几何学，拓扑学和固体力学

简而言之，微分几何是微积分在一些称为流形的弯曲空间上的推广。一个n流形是一个局部看起来像R^n的空间，但全局可能非常不同。微分几何的第一个重要应用恰好是在爱因斯坦的广义相对论中。近藤在1954年的一段话很有意思:“尽管广义相对论的显著成功给公众舆论留下了张量演算和黎曼几何重要性的印象，但不幸的是，它给黎曼表达式赋予了隐喻的外表，使它在一段时间内被工程师们所忽视。“……奇怪的是，第一个实际应用领域并不是弹性理论，特别是残余应变理论。”拓扑学是数学的一个分支，研究集合的分类及其等价类，直至同构(具有连续逆的连续双射)。换句话说，如果你可以连续地将一个集合变形为另一个集合它们在拓扑结构上是相同的集合。这两个数学分支在固体力学中有着重要的应用，但在过去的几十年里却被大多数力学家所忽视。万博体育平台在我看来，不幸的是，许多现有的几何弹性的工作都是纯粹形式的，没有真正的贡献，这可能是几何方法在力学中不那么流行的一个原因。几何的作用不应该只是重新解释现有的结果;几何有更多的东西可以提供，我想在下面讨论一些重要的应用。 I welcome your comments if I’m missing something here or if you like to add some more potential applications.

1)连续介质力学控制方程的结构

很长一段时间以来，人们都知道物理理论的构型空间是流形，微分几何是任何场论的自然框架，特别是连续介质力学。在用微分几何语言表述连续介质力学的控制方程时，使用了一些微分几何的自然算子，如李氏导数、协变导数等。例如，在几何框架中，很明显控制方程在参考和当前构型[2]的坐标变化下如何变换，以及它们在环境空间的等距下是否不变。在几何语言中，一些古老的争论，如一种客观应力率优于另一种应力率，可以很容易地解决。最近的一个应用是解决了线性弹性缺乏客观性的老悖论[3,4];如果表述得当，线性弹性就会像其他物理理论一样是协变的。几何公式的另一个优点是，人们可以把残余应力体的理论表述得与弹性体的理论非常相似。

2)固体缺陷力学

微分几何的第一个重要应用是在缺陷力学中。缺陷及其演变控制着固体的许多力学性能。在人们对固体中的缺陷有所了解的几十年前，维托·沃尔泰拉(Vito Volterra)就用数学方法预测了缺陷，并将其分为六种类型。其中一半是平移的(Love称之为错位)，另一半是旋转的(Frank称之为错位)。Volterra的动机是“多重连接”体的弹性和在没有外力的情况下(残余)应力的可能性。自从Volterra的工作以来，在弹性中只考虑了非常简单的非单连通体。有趣的是，沃尔泰拉的朋友亨利·庞加莱(Henri Poincare)在沃尔泰拉研究弹性的十年前就开始创建现在所谓的代数拓扑学(他称之为Analysis Situs)。代数拓扑的目标是使用代数方法来理解和分类有“洞”的空间。关于代数拓扑在非线性弹性中的应用的最新讨论见[6]。

20世纪50年代，日本的Kondo[7,8]和英国的Bilby及其同事[9]独立发现了分布缺陷力学与非黎曼几何之间的深层联系。这些开创性贡献的主要焦点是根据黎曼曲率和卡坦扭转(Eli Cartan -现代微分几何之父)对缺陷固体的运动学- - - - - -受到了科塞拉特兄弟的影响。在这个意义上，固体力学对现代微分几何的发展产生了影响。这里的主要思想是，在存在缺陷的情况下，物体的自然(无应力)构型是一个非黎曼流形，其几何形状明确地取决于缺陷的密度。非线性固体中单一缺陷和分布缺陷的应力场精确解很少。对于位错，我们应该提到[10-14]和错位[12,15,16]。有趣的是，自从90多年前Love对线弹性固体中单点缺陷应力场的研究和20世纪50年代Eshelby对线弹性固体中分布点缺陷的研究以来，在我们最近的研究[19]之前，没有对非线性固体中孤立点缺陷或分布点缺陷进行单一应力计算。这是利用非度规性完成的，这是Weyl在1918年引入的一种几何对象，其动机是统一电磁学和相对论(没有成功)。几何方法也可以用于寻找缺陷组合的精确解(我们称之为discombinations)，在非线性固体中不能使用叠加。在我看来，未来在这个方向上的工作应该集中在非线性解的稳定性和缺陷的动力学上。

生物系统体生长的力学

近年来，许多研究人员对制定体生长体的连续统理论很感兴趣[21-32]。这些公式大多是基于将变形梯度乘分解为弹性和生长部分，这是借鉴有限塑性[32-34]和热弹性[35]的思想。也有使用黎曼材料流形研究有限热弹性和生长力学的著作[36,37]。这里的一个开放问题是生长张量(或材料度规)作为应力函数的演化方程的形式。现有的公式是启发式的，需要在这方面进行更多的研究。在生长板和壳的情况下，最近有一些作品，其中我们应该提到[38]。假设的本构方程是线性的，但如果需要，可以解除这个限制。我们还应该提到Guven和他的同事b[39]使用变分方法在生物膜上的工作。说到真正的壳的几何理论，我们应该提到[40,41]，在这个理论中，一切都是用表面的第一种和第二种基本形式来描述的。第一种基本形式是诱导度规，并量化平面内应变(膜应变)，而第二种基本形式告诉我们子流形如何嵌入环境空间并量化弯曲应变。 As future work, developing a theory of growing shells in terms of only the first and the second fundamental forms would be interesting. I find the recent book [42] on the geometry of submanifolds quite interesting and easy to read.

4)计算力学

文献中有许多不同的数值格式，在固体力学中最成功的可能是有限元法。在使用有限元方法时存在困难，例如在不可压缩性(体积锁定和压力棋盘)等内部约束问题中。解决这一问题的方法是将位移场和压力场分别离散化的混合公式。在任何数值方案中，我们必须考虑两件事:1)收敛性和2)稳定性。第一个线性弹性的稳定离散化方案是由Arnold和他的同事基于微分配合物的思想提出的[43-45]。微分复形是线性空间的序列，它们之间有一些线性算子，使得任意两个线性算子的连续应用为零。Kroner[34]以理解线位错力学的运动学为动机，引入了线性弹性的微分复形。两年后，Calabi[46]引入了常曲率黎曼流形的复形(平坦欧几里德空间是一个特例)。伊斯特伍德意识到这两个综合体之间的联系(显然伊斯特伍德不知道克朗的工作，也没有引用它)。阿诺德和他的同事成功地将伊斯特伍德的思想应用到线性弹性中，并推导出线性弹性的希尔伯特复形，然后将其离散化。 This led to the first stable discretization of linear elasticity. Recently, we have introduced some differential complexes in nonlinear elasticity [48]. These complexes are potentially useful for discretization of nonlinear elasticity.

文献中已经观察到，在离散水平上保留连续统系统的某些结构可能会导致“更好的”离散化方案[49,50]。其中一个例子是Arnold等人的工作，其中线性弹性的微分复杂结构保留在离散水平。另一个例子是保守系统时间离散的数值耗散。根据Veselov[51]的思想，不将欧拉-拉格朗日方程离散化，直接将作用积分离散得到作用和，然后应用Hamilton原理，如Hamilton原理在离散级[52]保留。这一思想导致变分积分器具有良好的能量和动量守恒[53,54]。非线性弹性静力学的结构保持离散化是一个开放性问题。我们最近介绍的微分配合物的离散化研究可能是一个很好的研究方向。

让我在结束讨论时承认，机械师使用几何方法的主要障碍是所需的背景，而这不是任何标准工程课程的一部分。万博体育平台我没有一个很好的解决办法，但从个人经验来看，我认为一个人应该尝试学习解决特定问题所需的数学。要学习几何和拓扑，我建议阅读优秀的书籍[55-63]。

为了回答Zhigang的问题，我增加了一个关于非线性固体中夹杂物的新参考文献[64]。

在书中可以看到微分几何的应用介绍[65]。关于Cartan微积分和运动框架的介绍，我强烈推荐Shlomo Sternberg教授最近写的一本优秀的书[66]。

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