线性代数对力学的许多方面都很重要。几年来，我一直在使用希洛夫的书。但这本书是否适合推荐给学生，取决于他或她之前的经验。在StackExchange Mathematics上，有几个很棒的讨论线性代数教科书的帖子。提出了一项特别建议三级线性代数教材。你有什么建议吗?
亲爱的中国:
关于这个主题的经典是:
张志强，有限维向量空间，物理学报，1987。
我在佐治亚理工学院教授应用数学课程时，使用了以下书中的部分内容。
A. W. Naylor和G. R. Sell，线性算子理论在工程与科学中的应用，施普林格,2000年。
吉姆·诺尔斯写了一本更实用的书，可能更适合初学者。
http://www.amazon.com/Linear-Vector-Spaces-Cartesian-Tensors/dp/0195112547
问候,乔
亲爱的Arash:非常感谢。我有哈尔莫斯和诺尔斯的书，我都喜欢。我也喜欢盖尔芬的书这是Knowels强烈推荐的。我不知道奈勒和塞尔的书。的目录表亚马逊上的书看起来很有趣。你和你的学生喜欢这本书吗?
Gelfand的第四章专门讨论张量。他没有使用分量来定义张量，而是使用了一个多线性函数，定义域是向量空间和它的对偶的乘积。我喜欢用线性映射来定义张量的一般方法，但我不确定多元线性函数是否对我们的目的足够普遍。例如，应力张量是一个线性映射，它将面积矢量发送到作用在该区域上的力。这个映射的定义域和值域是两个不同的向量空间。
你觉得呢?
是的，我喜欢这本书。我在加州理工学院读研究生的时候读过这本书。
我认为这个定义很好也很普遍，即使对于压力也是如此。1)如果考虑柯西应力，它就是张量。它是一个线性映射，给出一个单位向量(法向面积元素)，给出作用在该面积上的力。力是一个矢量，它可以用平凡的欧几里得度规(甚至在更一般的空间中)用矢量来标识。2)如果你考虑第一个Piola-Kirchhoff应力它是一个两点张量。它是一个线性映射，给出了参考配置中的单位向量(与未变形区域元素的法线)，给出了变形区域(环境空间中的对流)上的力。这是一个两点张量，显然与变形梯度共轭。
同样，“域”和“范围”不必相同。
亲爱的Arash:听起来你和我的想法是一样的。我刚教完一门固体力学课程。我的笔记用你上面概述的方法描述名义重音和真实重音。因此，标称应力是将参考状态下的面积矢量发送到作用在当前状态下的面积上的力的线性映射。定义域和值域是两个不同的向量空间。
亲爱的Zhigang，我对iMechanica上的线性代数讨论很感兴趣。万博manbetx平台虽然我没有什么有意义的贡献，除了已经说过的，我想推荐一本书。
当我作为一名年轻的助理教授加入休斯顿大学时，刘易斯·惠勒教授我们的研究生必修数学课程序列(后来我也教了)。他非常相信深入地教授线性代数，也成功地让我相信了它对力学家的重要性。万博体育平台他在数学课上参考了几本书，然而，当我问他要一本基础课本时，他推荐了以下几本书;他经常使用:“正确的线性代数”http://www.amazon.com/Linear-Algebra-Right-Undergraduate-Mathematics/dp/..。
我很高兴看到你的帖子上也有一本完全相反标题的书!我几个月前读过《线性代数》，非常喜欢它。如果我没记错的话，它并没有涉及到张量，但它列出了所有的基础材料，既严格又容易理解
在一个最近出版的Jeevanjee写了一个简短的章节(3.4)，涉及两个不同的向量空间，但以一种非常具体的方式。这里有一个问题。我们能简单地说任何从一个或多个向量空间到另一个向量空间的线性映射都是张量吗?也就是说，线性映射和张量是同义的。
我没读过这本书但是张量是多线性映射。你当然可以有不止一个向量空间。连续介质力学中的一个例子是“变形梯度”，它是从参考配置中的矢量空间(参考配置中给定点X的切线空间)到环境空间中的另一个矢量空间(环境空间中X图像的切线空间)的线性映射。这是一个两点张量的例子。
亲爱的Arash:非常感谢。如果张量和向量空间之间的线性映射是一样的，我们也可以去掉“张量”这个词，或者直接用“张量”这个词作为“向量空间之间的线性映射”的简写。你也这么想吗?
是的，这是正确的。
Zhigang -你上面说的是正确的，除了我要补充一下，所讨论的空间是有限维的。无限维空间上的有界线性算子与有限维空间上的张量很接近，但即便如此，这也是一种不同的游戏。
我上传了几组唐·卡尔森笔记-我必须使用优化的pdf，否则文件大小太大。如果你看一下a .4章，多线性方法和将张量看作f-d向量空间和同一空间上的高阶张量空间之间的线性变换之间的联系都被详细说明了。
如果有兴趣的话，我也可以上传剩下的笔记。对于初学者来说，这绝对是美丽的东西，至少改变了一个人的生活....
亲爱的阿米特:谢谢你上传卡尔森的笔记。我已经下载了。
亲爱的阿米特:我通过了卡尔森笔记是你发在网上的。大师的精彩笔记!非常感谢你的好意。请你把剩下的便条贴上去好吗?我渴望学习它们。
在A4章中，Carlson在n维的线性空间上定义了一个m阶张量。他给出了几个定义。根据一种定义，张量是一个多线性函数，它将线性空间及其对偶空间中的几个元素映射到一维线性空间中的一个标量。
顺便提一下，这个定义也被盖尔芬德并通过Jeevanjee。
我觉得这个定义对机械师来说太严格了。万博体育平台我们通常使用线性映射来映射不同线性空间中的元素。例如，应力是一个线性图，它将一个面积矢量映射到作用在该面积上的力。面积向量是线性空间中的一个元素——也就是说，两个面积向量的线性组合是另一个面积向量。力是另一个线性空间中的一个元素。这两个线性空间是不同的:我们没有形成一个面积矢量和一个力的线性组合。
正如在与Arash的讨论中提到的，我觉得我们应该简单地将张量这个词与短语“将几个线性空间中的元素映射到另一个线性空间中的元素的多线性映射”等同起来。这个短语很长，但概念很简单。
这个更一般的定义将迫使我们为每个线性空间单独选择基。当然，在某些情况下，我们可以使不同线性空间中的基重合。
这个定义还允许映射中涉及的不同线性空间具有不同的维度。
不确定这种更普遍的定义是否为人们所接受。
Zhigang:我发现(高阶)张量的定义很有用，并且在力学中广泛使用，是A 4.1.1。而不是映射到r的多线性函数，使用张量的一个特征是定义域和上域不是相同的向量空间....
所谓的线性变换(例如Carlson a 2.4)具有你所寻求的一般性;事实上，由于维度的概念不需要与定义域和上域联系起来，这在力学中也很有用，就像线性微分算子一样。张量使用了更多的结构，因此在我看来，换一个名字是可以的。
不管怎样，最后，这些都是定义，重要的是要充分理解它们，用它们做一些合理的事情，不要太大惊小怪......
我引用了卡尔森指出：
Vn是一个n维内积空间。
A4.1.1定义。Vn上的m阶张量是Vn上的一个线性函数，它将Vn的元素映射成(m - 1)阶张量。
我们取0阶张量为标量;即R的元素，作为一个线性空间。1阶张量是Vn到R上的线性函数;也就是线性泛函。”
我觉得这个定义对机械师来说太严格了。在这个定义中，单个线性空间Vn占据了一个特殊的位置。例如，这个定义不包括有两个不同的向量空间U和V的情况。
特别地，这个定义不允许应力是张量。使用力平衡，我们可以证明应力是一个线性图，它将一个面积矢量映射到作用在该区域上的力。面积矢量是矢量空间中的一个元素，力是另一个矢量空间中的一个元素。这两个矢量空间是不同的:我们没有形成面积矢量和力的线性组合。
志刚:也许我误解了你想要表达的观点，但也可能不是。如你所知，经典连续介质力学中最常用的张量是2阶张量它取V_3到V_3的向量，这就是我们认为应力张量所在的空间。在你上面所说的，你想要不同的域和上域的向量空间吗?那么，即使是1阶张量也允许它们是不同的。如果你认为定义域是笛卡尔积，也可以用V_n来表示。
同意如果有人很挑剔的话，他可以说为什么以及如何将位置向量，速度，拉力等都写在(平移空间的)三维欧几里得空间的共同基础中(当他选择这样做时)将它们视为相同向量空间的成员;正是有了这种识别，应力作为二阶张量的经典定义才有意义。但我们都知道，这样做很好，我承认我没有认真考虑过这个问题。我相信，为了精确地做到这一点，我们隐含地利用了这些量的三维向量空间之间必然存在的同构性。如果我没理解错的话，你更愿意把位置向量和速度也看作是独立向量空间的元素?
另外，我已经按照你的要求上传了Carlson剩下的笔记。自然，线性动量与应力的平衡作为二阶张量在V_3到V_3之间得到了详细的计算。
此外，希尔的“固体力学中的不变性方面”文章中介绍连续介质力学的几页内容非常棒，与卡尔森的论述相辅相成。特别是，对于没有流形微分几何背景的人来说它很好地解释了对流导数。Hill再次利用了你可能不喜欢的识别(游戏邦注:比如“公共背景框架”)。
亲爱的阿米特:非常感谢你的讨论。你完全理解我，我相信我们意见一致。我对工作良好的东西感到高兴，但仍然希望了解它们为什么工作。
跟踪可能证明实践的步骤可能是有用的。
假设我们采用向量空间的定义在线性代数中。这个定义涉及到一个数字域K和一个集合V，以及两个操作:V中两个元素的相加，以及K中一个元素和V中一个元素的乘法。使向量空间成为一个有用的对象的是，V中两个元素的线性组合是V中的另一个元素。
我们希望将这个定义应用于物理对象，例如位移和力。我们都同意，我相信，这两个物体属于两个不同的向量空间。一个位移属于一个向量空间U，一个力属于另一个向量空间v。通过这些陈述，我们的意思是两个位移的线性组合是U中的另一个元素，两个力的线性组合是v中的另一个元素。在形成线性组合时，我们使用数字域K中的元素，取实数。
为什么位移的集合是一个向量空间?我想它是我们物质世界的一个模型。
但是我们的物理世界不允许我们形成位移和力的线性组合。如果我们尊重我们的物理世界和线性空间的定义，我们必须说位移和力属于两个不同的线性空间。
为什么力的集合是一个向量空间?我们也可以说它是我们物质世界的一个模型。
或者，我们可以把这个物理事实和其他物理事实联系起来。例如，我们可以从能量守恒定律开始，并试图找到一种方法来计算与空间运动相关的能量变化(即位移)。我们从经验中发现，有一个线性映射将U中的位移映射为标量，即能量的变化(即功)。我们称这个线性映射为力。因此，这个力是u的对偶空间中的一个元素，其余的，正如他们所说的，是代数。
非常感谢你的上传唐·卡尔森的课堂笔记。他们带回了对这个人的温暖回忆，他的学识和善良。我给你的帖子加了一条评论。我已经下载了笔记，并将从中学习。
你好中国:对我来说,工作、力、位移的例子至少提供了一种方法看为什么传统的力学解释工作,因为底层向量空间的内积和很容易看到为什么力可以被关联到一个向量在同一空间。(甚至是身体上的,我可以感觉到立即推比的方向和大小的东西从一个抽象的对偶空间位移联系我)。
然而，另一个问题是，为什么传统力学处理位置矢量、位移、速度、面积矢量、牵引力等都属于同一个矢量空间(当物理上我们不能真正添加位移和速度时)，似乎没有得到表征定理对偶性....的解决这甚至是在我们讲线性变换......之前这将是很好的知道，如果有人坐下来，并制定出逻辑仔细.....我想这也和量纲分析有关....
亲爱的阿米特:非常感谢你让我们关注“为什么传统力学会……”这个问题。以下是这种专注所激发的一些想法。
将我们的物理空间建模为向量空间。我们的物理空间不是在线性代数中定义的向量空间。然而，一旦我们在物理空间中选择一个点作为原点，我们就可以将物理空间中所有点的集合建模为实数域上的三维向量空间。这个向量空间的一个元素表示物理空间中一个点相对于原点的位置。
我们给这个向量空间增加了一个结构:一个内积。因此，我们用3D模型来模拟我们的物理空间欧氏空间。我们称这个向量空间为U。
很多人都讨论过这种物理空间模型。我们知道这个模型并不能准确地表示我们的物理空间，但我们将接受这个模型作为一个近似的表示。
向量空间的一组基。因为U是一个向量空间，所以U中任意两个元素的线性组合仍然是U中的一个元素。我们可以选择U中任意三个线性无关的元素作为一组基。我们可以用内积来表示长度和角度。进一步，我们可以在向量空间中选择三个正交元素作为基。
力。我们讨论过力。如果我们愿意从能量守恒定律开始，那么力是一种计算物理空间中与运动相关的能量变化的方法。具体来说，力是一个线性映射，它将两个位置的差映射为能量的差。(如果变化是平滑的并且两个位置彼此靠近，则地图是线性的。泰勒展开。)
能量是一个标量，两个位置的差是一个矢量，U中的一个元素，因此，力是另一个矢量空间V中的一个元素，但是U和V是对偶空间。如本文所述维基百科页面双空格，我们可以选择V的对偶基，因为U是一个欧几里德空间，它的对偶空间V也是一个欧几里德空间。此外，我们可以选择V的基与U的基重合。
速度。速度是位置之差除以时间变化量。因为时间是标量，速度的集合是另一个欧几里德空间。我们可以选择这个空间的基与U的基重合。
电场。电场是一个线性图，它将位置的差映射为电势的变化。和力一样，电场是U的对偶空间中的一个元素。
还有别的向量吗?上面所有的例子都与位置空间u有关，那么与物理空间无关的向量呢?假设我们有另一个三维向量空间M, M中任意两个元素的线性组合就是M中的另一个元素。我们不希望利用M和U之间的任何关系，除非它们都是三维向量空间。
我们可以在M中选择三个线性无关的元素作为M的一组基，我们没有办法将M的一组基与U的一组基联系起来。
那么问题是什么呢?这里有一个可能的例子。假设我们发现了一个线性映射a，它将U中的一个元素映射到M中的一个元素。一旦我们为U选择了一组基，为M选择了一组基，我们就可以将a表示为一个有9个分量的矩阵。如果我们分别改变这两个碱，A的分量也会相应改变，就像A一样两点张量。如果我们愿意，我们总是可以选择用同样的方式改变这两个基，通过使用一个矩阵进行变换。这样，A的分量就会像普通张量一样变化。
真正的压力。在这个观点中，甚至真正的应力也是一个两点张量，因为真正的应力是一个线性映射，将一个面积矢量映射到作用在该面积上的力。面积矢量属于一个矢量空间，力属于另一个矢量空间。应力是一个线性映射，是由力的平衡建立的，与我们如何选择向量空间的基无关。按照惯例，我们选择使两个向量空间的基底重合。但是我们也可以这样做，为两个向量空间选择不同的基底。碱基的选择没有物理后果。
总结。传统的机制通过一种惯例来解决这个问题:使不同向量空间的基以相似的方式变换。
志刚:在“速度”中，您提到“我们可以选择这个空间的基础与u的基础相吻合”。因为没有唯一的基础可以选择，在任何情况下，速度仍然是速度和位置，位置，在这个讨论的背景下，我认为这种情况最好还是留作一般的M情况，你们之后会讨论。
你试图描述的线性映射A是一个同构，我在之前的评论中提到过在两个等维的有限维向量空间之间。对我来说，首先必须为每一对空间发现这样一个物理上有意义的映射。否则，就会有无限多的机制可以构建，因为物理学并不关心惯例，也就是说，物理结果必须是不变的，而不是惯例的选择，它需要证明你在速度和位置向量的空间之间选择的地图a (a与两个空间中的基无关)，以及我在相同空间之间选择的另一个地图a保持我们想要做的所有机制不变……或者，我看不到一个物理上有意义的线性地图，将每个可能的位置向量与相应的速度向量联系起来....即使我知道，我也不确定你或第三人会在多大程度上接受这是唯一的选择。所以看起来证明映射A的不同选择的不变性可能是可行的方法，这需要一些仔细的推理，我可能不会在力学课上打字，所以这告诉我，如果我要进一步讨论这个问题，我最好把我的行动集中起来，单独做一些认真的思考，然后如果我有什么有意义的进一步说的话。万博manbetx平台
在那之前，致以我最诚挚的问候，
- - - - - -阿米特
亲爱的志刚和阿米特:
谢谢你的有趣讨论。只是一些想法:
让我们考虑一个非常简单的例子。在欧几里德三维空间中运动的粒子。位置矢量x(t)在任意时刻t可以写成关于经典笛卡尔基向量{我，j，k}。如果你现在求导x(t)关于时间，就得到了速度v(t)对于相同的基{我，j，k}。我们认为位置矢量和速度矢量都在同一线性空间中。但是要理解我们不能加上位置矢量和速度矢量因为它们有不同的物理维度。
还要注意，当使用曲线坐标时，自然基将具有不同的物理尺寸，因此矢量的分量可能没有正确的物理尺寸，例如在球坐标中。在这里，我们必须使用所谓的物理组件。
如果这个粒子在弯曲空间中运动，那么位置向量甚至没有定义。然而，速度是有定义的，在任何给定的时间t，它位于该点与周围空间的切空间中x因此，在这种情况下，甚至不能提出添加“位置”和速度矢量的问题。
我们把某一点速度的线性空间叫做x(5)利用能量或功率的变化率，速度和力是对偶的(正如志刚所说的力和位移也是对偶的)。力存在于V的对偶空间，即V*。这是一种形式的空间或者说是协向量。选择V的一组基，就有V*的自然对偶基。一般来说，它们具有不同的物理尺寸。V和V*的元素之间存在一种自然的配对，这种自然的配对不需要内积(或度规)。一个内积(度量)推导出V和V*之间的同构，即人们可以识别这两个线性空间。注意，一般来说，这个等距从一点到另一点是变化的。
给定两个线性空间V和W，一个同构是一个一一上的线性映射。如果您在V的基础上指定映射，则映射是唯一定义的。这两个向量空间是同构的并不意味着你可以把V上的向量和w上的向量相加，从这个意义上说，把力的线性空间和速度的线性空间等同起来并不意味着你可以把这两个向量相加。
我认为柯西应力是张量在卡尔森教授的笔记中使用向量和协向量的同构。人们甚至不需要担心确定力和速度的线性空间。柯西应力可以简单地用一组协向量表示(并且是明显对称的)。然而，我再次同意Zhigang的观点，即对于力学应用，我们应该在一系列不一定相同的线性空间上使用多线性地图。最明显的例子是变形梯度和第一皮奥拉-基尔霍夫应力。
嗨，Arash:关于你的评论，我想说几句:
1.“我们认为位置矢量和速度都是矢量同样的线性空间。但是要明白我们不能加位置矢量和速度矢量有不同的物理性质维。”
这是问题的关键，因为它听起来像是一个矛盾的术语。理想情况下，我们希望能够说，如果两个物体生活在同一个线性空间中，那么它们绝对应该是“可加的”，如果不是，那么它们就不属于同一个线性空间。
2.“如果这个粒子在弯曲空间中运动，那么位置向量甚至没有定义。”
我明白你的观点和背景，但我要唱反调，只要有一个好的、物理的嵌入空间，一切都很好。例如，三维空间中的二维壳，当然，我们用壳上的位置向量来做很好的力学。
3.给定两个线性空间V和W，同构是一对一和映上的线性映射。如果你在V的基础上指定映射，那么映射是独特的定义。两个向量空间同构并不意味着你可以把V中的向量和w中的向量相加力和速度的线性空间并不意味着你可以把两个加起来。”
对于任何线性变换(至少在有限维空间上)，是否同构，显然，知道它在基上的作用就完全决定了它。然而，所有线性变换(在fd空间上)的这个性质显然不能唯一地选择其中的任何一个。
利用同构的目的不是将来自不同空间的向量相加。我们的目标是只处理一个空间，并希望能够利用同构性提供的识别，通过这个空间来处理与另一个空间相关的力学。
4.“然而，我再次同意志刚的观点，对于力学应用来说应该在线性空间的集合上使用多线性映射吗不一定是相同的。最明显的例子就是变形梯度和第一皮奥拉-基尔霍夫应力。”
既然这只是一个观点，让我从实际经验中分享我的观点。我遵循了美丽的非线性壳理论(关于Antman, Fox-Simo等)，完成了一些理论，并且在没有考虑多线性地图的情况下执行了一些数值。任何做过壳理论的人都会立即意识到，你必须通过考虑参考和目标壳上相应点的切线空间来处理壳上的变形梯度，但我不认为这是使多线性映射观点成为力学应用中必不可少的理由......它就是它，只是一种观点。
亲爱的阿米特:
谢谢你的评论。我想我想理解的主要是第一句话(我非常同意你的其他评论)。我不确定这是否是解但是我们可以考虑相同线性空间的两个副本。换句话说，位置矢量和速度矢量存在于同一线性空间的两个副本上。这意味着你甚至不能从数学上把两个副本的向量相加。
这种相同线性空间的不同拷贝的概念在微分几何中很明显。给定一个n流形，任意点的切空间是一个n维线性空间。同一线性空间在不同的点上有不同的拷贝。这些线性空间都是同构的但是你不能把来自同一线性空间的不同拷贝的向量相加。允许你这样做的额外结构是“连接”。当然只是一些想法。
嗨乔,
我当然同意你所说的线性联系，但这将我们带到了流形的微积分中而在这个讨论中，所有东西在某种意义上都是在一个切空间中
事实上，在我看来，这就是对不同线性空间的大惊小怪真正开始产生影响的地方，人们必须采取立场。举个例子，假设我们在线性代数上小题大做，然后当我们必须做微积分时，我们采用线性动量平衡，并开始添加来自不同切线空间的牵引向量(后者我非常乐意这样做，并且已经接受了，我也不会在线性代数上大惊小怪)，那么在做代数时，最初的小题大做是什么?我知道你在弹性协变化方面的工作，所以你似乎总是“大惊小怪”，这是我喜欢的——(这是一个笑话，不要太在意)。
嗨，志刚和阿拉什:
这是一个我还没有完全检查过逻辑一致性的想法:
一个是一个线性空间，比如说，维度为3，它包含了没有物理维度的物体。
假设我们现在有一组基本的物理单位。然后，我们对每个感兴趣的3维物理向量空间的每个元素进行适当的非量纲化——位置向量、速度、面积向量、牵引力等空间。对于这些物理向量空间中的每一个，这种非量纲化行为会导致它们与非量纲向量空间之间的映射(例如，DND映射)。
然后我们在无维空间上做线性代数和力学，在此基础上定义张量等。为了解释结果，我们返回，使用相应的DND映射到相关向量空间的逆。
DND映射可能是同构关系——我没有仔细检查。但即使他们不是，这似乎也是正确的身体选择。此外，通过力学定律对基本单位的选择的不变性，隐含力学在所有可能的选择中都应该是不变性的，这些选择是用来诱导DND映射的基本物理单位集。
也许这就是我们把位置矢量、速度、牵引力等放在同一个矢量空间中的力学暗示。
嗨,阿米特,
如果我没理解错的话，你的意思是，让我们看看同一线性空间的不同副本(使用你的DND映射)，每个感兴趣的量都存在于一个副本中。你觉得呢?
是的，我就是这个意思。当然，这次讨论的主要问题是需要思考的是构建副本的方式，因为有无数种方法可以做到这一点，人们想要找到一种与我们在连续介质力学中的常规做法一致的方式，后者当然是明智的，因为它的结果很重要。
我发现DND映射的有趣之处在于，通过维度一致性，它们连接了不同的副本——它们不能从完全任意的同构中生成。
我找到了一台旧的iMecha万博manbetx平台nica两点张量上的线程，如变形梯度和标称应力。在那个帖子里，我刚刚添加了一个新的评论来描述我是如何教这门课的。
亲爱的中国,
Map是一个动作。没人需要把张量定义为动作。它可以被定义为一个对象——类似于向量。没有地图就没有问题:)
Kosta
地图也是对象。在线性代数中，张量被定义为线性映射。请看下面的评论:线性代数做错了。
更重要的是，我们力学家一直在用线性映射来定万博体育平台义张量。下面是一些熟悉的例子:
也许你和我用的词不同，但我们的意思是一样的。我在我的注释中描述了这些定义有限变形。
不完全是。通过它们的操作来定义映射。对象由其属性定义。你不需要映射向量到向量来定义张量。你可以通过张量分量的变换特性来定义张量(就像列维-西维塔所做的那样)。或者你也可以把张量定义为对和和等的线性组合。它们可以用于映射，但它们的定义不需要映射。
亲爱的科斯塔:那好吧。请概述一下你是如何证明应力是张量的。
志刚，柯西应力被定义为三个矢量的并矢积的和——参见我的讲义(3.21)软质活性材料力学因此，它是一个张量。
谁授权柯西把压力定义为二对的和?
亲爱的科斯塔:你的笔记软质材料力学是美丽的。今天写信给你，让我想起了我们第一次见面的情景。2006年8月，在布朗大学，在庆祝艾伦·尼德曼和维戈·特维加德60岁生日的研讨会上。还是我们第一次见面?无论如何，你已经深入了解了软材料的力学，而我还是个硬汉。我们在执行不同的招募任务。你在说服我，软材料的力学即将到来。我在说服你我的机械师会来。万博manbetx平台
事实证明，我们俩都不需要太多的劝说。你成为了iMechan万博manbetx平台ica的第134位用户，而且是一位直言不讳的用户。你让我很为难我的第一篇万博manbetx平台论文是关于软材料的力学。我在2027年1月1日发表了这篇论文，您在第二天对这篇论文发表了第一次评论。您的评论给我和我的学生留下了深刻的印象。谢谢你！
现在回到问题上来，谁给了柯西把应力定义为张量的权力，就像我们今天所说的?
在我看来，答案是欧几里得，牛顿，以及发明张量概念的人。“应力是张量”的说法是几何、力学和代数的综合结果。
在你的笔记，通过力平衡和几何，你得到(3.17)式。这个方程说作用在面积上的力在面积矢量上是线性的。
剩下的，就像他们说的，就是代数了。面积向量是向量空间中的一个元素。力是另一个向量空间中的一个元素。式(3.17)表示存在一个线性映射，将一个面积向量映射到作用在该面积上的力。
在线性代数中，我们称向量空间之间的线性映射为张量。
在力学中，我们称这种特殊的图为应力。
顺便提一下，面积矢量和力之间的线性映射的存在性可以不使用任何基来建立。我给出了这样的推导我关于有限变形的笔记。这种推导既适用于名义应力，也适用于真实应力。
新年快乐!愿在更多的新年里，我们有更多相互交谈的快乐回忆。
谢谢你给我带来的美好回忆:)
也祝你新年快乐!
让我们把旧的讨论带入新的一年。
我是iMechanica的忠实粉丝—万博manbetx平台—我从中学习(不只是你的学生这样做)。我有一种感觉，你正在成为一名数学家。这是一个危险的过程，我会尽量在5月份放慢速度:)
我的同事,迈克尔·布伦纳是在传播智慧
志刚:我发现Strang的书(你的链接中列出的书之一)是一本很好的线性(矩阵)代数入门书。它很容易被任何工程专业的本科生/研究生访问。尽管你可能在寻找一本更高级的教科书(链接到张量代数和力学)，我还是想把斯特朗的书插进去。除了必要的数学，这本书的显著特点是一个清晰的呈现，与几何作为辅助，在线性代数的主要概念(行和列空间的作用)。有了这本书的知识，学生将更好地准备掌握线性代数中更高级的主题。
谢谢你苏库。我听说了斯特朗著我还没有研究过。学生们对他在麻省理工学院讲课的视频。
我想支持苏库对斯特朗的支持。这是一篇写得很清楚的文章，我相信工程师和数学家都能读懂。顺便说一句，斯特朗是对有限元法进行数学分析的先驱之一，所以那些对这一学科感兴趣的研究人员可以通过他的线性代数教科书来熟悉斯特朗的风格。
我读过上面提到的Naylor & Sell和Jim Knowles的书。他们两个我都喜欢。此外，我发现霍恩和约翰逊的书非常有用。然而，它不是一本介绍性的书。Peter Lax有一本线性代数的书，我还没有读过，但如果你能从他的功能分析书的清晰风格中归纳出来，那将是很好的。
在我上面列出的那些书中，只有诺尔斯的书讨论了张量。Mort Gurtin的连续介质力学书中有很多关于张量代数和微积分的连续介质力学的内容。
Kaushik新德里
亲爱的Kaushik:谢谢你的建议。霍恩和约翰逊写的那本书在我书架上已经放了很多年了，但我从来没有抽出时间去研究它!你的推荐使我现在对这本书产生了兴趣。看了你的评论后，我发现这本书有一个缺点第二版最近。
斯特朗让人大开眼界。他对这个主题给出了直观的几何观点。数学家不喜欢他，但我强烈推荐斯特朗给任何物理学家或工程师。
斯特朗在一篇短文中评论了我们对教育时间的分配:微积分太多，线性代数太少。
1953年，法国数学家琼Dieudonne写在书评：
“线性代数现在被普遍认为是现代数学家最重要的工具;而且，它的概念和方法，如果适当地归结到它们的本质特征，是可以想象到的最简单和最直接的。然而，研究生对线性代数的一些基本概念完全不熟悉，比如对偶理论，仍然是很常见的。”
我想知道在过去的60年里是否发生了什么事情，可能会导致他重写上面的句子。
肯定。对于一个机械万博体育平台师来说，我认为线性代数和(凸)优化的坚实基础是无价的。通过对Strang列出的矩阵代数概念的清晰理解，可以简化对有限维函数空间的理解。从斯特朗的书中，我发现把Ax看作是列的线性组合(通常是行-图)是最重要的信息。他的在线讲座非常清晰。力学中的变分方法通常用一组线性无关的基函数在有限维环境中求解(例如，伽辽金方法)。最终的结果是一个需要求解的线性方程组Ax = b;由于A是由基函数的合适的“内积”形成的，线性代数的工具可以用来提供一种数学上合理的方法来构造A虚元法采纳这一观点。
Strang的替代品:布朗-线性代数第二课程Hoffman & Kunze -线性代数
中国:
我通常会推荐我的博士生去上Arash的应用数学课程。我还开发了一门独立的固体力学基础课程，旨在使一年级研究生在统一和现代的框架内接触到该领域的广泛主题。我必须在课程开始的时候讲一些基本的张量代数。我发现这本书被偷了Tadmor等人谈连续介质力学(第2章)以一种工程师可以理解的方式介绍了这个主题，同时又不牺牲太多的严谨性。
Julian J. Rimoli
谢谢你提出一个重要的话题。我在本科阶段(大二和大三)教授两门连续介质力学课程，需要在线性代数、张量微积分的严谨性和连续介质力学的应用方面取得平衡。j.n.r reddy的书《连续介质力学原理》是从本科生的角度写的。
我同意朱利安上面对塔德莫尔、米勒和艾略特合著的书的评论;它有必要的基本张量写在一个清晰的方式。在过去的几年里，我一直致力于为这些课程定制课堂笔记，这些课程依赖于几个资源。我发现一些非常有用的参考资料是:
1.Rohan Abeyaratne的讲义:http://web.mit.edu/abeyaratne/lecture_notes.html
2.连续介质力学导论(马尔文)
3.连续体的力学和热力学(Gurtin Fried and Anand)
Ray Bowen关于线性代数和连续介质力学的详细笔记也可以在网上找到http://rbowen.tamu.edu/。
~ Shailendra
尊敬的索教授:
作为一名数学专业的本科生，我使用的教材是Roger A. Horn和Charles R. Johnson的《矩阵分析>》。我想简单地提一下这本书，以补充人们已经推荐的一套伟大的书。这本书在数学上有点重，但它是一本关于线性代数的优秀的第二本书。定义清晰，讨论简洁，证明完整，使本书非常适合参考。
它详细讨论了对角化、共对角化、三角化和各种矩阵分解的确切条件，这对于推导力学和物理学的一般理论非常有用。
http://www.amazon.com/Matrix-Analysis-Roger-A-Horn/dp/0521386322
我刚刚添加了一个评论，标题是“生成新张量的方法”。我想这个配方就是机械师们经常“发现”或“创造”新张量的方法万博体育平台。
据我所知，这本书对我们大学数学系和物理系的初学者有广泛的读者。
大多数为工科学生编写的线性代数教科书可能会忽略线性空间的数学方面。虽然《正确的线性代数》这本书只是一本入门书，但它以简洁的公式和具体的例子完整地涵盖和描述了有限向量空间的所有基本知识。
这本书的优雅安排，即，抽象的公式，证明与具体的例子相结合，使它甚至对只有基本微积分知识的学生也很容易理解。电子版可通过以下链接下载。
http://ishare.iask.sina.com.cn/f/6443278.html?sudaref=www.baidu.com&retcode=0
真诚
这是鲍文大学数学家谢尔盖·特雷伊(Sergei Treil)写的一本书的书名。
他指出，这本书是为数学高级学生开设的线性代数的第一门课程。他把这本书传到网上。我拥有2004年版已经有一段时间了，我很喜欢这本书:优美的版式、精心排列的思想和精湛的教学方法。这是一本大约200页的小书。
今天早上我去了他的网站，找到了2009年的版本!在这个新版本中，他增加了关于对偶空间和张量的一章。
他是这样定义张量的:
不知道为什么他不止步于2，简单地将张量定义为从向量空间到另一个向量空间的多线性映射。尽管如此，在书的后面几页，他确实证明了从一个向量空间到另一个向量空间的线性映射也是张量。
我相信机械师一直在从已知的张量万博体育平台中“发现”或“创造”新的张量，正如我在其他地方评论的那样:生成新张量的方法。我们在2处停止。
请也看看上面Arash, Amit和我之间的讨论。
Hi Zhigang:我还没有时间去看你提到的那本书，但是这里有一个猜测，为什么定义一个人需要的东西(例如二阶张量，高阶张量)是很有意义的，尤其是在做力学的时候——它最终是为了做一个人想做的力学。如果只需要二阶张量，就可以这么做。如果需要高阶张量(至少从科瑟拉兄弟的时代开始，在连续介质力学中，通过格林-里夫林、诺尔、特鲁斯戴尔等人;当然，线性弹性甚至在那之前就出现了)，人们对它使用逻辑上令人满意的定义，然后继续生活。根据这些例子，我不会说机械师止步于2阶。万博体育平台
至于“常规地”创造“/”发现“新张量”——我觉得有必要在你的陈述中补充一点，尽管任何受过一点基础训练和良好感觉的机械师都能理解不同定义之间的等价性，从而对他/她的学科有更深的理解，但在这门课上，没有人认为提出这样的定义本身就是一项成就，也没有万博体育平台人认为在等价定义中某个特定定义更好。此外，他们对这些定义的态度也是完全不可知论和唯利是图的——他们学习所有这些定义，并在特定情况需要时有效地部署(所有)这些定义。
最后一点，我们不要忘记引入张量的纯基于分量变换规则的方法我们还没有讨论过。同样，这是一个等价的定义，如果我们告诉爱因斯坦引入张量的多线性方法是考虑张量及其在力学中的应用的方法，他会对我们非常生气或者认为我们很无知。
亲爱的阿米特:很抱歉我说得不清楚。当我写“我们基本上停止在2点”时，我的意思是在评论中列出的定义中停止在2点。也就是说，我们本质上止步于以下一点:张量是一个映射V1, V2，…中的元素的多线性映射。这个定义，当然，让我们超越二阶张量。
我相信Treil书中张量的定义比我们通常使用的更广泛。例如，这个定义将允许张量的分量形成一个矩形矩阵，而不是局限于一个方阵。也就是说，这个定义并不等同于我们通常采用的定义。
我喜欢你的精神:一切都可以，只要我们把机械做好。
我没有看过这本书，但我认为我们并不局限于用相同维数的线性空间来定义张量。例如，壳的变形梯度是从二维矢量空间到三维矢量空间的线性映射。它是一个两点张量它的矩阵表示不是方阵。
我同意阿米特的观点，人们不应该过于担心哪个定义更好或更通用。我想说，一个人应该使用适合于应用兴趣的东西。
亲爱的Arash:非常感谢你的评论。我相信你和我都很乐意这样定义张量
我不认为这个定义在力学家中被普遍接受。
这个说法是社会学的，而不是科学的。只要看看现有的教科书，就能充分证实这种说法。例如Tadmor-Miller-Elliot限制V1, V2，…Vp是相同维数的向量空间。它们的定义等价于卡尔森指出(定义A4.1.1)。我们可以列出很多力学教科书，它们给出的定义与塔德莫-米勒-艾略特的定义相同。
你知道有哪本力学教科书采用了上面的定义(第1点和第2点)吗?他们一定是极少数。这就是我的意思，这个定义不被机械师普遍接受。万博体育平台
这个定义是(上文第1及2点)对我们的基本需求来说太笼统了?这是有争议的。但有一点是肯定的。正如你和我之前讨论过的，这个定义很好地适应了连续介质力学中两个最基本的张量:应力和变形梯度。让我再次列出我们的步骤(对于希望了解更多细节的人，请查看我的有限变形注意事项)：
定义(第1点和第2点)的特殊情况。将一个向量空间中的元素映射到另一个向量空间中的元素的线性映射是张量。
压力。通过平衡力，我们找到一个线性映射，将一个面积矢量映射到作用在该面积上的力。面积矢量是一个矢量空间中的元素，力是另一个矢量空间中的元素。我们称这个线性映射为应力，它符合我们对张量的定义。
(顺便说一下，这里我使用面积向量，而不是垂直于面积的单位向量，因为后者不能形成向量空间:两个单位向量的线性组合通常不是另一个单位向量。)
变形梯度。通过均匀变形几何，我们找到了一个线性映射，该映射将材料粒子的直线段从参考状态映射到当前状态。处于参考状态的段是一个矢量空间中的元素，而处于当前状态的段是另一个矢量空间中的元素。我们称这个线性映射为变形梯度，它符合我们对张量的定义。
相比之下，我们必须做一些调整来使这两个对象符合张量的传统定义。我们为什么要这么做?再说一次，这是一个社会问题，而不是一个科学问题。
R.W.奥格登(R.W. Ogden)的书(非线性弹性变形)对张量的定义与Carlson笔记(第43页)中所做的非常相似。我还想说，这是一本专注于寻找非线性弹性的精确解的好书。
马斯登和休斯(弹性数学基础)区分了张量(第65页)和两点张量(第70页)。我认为他们没有定义任何更普遍的东西，因为他们没有发现它在弹性的背景下有多大用处。
Green和Zerna(理论弹性)根据坐标变换以及在这种变换下张量分量的变化来定义张量(Amit已经提到了这一点)。
亲爱的Arash:非常感谢。在连续介质力学的教科书中列出张量的定义是很有趣的。当然，作者可能有比他们写在书里的更复杂的想法。我们正在进行现象学研究。我认为，教科书上的内容是我们教给学生的内容的合理代表。
我看过以下几本书:
在我们看过的所有书中，只有Marsden-Hughes允许不同向量空间之间的映射。
以下是我的看法:
参考点或变形壳的切线映射从二维空间到三维空间;因此矩阵的表示是矩形的。
变形梯度从一个二维切空间到另一个不同的二维切空间(一个空间中的向量通常不在另一个空间基的线性跨度内)。因此它的矩阵是2x2的平方，在卷积坐标中的“规范”表示是2x2单位矩阵。
我错过什么了吗?
志刚:这是对你刚才发言的回应。
三维矢量空间V_3上的三阶张量在连续介质力学的直接表述中(比如la Carlson)是从三维空间到V_3上的二阶张量的3x3 = 9维空间的线性变换。因此它在基底上的表示法就得到了一个9 × 3的矩形矩阵。类似地，这个张量的转置是从二阶张量的9维空间到3维空间的线性变换——得到一个3 x 9矩阵。
所以我们在连续介质力学中所做的，在需要的时候，很自然地，会得到矩形矩阵(不像你说的那样)，但很明显，这些都是琐碎的细节，不要大惊小怪。
对于连续介质力学中三阶张量的一些重要实际应用，有直接的公式定义:
http://www.万博manbetx平台m.limpotrade.com/node/15585
大家好，感谢你们富有成果的讨论，我怀着极大的兴趣关注着你们的讨论。我已经更新了课堂讲稿在iMechan万博manbetx平台ica的网页上，可以下载“力学数学”部分讨论中提到的线性代数的课堂讲稿。
这条线已经变得非常有趣和很长。我还有一件事想听听你的意见。它是关于标量的。我刚刚贴了一张便条，标题是标量错误。
评论
关于线性代数的教科书
亲爱的中国:
关于这个主题的经典是:
张志强，有限维向量空间，物理学报，1987。
我在佐治亚理工学院教授应用数学课程时，使用了以下书中的部分内容。
A. W. Naylor和G. R. Sell，线性算子理论在工程与科学中的应用，
施普林格,2000年。
吉姆·诺尔斯写了一本更实用的书，可能更适合初学者。
http://www.amazon.com/Linear-Vector-Spaces-Cartesian-Tensors/dp/0195112547
问候,
乔
向量空间和张量
亲爱的Arash:非常感谢。我有哈尔莫斯和诺尔斯的书，我都喜欢。我也喜欢盖尔芬的书这是Knowels强烈推荐的。我不知道奈勒和塞尔的书。的目录表亚马逊上的书看起来很有趣。你和你的学生喜欢这本书吗?
Gelfand的第四章专门讨论张量。他没有使用分量来定义张量，而是使用了一个多线性函数，定义域是向量空间和它的对偶的乘积。我喜欢用线性映射来定义张量的一般方法，但我不确定多元线性函数是否对我们的目的足够普遍。例如，应力张量是一个线性映射，它将面积矢量发送到作用在该区域上的力。这个映射的定义域和值域是两个不同的向量空间。
你觉得呢?
Re:向量空间和张量
亲爱的中国:
是的，我喜欢这本书。我在加州理工学院读研究生的时候读过这本书。
我认为这个定义很好也很普遍，即使对于压力也是如此。1)如果考虑柯西应力，它就是张量。它是一个线性映射，给出一个单位向量(法向面积元素)，给出作用在该面积上的力。力是一个矢量，它可以用平凡的欧几里得度规(甚至在更一般的空间中)用矢量来标识。2)如果你考虑第一个Piola-Kirchhoff应力它是一个两点张量。它是一个线性映射，给出了参考配置中的单位向量(与未变形区域元素的法线)，给出了变形区域(环境空间中的对流)上的力。这是一个两点张量，显然与变形梯度共轭。
同样，“域”和“范围”不必相同。
问候,
乔
应力是从面积矢量到力的线性映射
亲爱的Arash:听起来你和我的想法是一样的。我刚教完一门固体力学课程。我的笔记用你上面概述的方法描述名义重音和真实重音。因此，标称应力是将参考状态下的面积矢量发送到作用在当前状态下的面积上的力的线性映射。定义域和值域是两个不同的向量空间。
线性代数做对了吗?
亲爱的Zhigang，我对iMechanica上的线性代数讨论很感兴趣。万博manbetx平台虽然我没有什么有意义的贡献，除了已经说过的，我想推荐一本书。
当我作为一名年轻的助理教授加入休斯顿大学时，刘易斯·惠勒教授我们的研究生必修数学课程序列(后来我也教了)。他非常相信深入地教授线性代数，也成功地让我相信了它对力学家的重要性。万博体育平台他在数学课上参考了几本书，然而，当我问他要一本基础课本时，他推荐了以下几本书;他经常使用:“正确的线性代数”
http://www.amazon.com/Linear-Algebra-Right-Undergraduate-Mathematics/dp/..。
我很高兴看到你的帖子上也有一本完全相反标题的书!我几个月前读过《线性代数》，非常喜欢它。如果我没记错的话，它并没有涉及到张量，但它列出了所有的基础材料，既严格又容易理解
线性映射和张量
在一个最近出版的Jeevanjee写了一个简短的章节(3.4)，涉及两个不同的向量空间，但以一种非常具体的方式。这里有一个问题。我们能简单地说任何从一个或多个向量空间到另一个向量空间的线性映射都是张量吗?也就是说，线性映射和张量是同义的。
Re:线性映射和张量
亲爱的中国:
我没读过这本书但是张量是多线性映射。你当然可以有不止一个向量空间。连续介质力学中的一个例子是“变形梯度”，它是从参考配置中的矢量空间(参考配置中给定点X的切线空间)到环境空间中的另一个矢量空间(环境空间中X图像的切线空间)的线性映射。这是一个两点张量的例子。
问候,
乔
张量是向量空间之间线性映射的简写
亲爱的Arash:非常感谢。如果张量和向量空间之间的线性映射是一样的，我们也可以去掉“张量”这个词，或者直接用“张量”这个词作为“向量空间之间的线性映射”的简写。你也这么想吗?
Re:张量是向量空间之间线性映射的简写
是的，这是正确的。
问候,
乔
张量等。
Zhigang -你上面说的是正确的，除了我要补充一下，所讨论的空间是有限维的。无限维空间上的有界线性算子与有限维空间上的张量很接近，但即便如此，这也是一种不同的游戏。
我上传了几组唐·卡尔森笔记-我必须使用优化的pdf，否则文件大小太大。如果你看一下a .4章，多线性方法和将张量看作f-d向量空间和同一空间上的高阶张量空间之间的线性变换之间的联系都被详细说明了。
如果有兴趣的话，我也可以上传剩下的笔记。对于初学者来说，这绝对是美丽的东西，至少改变了一个人的生活....
谢谢你的卡尔森笔记
亲爱的阿米特:谢谢你上传卡尔森的笔记。我已经下载了。
张量的更一般的定义?
亲爱的阿米特:我通过了卡尔森笔记是你发在网上的。大师的精彩笔记!非常感谢你的好意。请你把剩下的便条贴上去好吗?我渴望学习它们。
在A4章中，Carlson在n维的线性空间上定义了一个m阶张量。他给出了几个定义。根据一种定义，张量是一个多线性函数，它将线性空间及其对偶空间中的几个元素映射到一维线性空间中的一个标量。
顺便提一下，这个定义也被盖尔芬德并通过Jeevanjee。
我觉得这个定义对机械师来说太严格了。万博体育平台我们通常使用线性映射来映射不同线性空间中的元素。例如，应力是一个线性图，它将一个面积矢量映射到作用在该面积上的力。面积向量是线性空间中的一个元素——也就是说，两个面积向量的线性组合是另一个面积向量。力是另一个线性空间中的一个元素。这两个线性空间是不同的:我们没有形成一个面积矢量和一个力的线性组合。
正如在与Arash的讨论中提到的，我觉得我们应该简单地将张量这个词与短语“将几个线性空间中的元素映射到另一个线性空间中的元素的多线性映射”等同起来。这个短语很长，但概念很简单。
这个更一般的定义将迫使我们为每个线性空间单独选择基。当然，在某些情况下，我们可以使不同线性空间中的基重合。
这个定义还允许映射中涉及的不同线性空间具有不同的维度。
不确定这种更普遍的定义是否为人们所接受。
一个更一般的张量定义?
Zhigang:我发现(高阶)张量的定义很有用，并且在力学中广泛使用，是A 4.1.1。而不是映射到r的多线性函数，使用张量的一个特征是定义域和上域不是相同的向量空间....
所谓的线性变换(例如Carlson a 2.4)具有你所寻求的一般性;事实上，由于维度的概念不需要与定义域和上域联系起来，这在力学中也很有用，就像线性微分算子一样。张量使用了更多的结构，因此在我看来，换一个名字是可以的。
不管怎样，最后，这些都是定义，重要的是要充分理解它们，用它们做一些合理的事情，不要太大惊小怪......
这个定义甚至不允许应力是张量
我引用了卡尔森指出：
Vn是一个n维内积空间。
A4.1.1定义。Vn上的m阶张量是Vn上的一个线性函数，它将Vn的元素映射成(m - 1)阶张量。
我们取0阶张量为标量;即R的元素，作为一个线性空间。1阶张量是Vn到R上的线性函数;也就是线性泛函。”
我觉得这个定义对机械师来说太严格了。在这个定义中，单个线性空间Vn占据了一个特殊的位置。例如，这个定义不包括有两个不同的向量空间U和V的情况。
特别地，这个定义不允许应力是张量。使用力平衡，我们可以证明应力是一个线性图，它将一个面积矢量映射到作用在该区域上的力。面积矢量是矢量空间中的一个元素，力是另一个矢量空间中的一个元素。这两个矢量空间是不同的:我们没有形成面积矢量和力的线性组合。
这个定义甚至不允许应力是张量
志刚:也许我误解了你想要表达的观点，但也可能不是。如你所知，经典连续介质力学中最常用的张量是2阶张量它取V_3到V_3的向量，这就是我们认为应力张量所在的空间。在你上面所说的，你想要不同的域和上域的向量空间吗?那么，即使是1阶张量也允许它们是不同的。如果你认为定义域是笛卡尔积，也可以用V_n来表示。
同意如果有人很挑剔的话，他可以说为什么以及如何将位置向量，速度，拉力等都写在(平移空间的)三维欧几里得空间的共同基础中(当他选择这样做时)将它们视为相同向量空间的成员;正是有了这种识别，应力作为二阶张量的经典定义才有意义。但我们都知道，这样做很好，我承认我没有认真考虑过这个问题。我相信，为了精确地做到这一点，我们隐含地利用了这些量的三维向量空间之间必然存在的同构性。如果我没理解错的话，你更愿意把位置向量和速度也看作是独立向量空间的元素?
另外，我已经按照你的要求上传了Carlson剩下的笔记。自然，线性动量与应力的平衡作为二阶张量在V_3到V_3之间得到了详细的计算。
此外，希尔的“固体力学中的不变性方面”文章中介绍连续介质力学的几页内容非常棒，与卡尔森的论述相辅相成。特别是，对于没有流形微分几何背景的人来说它很好地解释了对流导数。Hill再次利用了你可能不喜欢的识别(游戏邦注:比如“公共背景框架”)。
位移，力，功
亲爱的阿米特:非常感谢你的讨论。你完全理解我，我相信我们意见一致。我对工作良好的东西感到高兴，但仍然希望了解它们为什么工作。
跟踪可能证明实践的步骤可能是有用的。
假设我们采用向量空间的定义在线性代数中。这个定义涉及到一个数字域K和一个集合V，以及两个操作:V中两个元素的相加，以及K中一个元素和V中一个元素的乘法。使向量空间成为一个有用的对象的是，V中两个元素的线性组合是V中的另一个元素。
我们希望将这个定义应用于物理对象，例如位移和力。我们都同意，我相信，这两个物体属于两个不同的向量空间。一个位移属于一个向量空间U，一个力属于另一个向量空间v。通过这些陈述，我们的意思是两个位移的线性组合是U中的另一个元素，两个力的线性组合是v中的另一个元素。在形成线性组合时，我们使用数字域K中的元素，取实数。
为什么位移的集合是一个向量空间?我想它是我们物质世界的一个模型。
但是我们的物理世界不允许我们形成位移和力的线性组合。如果我们尊重我们的物理世界和线性空间的定义，我们必须说位移和力属于两个不同的线性空间。
为什么力的集合是一个向量空间?我们也可以说它是我们物质世界的一个模型。
或者，我们可以把这个物理事实和其他物理事实联系起来。例如，我们可以从能量守恒定律开始，并试图找到一种方法来计算与空间运动相关的能量变化(即位移)。我们从经验中发现，有一个线性映射将U中的位移映射为标量，即能量的变化(即功)。我们称这个线性映射为力。因此，这个力是u的对偶空间中的一个元素，其余的，正如他们所说的，是代数。
非常感谢你的上传唐·卡尔森的课堂笔记。他们带回了对这个人的温暖回忆，他的学识和善良。我给你的帖子加了一条评论。我已经下载了笔记，并将从中学习。
回复:位移，功，力
你好中国:对我来说,工作、力、位移的例子至少提供了一种方法看为什么传统的力学解释工作,因为底层向量空间的内积和很容易看到为什么力可以被关联到一个向量在同一空间。(甚至是身体上的,我可以感觉到立即推比的方向和大小的东西从一个抽象的对偶空间位移联系我)。
然而，另一个问题是，为什么传统力学处理位置矢量、位移、速度、面积矢量、牵引力等都属于同一个矢量空间(当物理上我们不能真正添加位移和速度时)，似乎没有得到表征定理对偶性....的解决这甚至是在我们讲线性变换......之前这将是很好的知道，如果有人坐下来，并制定出逻辑仔细.....我想这也和量纲分析有关....
为什么传统力学可以侥幸逃脱?
亲爱的阿米特:非常感谢你让我们关注“为什么传统力学会……”这个问题。以下是这种专注所激发的一些想法。
将我们的物理空间建模为向量空间。我们的物理空间不是在线性代数中定义的向量空间。然而，一旦我们在物理空间中选择一个点作为原点，我们就可以将物理空间中所有点的集合建模为实数域上的三维向量空间。这个向量空间的一个元素表示物理空间中一个点相对于原点的位置。
我们给这个向量空间增加了一个结构:一个内积。因此，我们用3D模型来模拟我们的物理空间欧氏空间。我们称这个向量空间为U。
很多人都讨论过这种物理空间模型。我们知道这个模型并不能准确地表示我们的物理空间，但我们将接受这个模型作为一个近似的表示。
向量空间的一组基。因为U是一个向量空间，所以U中任意两个元素的线性组合仍然是U中的一个元素。我们可以选择U中任意三个线性无关的元素作为一组基。我们可以用内积来表示长度和角度。进一步，我们可以在向量空间中选择三个正交元素作为基。
力。我们讨论过力。如果我们愿意从能量守恒定律开始，那么力是一种计算物理空间中与运动相关的能量变化的方法。具体来说，力是一个线性映射，它将两个位置的差映射为能量的差。(如果变化是平滑的并且两个位置彼此靠近，则地图是线性的。泰勒展开。)
能量是一个标量，两个位置的差是一个矢量，U中的一个元素，因此，力是另一个矢量空间V中的一个元素，但是U和V是对偶空间。如本文所述维基百科页面双空格，我们可以选择V的对偶基，因为U是一个欧几里德空间，它的对偶空间V也是一个欧几里德空间。此外，我们可以选择V的基与U的基重合。
速度。速度是位置之差除以时间变化量。因为时间是标量，速度的集合是另一个欧几里德空间。我们可以选择这个空间的基与U的基重合。
电场。电场是一个线性图，它将位置的差映射为电势的变化。和力一样，电场是U的对偶空间中的一个元素。
还有别的向量吗?上面所有的例子都与位置空间u有关，那么与物理空间无关的向量呢?假设我们有另一个三维向量空间M, M中任意两个元素的线性组合就是M中的另一个元素。我们不希望利用M和U之间的任何关系，除非它们都是三维向量空间。
我们可以在M中选择三个线性无关的元素作为M的一组基，我们没有办法将M的一组基与U的一组基联系起来。
那么问题是什么呢?这里有一个可能的例子。假设我们发现了一个线性映射a，它将U中的一个元素映射到M中的一个元素。一旦我们为U选择了一组基，为M选择了一组基，我们就可以将a表示为一个有9个分量的矩阵。如果我们分别改变这两个碱，A的分量也会相应改变，就像A一样两点张量。如果我们愿意，我们总是可以选择用同样的方式改变这两个基，通过使用一个矩阵进行变换。这样，A的分量就会像普通张量一样变化。
真正的压力。在这个观点中，甚至真正的应力也是一个两点张量，因为真正的应力是一个线性映射，将一个面积矢量映射到作用在该面积上的力。面积矢量属于一个矢量空间，力属于另一个矢量空间。应力是一个线性映射，是由力的平衡建立的，与我们如何选择向量空间的基无关。按照惯例，我们选择使两个向量空间的基底重合。但是我们也可以这样做，为两个向量空间选择不同的基底。碱基的选择没有物理后果。
总结。传统的机制通过一种惯例来解决这个问题:使不同向量空间的基以相似的方式变换。
为什么传统的机械师可以侥幸逃脱?
志刚:在“速度”中，您提到“我们可以选择这个空间的基础与u的基础相吻合”。因为没有唯一的基础可以选择，在任何情况下，速度仍然是速度和位置，位置，在这个讨论的背景下，我认为这种情况最好还是留作一般的M情况，你们之后会讨论。
你试图描述的线性映射A是一个同构，我在之前的评论中提到过在两个等维的有限维向量空间之间。对我来说，首先必须为每一对空间发现这样一个物理上有意义的映射。否则，就会有无限多的机制可以构建，因为物理学并不关心惯例，也就是说，物理结果必须是不变的，而不是惯例的选择，它需要证明你在速度和位置向量的空间之间选择的地图a (a与两个空间中的基无关)，以及我在相同空间之间选择的另一个地图a保持我们想要做的所有机制不变……或者，我看不到一个物理上有意义的线性地图，将每个可能的位置向量与相应的速度向量联系起来....即使我知道，我也不确定你或第三人会在多大程度上接受这是唯一的选择。所以看起来证明映射A的不同选择的不变性可能是可行的方法，这需要一些仔细的推理，我可能不会在力学课上打字，所以这告诉我，如果我要进一步讨论这个问题，我最好把我的行动集中起来，单独做一些认真的思考，然后如果我有什么有意义的进一步说的话。万博manbetx平台
在那之前，致以我最诚挚的问候，
- - - - - -阿米特
关于张量的一些想法
亲爱的志刚和阿米特:
谢谢你的有趣讨论。只是一些想法:
让我们考虑一个非常简单的例子。在欧几里德三维空间中运动的粒子。位置矢量x(t)在任意时刻t可以写成关于经典笛卡尔基向量{我，j，k}。如果你现在求导x(t)关于时间，就得到了速度v(t)对于相同的基{我，j，k}。我们认为位置矢量和速度矢量都在同一线性空间中。但是要理解我们不能加上位置矢量和速度矢量因为它们有不同的物理维度。
还要注意，当使用曲线坐标时，自然基将具有不同的物理尺寸，因此矢量的分量可能没有正确的物理尺寸，例如在球坐标中。在这里，我们必须使用所谓的物理组件。
如果这个粒子在弯曲空间中运动，那么位置向量甚至没有定义。然而，速度是有定义的，在任何给定的时间t，它位于该点与周围空间的切空间中x因此，在这种情况下，甚至不能提出添加“位置”和速度矢量的问题。
我们把某一点速度的线性空间叫做x(5)利用能量或功率的变化率，速度和力是对偶的(正如志刚所说的力和位移也是对偶的)。力存在于V的对偶空间，即V*。这是一种形式的空间或者说是协向量。选择V的一组基，就有V*的自然对偶基。一般来说，它们具有不同的物理尺寸。V和V*的元素之间存在一种自然的配对，这种自然的配对不需要内积(或度规)。一个内积(度量)推导出V和V*之间的同构，即人们可以识别这两个线性空间。注意，一般来说，这个等距从一点到另一点是变化的。
给定两个线性空间V和W，一个同构是一个一一上的线性映射。如果您在V的基础上指定映射，则映射是唯一定义的。这两个向量空间是同构的并不意味着你可以把V上的向量和w上的向量相加，从这个意义上说，把力的线性空间和速度的线性空间等同起来并不意味着你可以把这两个向量相加。
我认为柯西应力是张量在卡尔森教授的笔记中使用向量和协向量的同构。人们甚至不需要担心确定力和速度的线性空间。柯西应力可以简单地用一组协向量表示(并且是明显对称的)。然而，我再次同意Zhigang的观点，即对于力学应用，我们应该在一系列不一定相同的线性空间上使用多线性地图。最明显的例子是变形梯度和第一皮奥拉-基尔霍夫应力。
问候,
乔
关于张量的一些想法
嗨，Arash:关于你的评论，我想说几句:
1.“我们认为位置矢量和速度都是矢量
同样的线性空间。但是要明白我们不能加
位置矢量和速度矢量有不同的物理性质
维。”
这是问题的关键，因为它听起来像是一个矛盾的术语。理想情况下，我们希望能够说，如果两个物体生活在同一个线性空间中，那么它们绝对应该是“可加的”，如果不是，那么它们就不属于同一个线性空间。
2.“如果这个粒子在弯曲空间中运动，那么位置向量甚至没有定义。”
我明白你的观点和背景，但我要唱反调，只要有一个好的、物理的嵌入空间，一切都很好。例如，三维空间中的二维壳，当然，我们用壳上的位置向量来做很好的力学。
3.给定两个线性空间V和W，同构是一对一和映上的
线性映射。如果你在V的基础上指定映射，那么映射是
独特的定义。两个向量空间同构并不意味着
你可以把V中的向量和w中的向量相加
力和速度的线性空间并不意味着你可以
把两个加起来。”
对于任何线性变换(至少在有限维空间上)，是否同构，显然，知道它在基上的作用就完全决定了它。然而，所有线性变换(在fd空间上)的这个性质显然不能唯一地选择其中的任何一个。
利用同构的目的不是将来自不同空间的向量相加。我们的目标是只处理一个空间，并希望能够利用同构性提供的识别，通过这个空间来处理与另一个空间相关的力学。
4.“然而，我再次同意志刚的观点，对于力学应用来说
应该在线性空间的集合上使用多线性映射吗
不一定是相同的。最明显的例子就是变形
梯度和第一皮奥拉-基尔霍夫应力。”
既然这只是一个观点，让我从实际经验中分享我的观点。我遵循了美丽的非线性壳理论(关于Antman, Fox-Simo等)，完成了一些理论，并且在没有考虑多线性地图的情况下执行了一些数值。任何做过壳理论的人都会立即意识到，你必须通过考虑参考和目标壳上相应点的切线空间来处理壳上的变形梯度，但我不认为这是使多线性映射观点成为力学应用中必不可少的理由......它就是它，只是一种观点。
关于张量的一些想法
亲爱的阿米特:
谢谢你的评论。我想我想理解的主要是第一句话(我非常同意你的其他评论)。我不确定这是否是解但是我们可以考虑相同线性空间的两个副本。换句话说，位置矢量和速度矢量存在于同一线性空间的两个副本上。这意味着你甚至不能从数学上把两个副本的向量相加。
这种相同线性空间的不同拷贝的概念在微分几何中很明显。给定一个n流形，任意点的切空间是一个n维线性空间。同一线性空间在不同的点上有不同的拷贝。这些线性空间都是同构的但是你不能把来自同一线性空间的不同拷贝的向量相加。允许你这样做的额外结构是“连接”。当然只是一些想法。
问候,
乔
关于张量的一些想法
嗨乔,
我当然同意你所说的线性联系，但这将我们带到了流形的微积分中而在这个讨论中，所有东西在某种意义上都是在一个切空间中
事实上，在我看来，这就是对不同线性空间的大惊小怪真正开始产生影响的地方，人们必须采取立场。举个例子，假设我们在线性代数上小题大做，然后当我们必须做微积分时，我们采用线性动量平衡，并开始添加来自不同切线空间的牵引向量(后者我非常乐意这样做，并且已经接受了，我也不会在线性代数上大惊小怪)，那么在做代数时，最初的小题大做是什么?我知道你在弹性协变化方面的工作，所以你似乎总是“大惊小怪”，这是我喜欢的——(这是一个笑话，不要太在意)。
一个非维线性空间作为规范选择?
嗨，志刚和阿拉什:
这是一个我还没有完全检查过逻辑一致性的想法:
一个是一个线性空间，比如说，维度为3，它包含了没有物理维度的物体。
假设我们现在有一组基本的物理单位。然后，我们对每个感兴趣的3维物理向量空间的每个元素进行适当的非量纲化——位置向量、速度、面积向量、牵引力等空间。对于这些物理向量空间中的每一个，这种非量纲化行为会导致它们与非量纲向量空间之间的映射(例如，DND映射)。
然后我们在无维空间上做线性代数和力学，在此基础上定义张量等。为了解释结果，我们返回，使用相应的DND映射到相关向量空间的逆。
DND映射可能是同构关系——我没有仔细检查。但即使他们不是，这似乎也是正确的身体选择。此外，通过力学定律对基本单位的选择的不变性，隐含力学在所有可能的选择中都应该是不变性的，这些选择是用来诱导DND映射的基本物理单位集。
也许这就是我们把位置矢量、速度、牵引力等放在同一个矢量空间中的力学暗示。
回复:作为规范选择的非维线性空间?
嗨,阿米特,
如果我没理解错的话，你的意思是，让我们看看同一线性空间的不同副本(使用你的DND映射)，每个感兴趣的量都存在于一个副本中。你觉得呢?
问候,
乔
作为规范选择的非维线性空间?
嗨乔,
是的，我就是这个意思。当然，这次讨论的主要问题是需要思考的是构建副本的方式，因为有无数种方法可以做到这一点，人们想要找到一种与我们在连续介质力学中的常规做法一致的方式，后者当然是明智的，因为它的结果很重要。
我发现DND映射的有趣之处在于，通过维度一致性，它们连接了不同的副本——它们不能从完全任意的同构中生成。
我怎么教两点张量
我找到了一台旧的iMecha万博manbetx平台nica两点张量上的线程，如变形梯度和标称应力。在那个帖子里，我刚刚添加了一个新的评论来描述我是如何教这门课的。
为什么地图吗?
亲爱的中国,
Map是一个动作。没人需要把张量定义为动作。它可以被定义为一个对象——类似于向量。没有地图就没有问题:)
Kosta
为什么是地图?
地图也是对象。在线性代数中，张量被定义为线性映射。请看下面的评论:线性代数做错了。
更重要的是，我们力学家一直在用线性映射来定万博体育平台义张量。下面是一些熟悉的例子:
也许你和我用的词不同，但我们的意思是一样的。我在我的注释中描述了这些定义有限变形。
映射和张量
不完全是。通过它们的操作来定义映射。对象由其属性定义。你不需要映射向量到向量来定义张量。你可以通过张量分量的变换特性来定义张量(就像列维-西维塔所做的那样)。或者你也可以把张量定义为对和和等的线性组合。它们可以用于映射，但它们的定义不需要映射。
为什么应力是张量?
亲爱的科斯塔:那好吧。请概述一下你是如何证明应力是张量的。
为什么应力是张量
志刚，柯西应力被定义为三个矢量的并矢积的和——参见我的讲义(3.21)软质活性材料力学因此，它是一个张量。
谁给了柯西权力?
谁授权柯西把压力定义为二对的和?
为什么应力是张量
亲爱的科斯塔:你的笔记软质材料力学是美丽的。今天写信给你，让我想起了我们第一次见面的情景。2006年8月，在布朗大学，在庆祝艾伦·尼德曼和维戈·特维加德60岁生日的研讨会上。还是我们第一次见面?无论如何，你已经深入了解了软材料的力学，而我还是个硬汉。我们在执行不同的招募任务。你在说服我，软材料的力学即将到来。我在说服你我的机械师会来。万博manbetx平台
事实证明，我们俩都不需要太多的劝说。你成为了iMechan万博manbetx平台ica的第134位用户，而且是一位直言不讳的用户。你让我很为难我的第一篇万博manbetx平台论文是关于软材料的力学。我在2027年1月1日发表了这篇论文，您在第二天对这篇论文发表了第一次评论。您的评论给我和我的学生留下了深刻的印象。谢谢你！
现在回到问题上来，谁给了柯西把应力定义为张量的权力，就像我们今天所说的?
在我看来，答案是欧几里得，牛顿，以及发明张量概念的人。“应力是张量”的说法是几何、力学和代数的综合结果。
在你的笔记，通过力平衡和几何，你得到(3.17)式。这个方程说作用在面积上的力在面积矢量上是线性的。
剩下的，就像他们说的，就是代数了。面积向量是向量空间中的一个元素。力是另一个向量空间中的一个元素。式(3.17)表示存在一个线性映射，将一个面积向量映射到作用在该面积上的力。
在线性代数中，我们称向量空间之间的线性映射为张量。
在力学中，我们称这种特殊的图为应力。
顺便提一下，面积矢量和力之间的线性映射的存在性可以不使用任何基来建立。我给出了这样的推导我关于有限变形的笔记。这种推导既适用于名义应力，也适用于真实应力。
新年快乐!愿在更多的新年里，我们有更多相互交谈的快乐回忆。
美好回忆
亲爱的中国,
谢谢你给我带来的美好回忆:)
也祝你新年快乐!
让我们把旧的讨论带入新的一年。
我是iMechanica的忠实粉丝—万博manbetx平台—我从中学习(不只是你的学生这样做)。我有一种感觉，你正在成为一名数学家。这是一个危险的过程，我会尽量在5月份放慢速度:)
我们都是应用数学家
我的同事,迈克尔·布伦纳是在传播智慧
线性代数
志刚:我发现Strang的书(你的链接中列出的书之一)是一本很好的线性(矩阵)代数入门书。它很容易被任何工程专业的本科生/研究生访问。尽管你可能在寻找一本更高级的教科书(链接到张量代数和力学)，我还是想把斯特朗的书插进去。除了必要的数学，这本书的显著特点是一个清晰的呈现，与几何作为辅助，在线性代数的主要概念(行和列空间的作用)。有了这本书的知识，学生将更好地准备掌握线性代数中更高级的主题。
斯特朗的线性代数
谢谢你苏库。我听说了斯特朗著我还没有研究过。学生们对他在麻省理工学院讲课的视频。
同意
我想支持苏库对斯特朗的支持。这是一篇写得很清楚的文章，我相信工程师和数学家都能读懂。顺便说一句，斯特朗是对有限元法进行数学分析的先驱之一，所以那些对这一学科感兴趣的研究人员可以通过他的线性代数教科书来熟悉斯特朗的风格。
霍恩和约翰逊，Lax, Gurtin
我读过上面提到的Naylor & Sell和Jim Knowles的书。他们两个我都喜欢。此外，我发现霍恩和约翰逊的书非常有用。然而，它不是一本介绍性的书。Peter Lax有一本线性代数的书，我还没有读过，但如果你能从他的功能分析书的清晰风格中归纳出来，那将是很好的。
在我上面列出的那些书中，只有诺尔斯的书讨论了张量。Mort Gurtin的连续介质力学书中有很多关于张量代数和微积分的连续介质力学的内容。
Kaushik新德里
霍恩和约翰逊，矩阵分析
亲爱的Kaushik:谢谢你的建议。霍恩和约翰逊写的那本书在我书架上已经放了很多年了，但我从来没有抽出时间去研究它!你的推荐使我现在对这本书产生了兴趣。看了你的评论后，我发现这本书有一个缺点第二版最近。
斯特朗，斯特朗
斯特朗让人大开眼界。他对这个主题给出了直观的几何观点。数学家不喜欢他，但我强烈推荐斯特朗给任何物理学家或工程师。
太多微积分了。线性代数太少
斯特朗在一篇短文中评论了我们对教育时间的分配:微积分太多，线性代数太少。
1953年，法国数学家琼Dieudonne写在书评：
“线性代数现在被普遍认为是现代数学家最重要的工具;而且，它的概念和方法，如果适当地归结到它们的本质特征，是可以想象到的最简单和最直接的。然而，研究生对线性代数的一些基本概念完全不熟悉，比如对偶理论，仍然是很常见的。”
我想知道在过去的60年里是否发生了什么事情，可能会导致他重写上面的句子。
更多的线性代数
肯定。对于一个机械万博体育平台师来说，我认为线性代数和(凸)优化的坚实基础是无价的。通过对Strang列出的矩阵代数概念的清晰理解，可以简化对有限维函数空间的理解。从斯特朗的书中，我发现把Ax看作是列的线性组合(通常是行-图)是最重要的信息。他的在线讲座非常清晰。力学中的变分方法通常用一组线性无关的基函数在有限维环境中求解(例如，伽辽金方法)。最终的结果是一个需要求解的线性方程组Ax = b;由于A是由基函数的合适的“内积”形成的，线性代数的工具可以用来提供一种数学上合理的方法来构造A虚元法采纳这一观点。
更多的数学
Strang的替代品:
布朗-线性代数第二课程
Hoffman & Kunze -线性代数
Tadmor等人的书
中国:
我通常会推荐我的博士生去上Arash的应用数学课程。我还开发了一门独立的固体力学基础课程，旨在使一年级研究生在统一和现代的框架内接触到该领域的广泛主题。我必须在课程开始的时候讲一些基本的张量代数。我发现这本书被偷了Tadmor等人谈连续介质力学(第2章)以一种工程师可以理解的方式介绍了这个主题，同时又不牺牲太多的严谨性。
Julian J. Rimoli
连续介质力学本科课程
亲爱的中国,
谢谢你提出一个重要的话题。我在本科阶段(大二和大三)教授两门连续介质力学课程，需要在线性代数、张量微积分的严谨性和连续介质力学的应用方面取得平衡。j.n.r reddy的书《连续介质力学原理》是从本科生的角度写的。
我同意朱利安上面对塔德莫尔、米勒和艾略特合著的书的评论;它有必要的基本张量写在一个清晰的方式。在过去的几年里，我一直致力于为这些课程定制课堂笔记，这些课程依赖于几个资源。
我发现一些非常有用的参考资料是:
1.Rohan Abeyaratne的讲义:http://web.mit.edu/abeyaratne/lecture_notes.html
2.连续介质力学导论(马尔文)
3.连续体的力学和热力学(Gurtin Fried and Anand)
Ray Bowen关于线性代数和连续介质力学的详细笔记也可以在网上找到http://rbowen.tamu.edu/。
~ Shailendra
线性代数书籍
尊敬的索教授:
作为一名数学专业的本科生，我使用的教材是Roger A. Horn和Charles R. Johnson的《矩阵分析>》。我想简单地提一下这本书，以补充人们已经推荐的一套伟大的书。这本书在数学上有点重，但它是一本关于线性代数的优秀的第二本书。定义清晰，讨论简洁，证明完整，使本书非常适合参考。
它详细讨论了对角化、共对角化、三角化和各种矩阵分解的确切条件，这对于推导力学和物理学的一般理论非常有用。
http://www.amazon.com/Matrix-Analysis-Roger-A-Horn/dp/0521386322
如何创建新的张量
我刚刚添加了一个评论，标题是“生成新张量的方法”。我想这个配方就是机械师们经常“发现”或“创造”新张量的方法万博体育平台。
正确的线性代数谢尔顿·艾克斯勒，好极了
尊敬的索教授:
据我所知，这本书对我们大学数学系和物理系的初学者有广泛的读者。
大多数为工科学生编写的线性代数教科书可能会忽略线性空间的数学方面。虽然《正确的线性代数》这本书只是一本入门书，但它以简洁的公式和具体的例子完整地涵盖和描述了有限向量空间的所有基本知识。
这本书的优雅安排，即，抽象的公式，证明与具体的例子相结合，使它甚至对只有基本微积分知识的学生也很容易理解。电子版可通过以下链接下载。
http://ishare.iask.sina.com.cn/f/6443278.html?sudaref=www.baidu.com&retcode=0
真诚
错误的线性代数
这是鲍文大学数学家谢尔盖·特雷伊(Sergei Treil)写的一本书的书名。
他指出，这本书是为数学高级学生开设的线性代数的第一门课程。他把这本书传到网上。我拥有2004年版已经有一段时间了，我很喜欢这本书:优美的版式、精心排列的思想和精湛的教学方法。这是一本大约200页的小书。
今天早上我去了他的网站，找到了2009年的版本!在这个新版本中，他增加了关于对偶空间和张量的一章。
他是这样定义张量的:
不知道为什么他不止步于2，简单地将张量定义为从向量空间到另一个向量空间的多线性映射。尽管如此，在书的后面几页，他确实证明了从一个向量空间到另一个向量空间的线性映射也是张量。
我相信机械师一直在从已知的张量万博体育平台中“发现”或“创造”新的张量，正如我在其他地方评论的那样:生成新张量的方法。我们在2处停止。
请也看看上面Arash, Amit和我之间的讨论。
你觉得呢?
高阶张量，等价的定义
Hi Zhigang:我还没有时间去看你提到的那本书，但是这里有一个猜测，为什么定义一个人需要的东西(例如二阶张量，高阶张量)是很有意义的，尤其是在做力学的时候——它最终是为了做一个人想做的力学。如果只需要二阶张量，就可以这么做。如果需要高阶张量(至少从科瑟拉兄弟的时代开始，在连续介质力学中，通过格林-里夫林、诺尔、特鲁斯戴尔等人;当然，线性弹性甚至在那之前就出现了)，人们对它使用逻辑上令人满意的定义，然后继续生活。根据这些例子，我不会说机械师止步于2阶。万博体育平台
至于“常规地”创造“/”发现“新张量”——我觉得有必要在你的陈述中补充一点，尽管任何受过一点基础训练和良好感觉的机械师都能理解不同定义之间的等价性，从而对他/她的学科有更深的理解，但在这门课上，没有人认为提出这样的定义本身就是一项成就，也没有万博体育平台人认为在等价定义中某个特定定义更好。此外，他们对这些定义的态度也是完全不可知论和唯利是图的——他们学习所有这些定义，并在特定情况需要时有效地部署(所有)这些定义。
最后一点，我们不要忘记引入张量的纯基于分量变换规则的方法我们还没有讨论过。同样，这是一个等价的定义，如果我们告诉爱因斯坦引入张量的多线性方法是考虑张量及其在力学中的应用的方法，他会对我们非常生气或者认为我们很无知。
高阶张量，等价定义
亲爱的阿米特:很抱歉我说得不清楚。当我写“我们基本上停止在2点”时，我的意思是在评论中列出的定义中停止在2点。也就是说，我们本质上止步于以下一点:张量是一个映射V1, V2，…中的元素的多线性映射。这个定义，当然，让我们超越二阶张量。
我相信Treil书中张量的定义比我们通常使用的更广泛。例如，这个定义将允许张量的分量形成一个矩形矩阵，而不是局限于一个方阵。也就是说，这个定义并不等同于我们通常采用的定义。
我喜欢你的精神:一切都可以，只要我们把机械做好。
高阶张量，等价的定义
亲爱的中国:
我没有看过这本书，但我认为我们并不局限于用相同维数的线性空间来定义张量。例如，壳的变形梯度是从二维矢量空间到三维矢量空间的线性映射。它是一个两点张量它的矩阵表示不是方阵。
我同意阿米特的观点，人们不应该过于担心哪个定义更好或更通用。我想说，一个人应该使用适合于应用兴趣的东西。
问候,
乔
我有一个梦想——关于张量
亲爱的Arash:非常感谢你的评论。我相信你和我都很乐意这样定义张量
我不认为这个定义在力学家中被普遍接受。
这个说法是社会学的，而不是科学的。只要看看现有的教科书，就能充分证实这种说法。例如Tadmor-Miller-Elliot限制V1, V2，…Vp是相同维数的向量空间。它们的定义等价于卡尔森指出(定义A4.1.1)。我们可以列出很多力学教科书，它们给出的定义与塔德莫-米勒-艾略特的定义相同。
你知道有哪本力学教科书采用了上面的定义(第1点和第2点)吗?他们一定是极少数。这就是我的意思，这个定义不被机械师普遍接受。万博体育平台
这个定义是(上文第1及2点)对我们的基本需求来说太笼统了?这是有争议的。但有一点是肯定的。正如你和我之前讨论过的，这个定义很好地适应了连续介质力学中两个最基本的张量:应力和变形梯度。让我再次列出我们的步骤(对于希望了解更多细节的人，请查看我的有限变形注意事项)：
定义(第1点和第2点)的特殊情况。将一个向量空间中的元素映射到另一个向量空间中的元素的线性映射是张量。
压力。通过平衡力，我们找到一个线性映射，将一个面积矢量映射到作用在该面积上的力。面积矢量是一个矢量空间中的元素，力是另一个矢量空间中的元素。我们称这个线性映射为应力，它符合我们对张量的定义。
(顺便说一下，这里我使用面积向量，而不是垂直于面积的单位向量，因为后者不能形成向量空间:两个单位向量的线性组合通常不是另一个单位向量。)
变形梯度。通过均匀变形几何，我们找到了一个线性映射，该映射将材料粒子的直线段从参考状态映射到当前状态。处于参考状态的段是一个矢量空间中的元素，而处于当前状态的段是另一个矢量空间中的元素。我们称这个线性映射为变形梯度，它符合我们对张量的定义。
相比之下，我们必须做一些调整来使这两个对象符合张量的传统定义。我们为什么要这么做?再说一次，这是一个社会问题，而不是一个科学问题。
我有一个梦想——关于张量
亲爱的中国:
R.W.奥格登(R.W. Ogden)的书(非线性弹性变形)对张量的定义与Carlson笔记(第43页)中所做的非常相似。我还想说，这是一本专注于寻找非线性弹性的精确解的好书。
马斯登和休斯(弹性数学基础)区分了张量(第65页)和两点张量(第70页)。我认为他们没有定义任何更普遍的东西，因为他们没有发现它在弹性的背景下有多大用处。
Green和Zerna(理论弹性)根据坐标变换以及在这种变换下张量分量的变化来定义张量(Amit已经提到了这一点)。
问候,
乔
力学教科书中张量的定义
亲爱的Arash:非常感谢。在连续介质力学的教科书中列出张量的定义是很有趣的。当然，作者可能有比他们写在书里的更复杂的想法。我们正在进行现象学研究。我认为，教科书上的内容是我们教给学生的内容的合理代表。
我看过以下几本书:
在我们看过的所有书中，只有Marsden-Hughes允许不同向量空间之间的映射。
高阶张量，等价的定义
嗨乔,
以下是我的看法:
参考点或变形壳的切线映射从二维空间到三维空间;因此矩阵的表示是矩形的。
变形梯度从一个二维切空间到另一个不同的二维切空间(一个空间中的向量通常不在另一个空间基的线性跨度内)。因此它的矩阵是2x2的平方，在卷积坐标中的“规范”表示是2x2单位矩阵。
我错过什么了吗?
张量表示的矩形矩阵
志刚:这是对你刚才发言的回应。
三维矢量空间V_3上的三阶张量在连续介质力学的直接表述中(比如la Carlson)是从三维空间到V_3上的二阶张量的3x3 = 9维空间的线性变换。因此它在基底上的表示法就得到了一个9 × 3的矩形矩阵。类似地，这个张量的转置是从二阶张量的9维空间到3维空间的线性变换——得到一个3 x 9矩阵。
所以我们在连续介质力学中所做的，在需要的时候，很自然地，会得到矩形矩阵(不像你说的那样)，但很明显，这些都是琐碎的细节，不要大惊小怪。
对于连续介质力学中三阶张量的一些重要实际应用，有直接的公式定义:
http://www.万博manbetx平台m.limpotrade.com/node/15585
线性代数的在线课堂笔记
大家好，感谢你们富有成果的讨论，我怀着极大的兴趣关注着你们的讨论。我已经更新了课堂讲稿在iMechan万博manbetx平台ica的网页上，可以下载“力学数学”部分讨论中提到的线性代数的课堂讲稿。
让我们继续讨论标量
这条线已经变得非常有趣和很长。我还有一件事想听听你的意见。它是关于标量的。我刚刚贴了一张便条，标题是标量错误。