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各向同性:更新拉格朗日量Vs总拉格朗日量
亲爱的所有,
我看到有人提到，在更新的拉格朗日公式(例如FEM)中，材料在更新的构型下可能不会保持各向同性，即使参考构型是各向同性的。但是，我没有看到任何关于此事的详细讨论。
因此，请就以下问题发表意见:
- 这方面是否在更新的拉格朗日公式中被考虑，或者作为一个可以忽略的小影响而被忽略?
- 这是否意味着全拉格朗日公式是“正确”的方法，而更新的拉格朗日方法只是一个近似值?
也欢迎链接到任何参考资料，其中讨论了这个问题。
提前感谢，
Jayadeep
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评论
亲爱的Jayadeep, Total和
亲爱的Jayadeep,
总的拉格朗日量和更新的拉格朗日量只是看待相同守恒定律(质量、脉冲、能量)的两种方式——一种使用物质坐标，另一种使用空间坐标。由于材料特性(例如各向同性)在参考系的变化过程中应该是不变的，我很确定当你从更新的拉格朗日公式切换到总拉格朗日公式时，它不会改变。
问候,安德拉斯
更新后的配置可能不会保持各向同性
亲爱的安德拉斯,
谢谢你的回复。然而，据我所知，更新后的配置可能不是各向同性的。由于我对这件事没有完全的了解，我将给出与我最初的问题相关的两点(和参考):
1.可以证明，对于各向同性且不受影响的材料，其未变形态的残余应力必须是静水的[1,2]。由于更新构型中的应力状态不必是流体静力的，因此未变形(参考)构型和更新构型在这方面是不相等的。
2.Bonet和Wood[3]的书明确指出，即使参考构型是各向同性的，以空间弹性张量为特征的空间响应也可能是各向异性的。我感觉更新后的构形就像一个空间构形，与这个构形相对应的弹性张量，通过对弹性张量的参考形式进行前推运算得到，将不会是各向同性的。所以我最初的问题是，是否执行这样的操作来获得更新配置的弹性张量，或者它是一个可以忽略不计的影响，以便原始弹性传感器可以不变地使用?
引用:
[1] Gurtin M.E, Eliot Fried和Lalit Anand， "连续体的力学和热力学剑桥大学出版社出版。
[2] C.S. Jog， "连续介质力学， Alpha Science(或印度及其邻国的Narosa)
[3]哈维尔·博内和理查德·d·伍德，"有限元分析的非线性连续介质力学剑桥大学出版社出版。
问候,
Jayadeep
嗨，Jayadeep，我做了
嗨Jayadeep,
我对这个课题做了一些研究，我发现了以下几点:
你关于空间弹性张量是各向异性的观点是正确的，即使材料的对应张量是各向同性的。博内在他的书中清楚地说明了这一点，尽管他没有解释原因。在Peric[1]的一篇文章中，我发现空间弹性张量的性质强烈依赖于你在材料描述中使用的应变测量。在格林-拉格朗日应变的情况下，空间描述涉及基尔霍夫应力的特鲁斯德尔速率为功共轭。你的空间弹性张量将是非恒定的和各向同性的。如果使用Hencky(对数)应变，则空间描述涉及基尔霍夫应力的格林-纳吉迪速率。空间弹性张量将是非恒定的和各向异性的。在这两种情况下，变形梯度的参与改变了(原来)各向同性和常数材料弹性张量的性质。
如果涉及到空间弹性张量的特殊特征，则更新的拉格朗日公式准确地描述了问题(与全拉格朗日公式相同)。这种近似来自于这样一个事实，即在许多情况下，我们假设空间弹性张量是恒定的和各向同性的。这个假设使我们的公式二阶精确，尽管它节省了大量的计算。在金属塑性中，弹性应变很小，这种方法给出的结果在合理的精度范围内。由于速率方程在超弹性中很少使用，在超弹性中假设是无效的，因此几乎没有任何限制。
问候,安德拉斯
引用:
[1][刘振民。固体力学中应力速率的计算方法。
http://onlinelibrary.wiley.com/doi/10.1002/nme.1620330409/abstract