一个边界元公式问题

我正在研究一些边界积分方程的公式，我目前遇到了一些数学问题。我希望有人能帮我解决这个问题。

我有一个各向异性(有时称为广义)双调和微分算子，它的形式是

L = k11 D1^4 + k12 D1^2 D2^2 + k22 D2^4

D1 = d/dx, D2 = d/dy，我的问题是二维的。

我需要找到这个算子的基本解(格林函数)也就是

L(u) = -

这里是狄拉克函数。

我想到了两个解决方案，但它们似乎都失败了，首先，我想做一些坐标变换使算子项的系数变得相同，因此，使用传统的双调和格林函数(1/8/ r^2 ln(r))然而，我提出的变换是这样的

= a21x + a22y

其中a11, a12, a21和a22是根据上述要求确定的(所有算子项系数相等)，然而，使用这个变换，我得到了更多的最终算子形式的项(涉及D1^3 D2和D1 D2^3的项)

我的第二个解决方案是将各向异性双调和算子分解为两个各向异性拉普拉斯算子，并求解两个各向异性拉普拉斯方程而不是一个，我成功地分解了第一个各向异性拉普拉斯方程，但我解不出第二个各向异性拉普拉斯方程。我得到的解是这样的

L = (a1 D1^2 + a2 D2^2)*(b1 D1^2 + b2 D2^2)

设L1 = (a1 D1^2 + a2 D2^2)

和

L2 = (b1 D1^2 + b2 D2^2)

现在，L1(L2(u)) = -

设L2(u) = v

那么L1(v) = -

得到v = -1/√(a1*a2)*ln(r')

式中r' =√(x^2/a1 + y^2/a2)

现在，我们有L2(u) = v

因此L2(u) = -1/2/√(a1*a2)*ln(x^2/a1 + y^2/a2)

使(b1 D1 ^ 2 + b2 D2 ^ 2) (u) = 1/2 /√(a1 (a2) * ln (x ^ 2 / a1 + y ^ 2 / a2)

我被困在这一点上，我不知道如何解决这个问题

有什么想法吗??

谢谢

艾哈迈德