本文研究了平衡的不变性由相互作用的粒子组成的系统的能量转换。能量平衡和不变性是第一位的在欧几里得空间中检验。与连续介质不同的是,结果表明,不存在守恒定律和平衡定律从能量平衡不变的假设下环境空间的时间依赖等距。然而,任意条件下能量平衡不变性的假设环境(欧几里得)空间的异胚性,确实产生守恒定律。然后将这些想法推广到案例中当环境空间是黎曼流形时。成对测地线完全黎曼函数情况下的相互作用环境流形是通过假设交互作用定义的势明显地依赖于对的距离粒子。假设能量平衡及其不变性任意时变空间异胚产生的平衡线性动量。可以看出,成对的力是定向的沿着终点的测地线的切线。我们还得到多伊尔-埃里克森公式的离散版本,它与内力的大小与变化速率之比关于一个离散度规的原子间能与背景度量相关。
乔,
在公式3.19之后,你说原子间的力并不总是自平衡的。对于你所看到的成对交互的类型,我不确定我是否理解了这个陈述。具体来说,Eq. 3.4和Eq. 3.19不一致吗?如果是这样,那么3.19之后的说法是正确的吗?如果不是,你能解释一下原因吗?
谢谢,
乍得
附注:我还在努力完成剩下的部分。
我知道我的困惑在哪里了。出于某种原因,我把3.19读成双和,而不是它原来的单和。
亲爱的乍得:
谢谢你的兴趣。如果其他部分有不清楚的地方请联系我。
问候,乔
那么,这在哲学上意味着什么呢?我们应该期望能量守恒加上任意微分纯变换就能得到线性矩的平衡吗?乍一看,好像不应该。然而,仔细一想,也许这是显而易见的,因为每个粒子本身就是一个系统,应该有自己的不变性要求。这将意味着,第3.1项的逆将不成立,因为异胚只需要是离散的。
这与把一个粒子系统解释为高维空间中的单个粒子有什么关系呢?在这个空间中,刚性坐标平移和能量守恒是否会给出线性动量的平衡。
同时,因为从牛顿力学到拉格朗日力学或哈密顿力学并不难,这意味着什么?
Eric Mockensturm
亲爱的埃里克:
是的,整个系统的能量守恒加上任意时变微分纯态下的不变性(实际上恒速就足够了)会得到线性动量守恒。我不确定我是否理解了你所说的每个粒子的不变性要求。对我来说,不变性意味着某些函数、函数、作用等在一个群的作用下保持不变(这里是差异)。在某种程度上(如果我理解正确的话),拥有任意的异胚意味着能量平衡是不变的,在一个非平凡的,一次只作用于一个粒子的异胚下。我不明白这怎么意味着3.1的反面不成立。如果你假设线性动量平衡,观察两个不同坐标系中能量平衡的差异,在任意微分胚下能量平衡的不变性会告诉你这个差异为零。还请注意,不变性群是连续的;粒子数量有限,但群(异胚)连续作用于它们。也许我没有理解你说的"不连续"的意思?
本部分的主要结论如下。在经典弹性中,能量平衡在任意时间相关等距(刚性平移和旋转)下的不变性将给出所有的平衡定律(反之亦然),但在粒子系统中这是不正确的;我们需要扩大群体。这也类似于我们在非局部弹性理论中看到的情况。
我不明白你把一组粒子解释为高维系统中的单个粒子到底是什么意思。也许你的意思是一个具有微观结构的单一粒子,就像我们现在看到的一样?我不认为等距法能给出你想要的平衡定律。但也许你可以在这里提供更多细节。
能量平衡不变性与拉格朗日力学之间存在联系。当然,经典的结果是,如果拉格朗日密度在时移下是不变的,那么能量就必须守恒(诺特定理)。能量平衡(一个全局量)不变性和欧拉-拉格朗日方程、诺特定理等之间的确切联系,据我所知,在文献中还不完全清楚(我和Jerry Marsden以及其他几个数学家正在准备一篇论文,当它以更完整的形式出现时,我很乐意给你一份草稿)。在粒子系统的上下文中,您可以轻松地编写一个动作,然后将其极值化。这样一来,每个粒子都有自己独立的变化(这是有限维场论,每个粒子的位置都是一个场)。这类似于有任意的异胚(不仅仅是刚性运动)。
你好,亚瓦里博士
我已经读完了关于变换组下能量平衡的论文。这很有趣。该模型尤其适用于分子动力学模拟。我有一个小问题。如果粒子具有随机运动;比如布朗运动(有跳跃)我们能应用这个模型吗?我对此有点困惑。我们需要临时操作员吗?请让我知道。
谢谢
Rezwan
亲爱的Yavari
你能用一到两张幻灯片解释一下这个应用是什么?我看不到任何数字,我被数学弄糊涂了。也许达芬奇的“人物描述”是一个很好的建议(达芬奇每页至少有4幅画)。这里我看到了文字和数学……请帮助像我这样可怜的实用工程师!!
问候
迈克
米歇尔ciavarellawww.micheleciavarella.it
亲爱的迈克:
事实上,报纸上有一个人!我同意数字总是有帮助的,但在数学文献中,赋格并不常见。如果你相信数字,那么每个方程可能都需要一个数字;它隐含地假设读者会在他/她的脑海中画出一些图形。
下面是简短的描述。在每一种理论中都有平衡定律、守恒量、不等式等等。人们总是可以问,一个给定的平衡定律是一个简化理论的“假设”,还是有更多的东西,例如线性动量的平衡。另一个希望是理解同一物理现象的不同公式之间的联系,以及如何从一个公式转换到另一个公式。“不变性”或缺乏不变性是任何物理理论的关键思想。在这里,我们看看“能量平衡”的不变性,它可以被明确地写在许多系统中。不变性总是根据某些变换组来定义的,在这个意义上,不指定变换组来讨论不变性是没有意义的。本文讨论了粒子系统在不同变换组下能量平衡的不变性,以及假设不变性的结果。
关于势能的应用(我还不能算出细节)是通过进入一个假想的空间来简化给定的(多体)原子间势,在这个空间中粒子以一种更简单的方式相互作用(非常像进入傅里叶空间或拉普拉斯空间并简化线性微分方程)。
对于莱昂纳多的写作方式,我对他怀有最高的敬意,但同时我也不认为我们必须甚至应该在每一篇论文中都遵循他的写作风格。
我并不是在暗示你应该改变数学的风格,但是你不应该期望工程师读懂你!这就是生活
你说得很对。我同意清晰的写作是很重要的,以一种让人们能够理解想法、推导等的方式。我个人不喜欢不必要的抽象和复杂的事情,本质上是简单的。我认为好的想法是简单的,应该用简单的语言来解释。说了这么多,一个人应该只希望人们能理解他/她写的东西。就这篇论文而言,我已经尽力了。
简单地说,有不同的方法来推导给定理论的控制方程。从原则上讲,理解这些不同公式之间的联系是有用和重要的。例如,你可以从F=ma或从虚功原理开始。这些是“等价的”。但在特定的应用中,某些公式似乎更可取。有限元法的弱公式就是一个很好的例子。
亲爱的Rezwan:
我不太了解随机过程。我想说的是,如果你知道修正的能量平衡是什么(如果有任何修正的话),那么不变性参数应该没有那么大的不同。如果你能寄给我更多关于你所想的细节的话。arash.yavari@ce.gatech.edu我也许能提些建议/想法。
亲爱的乔
读你的论文的人很少,你说你不愿意也不能把它写得更简单、更容易理解。但在未来,这种情况将会改变。这是因为你的纸是“固体”的,周围有太多的纸。
查看我最近的帖子
LiquidPub项目:科学出版物与网络相遇,特伦托大学的一个项目
我从Int J固体和结构公司/ ELSEVIER董事会的辞职信指导意见:同行评审是一种职业责任:质量控制体系的好坏取决于参与者。
嗨
我试图给一些基本的介绍有关拓扑/可微流形的工作。说明性的解释使任何话题都更生动,这是很常见的。不幸的是,有时抽象的数学概念很难被说明。然而,流形的概念可以可视化为一个几何实体;更清晰的表面。简单地说,任何平面、球面、椭球面等在某种意义上都是流形。但基本概念可以延伸到更复杂的地方。在欧几里得空间中,我们可以使用勾股定理,但在曲线空间中,它在全局意义上是不成立的。如果我们采取限制条件,那么就有可能将其视为欧几里得空间(假设球面上的一点,围绕该点的一个非常小的区域可以处理为欧几里得空间,但如果我们一直远离球面上的点,我们就不能保留这个想法)。为了处理这类问题流形的概念就出现了。 So if we draw a line on a sphere that is no longer a line. Hence we need to use Differential Geometry. Using the theories of differential geometry we can find the length, tangent sets on the line (Actually path). If we have more than one lines we can fine the shortest line or path which are called Geodesics. The Riemannian manifold comes when we deal with these kind of concepts. As mentioned earlier, a path on the sphere is not necessarily a straight line, so the pythagorian theorem must be modified little bit. Hence Riemannain metric comes into the scenario. We can say sphere as smooth surface. So it is Riemannian manifold. Because we can have a continous tangent space on the sphere. The concept of Riemannian manifold made the analysis easier.If we use topological operation such as a sphere is deformed to be an elliosoid, we can say a smooth manifold becomes another smooth maniflod. So it is a homeomorphism which preserves the differentiability condition on every point. Now if a question comes in mind that when a sphere became an ellipsoid, will they become totally independently seperate entities? In order to find this question we have to look for invariance property. The invariance features will say that both of the manifolds are the same at some extent. I tried to give this above explanation in order to give a physical idea of manifolds. In theoretical physics maniy fields such as relativity (Obvious;y general one), magnetohydrodynamics, plasmadynamics, quantum machanics, string theory etc they use these beautiful mathematical tools in order to explain plysical phenomena. Now a days in many theories such as fracture mechanics, damage mechanics, particale dynamics (Dr. Yavari's paper) etc are being tried to be explained by the concept of classical differential geometry. Please kindly have alook on the following link if some one is more interested on the theory of manifold.
"http://www.math.washington.edu/ ~李/书/导管/ c1.pdf”而不是通过教科书,上面的文件是非常有用的,有一个基本的想法一眼。
约翰·m·李确实是一位优秀的作家。
我想增加一些关于拓扑和流形理论的书。就我所知,这些书在讨论这些棘手的数学问题方面非常出色:
拓扑学:James Munkers。
黎曼流形,曲率简介:约翰M.李
拓扑流形导论:约翰M.李
这些书在解释基本的一般拓扑学、同伦理论、微分几何和理论流形的物理概念方面非常生动。
我没犯什么错。这本书的名字是:
拓扑:James Munkers
对此我很抱歉。