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关于柯西应力张量的性质
在查看iMechanica万博manbetx平台网站时，我注意到了一些柯西应力张量的讨论它是协变的还是逆变的。张量既不是协变的也不是逆变的，但是它可以用它的协变，逆变，或者在任意坐标系下的混合分量来表示。请参阅附件中的简短说明。
| 附件 | 大小 |
|---|---|
 Cauchy_Sress_Tensor.pdf |
24.52 KB |
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- Sia Nemat-Nasser的博客
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评论
关于张量
嗨，纳赛尔博士，
谢谢你的澄清。所以这完全取决于选择什么样的基向量(协变基还是逆变基)那么每个张量，不管它的类型(速度矢量，库奇树张量等)都可以协变或逆变地表示和变换，对吗?
张量和它们的分量
是的，向量是一阶张量。任何张量都可以用它的协变、逆变或混合分量在任何合适的坐标系下表示。请阅读我原始评论底部参考文献中引用的部分。SNN
张量代数
谢谢纳赛尔博士，
事实上，张量的协方差和逆变的概念取决于你选择的表示。
马利克
对变张量和协变张量可以是不同的
撇开柯西应力不谈，我应该注意到，如果连续体中没有笛卡尔结构，反变张量和协变张量可能是不同的(马斯登和休斯:“弹性的数学基础”)。在经典连续介质力学中，除了基于变形梯度乘法分解的理论外，我们几乎总是使用笛卡尔结构，这意味着存在不相容的中间构型。这样的构型不是可以引入全局笛卡尔结构的物理连续体。
张量的逆变和协变分量
张量既不是协变的也不是逆变的。这些项指的是张量的分量。对于一般的曲线坐标系，这些分量的矩阵通常是不相同的。因此，我们不应该将张量称为协变或逆变。一旦选择了特定的坐标系，这些项表示它们的分量。一个张量，例如一个矢量，通常具有独立于任何坐标系的物理意义，人们可以选择坐标系来表示它的协变或逆变分量。SNN
再保险
亲爱的Nemat-Nasser教授:我同意你所说的，只有在欧几里得空间中连续变形时，笛卡尔结构才能被强制执行。情况并非总是如此。例如，可塑性乘法理论中的中间构型不在欧几里得空间中。非欧几里得空间中物理理论的另一个例子当然是广义相对论。如果空格是非欧几里得则共反变量和混合变量表示不同的对象，而不是同一对象的不同表示。Kosta
协方差和逆变在更一般的情况下
沃洛克教授
我明白你的意思。我相信你的意思是在某些情况下协变张量和逆变张量在连续体中的结构是不同的。你关于“变形梯度的乘法分解”的观点让我们想起了连续介质力学中一些不能被指定为笛卡尔结构的构型。
然而，由于我没有读过你在评论中引用的那本书，我希望你能给我们一些关于你提到的案例的解释。我是说在什么意义上协变和逆变变是不同的?
再生能源。纳赛尔指出，协变和逆变只适用于张量的分量。我相信他正在考虑黎曼流形，其中度量张量可以被定义(我指的是Pfr)。Arash Yavari在之前的讨论中的评论)。
我有点困惑，但我相信这两个概念在复杂流形的情况下可能是不同的。
在非黎曼流形的情况下协变张量和逆变张量是不同的这样说对吗?
问候,
马利克
非黎曼流形
我相信黎曼流形是由一个具有正定度规张量的可微流形组成的结构。非黎曼流形可能是不可微的，也可能没有度规张量或非后自度量。直觉上，我不认为在一般的非黎曼环境中考虑物理张量是很有成效的。有人能给我举个例子反驳我的直觉吗?
同样，切空间能否在不可微流形上的一点上被唯一定义?
——Biswajit
“Non-Riemannian”集合管
亲爱的Biswajit:
关于黎曼流形你是对的。首先你从一个可微流形开始然后赋予它一个度规张量(定义上是正定的)它平滑地依赖于位置。“非黎曼”是模糊的，但它通常不对应于不可微性。
对于一般光滑流形，没有办法从本质上微分张量场。例如，张量的偏导数通常不是张量。我们需要增加更多的结构，例如，通过线性连接不同的切线空间。这样做意味着你引入了一个“仿射连接”。这将允许你定义张量场的平行移动和张量场的协变微分。
黎曼流形发生了一些神奇的事情。有了度规，就有了一个独特的对称连接，它的诱导平行输运保留了内积(黎曼几何基本定理)。这种独特的联系被称为列维-奇维塔联系。
通常人们所说的“非黎曼流形”是指具有非对称仿射连接的流形，即具有不消失的扭转张量(有时你会看到黎曼-卡尔坦流形)。有关于时空扭曲的相对论的延伸。在力学文献中，“材料流形”的“扭转”被认为与位错密度张量有关。
有一些众所周知的不可微流形的例子引起了我们的兴趣，即简单复形或更一般的CW复形。然而，你不会在那里定义一个切线空间。在定义离散黎曼流形方面已有许多尝试。在相对论文献中，有一种所谓的雷格演算，它试图将通常的黎曼几何概念/量扩展到类似的复合体。
问候,
乔
向量和张量
亲爱的马利克,
我不是在网上免费找到马斯登&休斯的。不过，你可以去的网页伯恩教授在那里你可以免费下载一篇关于矢量和张量的综合论述。
致以最良好的问候，科斯塔
力学基础
Kosta,
Ralph Abraham和J. E. Marsden的《力学基础》(Foundations of Mechanics, FoM)可以在这里免费找到:
http://caltechbook.library.caltech.edu/103/
它描述了流形中的张量和微分形式。它使用的语言和符号与Marsden & Hughes弹性书中的非常相似(有些部分取自FoM)。然而，《FoM》是一本相当难读的书——亚马逊上的一位评论家把这本书比作“用火箭筒杀死一只蟑螂”。阿拉什一定知道这本书。
力学基础
是的，我看过这本书。最近也出了第二版。
如果你看过评论弹性的数学基础，一位评论者说:“把简单的问题变成噩梦。工程中的弹性问题有多难?但这些家伙有办法让1+1=2看起来像人类遇到过的最神秘的问题。难怪现在人人都讨厌工程和物理。”我不认为这本书是当今许多人回避工程学的原因。如果你是弹性的初学者，这可能不是开始的好地方，但知道还有其他的方法来做弹性是一个好主意。这就像一门新的语言，一开始可能很难，但它可以打开一个充满机会的新世界。
乔
协变张量和逆变张量
亲爱的新加坡航空,
谢谢你的笔记和评论。当你在欧几里得空间中工作时，你指出的是完全正确的。当然，你可以使用笛卡尔坐标或者任何非正交曲线坐标即使是对于一个本质上平坦的空间，比如欧几里德空间。
需要注意的一件重要的事情是张量是多线性映射它取一堆向量和余向量并给出一个实数。给定一个线性空间V，它的对偶V* (V上所有线性泛函的空间)不“等于”V。因此，从V到V的映射不“等于”从V*到V*的映射或从V到V*的映射。如果你在欧几里得空间中工作，而不是在一般流形中，这些都可以是语义。
这可以用向量(逆变向量)和协向量(协变向量或微分形式)来更清楚地解释。给定线性空间中的一个向量，对应的对偶向量或形式总是可以定义的，即使你没有任何度量结构。向量和协向量(1-形式)之间的一个有趣的区别是，你不能在一般流形上对向量场进行本质积分，但微分形式总是可以进行本质积分。
然而，一旦你赋予流形一个度规那么就有一种方法来识别一个切空间和它对应的余切空间这就是在黎曼流形中发生的事情。
准确地说，给定一个流形M，在点X处的(M, n)型张量S是从M个拷贝T*M (X处的余切空间)和n个拷贝TM (X处的正切空间)到实数的笛卡尔积的多线性映射。在这种情况下，S是秩m的逆变变量，秩n的协变变量。这个定义不依赖于所选择的局部图(坐标系)。
我认为你在评论中提到的一个严格的解释是柯西应力是一个物理量，可以用不同的相关张量来描述。
问候,
乔
应力==(1,1)张量
让我重申Sia的观点，即应力既不是协变的也不是逆变的。坐标是我们为了方便而引入的简单技巧。
我认为Arash的评论是一种更好的思考压力的方式;也就是说，人们应该从操作的角度来考虑压力。在这方面，我喜欢把应力看作一个(1,1)张量。为什么?操作应力采用表面法向(几何上是一种形式)，并将单位面积的力返回到表面。力本身在操作上取一个速度，返回一个标量，功率。因此，可以很好地认为应力作用于表面法线(一种形式)和速度(切矢量)，并返回标量的功率。因此，从操作的角度来看，应力很好地被认为是(1,1)张量。注意，你如何看待压力取决于你的操作定义。比如马斯登和休斯的作品弹性的数学基础，他们认为应力应该是一个(2,0)张量(Schutz也是)。然而，这取决于我们希望如何对待力——作为一种形式或切向量。我喜欢考虑在一个表面上整合牵引力的可能性，因此对我来说，把牵引力看作一种形式更有意义。例如，伯克同意将力量视为一种形式。
关于这些概念的进一步阅读，我喜欢Bernard Schutz的书数学物理的几何方法以及威廉·l·伯克的书应用微分几何。
桑杰·戈文杰教授
加州大学伯克利分校
non-Euclidian空间
亲爱的所有,
我是张量的新手。谁能举个例子说明问题的条件，证明在非欧几里得空间工作?
谢谢。
Re:非欧几里德空间
Arash说:“谁能举个例子证明问题的条件，证明在非欧几里得空间工作是正确的?”
比如壳。作为一个例子，你可以看到
西莫和福克斯。”应力合成几何精确壳模型。第一部分:“配方和最优参数化”;应用力学与工程中的计算机方法，第72卷第3期(1989年3月);
页:267 - 304。
——Biswajit
协变，逆变和混合张量
你可以看看A I Borisenko的书《矢量和张量分析的应用》第91页“协变、逆变和混合张量”一节。这里说的是，在一个物理问题中，最自然的是从一组特定的分量开始，比如协变分量，然后张量本身就是协变的，但是度量总是可以用来推导出它所有的逆变分量和混合分量。这应该适用于黎曼流形，其中度规定义得很好。