期刊俱乐部2021年4月:变分相场建模的脆性和粘性断裂

期刊俱乐部2021年4月:变分相场建模的脆性和粘性断裂

阮永福(莫纳什大学)和吴建英(华南理工大学)

1.格里菲斯线弹性断裂力学

如果不是从历史的角度来看，我们可以说断裂力学是从艾伦·阿诺德·格里菲斯(1893-1963)的工作开始的。格里菲斯的工作是80年后发展起来的变分相场断裂模型的基础，让我们来看看他做了什么。

1921年，格里菲斯对玻璃纤维[1]进行了断裂实验。他发现了两件事:(1)玻璃的断裂强度明显小于理论值(来自于破坏原子键);(2)小玻璃纤维比大纤维更强。他的结论是，纤维中存在的自然产生的小缺陷使纤维变弱。正是这些缺陷放大了尖端前的应力场，从而使断裂应力比理论强度小得多。事实上，格里菲斯知道查尔斯·英格利斯(1875-1952)在七年前所做的关于椭圆洞[2]引起的应力集中的工作。

考虑到缺陷，他制作了不同大小的人工表面裂纹(以克服自然缺陷)样品，并量化了远程拉应力与裂纹大小或长度之间的关系一个．他所发现的是强度和裂缝长度之间的反比关系。他发现施加的应力与裂纹长度的平方根的乘积是一个常数。为了找到这个常数，他进行了一项基于能量的分析，这基本上导致了现在所知的断裂力学的诞生。

Griffith计算了系统的能量，包括存储的弹性应变能和表面能，即由于新裂纹表面的产生而产生的能量。他考虑了一个具有长度裂纹的单位厚度无限板一个施加远拉应力σ向裂纹方向。这个系统的能量由

他利用Inglis的解得到了由于裂纹存在而释放的弹性应变能;U0为无裂纹板的弹性应变能。这里有趣的是最后一项——与长度裂缝相关的表面能一个s是生成单位表面积所需的能量。

U对裂缝长度a的一阶导数为

导数消失条件给出

这就是著名的格里菲斯方程，它将远程应力与裂缝长度联系起来。

格里菲斯的工作只适用于脆性材料(如玻璃)被忽视了近20年。直到Orowan，特别是George Rankin Irwin(1907-1998)的修改，一个新的领域出现了:线性弹性断裂力学(LEFM)。Irwin引入了能量释放率G的概念，它是弹性应变能对裂纹长度的导数的负值，他和Orowan用女朋友-临界能量释放率或断裂能量-以考虑其他耗散过程，例如塑性变形，即

另一个对断裂力学的重要贡献是James Rice(1940)在1968年提出的著名的J积分[3]，它等于断裂能量释放率G．

通过回忆裂纹扩展的不可逆性，即裂纹长度的时间导数为非负，则有Griffith裂纹扩展判据:

即在准静态加载情况下，裂纹扩展为G > GF，否则保持不变G < Gf．

断裂力学已经取得了巨大的成功，因为它为工程师提供了一个连续介质力学工具，可以使用诸如断裂韧性(Irwin提出的与断裂能有关的概念)等数据定量预测大型结构的结构完整性，这些数据可以使用实验室规模的样本进行实验测量。此外，它还有助于材料科学家改进现有材料，并通过观察其断裂韧性来设计新的材料。

2.巴伦布拉特的内聚区模型

1959年，Grigory Isaakovich Barentblatt(1927-2018)[4]提出了庆祝内聚区模型(CZM)。Barentblatt的CZM解决了经典断裂力学中的两个主要问题:裂纹形核和裂纹尖端的应力奇异性。它的思想是将表面上无牵引力裂纹尖端之前的断裂过程区(FPZ)的情况集中起来，并通过牵引力分离定律来近似该区域，该定律将传递在裂纹表面σ和裂纹开口之间的内聚牵引力联系起来w．在这种情况下，裂缝能量释放率G (w)不再是常数而是裂纹开口的非凸函数w如图1所示。

因此，在Griffith的理论中，在单位断裂面形成时，能量不是瞬间耗散，而在Barenblatt的CZM中，能量是逐渐释放的:

零裂纹开度对应的牵引力为抗拉强度英国《金融时报》材料的。然后，它能够定义一个材料的特征长度

叫做欧文内长[6]E0为材料的杨氏模量。它是FPZ大小的特征(与FPZ大小成正比)。因此，它也测量材料的脆性:它越小(与结构尺寸相比)，材料表现得越脆。注意CZM不仅适用于内聚性裂纹，也适用于具有小欧文长度的脆性裂纹。

a . Hillerborg等人[7]假设内聚性裂纹可以在任何地方发展，即使实际上没有先验存在的宏观裂纹，并将这种扩展命名为虚构的裂纹模型。他们还在有限元框架中实现了CZM，以模拟混凝土梁[7]的断裂。另一个值得注意的工作是Xu和Needleman的动态断裂[8]。CZM通常使用所谓的接口元素实现。Paulino团队和Papoulia团队最近的工作表明，CZM和先进的界面元素确实是裂缝模拟的强大工具[9,10]。

3.骨折的变分方法

1998年，即格里菲斯工作78年后，Francfort和Marigo在变分框架中重新阐述了格里菲斯的能量理论，并将其称为脆性断裂[11]的变分方法。这种方法通过在单一框架内允许裂纹形核和任意裂纹扩展来推广LEFM。

在这种高能方法中，裂纹扩展是由远离裂纹的体能和裂纹表面能之间的竞争引起的。从这个角度来看，准静态加载状态下的总能量泛函E为

对于外部势能P。

基于格里菲斯理论，Francfort和Margio [11]将脆性断裂重铸为能量最小化问题:

注意，对于裂纹路径可能不够光滑的情况，应寻求最小能量而不是最小能量。在这种脆性断裂的变分方法中，裂纹应该沿着能量最小的路径传播。特别地，对于一个先验存在的裂纹被约束沿预先定义的裂纹路径传播时，Griffith判据精确地得到[12]。然而，最重要的优点是，使用这种变分断裂方法，可以处理最初完全健全的固体中的裂纹形核，并以变化一致的方式确定本质上的裂纹路径，绕过LEFM的基本假设。

4.断裂变分相场模型

虽然存在其他方案，如本征分解法[13,14]、自适应有限元等，来近似脆性断裂的变分方法，但[15]中提出的断裂变分相场模型可能是最通用的。这种数值上更适于Francfort-Marigo的脆性断裂变分方法的对应物是由图像分割问题中Mumford-Shah泛函[17]的Ambrosio-Tortorelli椭圆正则化[16]所激发的。其思想是引入一个连续的标量场——裂纹相场或损伤场d(x)——对于完整的材料取值为0，对于完全破损的材料取值为单位，对于部分破损的材料取值为0到1。这个场有助于近似格里菲斯表面能量——表面积分——作为计算域Ω上的体积积分。因此，在正则化模型中，对于固体在无穷小应变状态下的准静态断裂，位移场u和损伤场d是固体以下总能量泛函的最小值

第一个积分是受裂纹相场影响的存储应变能，第二个积分表示骨折能量a ' la Griffith。相场长度尺度b是一个控制裂纹带的正则化参数，即d (x)是零;ω(d)是能量退化功能和α(d)表示裂纹几何函数。这种正/负分解在捕捉断裂的拉伸/压缩不对称性和消除伪压缩断裂方面起着重要作用——在压缩作用下，断裂不会发生在区域;弹性应变能的几种正/负分解方案的讨论见[18]。

相场这个名字是怎么来的?在物理学和材料科学中类似的基于Ginzburg-Landau方程[19]的相变相场模型中，对于流体力学中基于Cahn-Hillard[20]或Allan-Cahn[21]方程的多相流体，也引入了所谓的序参量来区分不同的状态或相。这里是裂纹相场d (x)在区分固体的两个相:完整相和完全破碎相方面具有相同的作用，Kuhn和R. Mu ller在2010年将该模型称为相场断裂模型(PFM)[22]，比Bourdin, Francfort和Marigo的工作晚了十年!为了强调其变分性，我们认为一个更好的术语是变分相场断裂模型。同年，后来的力学家Christian Miehe发表了两万博体育平台篇论文[232,24]，提出了一种更直观的方法，替代了Francfort-Marigo-Bourdin论文的正式和数学要求的公式。事实上，Miehe成功地使PFM在工程界更具吸引力:自2010年以来，我们看到关于PFM的出版物激增。另一个关键人物可能是Thomas Hughes，他提出了四阶PFM[25]，并在各种compas(计算塑性)会议上发表了许多关于PFM在动态断裂和韧性断裂中的应用的主题演讲。

从自由能函数的表达式可以看出，在选择退化函数和裂纹几何函数时存在多种可能性。我们参考[18]进行广泛的讨论。表1列出了三种最常见的(二阶)PFMs。在[15,23]中开发的AT2模型可能是工程中应用最广泛的PFM，尽管它缺乏弹性域，即当施加载荷(无论载荷有多小)时，损伤立即变为非零。[26]的AT1模型具有弹性域，受到越来越多的关注。AT1和AT2模型都只适用于脆性断裂，[27]的PF-CZM(相场内聚带模型)是第一个同时适用于脆性断裂和内聚断裂的PFM。

这里我们需要强调AT1/2和PF-CZM最重要的区别。也就是说，后者收敛于CZM，而其他都收敛于Griffith LEFM，在gamma -收敛[28]中，我们将简短地讨论。

5.长度尺度与裂纹形核的作用

利用自由不连续问题的工具，可以证明当相场长度尺度b在消失极限趋近于零时，PFM解收敛到原问题的解。这被称为伽马收敛[28]。因此，在早期的PFMs中，长度尺度仅仅被认为是一个数值参数。然而，在对实验数据进行验证的过程中，人们很快意识到，对于AT1/2模型，长度尺度必须被视为与Irwin内部长度lch相关的材料参数，以便在单轴牵引状态下匹配失效强度[26,30]。由于对长度尺度的这种新的解释，Marigo将其重新命名为梯度损伤模型[26]，因为它属于Fre ' mond和Nedjar在1996年开发的梯度损伤模型[31]。尽管如此，正如最近在[32]中指出的那样，这种模型不能在没有预先存在缺陷的完整固体中捕获裂纹形核。为了证明这一问题，我们模拟了生物组织[33]的单轴拉伸试验，并使用了不同的长度尺度值。为了匹配实验，必须使用一个大的长度尺度，但这个值会导致一个错误的宽裂纹带(图2)。

另一方面，对于PF-CZM，相场长度尺度仅仅是一个数值参数(它也可以被视为一个物理参数，可能与材料的微观不均匀性有关)，只要它与结构尺寸相比足够小。从图2c可以看出，所有长度尺度产生相同的荷载-位移响应，峰值与实验相似。因此，我们可以使用较小的长度尺度来保证伽玛收敛。超弹性固体大变形各向异性断裂公式见[33]。

我们提出了另一个由Bourdin自己报告的例子[34]，这样我们的讨论将更有说服力。本例为常用的混凝土断裂l型板试验。试样尺寸约为500mm。使用小型长度比例尺(b=3.125 mm)， Bourdin得到了与实验相当匹配的裂纹路径，但峰值载荷被严重高估了。为了匹配混凝土的破坏强度，需要更大的相场长度尺度b=126.32毫米必须使用。在此长度尺度下，可以获得较好的载荷-位移曲线，但裂纹路径完全被过于分散的正则化所污染(图3a)。相比之下，这对PF-CZM来说根本不是问题——裂纹路径和载荷-位移曲线都可以很好地捕捉到，两者对相场长度尺度都不敏感，如图3b所示。这是因为PF-CZM将基于应力的裂纹形核准则、基于能量的裂纹扩展准则和基于变分原理的裂纹路径选择器整合到一个独立的框架中。

6.变分相场断裂模型的数值实现

与XFEM[35]等离散裂缝数值方法相比，PFM的实现非常简单。我们不需要引入繁琐的裂纹跟踪算法，也不需要任何特定的标准来确定裂纹方向/分支。在PFM的数值实现中，只需要包含位移和损伤自由度的标准连续介质有限元。与那些必须采用特定策略(例如Cervera和同事[36]最近提倡的混合稳定有限元)的经典连续损伤模型相比，PFMs的解不依赖于底层的空间离散化。也就是说，就像弹性静力问题一样，几乎所有现有的数值方法，如不可约和混合FEs，无网格或无网格方法，粒子方法(MPM, RKPM)，甚至是最近的近动力学，都可以使用。没有稳定性问题，也没有网格偏差依赖[37]。此外，对于PF-CZM，其解对相场长度尺度也不敏感。换句话说，用户只需要集中注意力关注感兴趣的物理问题，而不是担心那些数值问题/参数。

与其他耦合多物理场问题一样，用于求解这些方程的求解器更复杂，因为使用标准Newton-Raphson方法的整体求解器通常不起作用，因为能量泛函E相对于(u,维)．因此，最常见的求解器是交替最小化或交错(AM/交错)求解器，其中首先固定损伤自由度并求解位移自由度，然后使用更新的位移自由度求解损伤自由度。虽然单次AM/交错求解器已被广泛采用，但它会导致损伤演化延迟、峰后状态不准确以及裂纹到达外边界时的伪损伤扩大。这些问题在迭代多通道AM/交错求解器中得到了很大程度的缓解。

交错求解器易于实现且稳定，但其收敛速度极慢。在众多提出的单片求解器中，BFGS求解器——非线性优化问题中的一种流行求解器——已被证明是有前途的:基于BFGS的单片求解器(BFGS- sm0)具有最粗略的系统矩阵初始猜测(BFGS- sm0)，比AM/交错求解器[44]快约4 - 8倍，通过优化的系统修改(BFGS- sm1)，计算效率可以进一步提高[45];对比参见图4。我们还证明了这种计算效率的提高也适用于热机械断裂问题[46]。

我们再次注意到PFMs可以在任何数值离散化方法中实现，PF-CZM对这些数值问题/参数不敏感。唯一的要求是相场长度被空间离散化充分分解。

7.应用程序

变分相场断裂模型已被应用于许多问题。在[18]中已经提供了相当全面的综述，因此我们在这里介绍了我们最近的一些工作，包括脆性和准脆性材料的静态和动态断裂。

7.1.准静态脆性断裂

图5展示了生物组织剥离试验的PF-CZM模拟。它取自我们在[33]中的工作。参见[47,48]有关使用相场模型研究橡胶类材料有限变形断裂的其他工作。

7.2.动态脆性断裂

文献[49,50,51,52,53,54,54,55]已将PFMs应用于动态断裂。其思想很简单:保持准静态断裂的严格推导和充分研究的变分方法，并纳入惯性效应。Borden等人利用Hamilton最小作用原理推导出控制方程[52]。

从文献报道的结果，特别是从我们在[57]的工作中，我们可以说:

相场裂缝模拟结果非常令人鼓舞。事实上，PFMs可以捕捉到几种动态裂缝

现象:裂纹分支、裂纹止裂、破碎和多重分支(图6);

*相场模拟结果与近距动力学和间断Galerkin外部内聚元[57]的预测相似;

* AT1模型和PF-CZM模型对动态脆性断裂问题具有时空收敛性;

目前对动态脆性断裂的定量评价还很少。还需要做更多的工作。

7.3.准静态内聚断裂

只有当涉及非平面裂纹表面的三维断裂问题时，PFMs的强度才明显。人们可以通过一个相对简单的实现(准确地说，与2D实现完全相同)捕获复杂的3D裂缝路径，包括合并、分支和扭曲，整个断裂过程是在一个固定的有限元网格上完成的。为了说明这一点，我们在图8中展示了我们最近的工作[58]中对混合模式I/III骨折的模拟。

8.结论

格里菲斯关于脆性断裂的开创性研究已经过去了一个世纪。让我们来总结一下这次冒险。格里菲斯建立了脆性裂纹扩展的能量原理。Irwin提出了一种具有应力强度因子概念的等效方法，并建立了线弹性断裂力学框架。Barenblatt提出了著名的内聚带模型，极大地拓宽了断裂力学的范围到非线性领域。Rice提出了J积分，并证明了J积分与裂缝能量释放速率的关系。

格里菲斯之后大约80年，在现代变分微积分的帮助下，Francfort和Marigo能够将格里菲斯的能量原理应用到一个变分框架中。这种变分断裂方法推广了格里菲斯的能量原理，允许裂纹形核和非预定义的裂纹路径，而无需诉诸外部准则。然后是Bourdin的变分方法的相场近似。对于简单的问题，Gamma-收敛性是指当长度尺度趋近于零时，Bourdin的近似模型收敛到带有尖锐裂纹的原始问题。我们最近在相场内聚区模型上的工作揭示了将断裂力学和连续损伤力学统一为一个单一框架的前景。

变分相场断裂模型在越来越多的问题中得到应用。我们可以引用多物理断裂(水力断裂，氢辅助断裂，热弹性断裂等)，韧性断裂，疲劳，各向异性断裂，如纤维增强复合材料的断裂，生物组织的断裂。然而，要成为一种实用的工具，需要降低这些模型的计算成本。

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