弹性的几何离散化

亲爱的Biswajit:

我读了那本书的大部分内容，老实说，我对它没什么印象。不仅仅是那本书，还有许多其他与持续处理分布式缺陷相关的著作。我不想给出任何具体的例子，但长话短说，在我看来，Kondo和Bilby做出了一些开创性的贡献(他们意识到Riemann-Cartan流形的扭转与位错密度张量有关)，在那之后，许多人一直在研究一些看起来很复杂的方程对于具有分布缺陷的连续体没有多少成功。我可以给你们一些不正确解释的具体例子，比如对向量场积分，本质上是没有意义的，等等。我的观点如下。微分几何可能看起来很复杂，但如果使用得当，它是一个有用的数学工具。不幸的是，除了杰里·马斯登、汤姆·休斯、胡安·西莫等杰出人物的作品外，它并没有在力学中得到正确的应用。

我个人认为，如果一个理论是有意义的，就应该能够用简单的语言来解释它。理查德·费曼(Richard Feynmann)的小书《物理定律的特征》(the Character of Physical Law)是一本用非常简单的文字解释许多深奥概念的书的绝佳例子，我向大家推荐这本书。在这本非常通俗易懂的书中，我们可以清楚地看到，作者对物理学的基础知识有着非常清晰而深刻的理解，并且能够用简单而诚实的语言来解释他的知识。

我所说的空间和参考地图是指以下内容。在连续介质力学中，通常假定存在一个给定的参考结构。对于固体，这可以是任何可能的自然构型，即身体的无应力状态。我们就可以根据这个参考位形来定义运动。弹性的构形空间(在某种意义上是理论定义的地方)是参考流形到嵌入空间流形之间的映射空间。嵌入空间流形通常是具有给定背景度规的黎曼流形(与广义相对论不同，度规是动态的，受爱因斯坦方程支配)。大多数应用的环境空间是欧几里德空间。空间地图(或帧的变化)是从环境空间到自身的地图。例如，当人们谈论材料-框架无关性时，假设内部能量密度在周围欧几里得空间的等距(即保持长度)下是不变的，即当前构型中的平移和旋转。

在我看来，参考流形在力学界并没有得到很好的理解。这可以用缺陷的演化来最好地描述(当然，这可以追溯到Eshelby关于缺陷力的开创性著作)。例如，如果一个有裂纹的弹性固体受到外力作用，并且裂纹开始扩展，则存在一个随时间变化的参考流形。显然，裂纹扩展不遵循标准变形映射，额外的运动学过程由材料流形的时间依赖性表示。一般来说，环境空间流形和材料流形之间的一个重要区别是材料流形缺乏同质性。材质映射(或帧的变化)是在参考配置中起作用的映射，并将其映射到新的参考流形。现在，在非线性弹性的背景下，我认为应该使用材质贴图来研究“隐形”，因为空间贴图大致上是通过一个扭曲的镜头来观察相同的材质。同样，如果从经典线性弹性开始，没有办法区分空间映射和材料映射。

总之，任何弹性问题都有两个流形，并根据这两个流形定义不同的弹性量。例如，变形梯度是一个两点张量，其中一条腿在参考流形中，另一条腿在当前构型流形中。因此，讨论变形梯度的对称性是没有意义的。当涉及到两个完全不同的流形时，通常会有不同的映射作用于它们。我希望这是清楚的。

乔