?
——Biswajit
“Non-Riemannian”集合管
亲爱的Biswajit:
关于黎曼流形你是对的。首先你从一个可微流形开始，然后赋予它一个度规张量(根据定义是正定的)，它平滑地依赖于位置。“非黎曼”是模糊的，但它通常不对应于不可微性。
有了一般的光滑流形，就没有办法从本质上微分张量场。例如，一个张量的偏导数，一般来说不是一个张量。人们需要添加更多的结构，例如，线性连接不同的切线空间。这样做意味着你引入了一个“仿射连接”。这将允许你定义张量场的平行移动和张量场的协变微分。
在黎曼流形中发生了令人惊奇的事情。有了一个度规，就有一个独特的对称连接，其诱导的平行移动保留了内积(黎曼几何基本定理)。这种独特的连接被称为列维-奇维塔连接。
通常“非黎曼”流形是指具有非对称仿射连接的流形，即具有不消失的扭转张量(有时你会看到黎曼-卡坦流形的名字)。相对论有关于扭转时空的扩展。在力学文献中，“材料流形”的“扭转”被认为与位错密度张量有关。
有一些我们感兴趣的不可微流形的著名例子，即单纯复形或更一般的CW复形。然而，你不会在这里定义切线空间。在定义离散黎曼流形方面有许多尝试。在相对论文献中，有所谓的雷格微积分，试图将通常的黎曼几何概念/量扩展到简化复体。
问候,
乔
向量和张量
亲爱的马利克,
我不是免费在网上找到Marsden&Hughes的。但是，你可以去的网页伯恩教授在这里你可以免费下载一篇关于向量和张量的综合论文。
致以最好的问候，科斯塔
力学基础
Kosta,
拉尔夫·亚伯拉罕和j·e·马斯登合著的《力学基础》(FoM)可以在这里免费找到:
http://caltechbook.library.caltech.edu/103/
它在流形的背景下描述张量和微分形式。它使用的语言和符号非常类似于Marsden & Hughes弹性书(有些部分取自FoM)。然而，FoM是一本相当难懂的书——亚马逊上的一位评论家把这本书比作“用火箭筒杀死一只蟑螂”。阿拉什一定知道这本书。
力学基础
是的，我看过这本书。最近还有第二版。
如果你看了评论弹性的数学基础，一位评论者说:“把简单的问题变成噩梦。弹性问题在工程上能有多难?但这些家伙有办法让1+1=2看起来像人类遇到过的最神秘的问题。难怪现在大家都讨厌工程学和物理学。”我不认为这本书是现在许多人回避工程的原因。如果你是弹性学的初学者，这可能不是一个正确的起点，但了解弹性学的其他方法仍然是一个好主意。这就像一门新的语言，一开始可能很难，但却能打开一个充满机会的新世界。
乔
协变张量vs逆变张量
亲爱的新加坡航空,
谢谢你的笔记和评论。当你在欧几里得空间中工作时，你指出的是完全正确的。当然你可以用笛卡尔坐标或任何非正交曲线坐标，甚至对于一个本质平坦的空间，比如欧几里得空间。
需要注意的一件重要的事情是张量是多线性映射它取一堆向量和协向量然后给出一个实数。给定一个线性空间V，它的对偶V* (V上所有线性泛函的空间)不“等于”V。因此，从V到V的映射不“等于”从V*到V*的映射或从V到V*的映射。如果你在欧几里得空间中工作而不是在一般流形中，这些都是语义上的。
这可以用向量(逆变向量)和协向量(协变向量或微分形式)来解释得更清楚。给定线性空间中的一个向量，即使没有任何度规结构，也总是可以定义相应的对偶向量或形式。向量和协向量(1-形式)之间一个有趣的区别是，你不能在一般流形上对向量场进行内积分，但微分形式总是可以进行内积分。
然而，一旦你赋予流形一个度规那么就有一种方法来识别一个切线空间和它对应的余切空间这就是黎曼流形中发生的事情。
准确地说，给定流形M，点X处的(M, n)型张量S是M份T*M (X处余切空间)和n份TM (X处切线空间)的笛卡尔积到实数的多线性映射。在这种情况下，S对秩m是逆变的，对秩n是协变的。这个定义不依赖于所选择的局部图(坐标系)。
我认为可以严格地解释你在评论中提到的柯西应力是一个物理量，可以用不同的相关张量来描述。
问候,
乔
应力==(1,1)张量
让我支持Sia的评论，即应力既不是协变也不是逆变的。坐标是为了方便而引入的简单技巧。
我认为Arash的评论是思考压力的一种更好的方式;也就是说，我们应该从操作的角度来考虑压力。在这方面，我喜欢把应力看作(1,1)张量。为什么?从操作上讲，应力采用表面法线(几何上是一种形式)，并将单位面积的力返回到表面。力本身在运算上有一个速度，并返回一个标量，功率。因此，应力可以被很好地理解为作用于表面法线(一种形式)和速度(切线矢量)，并返回幂的标量。因此，从运算的角度来看，应力被很好地认为是(1,1)张量。注意，你如何看待压力取决于你的操作定义。例如，在马斯登和休斯弹性的数学基础，他们认为应力应该是(2,0)张量(Schutz也是如此)。然而，这取决于你希望如何对待力——作为一个形式或切向量。我喜欢考虑在一个表面上整合牵引力的可能性，因此对我来说，把牵引力看作一种形式更有意义。例如，伯克同意将力视为一种形式。
要进一步了解这些概念，我喜欢伯纳德·舒茨(Bernard Schutz)的书数学物理的几何方法以及威廉·伯克的书应用微分几何。
Sanjay Govindjee教授
加州大学伯克利分校
non-Euclidian空间
亲爱的所有,
我对张量不熟悉。谁能举个例子，证明这个问题的条件，是非欧几里得空间?
谢谢。
回复:非欧几里得空间
Arash说:“谁能给出一个例子，证明问题的条件，是非欧几里得空间的工作?”
例如，贝壳。举个例子
西莫和小狐。”在应力上得到几何精确的壳体模型。第一部分:配方和优化参数化”，应用力学与工程计算机方法，第72卷第3期(1989年3月)
页数:267 - 304。
——Biswajit
协变，逆变和混合张量
你可以看看A I Borisenko的书“向量和张量分析与应用”第91页“协变，逆变和混合张量”部分。这里说的是，在一个物理问题中，最自然的是从一组特定的分量开始，比如协变分量，然后张量本身就是协变的，但是度量总是可以用来推导它的所有逆变分量和混合分量。这应该适用于一个黎曼流形，其中一个度规是很好的定义。