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对数应变的导数

太阳，2007-07-01 20:21 -Banerjee Biswajit

教育

导数

张量

对数应变

你们中的一些人可能研究的问题涉及到中等大小的张力。在对数或Hencky应变中这类问题的有用应变测量。特别是，如果你处理大应变模拟的数值，你将经常需要计算对数应变的材料时间导数。

20世纪80年代中期，安猪，唐纳德·卡尔森，莫顿Gurtin他们的同事写了一系列的论文，涉及这些应变测量，如何求导，以及如何求解包含张量的线性方程。这项工作的大部分起源于宾夕法尼亚州匹兹堡的卡内基梅隆大学。

这篇文章是为了提醒大家，对数应变的材料导数的公式依赖于拉伸张量的独立特征值的数量。它还可以作为查找这些公式的快速参考。

回忆一下，变形梯度张量，因为它有一个正的行列式，可以乘分解成a对称的部分正交部分,即

$$\displaystyle \ensuremath{\boldsymbol{F}}= \ensuremath{\boldsymbol{R}}\cdot\ens… …{\ boldsymbol{你}}= \ ensuremath {\ boldsymbol {V}} \ cdot \ ensuremath {\ boldsymbol {R}} ~,美元$

在拉伸方面，给出了广义n阶材料应变和空间应变度量

$$ \ displaystyle \ ensuremath {\ boldsymbol {E}} ^ {(n)} = \ cfrac {1} {n}左(\ \ ensuremath…… …\ ensuremath {\ boldsymbol {\ mathit {1}}} - \ ensuremath {\ boldsymbol {V}} ^ {n} \右)~,美元$

拉伸的谱分解可以写成

$$\displaystyle \ensuremath{\boldsymbol{U}}= \sum_{i=1}^{3} \lambda_i~\ensuremath… …th {\ mathbf {n}} _i = \ ensuremath {\ boldsymbol {R}} \ cdot \ ensuremath {\ mathbf {n}} _i ~,美元$

因此我们也可以把应变量写成

$$ \ displaystyle \ ensuremath {\ boldsymbol {E}} ^ {(n)} = \ sum_ {i = 1} ^ 3 \ cfrac {1} {n} \ lef…… …数学{\ ensuremath {\ mathbf {n}} _i \ boldsymbol {\ otimes} \ ensuremath {\ mathbf {n}} _i} ~,美元$

当n趋于0时，取它们的极限，就会得到物质和空间对数应变(为了好玩，证明一下)

$\ displaystyle \ ensuremath {\ boldsymbol {E}} ^ {(0)} = \ sum_ {i = 1} ^ 3 \ ln \ lambda_i ~ \ en… …oldsymbol{\otimes}\ensuremath{\mathbf{n}}_i} = \ln\ensuremath{\boldsymbol{V}}~.$

注意，在这种情况下，材料应变和空间应变都具有相同的特征值。

回想一下，柯西应力和变形张量的速率(更好的说法是拉伸张量?)是幂共轭的。那么问题来了亨基应变的材料导数的共轭幂是多少，也就是说，找到这样的应力测量值

$d \ ensuremath {\ boldsymbol{}} ~,美元$

结果是，当应变主轴保持固定时

$\displaystyle \dot{\overline{\ln\ensuremath{\boldsymbol{V}}}} = \ensuremath{\bo… …\ widdetilde {\ensuremath{\boldsymbol{\tau}}} = \ensuremath{\boldsymbol{\sigma}}~.$

然而，这在一般情况下是不正确的，因为下面的公式来自[1]。详细的表达式相当复杂，你可以在霍格的论文中找到它们。

案例1: $\lambda_1 = \lambda_2 = \lambda_3$
$\displaystyle \dot{\overline{\ln\ensuremath{\boldsymbol{V}}}} = \ensuremath{\boldsymbol{d}}~.$
案例2: $\lambda_1 = \lambda_2 \ne \lambda_3$
$$\displaystyle \dot{\overline{\ln\ensuremath{\boldsymbol{V}}}} = \theta_1~\ensur… …ldsymbol {V}} - \ ensuremath {\ boldsymbol {V}} \ cdot \ ensuremath {\ boldsymbol{\ω}})美元$
案例3: $\lambda_1 \ne \lambda_2 \ne \lambda_3$
${方程*}\ \开始开始{对齐}\点{\眉题{\ ln \ ensuremath {\ boldsymbol {V}}}}… ... 符号{V}} \ cdot \ ensuremath {\ boldsymbol{\ω}})~。结束\{对齐}结束\{方程*}$

同时,

案例1: $\lambda_1 = \lambda_2 = \lambda_3$
$\displaystyle \dot{\overline{\ln\ensuremath{\boldsymbol{U}}}} = \ensuremath{\boldsymbol{R}}^T\cdot\ensuremath{\boldsymbol{d}}\cdot\ensuremath{\boldsymbol{R}}~.$
案例2: $\lambda_1 = \lambda_2 \ne \lambda_3$
$\displaystyle \dot{\overline{\ln\ensuremath{\boldsymbol{U}}}} = \ensuremath{\bo… …ol{d}}\cdot\ensuremath{\boldsymbol{V}}\right]\cdot\ensuremath{\boldsymbol{R}}~.$
案例3: $\lambda_1 \ne \lambda_2 \ne \lambda_3$
${方程*}\ \开始开始{对齐}\点{\眉题{\ ln \ ensuremath {\ boldsymbol{你}}}}… ... 波尔{V}} ^ 2) \] \ cdot \ ensuremath {\ boldsymbol {R}} ~。结束\{对齐}结束\{方程*}$

如果你知道在过去20年里在这方面有任何进一步的简化和发展，或者如果你需要进一步澄清这些方程中使用的任何数量，请评论。

参考书目

1: 答:猪。

对数应变的材料时间导数。

Int。J.固体结构地球物理学报，22(9):1019-1032,1986。

Biswajit Banerjee的博客
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107534年读

对数自旋

永久链接提交的安德鲁·诺里斯星期一，2007-07-02 09:51。

嗨Biswajit,

在过去的20年里，我认为主要的发展是肖等人[1]证明的关系

如果你允许时间导数成为旋转的和客观的，总是成立的。这其中有两个部分让大多数人感到害怕:corotational和objective。但是旋转是合理的-它只是意味着相对于你所坐的位置旋转的帧的速率。客观约束意味着这个额外的旋转速率，或者自旋，只能由问题中潜在的自旋和v来定义，这也是合理的，因为如果要有一般意义，你还会用什么。所谓底层自旋，我指的是像W这样的东西，它是L的倾斜部分，张量d是对称部分，L = \dot{F}F^{-1} = d+W(抱歉，今天没时间讲乳胶了)。

肖等人[1]表明存在一个唯一的自旋——他们称之为对数自旋——它确保了上述对每一个可能的v的等价性。在一系列论文中，他们从多个方向探索了这个问题。共轭应力的问题在[2](一篇相当晦涩的论文，但很值得一读)中得到了最好的处理。他们表明，通常在拉格朗日意义上考虑的共轭应力和应变的整个思想。广泛的讨论奥格登的书-本主题的最佳主要来源)可以推广到欧拉应力和应变。

安迪

参考文献:

[1]肖，H.和Bruhns, O. T.和Meyers, A.，对数应变，对数自旋和对数速率。力学学报124,89—105,1997。doi = 10.1007/BF01213020

[2]肖，H.和Bruhns, O. T.和Meyers, A.，客观的旋转速率和统一的工作共轭关系，欧拉和拉格朗日。力学档案，

50, 1015—1045,1998。

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回复:对数应变/自旋

永久链接提交的Banerjee Biswajit星期一，2007-07-02 18:08

安迪,

谢谢你给我指出肖，布伦斯，迈耶斯的文件。他们在有限变形弹塑性中的工作关系可以在他们的评论文章“弹性塑性超越小变形”中找到，力学学报，182,31-111 (2006)，DOI10.1007 / s00707 - 005 - 0282 - 7。

我注意到的一件事是，这些作者在做弹塑性变形时，从欧拉拉伸张量(变形率张量)的加法分解开始。许多其他作者认为这种分解是非物理的，应该严格地使用变形梯度的乘法分解，然后相应地导出拉伸张量的加性分解。哪一种方法是正确的?

此外，人们试图避免速率形式的弹性方程(特别是Truesdell的低弹性方程)，而倾向于高弹性或状态方程(在大多数情况下可以从势能中推导出来)。你有什么见解吗?为什么?

Biswajit

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固体力学中HIll的不变性

永久链接提交的Amit Acharya在星期六，2007-07-07 20:48

Biswajit,

这是一本必读的书，以获得对这些问题的正确观点-应用力学的进展。它没有处理特征值合并问题，但有很多东西是非常值得的。

至于客观汇率，真正重要的是这些汇率之间的转换，这样任何一种汇率都可以转换为另一种。最终，决定哪种描述最好的是物理问题。例如，当应力本构方程以速率形式提出时，你会注意到高弹性对应于Truesdell速率。

- - - - - -阿米特

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目标利率

永久链接提交的Banerjee Biswajit在星期日，2007-07-08 17:13

阿米特表示感谢。希尔的论文确实澄清了一些问题，值得仔细阅读。根据我的理解，最基本的问题是是否从非线性弹性模型开始，还是使用线性胡克定律的扩展。各种客观比率的不一致是由于胡克定律应用不当造成的。我更愿意从一个超弹性模型开始，然后从中推导出速率方程(如果有必要的话)。然而，没有唯一的方法使这样的速率方程客观。这就是为什么许多人完全避免使用费率表。

我不知道Truesdell速率会导致高弹性。由于Jaumann和Green-Naghdi利率只是Truesdell利率的特殊情况，它们不会导致高弹性，我不认为Truesdell利率可以。在Simo和Hughes, Computational Inelasticity, p. 258中有关于这个问题的很好的讨论(有参考文献)。事实上，有一个强有力的伯恩斯坦兼容条件，必须满足一个客观速率方程是可从一个势。

另一方面，引用林、布鲁克斯和贝滕的话。《塑性》，2006,22,p. 1830在Xiao等人的研究中证明只有采用基尔霍夫(或柯西)应力对数旋转速率的亚弹性方程与弹性方程一致这是一个相当有力的主张，需要进一步的检验。。请注意，对数旋转速率的物理意义与所有其他客观弹性速率方程一样存在同样的缺陷。

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truesdell率

永久链接提交的Amit Acharya周六，2007-09-22 23:08

Biswajit,

我没有时间跟上我的进度，所以这么晚回复，因为我刚刚看到了你的便条。万博manbetx平台Truesdell速率只是Kirchhoff应力随着变形梯度向后拉的时间导数，由变形梯度乘以J(或J^-1，我忘了是哪个)向前推，换句话说，它基本上是Kirchhoff应力的李氏导数直到J或J^-1的倍数。

如果你用柯西应力的标准超弹性本构方程，取材料的时间导数，然后寻找你可以最自然地提出的客观速率，我相信你最终会得到Truesdell速率。

$\mathbf{\sigma}=\rho \mathbf{F}\frac{ d \psi}{d\mathbf{C}} \mathbf{F}^T$ 在哪里 $\psi$ 单位质量的自由能是多少

然后
$\mathbf{\tau}=\mathbf{F}\left(\rho_0~\frac{ d \psi}{d\mathbf{C}}\right)\mathbf{F}^T$

因此
$\mathbf{F} \frac{d}{dt} \left(\mathbf{F}^{-1} \mathbf{\tau} \mathbf{F}^{-T}\right) \mathbf{F}^T = \mathbf{F} \frac{d}{dt} \left(\rho_0 \frac{d \psi}{d\mathbf{C}}\right) \mathbf{F}^T$

如果你把左边写成柯西应力和J的形式，你会得到特鲁斯德尔速率乘以J(我相信)，所以你除以J，你就完成了。rhs是本构eqn。对于高弹性所表明的真斯戴尔率(再次乘以或除以d，再乘以一个合适的因子)

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对数和其他欧拉速率

永久链接提交的Banerjee Biswajit周四，2007-09-27 16:10

阿米特,

谢谢你的评论。这可能会淹没在Henry Tan的学生的大量评论中，但我想提一下，我已经将我的有限元素课程中的一些笔记转换成wiki形式，并放在Wikiversity上。链接是

http://en.wikiversity.org/wiki/Nonlinear_finite_elements/Objective_stress_rates

(注意:我使用我自己编写的自动LaTeX到Wiki转换器来转换我的LaTeX文件。转换器可能还有bug。如果你发现任何看起来荒谬的东西，请改正。)

关于旋转欧拉应变率，安迪·诺里斯(Andy Norris)的以下论文是一个很好的资源，并将许多事情放在上下文中。

欧拉共轭应力和应变， $(ps)$
arXiv: 0708.2736

Biswajit

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客观的高弹性率

永久链接提交的Amit Acharya在星期四，2007-11-01 07:13

Biswajit,

那么你是否同意各向同性超渗性所提出的自然客观速率是基尔霍夫应力的真实esdell速率?

- - - - - -阿米特

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阿米特，就像你说的那样

永久链接提交的Banerjee Biswajiton friday, 2007-11-02 14:37

阿米特,

正如你之前提到的，Truesdell速率是基尔霍夫应力的李导数(前推/后拉操作由总运动的雅可比矩阵进行)。所以你的问题可以重新表述为:这个特定的李导数是否会导致一个“自然的”客观空间率?我不确定。

约翰·迪恩斯(John Dienes)多年来(例如:在这里而且这里)，主张在前推/后拉过程中只使用运动的旋转部分的李导数(即，等价于Green-Naghdi速率的旋转速率)。美国国家实验室使用的许多代码都使用Dienes的方法。在我天真的头脑中，这种方法似乎更自然，因为我有一种感觉，我可以想象正在发生的事情，这似乎是直觉。然而，在运动的李导数的背景下，仅仅使用旋转在数学上似乎不自然。

对于各向同性高弹性，我认为我们可以选择任何我们认为方便的速率。问题不在于速率本身，而在于我们如何为空间速率方程找到合适的材料常数。如果我们从圣维南-基尔霍夫材料开始，那么空间速率方程依赖于变形梯度．或者我们可以从空间构型中的总本构方程开始得到一个取决于变形梯度的材料速率方程。

我认为最简单的方法是通过实验找到物质或空间构型中的总本构方程然后使用空间/物质构型中功共轭所需要的速率和度量。

Biswajit

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任何价格均无优惠

永久链接提交的Amit Acharya星期五，2007-11-02 18:53。

Biswajit,

我同意你说的大部分内容，除了我的问题:不，我没有解决任何“自然”客观利率的问题。没有，因为速率之间的转换才是最重要的(就像我之前在imechanica上说过的)，它们之间的关系在速度梯度等方面是线性的。万博manbetx平台

因此，我对自然客观汇率的问题绝对不感兴趣——我认为这是一个不存在的问题。但我确实认为，各向同性超渗性在第一个例子中最自然地导致了Truesdell率(这可能是Truesdell提出它的原因)。

在全本构方程问题上，我与你意见不同。它可能绝对不可能确定一个初始应力体的总本构方程，其初始应力的来源是未知的。这样一个物体的低塑性仍然可以测量-这是Biot在任意应力状态下增量变形的基础工作背后的主要原因之一。

- - - - - -阿米特

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Truesdell率和1级低弹性材料

永久链接提交的Banerjee Biswajit在星期六，2007-11-03 21:58。

阿米特,

我被你用的“自然”这个词搞糊涂了。我重新阅读了你之前的一篇评论，在那里你展示了特鲁斯戴尔率可以从超弹性本构关系中一致地推导出来。我同意特雷斯德尔比率似乎是自然的。

我不知道Biot的增量变形研究背后的原因。事实上，除了那些关于孔隙弹性的论文外，我没有读过Biot的任何论文(尽管我知道Biot在材料稳定性的文献中被引用了很多)。你能给我指一些Biot的相关论文吗?或者你说的是1965年出版的《增量变形力学》?

我更关心的是具有两个弹性参数的各向同性材料，这两个弹性参数与变形梯度无关(或柯西应力-对于低弹性材料)。如果你看一下文献，大多数弹性速率方程都使用了0级的次弹性模型——这显然不是弹性的，也就是说，该模型不能从存储的能量势中推导出来。

显然，如果我们需要一个速率方程来描述我们的材料，并期望我们的材料具有弹性，一个简单的方法是使用一级的低弹性模型(例如，参见Truesdell和Noll的《力学非线性场论》中的99.19号方程，第404页)。我只是不知道如何设计一个实验，用已知的实验应力-应变数据来确定该模型所需的五个无因次材料常数。

Biswajit

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弹性应变大

永久链接提交的彼得·哈特利周四，2007-11-01 13:29

我饶有兴趣地阅读了您的评论，而且作为大弹性应变问题的新手，我希望您能澄清一下，在大(即拉伸比为1.4)速率无关弹性应变的情况下，对数应变的适当共轭应力是什么。

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模拟应变计

永久链接提交的hozhabrmodern周四，2011-11-17 16:29。

沪元

我试图得到我的模型的应变，并将其与应变片得到的实验结果进行比较。

所以，我不知道得到哪种类型的应变从输出历史。

谢谢。

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对数压力/旋转

永久链接提交的安德鲁·诺里斯星期二，2007-07-03 08:56。

Biswajit,

我真的没有资格给出明确的答案，因为我在这两个问题上都没有想过或做过太多。我的总体感觉是，如果同时存在乘法分解和加法分解的支持者，那么每种分解肯定都有一些优势。每一种不同的分解都是另一种运动学描述，应该受到欢迎!这让我想起了去年的一篇论文:

何庆昌，郑庆生，大不可压缩变形的分解，力学学报，2006。DOI 10.1007 / s10659 - 006 - 9080 - 2

作者指出，每一个不可压缩变形都可以分解成三个垂直的简单剪切，然后再旋转。这是一个分解的例子，它为变形的运动学提供了新的见解。另一个很好的例子是Boulanger和hayes的结果它扩展了极坐标分解的整个概念

张志刚，张志刚，张志刚，变形梯度的非剪切三阶分解和扩展极坐标分解，力学学报，36(1)，2001。

他们表明，极性分解只是一个特殊的情况下，更一般类型的分解基于物质方向的三元组:非剪切三元组。

至于低弹性，在我有限的经验中，它可能来自微观结构模型，例如颗粒组合(土壤模型)，所以在这些情况下使用它似乎很自然。这显然不适合大多数情况。

也许在这方面有第一手经验的人可以评论一下。

安迪

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回复:对数应变/自旋

永久链接提交的Banerjee Biswajit星期二，2007-07-03 15:46

安迪,

谢谢你的推荐信。我在博客上发表了一篇关于低弹性及其问题的文章http://万博manbetx平台m.limpotrade.com/node/1652．它并不全面，但应该让我们的读者对利害攸关的问题有一个想法。

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有趣的解决方案

永久链接提交的cliffjumber99周二，2013-04-02 08:46

我喜欢做那些令人困惑的问题，知道有方法是很神奇的

计算复杂和混乱程度的发展。我要试试这个

计算方法计算复杂度是我最喜欢的问题。

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