度量限制逆设计问题

嗨，Arash -很高兴你喜欢它，谢谢你的评论。

关于你的评论(1)，实际上，在第一页上说我们主要关注膜会更好，正如在第二页的第一个项目中提到的那样。

另一方面，如果壳的材料是这样的，给定一个预应变度量场，它可以产生一个“预弯曲应变”，正好是变形的第二种基本形式，而变形的第一种基本形式“湮灭”了给定的预应变，那么所提出的问题就足够好，即使壳也可以获得给定的形状S作为能量最小化的结果。湮灭的定义将取决于壳层的弯曲应变和预弯曲应变在能量本构方程中出现的形式。这是我刚编出来的，我同意这是有点人造的，最好还是用薄膜。

现在谈谈你关于额外兼容性条件的评论。为了简单起见，我们只考虑正问题而不是逆问题。那么，我相信你们想到的额外条件是Codazzi-Mainardi方程与高斯方程的耦合。

然而，这里有一个有趣的转折。

事实上，如果这个问题是在给定第一和第二基本形式的情况下提出的，在这些场中找到使得壳的变形存在的条件，这就不是一个“很难的问题”，因为它是创造性地应用了托马斯/Froebenius定理来创造性地定义问题。答案就是高斯+ codizi - mainardi方程的满足。

然而，如果你问同样的问题，只指定了度规域，那么乍一看，这似乎是一个远没有前一个约束的问题，应该可以解决所有的度规域-基本上，一个是从2到3维的映射，有三个变量的三个方程，所以它看起来不太受约束，对高斯-科迪齐-梅纳尔迪方程的一些熟悉使人们认为第二种基本形式是自由选择的，用度规和克里斯托费尔符号作为数据(从给定的度规场产生)，所以这应该是非常可行的。猜猜看，即使在局部情况下，远离Janet和Cartan所做的解析情况，对于任意光滑度规场，解的存在性是未知的。人们可以通过检查高斯codizi - mainardi方程来理解问题所在，这个方程被看作是用度量场定义第二种基本形式的系统。然后C-M方程变成了二阶FF的一阶线性pde系统高斯方程变成了二次代数约束方程以第一种基本形式的黎曼曲率作为数据。显然，这并不容易解决，因为它涉及到根据光滑度量场的细节而改变类型的方程。

因此，在某种意义上，纯度量指定问题可能比包含附加兼容性条件的更受约束的情况更有趣。

最后，关于您对第一类和第二类克里斯托费尔符号的评价。当然，它们是连接的组成部分，但第一种和第二种是不同的数字数组，它们需要在我们的推导中被识别为不同的动物，所以为什么你说它们是“误导”和“不必要的”，我不清楚(我认为自己很懒，不使用任何不必要的东西)。我希望我们都能认同言论自由:)，那么一个名字有什么意义呢?....特别是在数学中，你唯一可以“自由”做的事情就是定义和设置你想玩的游戏的基本规则.....愿一切都好！