关于柯西应力张量的性质< div class="field- name-comment-body field-type-text-long field-label-hidden">
可以查看a I Borisenko的书"Vector and tensor Analysis with Applications"第91页"协变、逆变和混合张量"一节。这里说的是，在一个物理问题中，最自然的是从一组特定的分量开始，比如协变分量，然后张量本身就是协变的，但是度量总是可以用来推导出它所有的逆变分量和混合分量。这应该适用于黎曼流形，其中度规定义得很好。
回复回复:非黎曼流形< div class="field- name-comment-body field-type-text-long field-label-hidden">
亲爱的Biswajit:
关于黎曼流形你是对的。首先你从一个可微流形开始然后赋予它一个度规张量(定义上是正定的)它平滑地依赖于位置。“非黎曼”是模糊的，但它通常不对应于不可微性。
对于一般光滑流形，没有办法从本质上微分张量场。例如，张量的偏导数通常不是张量。我们需要增加更多的结构，例如，通过线性连接不同的切线空间。这样做意味着你引入了一个“仿射连接”。这将允许你定义张量场的平行移动和张量场的协变微分。
黎曼流形发生了一些神奇的事情。有了度规，就有了一个独特的对称连接，它的诱导平行输运保留了内积(黎曼几何基本定理)。这种独特的联系被称为列维-奇维塔联系。
Usually by "non-Riemannian" manifolds people mean a manifold with a non-symmetric affine connection, i.e. with non-vanishing torsion tensor (sometimes you see the name Riemann-Cartan manifolds). There are extensions of relativity to space-times with torsion. In the mechanics literature, "torsion" of a "material manifold" is believed to be related to the dislocation density tensor.
There are well-known examples of non-differentiable manifolds that have been of interest, namely simplicial complexes or the more general CW complexes. However, you would not define a tangent space there. There have been many attempts in defining discrete Riemannian manifolds. In the relativity literature, there is the so-called Regge Calculus that attempts to extend the usual Riemanian geometry concepts/quantities to simlicial complexes.
Regards,
Arash
力学基础< div class="field- name-comment-body field-type-text-long field-label-hidden">
是的，我看过这本书。最近也出了第二版。
如果你读过关于弹性数学基础的评论，一个评论者说“把简单的问题变成噩梦。工程中的弹性问题有多难?但这些家伙有办法让1+1=2看起来像人类遇到过的最神秘的问题。难怪现在人人都讨厌工程和物理。”我不认为这本书是当今许多人回避工程学的原因。如果你是弹性的初学者，这可能不是开始的好地方，但知道还有其他的方法来做弹性是一个好主意。这就像一门新的语言，一开始可能很难，但它可以打开一个充满机会的新世界。
Arash
对于向量和张量< div class="field- name-comment-body field-type-text-long field-label-hidden">
Kosta，
Ralph Abraham和j.e. Marsden的《力学基础》一书可以在这里免费找到:
http://caltechbook.library.caltech.edu/103/它描述了流形中的张量和微分形式。它使用的语言和符号与《马斯登》中的非常相似。休斯弹性书(部分部分取自FoM)。然而，《FoM》是一本相当难读的书——亚马逊上的一位评论家把这本书比作“用火箭筒杀死一只蟑螂”。阿拉什一定知道这本书。
回复张量的逆变和共变分量< div class="field- name-comment-body field-type-text-long field-label-hidden">
亲爱的Nemat-Nasser教授:我同意您所说的只有在欧几里得空间中可以强制执行笛卡尔结构的连续变形。情况并非总是如此。例如，可塑性乘法理论中的中间构型不在欧几里得空间中。非欧几里得空间中物理理论的另一个例子当然是广义相对论。如果空间是非欧几里得的，那么共反变量和混合变量表示不同的对象，而不是同一对象的不同表示。
对于协变张量与逆变张量< div class="field- name-comment-body field-type-text-long field-label-hidden">
让我补充一下Sia的评论，即应力既不是协变的也不是逆变的。坐标是我们为了方便而引入的简单技巧。
我认为Arash的评论是一种更好的思考压力的方式;也就是说，人们应该从操作的角度来考虑压力。在这方面，我喜欢把应力看作一个(1,1)张量。为什么?操作应力采用表面法向(几何上是一种形式)，并将单位面积的力返回到表面。力本身在操作上取一个速度，返回一个标量，功率。因此，可以很好地认为应力作用于表面法线(一种形式)和速度(切矢量)，并返回标量的功率。因此，从操作的角度来看，应力很好地被认为是(1,1)张量。 Note that how you think of stress depends upon your operational definition. For example, in Marsden and Hughes Mathematical Foundations of Elasticity, they state that stress should be a (2,0) tensor (as does Schutz). However this depends upon how once wishes to treat forces -- as one-forms or tangent-vectors. I like to think about the possibility of integrating traction on a surface and thus it makes more sense to me to think of traction as a one-form. Burke for example agrees with treating forces as one-forms.
For further reading on such concepts, I like the book of Bernard Schutz Geometrical methods of mathematical physics and the book of William L. Burke Applied Differential Geometry.
Prof. Dr. Sanjay Govindjee
University of California, Berkeley
对于非欧几里得空间< div class="field- name-comment-body field-type-text-long field-label-hidden">
我认为riemann流形是由一个具有正定度规张量的可微流形组成的结构。非黎曼流形可能是不可微的，也可能没有度规张量或非后自度量。直觉上，我不认为在一般的非黎曼环境中考虑物理张量是很有成效的。有人能给我举个例子反驳我的直觉吗?
同样，切空间能否在不可微流形上的一点唯一地定义?
—Biswajit
关于柯西应力张量的性质< div class="field- name-comment-body field-type-text-long field-label-hidden">
亲爱的大家，
我是张量的新手。谁能举个例子说明问题的条件，证明在非欧几里得空间工作?
谢谢。
张量既不是协变张量也不是逆变张量< p>< p>这些项指的是张量的分量。对于一般的曲线坐标系，这些分量的矩阵通常是不相同的。因此，我们不应该将张量称为协变或逆变。一旦选择了特定的坐标系，这些项表示它们的分量。一个张量，例如一个矢量，通常具有独立于任何坐标系的物理意义，人们可以选择坐标系来表示它的协变或逆变分量。SNN
关于柯西应力张量的性质< div class="field- name-comment-body field-type-text-long field-label-hidden">
特别撇开柯西应力不谈，我应该注意到，如果连续体中没有笛卡尔结构，对变张量和共变张量可以是不同的(Marsden和Hughes:弹性的数学基础)。在经典连续介质力学中，除了基于变形梯度乘法分解的理论外，我们几乎总是使用笛卡尔结构，这意味着存在不相容的中间构型。这样的构型不是可以引入全局笛卡尔结构的物理连续体。
关于柯西应力张量的性质< div class="field- name-comment-body field-type-text-long field-label-hidden">
感谢Pfr Nasser，
实际上张量的协方差和逆变的概念取决于你选择的表示。
Malik
关于张量< div class="fie万博manbetx平台ld- name-comment-body field-type-text-long field-label-hidden">
是的，向量是一阶张量。任何张量都可以用它的协变、逆变或混合分量在任何合适的坐标系下表示。请阅读我原始评论底部参考文献中引用的部分。SNN
亲爱的Sia，
感谢您的注释和评论。当你在欧几里得空间中工作时，你指出的是完全正确的。当然，你可以使用笛卡尔坐标或者任何非正交曲线坐标即使是对于一个本质上平坦的空间，比如欧几里德空间。
需要注意的一件重要的事情是张量是多线性映射它取一堆向量和余向量并给出一个实数。给定一个线性空间V，它的对偶V* (V上所有线性泛函的空间)不“等于”V。因此，从V到V的映射不“等于”从V*到V*的映射或从V到V*的映射。如果你在欧几里得空间中工作，而不是在一般流形中，这些都可以是语义。
这可以用向量(逆变向量)和协向量(协变向量或微分形式)来更清楚地解释。给定线性空间中的一个向量，对应的对偶向量或形式总是可以定义的，即使你没有任何度量结构。向量和协向量(1-形式)之间的一个有趣的区别是，你不能在一般流形上对向量场进行本质积分，但微分形式总是可以进行本质积分。
然而，一旦你赋予流形一个度规那么就有一种方法来识别一个切空间和它对应的余切空间这就是在黎曼流形中发生的。
To be precise, given a manifold M, a tensor S of type (m,n) at a point X is a multilinear map from Cartesian product of m copies of T*M (cotangent space at X) and n copies of TM (tangent space at X) to real numbers. In this case, S is contravariant of rank m and covariant of rank n. This definition does not depend on the local chart (coordinate system) chosen.
What I think can be a rigorous interpretation of what you mentioned in your comment is that Cauchy stress is a physical quantity that can be described by different associated tensors.
Regards,
Arash
关于柯西应力张量的性质
Volokh教授，
我明白你的意思。我相信你的意思是在某些情况下协变张量和逆变张量在连续体中的结构是不同的。你关于“变形梯度的乘法分解”的观点让我们想起了连续介质力学中一些不能被指定为笛卡尔结构的构型。然而，由于我没有读过你在评论中引用的那本书，我希望你能给我们一些关于你提到的案例的解释。我是说在什么意义上协变和逆变变是不同的?
确实。纳赛尔指出，协变和逆变只适用于张量的分量。我相信他正在考虑黎曼流形，其中度量张量可以被定义(我指的是Pfr)。Arash Yavari在之前的讨论中的评论)。
我有点困惑，但我相信这两个概念在复杂流形的情况下可能是不同的。
In the case of non-riemanian manifolds is it correct and does it make sense to say that covariant and contravariant tensors are different?
Regards,
Malik