2021年4月杂志俱乐部:脆性和粘性断裂的变分相场模型

2021年4月杂志俱乐部:脆性和粘性断裂的变分相场模型

Vinh Phu Nguyen(莫纳什大学)和jianying Wu(华南理工大学)

1.格里菲斯线弹性断裂力学

我们可以说，断裂力学是从艾伦·阿诺德·格里菲斯(Alan Arnold Griffith, 1893-1963)的工作开始的。由于Griffith的工作是80年后发展起来的变分相场断裂模型的基础，让我们来看看他做了什么。

1921年，Griffith进行了玻璃纤维断裂实验[1]。他发现了两件事:(1)玻璃的断裂强度明显小于理论值(来自原子键的断裂);(2)小的玻璃纤维比大的纤维强。他的结论是，纤维中存在的天然缺陷使它们变得脆弱。正是这些缺陷放大了其尖端前的应力场，从而使断裂应力比理论强度小得多。实际上格里菲斯知道查尔斯·英格利斯(Charles Inglis, 1875-1952)七年前关于椭圆孔应力集中的研究[2]。

考虑到缺陷，他制作了不同尺寸的人工表面裂纹(以克服自然缺陷)的试样，并量化了远拉应力与裂纹尺寸或长度之间的关系一个．他发现的是强度和裂缝长度之间的反比关系。他发现，施加的应力与裂纹长度的平方根的乘积是一个常数。为了找到这个常数，他进行了一种基于能量的分析，这基本上导致了现在被称为断裂力学的理论的诞生。

Griffith计算了系统的能量，该系统由存储的弹性应变能和表面能组成，即由于新裂纹表面的产生而产生的能量。他考虑了一个具有一定长度表面裂纹的单位厚度无限板一个受到与裂纹正相关的远拉应力σ。这个系统的能量由

其中，他使用Inglis解获得了由于裂纹存在而释放的弹性应变能;U0为无裂纹板的弹性应变能。有趣的是最后一项——与长度裂纹相关的表面能一个其中gamma_s是产生单位表面积所需的能量。

U对裂纹长度a的一阶导数是

导数消失条件告诉我们

这就是著名的格里菲斯方程，它将远应力与裂缝长度联系起来。

格里菲斯的工作，只适用于脆性材料(如玻璃)被忽视了近20年。直到Orowan和George Rankin Irwin(1907-1998)对其进行了修改，才出现了一个新的领域:线性弹性断裂力学(Linear Elastic Fracture Mechanics，简称LEFM)。Irwin引入了能量释放率G的概念它是弹性应变能对裂纹长度的导数的负值他和Orowan用女朋友-临界能量释放率或断裂能-考虑到其他耗散过程，如塑性变形，即

1968年James Rice(1940)对断裂力学的另一个重要贡献是著名的J积分[3]，它等于断裂能释放率G．

考虑到裂纹扩展的不可逆性，即裂纹长度的时间导数是非负的，给出了Griffith裂纹扩展准则:

即在准静态加载情况下，裂纹扩展为G > GF保持静止G < Gf．

断裂力学已经取得了巨大的成功，因为它为工程师提供了一种连续介质力学工具，可以使用断裂韧性(Irwin引入的与断裂能相关的概念)等数据定量预测大型结构的结构完整性，这些数据可以通过实验室尺度的样品进行实验测量。此外，它还可以帮助材料科学家通过观察断裂韧性来改进现有材料并设计新材料。

2.Barenblatt的内聚区模型

1959年，Grigory Isaakovich Barentblatt(1927-2018)[4]提出了庆祝内聚区模型(CZM)。Barentblatt的CZM解决了经典断裂力学中的两个主要问题:裂纹形核和裂纹尖端的应力奇异性。它的思想是把表面上无牵引力裂纹尖端前面的断裂过程区(FPZ)的情况集中在一起，并用牵引力-分离定律来近似该区域，该定律与跨裂纹表面传递的内聚牵引力σ和裂纹开度有关w．在这种情况下，断裂能量释放速率G (w)不再是一个常数，而是一个非凸函数的裂缝张开w如图1所示。

因此，在Barenblatt的CZM中，能量不是在Griffith理论中单位断裂面形成时瞬间耗散，而是逐渐释放:

零裂纹张开时对应的牵引力为抗拉强度英国《金融时报》材料的。然后，它能够定义材料的特征长度

称为欧文内长度[6]，其中E0为材料的杨氏模量。它与FPZ的大小成正比。因此，它也测量材料的脆性:越小(与结构尺寸相比)，材料表现得越脆。请注意，CZM不仅适用于粘性裂纹，也适用于具有小欧文长度的脆性裂纹。

a . Hillerborg等人[7]假设内聚裂缝可以在任何地方发展，即使实际上不存在先验的宏观裂缝，并将这种扩展命名为虚构的裂缝模型。他们还在有限元框架中实施了CZM来模拟混凝土梁的断裂[7]。另一个值得注意的工作是Xu和Needleman[8]对动态骨折的研究。CZM通常使用所谓的接口元素来实现。Paulino和Papoulia最近的研究表明，CZM和高级界面元素确实是裂缝模拟的强大工具[9,10]。

3.骨折的变分方法

1998年，也就是Griffith工作的78年后，Francfort和Marigo在变分框架中重新阐述了Griffith的能量理论，并创造了脆性断裂的变分方法[11]。这种方法通过允许裂纹成核和在单一框架内任意裂纹扩展来推广LEFM。

在这种能量方法中，裂纹扩展是由远离裂纹的体能与裂纹上的表面能之间的竞争造成的。从这个角度来看，准静态加载状态下的总能量泛函E为

对于外部势能P。

受Griffith理论，Francfort和Margio [11将脆性断裂重铸为能量最小化问题;

注意，对于裂纹路径可能“不够”光滑的情况，应寻求最小能量而不是最小能量。在这种脆性断裂的变分方法中，裂纹应该沿着能量最小的路径扩展。特别地，对于一个先验存在的裂纹，约束其沿预定的裂纹路径传播，Griffith准则被精确地检索出来[12]。然而，最重要的优点是，使用这种变分方法可以在最初完全健全的固体中处理裂纹形核，并以变分一致的方式确定本质裂纹路径，从而绕过了LEFM的基本假设。

4.断裂的变分相场模型

虽然也存在其他方案，例如，特征腐蚀法[13,14]，自适应有限元法，来近似脆性断裂的变分方法，但在[15]中提出的断裂变分相场模型可能是最通用的。这种与Francfort-Marigo脆性断裂变分方法在数值上更为适用的对应方法，是由图像分割问题中Mumford-Shah泛函[17]的Ambrosio-Tortorelli椭圆正则化[16]所激发的。这个想法是引入一个连续的标量场——裂纹相场或损伤场d(x)——对于完整的材料，它的值为零，对于完全破碎的材料，它的值为单位，对于部分破碎的材料，它的值介于0和1之间。这个场有助于将格里菲斯表面能(表面积分)近似为计算域Ω上的体积积分。因此，在这个正则化模型中，对于无穷小应变下固体的准静态断裂，位移场u和损伤场d是以下固体总能量泛函的最小值

其中第一个积分是现在受裂纹相场影响的存储应变能，第二个积分表示断裂能(la Griffith)。相场长度标度b是控制裂纹带的正则化参数，其中d (x)是零;ω(d)是能量退化功能和α(d)表示裂纹几何函数。这种正/负分解在捕捉裂缝的拉/压不对称性和去除假压缩断裂方面起着重要作用——在压缩区域内不发生断裂;关于弹性应变能的几种正/负分解方案的讨论见[18]。

相场这个名字是怎么来的?在物理学和材料科学中基于Ginzburg-Landau方程[19]的相变相场模型中，对于流体力学中基于Cahn-Hillard[20]或Allan-Cahn[21]方程的多相流体，也引入了所谓的序参数来区分不同的状态或相。这里是裂纹相场d (x)在区分固体的两种相:完整相和完全破碎相方面起着同样的作用，Kuhn和R. Mu ller在2010年将该模型称为相场断裂模型(PFM)[22]，比Bourdin、Francfort和Marigo的工作晚了十年。为了突出其变分论点，我们认为一个更好的术语是变分相场断裂模型。同年，后来的机械师Christian Miehe发表了两万博体育平台篇论文[23,24]，提出了一种更直观的方法，替代了Francfort-Marigo-Bourdin论文的形式和数学要求。事实上，Miehe成功地使PFM在工程界更具吸引力:自2010年以来，我们看到PFM的出版物激增。另一位关键人物可能是Thomas Hughes，他提出了四阶PFM[25]，并在各种Complas (Computational Plasticity)会议上发表了许多关于PFM在动态断裂和韧性断裂中的应用的主题演讲。

从自由能泛函的表达式可以看出，选择退化函数和裂纹几何函数有多种可能性。我们参考[18]进行了广泛的讨论。表1列出了三种最常见的(二级)pfm。在[15,23]中开发的AT2模型可能是工程中应用最广泛的PFM，尽管它缺乏弹性域，即当施加载荷(无论多么小)时，损伤立即变为非零。[26]中具有弹性域的AT1模型越来越受到关注。AT1和AT2模型都只适用于脆性断裂，而[27]的PF-CZM(相场黏结带模型)是第一个同时适用于脆性和黏结断裂的PFM。

在这里，我们需要强调AT1/2和PF-CZM之间最重要的区别。也就是说，后者收敛于CZM，而所有其他收敛于格里菲斯LEFM，在伽马收敛[28]中，稍后将讨论。

5.长度尺度与裂纹形核的作用

利用自由不连续问题的工具，可以证明当相场长度尺度b在消失极限趋近于零时，PFM解收敛于原问题的解。这被称为伽马收敛[28]。因此，在pfm的早期，长度尺度被认为仅仅是一个数值参数。然而，在对实验数据进行验证的过程中，人们很快意识到，对于AT1/2模型，必须将长度尺度视为与Irwin内部长度lch相关的材料参数，以便在单轴牵引状态下匹配破坏强度[26,30]。由于这种对长度尺度的新解释，Marigo将其重新命名为梯度损伤模型[26]，因为它属于1996年Fre’mond和Nedjar提出的梯度损伤模型[31]。然而，正如最近在[32]中指出的那样，这种模型不能捕捉没有预先存在缺陷的完整固体中的裂纹形核。为了证明这个问题，我们模拟了一个生物组织的单轴拉伸试验[33]，我们使用了不同的长度尺度值。为了与实验相匹配，必须使用较大的长度尺度，但该值会导致错误的宽裂纹带(图2)。

另一方面，对于PF-CZM，相场长度尺度仅仅是一个数值参数(它也可以被视为一个物理参数，可能与材料的微观不均匀性有关)，只要它与结构尺寸相比足够小。从图2c可以看出，所有长度尺度产生相同的荷载-位移响应，峰值与实验相似。因此，我们可以使用较小的长度尺度来保证伽玛收敛。超弹性固体大变形各向异性断裂公式详见[33]。

为了使我们的讨论更有说服力，我们提出了布尔丹本人报道的另一个例子[34]。本例为混凝土断裂常用的l型面板试验。试样尺寸约为500mm。使用小长度刻度(b=3.125 mm)， Bourdin得到的裂缝路径与实验结果相当吻合，但峰值荷载被高估了。为了匹配混凝土的破坏强度，需要更大的相场长度尺度b=126.32 mm必须使用。在此长度尺度下，得到了较好的荷载-位移曲线，但裂纹路径完全被过于扩散的正则化所污染(图3a)。相比之下，这对PF-CZM来说根本不是问题——裂缝路径和载荷-位移曲线都可以很好地捕捉到，两者都对相场长度尺度不敏感，如图3b所示。这是因为PF-CZM将基于应力的裂纹成核准则、基于能量的裂纹扩展准则和基于变分原理的裂纹路径选择准则合并为一个独立的框架。

6.变分相场断裂模型的数值实现

与离散断裂数值方法如XFEM[35]相比，PFM的实现非常简单。我们不需要引入繁琐的裂纹跟踪算法，也不需要引入任何用于确定裂纹方向/分支的特殊准则。在PFM的数值实现中，只需要同时考虑位移自由度和损伤自由度的标准连续体有限元。与那些必须采用特定策略的经典连续损伤模型(例如，最近由Cervera及其同事[36]提倡的混合稳定有限元)相比，pfm的解不依赖于底层的空间离散化。也就是说，就像弹性静力问题一样，几乎所有现有的数值方法，如不可约和混合FEs，无网格或无网格方法，粒子方法(MPM, RKPM)甚至最近的周动力学，都可以使用。不存在稳定性问题，也不存在网格偏差依赖[37]。此外，对于PF-CZM，溶液对相场长度尺度也不敏感。换句话说，用户只需要集中注意力S对物理问题感兴趣，而不是担心那些数值问题/参数。

与其他耦合多物理场问题一样，用于求解这些方程的求解器更为复杂，因为使用标准牛顿-拉夫森方法的单块求解器通常不起作用，因为能量泛函E相对于(u,维)。因此，最常见的解算器是交替最小化或交错(AM/交错)解算器，其中首先修复损伤自由度并求解位移自由度，然后使用更新的位移自由度求解损伤自由度。虽然一遍AM/交错求解法被广泛采用，但它会导致损伤演化的延迟、峰后机制的不准确以及裂纹到达外部边界时损伤的虚假扩大。这些问题在迭代多通道AM/交错求解器中得到了很大程度的缓解。

交错解算器易于实现且稳定，但其收敛速度极慢。在众多提出的单片求解器中，BFGS求解器——非线性优化问题的一种流行的求解器——已被证明是有前途的:基于BFGS的单片求解器对系统矩阵进行最粗略的初始猜测(BFGS- sm0)比AM/交错求解器快约4至8倍[44]，并且通过优化的系统修改(BFGS- sm1)可以进一步提高计算效率[45];请参见图4进行比较。我们还证明，计算效率的提高也适用于热-机械断裂问题[46]。

我们再次注意到，pfm可以在任何数值离散方法中实现，并且PF-CZM对这些数值问题/参数不敏感。唯一的要求是相场长度被空间离散化充分地分解。

7.应用程序

变分相场断裂模型已应用于许多问题。在文献[18]中已经进行了相当全面的综述，因此我们在此介绍一些我们最近的研究成果，涵盖了脆性和准脆性材料的静态和动态断裂。

7.1.准静态脆性断裂

图5给出了生物组织剥离试验的PF-CZM模拟。它摘自我们在[33]中的工作。参见[47,48]中其他使用相场模型研究类橡胶材料有限变形断裂的著作。

7.2.动态脆性断裂

据文献[49,50,51,52,53,54,55]报道，pfm已应用于动态骨折。思路很简单:保持严格推导和研究的准静态断裂变分方法，并考虑惯性效应。Borden等人利用Hamilton最小作用原理推导了控制方程[52]。

根据文献报道的结果，特别是我们在[57]中的工作，我们可以说:

相场裂缝模拟结果令人鼓舞。事实上，pfm可以捕获几个动态骨折

现象:裂纹分支、裂纹止裂、破碎、多分支(图6);

*相场模拟结果与周动力学和不连续Galerkin外源内聚元素的预测结果相似[57];

*对于动态脆性断裂问题，AT1模型和PF-CZM是时空收敛的;

*对动态脆性断裂的定量评价很少。需要做更多的工作。

7.3.准静态内聚断裂

只有当涉及到非平面裂纹面的三维断裂问题时，pfm的强度才显现出来。通过一个相对简单的实现(与2D实现完全相同)，可以捕获复杂的3D裂缝路径，包括合并、分支、扭曲，整个断裂过程在固定的有限元网格上完成。为了说明这一点，我们在图8中展示了一个来自我们最近工作的混合模式I/III骨折的模拟[58]。

8.结论

格里菲斯关于脆性断裂的开创性工作已经过去了一个世纪。让我们总结一下这次冒险。Griffith建立了脆性裂纹扩展的能量原理。欧文用应力强度因子的概念提出了等效方法，建立了线弹性断裂力学的框架。Barenblatt提出了著名的内聚带模型，将断裂力学的范围大大扩展到非线性领域。Rice提出了J积分，并证明了其与断裂能量释放率的关系。

大约在格里菲斯八十年后，在现代变分微积分的帮助下，弗兰福特和马里戈将格里菲斯的能量原理转化为变分框架。这种断裂的变分方法推广了Griffith的能量原理，允许裂纹成核和非预定义的裂纹路径，而无需诉诸外部准则。然后是布尔丁变分方法的相场近似。对于一个简单的问题，是收敛性是指当长度尺度趋近于0时，布尔丁近似模型收敛于具有尖锐裂纹的原始问题。我们最近对相场内聚区模型的研究为将断裂力学和连续损伤力学统一为一个框架提供了前景。

变分相场断裂模型在越来越多的问题中得到了应用。我们可以引用多物理场断裂(水力断裂、氢辅助断裂、热弹性断裂等)、韧性断裂、疲劳断裂、各向异性断裂(如纤维增强复合材料断裂、生物组织断裂)。然而，要成为一个实用的工具，需要降低这些模型的计算成本。

为了更好地阅读，我们还附上了这篇文章的pdf (https://万博manbetx平台m.limpotrade.com/files/imechanica-pfm-poster-nguyen-wu.pdf)。

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