等几何分析(IGA)

这篇文章的目的是简要介绍最近出现的等几何分析(IGA)，它是在开创性的论文“Hughes, T.J.R.;J.A. Cottrell, Y. Bazilevs(2005)。等几何分析:CAD、有限元、NURBS、精确几何和网格细化。第一版。方法:。动力机械。Engrg。(Elsevier) 194: 4135-4195。”IGA是一种计算框架，在这种计算框架中，CAD中用来表示几何形状的基函数被用来逼近FEA中的未知场。在这方面，IGA还采用了众所周知的等参数概念。

工程领域的两个重要领域是计算机辅助设计(CAD)和有限元分析(FEA)。开发了有限元分析来改进工程分析，开发了CAD来改进设计过程。有限元分析始于20世纪40年代，而CAD在20世纪70年代才成为一个成熟的领域。这就解释了为什么不同的数学模型被用来表示相同的对象。在有限元分析中，使用低阶(通常为一阶或两阶)的三元多项式来逼近实体物体，而在CAD中，同一物体用NURBS(非均匀有理b样条)表示。由于几何表示的差异，从CAD模型到FEA模型的转换需要另一种技术——所谓的网格生成器，它将CAD模型转换为适用于有限元计算的有限元(FE)网格。然而，对复杂结构进行网格划分是一个非常耗时的过程，可能比分析本身要长得多。此外，想象一下，如果需要改变物体的几何形状，那么他们必须重复耗时的网格划分过程。

这可能是第一个工作，试图连接CAD和有限元分析是卡根和他的同事在1998年的工作，其中b样条被用来表示实体几何在有限元模型。因此，CAD和FEA模型都采用相同的技术——b样条来构建感兴趣的对象。沿着这条研究路线，Cirak等人(2000)做出了另一个显著贡献，他们将细分曲面(subdivision surface)用于有限元薄壳模型，这是一种在计算机动画中广泛使用的CAD技术。
直到2005年，这一想法才得到推广，Hughes和他的同事们将NURBS应用于有限元固体/结构/流体力学模型中，形成了一个新的领域——等几何分析(IGA)。自这篇开创性的论文发表以来，专门出版了一本关于这一主题的专著，并在结构力学、固体力学、流体力学、断裂力学、生物力学和接触力学等多个领域得到了应用。

IGA不仅缩小了CAD和FEA之间的差距，而且在沉寂了一段时间之后，触发了样条研究的新动力，例如局部精细样条，分层t网格(PHT)上的多项式样条等。CAD和有限元研究人员之间的交流越来越多。

IGA的一些明显优势是
(1)与CAD数据(对优化问题很重要)和精确的几何表示(对壳体问题，流体等很重要)紧密联系;
(2) b样条/NURBS是非常光滑的函数，易于获得高阶连续性(便于构造C^1板壳单元或具有高阶导数的偏微分方程);
(3)由于具有高阶连续性，所需的自由度数通常少于标准拉格朗日FEs;获得准确的应力场(这在裂缝建模中很重要);
(4)通过使用Bezier提取，容易合并到现有的有限元代码中(这与一些相关的无网格方法形成鲜明对比)。它可以在LS-Dyna和Abaqus (http://abqnurbs.insa-lyon.fr/index.php/2-uncategorised/4-isogeometric-an..。）.基于Bezier提取的IGA代码可以通过应用于FEM的标准域分解方法并行化。

应该强调的是，IGA并不局限于b样条/NURBS。其他CAD技术包括t样条、细分曲面、PHT、局部精细样条和Powell-Sabin样条。一些开放源码的IGA代码是geode，可以在http://geopdes.apnetwork.it，主办地点为http://sourceforge.net/projects/cmcodes/(此代码实现1D/2D/3D IGAFEM和IGAXFEM，具有大位移的实体和结构模型)和OOFEM (http://www.oofem.org/en/oofem.html）.它也被纳入FEAP。

IGA的最大挑战可能是如何定义给定CAD曲面的适合分析的三变量模型。请注意，在CAD环境中，实体只是一个表面，不足以用于分析目的。在这方面，由Simpson等人开发的IGABEM—等距边界元方法可以被认为是迄今为止真正的等距边界元方法。塞维利亚的NURBS增强有限元法(NEFEM)是另一种方法，其中只需要NURBS表面，内部由拉格朗日有限元离散。另一种有趣的方法是Rosolen, Arroyo提出的IGA-Max方法，其中边界由NURBS表示，内部由一组点离散。这个想法是结合最好的IGA和无网格方法。

尽管IGAFEM与拉格朗日FEs基本相同，但也存在一些差异。首先，从参数空间到物理空间的映射不是局部的，因为它将一个单元立方体(3D问题)映射到许多“元素”而不是单个元素。其次，不同元素的基函数可以不同。这使得实现成为一项重要的任务。然而，使用Bezier提取实现IGA是很简单的。“元素”被定义为非零结跨度。在IGA中，控制点扮演着节点的角色。然而，由于样条基不是插值的，控制点上的场值在拉格朗日方程中不具有作为节点值的物理意义。

显然，复杂的几何形状不能简单地定义为一个单位立方体的映射，因此它们必须由多个NURBS补丁表示。如果它们具有不同的参数化/离散化，连接这些补丁并不是一项简单的任务。这与有限元中的挂节点相似。注意，NURBS单元可以被认为是高阶结构曲线四边形单元。NURBS由于其张量积的性质，不支持局部细化。然而，分层b样条/NURBS可以，t样条也可以。

虽然b样条/NURBS通常不是插值的，但由于使用开结向量，它们在边界处也是如此。因此，执行齐次边界条件是标准的。同样，这与无网格近似完全相反。数值积分也以标准的方式进行。b样条/NURBS单元的最优正交是一个开放的话题，尽管Hughes和Aurrichio已经做了一些工作。

目前，对三元修整NURBS固体进行分析仍然是一个挑战。解决这一问题的方法有两种:t样条法和虚域法。前者是NURBS的最新推广，实现起来很复杂，在CAD中尚未普及。后者包括边界浸入法、有限单元法。

在作者最近的一篇论文中，IGA被证明可以极大地改善层压复合材料的设计和分析。这是由于与CAD的直接链接以及为分层分析生成内聚元素(以自动方式)的便利性。

对于FEA，有许多商业和/或免费的预处理器。然而，对于IGA来说，资源是相当有限的:目前人们使用的要么是Rhino3D(一个NURBS/ t样条建模包，不是免费的)，要么是NURBS工具箱，它不提供用户友好的GUI。