2015年9月学报俱乐部主题:晶体弹塑性运动学:F=FeFp

对于pde，你确实需要一些平滑，特别是对于非线性pde。鉴于此，如果你说奇异测度作为非线性进化的“解”没有问题，我接受你的观点。时间会证明一切.....

亲爱的Mohsen,

1) Green和Naghdi在1965年的论文(弹塑性连续统的一般理论)中首次提出了一个“一般理论”;然后，他们举例说明了总(格林)应变的弹塑性分解(E=E_e+E_p);之后，它们达到无穷小变形的速率形式。这里的本质是
理论的自然不变性(客观性)(由于其“全”拉格朗日基)和弹性势的参数表示(以E_p或C_p作为参数)。

2) Simo精确地重新考虑了Green和Naghdi(1965)的模型/理论，但抛弃了他们提出的以C_e=C-C_p为参数的势，而采用了U=U(C,C_p)的一般形式。然而，只要适当配置(塑性-)参数列表，仍然可以采用以C-C_p为参数的模型。Soare(2014-Plasticity and non-Schmid effects, Proc. R. Soc。一个)。

3)“我们知道分解F=FeFp(不管它的问题)是基于物理背景的”。“我们从哪里知道”，从谁那里知道?我也不知道那些“物理背景”。我所知道的是，所有的分解，乘法，加法，混合，等等，都植根于一个基本的观察:施加的力(无论是在晶体还是多晶体中)留下的永久变形。试图描述这一现实的许多模型之间的差异只是在方法上。

4)“…because the intermediate configuration is fictitious and cannot physically exist." Must it be real ? It's a model. I would distinguish between models and reality. If we consider the similar context of the motion of a rigid body: Do Euler's angles correspond to actual configurations of a rigid body along its trajectory in space ? Only in very particular cases (e.g., rotation about a fixed axis), for otherwise, in general, the configurations they describe are fictitious. And yet, the end result is Euler's multiplicative decomposition of the actual rotation in three simpler rotations. These parameterize the motion. Returning to our intermediate configuration... Any formulation based on it can be translated into invariant (Lagrangian) terms/measures and vice versa.

最好,斯蒂芬

嗨Kaushik,

1.当涉及到这一点时，我无法理解你的缩放方案(1)的数学:

为了使净电荷保持在极限内，我想要$N_\epsilon。b_\epsilon = N_1 b_1$意味着$N_\epsilon = N_1 b_1 / \epsilon$ "

隐含的部分不应该是:$N_{\epsilon} = \dfrac{N_1 b_1}{b_{epsilon}}$，导致$N_{epsilon} = \dfrac{N_1}{\epsilon}吗?它似乎也有物理意义。因此，根据你的假设，由于位错间距(即$b$)抵消了，$\rho_{\epsilon}$将与$b$无关。顺便问一下，你在这里使用的符号是标准的吗?］

2.回复:你的观点(3):你提到了通过轮廓积分检测汉堡向量的(难度/不可行性)。很明显，你的意思是轮廓积分是在晶格的连续极限的区域上进行的. ...这只不过是晶格常数在连续统极限下趋于零的直接结果(这与具有有限晶格常数但使晶格的大小无限相同)。

因此，任何企业检测汉堡向量的有限值都必须在连续统中失败——它肯定会接近零。

但我想说的是，你为什么要检测首先是轮廓积分的有限值?你们为什么不干脆点需要求出有限的“量化”值的轮廓积分?因此，例如，对于位移$\ point d\vec{x} = n \vec{b}$，其中$\vec{x}$是沿积分路径的位移，$n = 0,1,2,3 \dots$， $\vec{b}$是Burgers向量。

所以，我的想法是，为什么不首先假设这样一个量化关系总是保持不变——在任何尺度下，包括在连续统极限下——然后以此为起点进行分析呢?

这样，你也许可以得到你正在寻找. ...[只是一个想法;对这个领域一无所知…

——特

(E&OE)

考希克:我犹豫是否要多说，主要是因为在这一点上，我没有太多要说的。关于你的主要观点:我理解你的设置(Ajit在缩放1中指出了一个小问题)。我看待事物的方式会有所不同。您可以看到位错均匀地分布在L × L固定大小的块中。我有不同的看法。我会观察一个区域L_\espilon x L_\ epilon在由N_\ epilon位错填充的无限定义域中当趋于零时(缩小)，我也会缩放L_\ epilon我的直觉是比线性的快。你的概念就符合L_\ = L_1固定。这就是我认为合并发生的方式。我确实觉得在缩小时位错间距必须减小否则能量就会表现不好我觉得在宏观极限下能量开始表现良好对于这些静态考虑是很重要的但正如我说的，这不是这里也不是那里需要用一些具体的方法来测试。

最糟糕的是，对于所有我喜欢考虑的放大微观位错动力学的模型，平均能量根本没有出现!

关于你方评论:

回复:1)我也喜欢横向剪切!虽然我不能理解你对渐近和变分方法的区别，但我认为基于\Gamma收敛的分析既是渐近的也是变分的。渐近模型总是意味着适合于某些情况-壳理论是由荷载大小参数化.....顺便说一句，我听过Paolo Podio Guidugli曾经给Roberto Paroni做过一个关于他的一些工作的演讲，他谈到了通过伽玛收敛来推导Reissner-Mindlin。如果你能多解释一下你想到的区别就好了。这很有趣……

回复:2)一旦我有更多的时间，我会思考和阅读有关偶极子业务的内容，如果我有想法/问题，我会回来。

回复:3)我多么希望汉堡矢量不是物理长度!我知道你是从哪里来的，但在位错的问题上，对我来说，不管你达到什么样的宏观极限，你都不能忘记设定长度尺度的汉堡向量不管多小，轮廓积分是否为零都很重要。老实说，我也希望它能更清晰一些。

为了继续这个冗长的问题(如果你去掉它，你会得到弹性，没有错位)，我想用下面的方式来考虑缩放:用汉堡向量对所有长度进行非量纲化。然后让L/b趋于无穷。当你这样做时，轮廓积分值不会改变——保持固定在1。你在x/L的尺度上解决这个理论换句话说，无量纲空间变量x = x/b在-x/L到+x/L的范围内运行。如果这没有任何意义:)，你会知道，现在是时候让我独自一人在这个-我不能在这个阶段做得更好....顺便说一句，我所说的(在我看来)与Ajit已经说过的量化....没有太大不同当然，我也有可能是大错特错的——就像在所有与缩放业务相关的事情上一样。