开源有限元代码的现状如何?

看到http://www.ce.berkeley.edu/~rlt/feap/。该代码售价750美元。

有一个FEM公海，是由我在加州大学伯克利分校的同事开发的。我会尽力为你找到更多的信息。

其他开放源代码的有限元代码是

1. 交易http://www.dealii.org
2. Libmeshhttp://libmesh.sourceforge.net
3. OpenFemhttp://www-rocq.inria.fr/OpenFEM

有限元建模已经成为一种无处不在且功能强大的仿真工具，以至于公共领域的软件包几乎不可能满足潜在用户在功能方面的最基本需求。对于从事固体力学的人来说，诸如静力学/动态分析(隐式和显式)、非弹性材料定律、有限应变运动学和非线性解方案等特征将是起点。除此之外，你还可以添加一些愿望清单:故障/损伤建模、网格复杂几何、接触、多物理，这些清单很快就会变得难以管理。考虑到一旦离开线性，有限元素公式往往也变得更加复杂(混合公式，减少积分)，微妙之处不能再被忽视。最重要的是，准确性和稳健性至关重要。因此，为了实现这一目标，有限元的发展只能由ABAQUS、ANSYS等能够满足行业需求的公司来维持。软件的质量保证、验证和确认是至关重要的，我确信在新版本发布之前，这些公司在这些方面花费了大量的时间。

在我看来，至少在力学中，计算软件开发本身并没有被视为一项重要的研究活动，也没有得到多少支持。它更多地被视为达到目的的一种手段(模拟)，因此通常正在开发内部研究代码，以满足不同群体的具体需求。少凡提到了OpenSees该项目是结构工程界为地震模拟创建单一平台的一项努力。这是我的理解(这里有一些人正在使用它)，它有许多积极的属性和良好的设计(c++)。重点更多地放在结构(梁/桁架)单元上，而不是连续单元上。

开发好的代码(软件设计、功能、可用性、可扩展性、健壮性)，如果你不希望别人使用它，那就不是直截了当的练习。对于fem和开源的问题没有简单的答案，但是在这个方向上有更多的思考和讨论的空间。

太浩是一个开发得相当好的开源项目，并且有一个社区。事实上，如果你去链接，你会发现讨论论坛等。当这个线程开始时，我完全忘记了这个项目。

它是由帕特里克·克莱因(Patrick Klein)在桑迪亚(Sandia)工作时开始的，他仍然在业余时间维护这个项目(我想他转投了金融领域)。看看Suku上面的愿望清单，TAHOE看起来很不错。

与FEAP一样，它也不适合外行人。最好是和有经验的用户一起学习。

志刚请我对此发表评论。像ABAQUS这样的商业有限元分析不同于学术方面。在学术界，你试图解决一两个具体问题，然后就解决方案写一篇论文。在这种情况下，您可以根据自己的特定需求对开源代码进行调整，从而发现它已经足够好了。

ABAQUS是一种通用代码，ABAQUS的开发人员必须编写一种可用于多种问题的方法。这个挑战至少和想出一个只适用于一两个问题的想法一样大。它必须是强大的，准确的和易于使用的。此外，代码必须经过严格的质量保证，每个版本的验证和确认。另一方面，像ABAQUS这样的商业有限元分析也提供用户子程序、第三方软件接口(如流体代码)和年度功能增强，以满足客户的需求。

在我看来，开源代码的困难之一是与维护相关的问题。如果原始开发人员离开或退休，谁来维护和进一步增强代码?我们经常看到许多最初由公司、大学和政府实验室开发的内部代码最终被商业化，以避免维护成本。

我的理解是ABAQUS实际上是基于FEAP的。FEAP中可用的用户子例程与ABAQUS中的几乎相同。因此，如果您了解ABAQUS，但是需要编写自己的代码，FEAP可能是一个很好的起点。

仅供参考，ABAQUS公司历史可以从http://www.abaqus.com/about/history.html

现钞是一个开源的FEM，专门用于分析微结构。它主要由CTCMS和NIST开发(和维护)。

这一讨论提供了许多关于有限元规范现状的有用信息以及一点点历史。按照John的定义，我绝对是一名分析师而不是开发人员，尽管我之前确实写过一些小段的有限元代码。

作为一名分析师，除了代码本身，我还需要一个程序来可视化我的网格和结果。商业软件包如ABAQUS和ANSYS当然有这个功能。对于像FEAP这样的开源有限元代码，我可以使用哪个程序来方便地检查我的网格和结果?

如果这样的程序很容易获得，并且与商业软件包中的程序一样强大，那么我认为为了研究的目的(即使是分析师)，用开源代码训练自己和学生是值得的。

RH

瑞,

FEAP有自己的内置图形包。它非常好——非常基本，但它有你可能需要的一切。

为了生成网格并对结果进行后处理，我们也使用了这个包gmsh。它是免费的，非常简单，并且是一个直观的软件包。它是由Christophe Geuzaine(现在在Case Western数学系)和Jean-Francois Remacle(现在在比利时列日)开发和维护的。

欢呼,

约翰

约翰:

谢谢你的回复。我要试穿一下。

RH

鲁伊,Suku,…Zhigang把你的问题/评论带到我的注意....有许多“后处理器”可用，……有些人很好，有些人不太好....在所有情况下，无论该软件包是商业的还是免费的，....必须编写一个接口(也就是说，没有免费的午餐!!)将FEM的结果转换为图形处理器....可以理解的格式这通常并不困难，但非常耗时，需要不断维护以适应新的可视化请求等....例如，dynaflow的所有结果都被转储到ASCII文件(TAPE****)中，如用户手册附录E中所述…然后可以读取这些文件并为后处理器提供其他文件……我在Femgv、Pro-engineer、Spectrum、IRIS inventor、Tecplot和Paraview等公司都是这样做的…… but clearly, I can only support extensively only one (I chose Femgv)... but it is quite straightforward to bring all processing options to the others (if needed).... Hope this helps.

作为计算力学研究中常用的开源有限元分析代码，FEAP已经被多次提及。为什么会这样?是因为Taylor/Zienkiewicz在他们的书中有记录吗?

它是用fortran写的，这算是一种资产吗?对于像我这样从事商业有限元分析的人来说，这似乎很奇怪。在严肃的有限元分析代码中，超过50%的代码只是用于操作复杂的数据结构，而不是用于计算力学或数值。Fortran不适合这种情况。至少有六个成熟的、开源的、用c++编写的有限元分析代码。

fortran还在被用来教授工程和科学专业的学生编程吗?

约翰,Suku,

非常感谢您周到、详细的回复。

是的，我可以看到Matlab对FEM或类似课程的吸引力，因为它让学生专注于力学而不是编程特性。这对他们的职业生涯也很有帮助。这与像Java这样的语言形成了对比，Java非常适合教授编程概念，但在科学编程方面还有一些需要改进的地方。

不过，我实际上并不同意，一旦你学会了Matlab或Fortran，就很容易学会像c++或Java这样的面向对象语言。c++和Java允许你表达编程概念那Matlab和Fortran没有——只是没有词汇表来表达它们。

作为开源有限元分析的受众，我主要考虑的是从事计算力学研究的研究生。我猜，约翰，你们的内部守则也属于这一类吧?我想听到更多关于它们是如何开发的，以及为什么在这些情况下选择c++。

正如你上面提到的，John，计算力学研究的一个很好的选择是ABAQUS。对于编写新的但相对传统的元素或材料模型的人来说，用户编写的子例程显然非常强大。但对于研究解算法或自适应方法的人来说，ABAQUS并没有多大帮助。您要么编写自己的代码，要么修改其中一个开源代码。就我个人而言，如果我在hp自适应方法中工作，我不会想用Fortran编写代码(但该领域的一位主要研究人员确实这样做了，http://www.ticam.utexas.edu/%7Eleszek/projects.html）.

我将发布另一个关于一些开源的面向对象的FEM代码的注释，我至少已经随意地看了一下。

下面是一些免费的或开源的面向对象的注意事项
有限元分析程序，我至少看了一眼。我有
当我看到有限元分析代码时，有几个重要的标准
最大的问题是，他们必须方便地处理任意
自由度类型——例如，如果我想实现
一个耦合流体，结构，电，热模型，架构
必须适应这个。幸运的是，他们中的许多人都做到了。

OOFEM
http://www.oofem.org/
这是相当成熟的，已经习惯了
解决不同学科的问题。
我个人认为是面向对象(OO)设计
有点不寻常，文档也有点稀疏。

getfem + +
http://www-gmm.insa-toulouse.fr/getfem/
这个代码来自于
偏微分方程的数学
而不是力学的观点
(下图中的Rheolef也有这种味道)。例如，我不是
当然，添加梁或板元素需要什么。
不过，它有很好的软件工程。

rheolef
http://www-lmc.imag.fr/lmc-edp/Pierre.Saramito/rheolef/
在我看来，这款游戏最大的弱点是
它似乎只允许模型使用一种FE类型。
它的文档确实比一般的好
到高性能稀疏求解器的接口。

libmesh
http://libmesh.sourceforge.net/
这已经提到过了，但我要做几个
其他评论。这是建立的有限元分析开发项目之一
就像一个真正的开源项目——SourceForge网站，
论坛,等等。我想这就是志刚的想法
在他最初的帖子中。我的印象是
软件主要用于解决流体问题。对于一些
原因是，他们没有向量场的概念——你
必须用3个标量场来表示。

功能
http://www.tm.ctw.utwente.nl/onderzoek/DiekA/Feature/index.html
我只看了一点，但它看起来很优雅
给我。OO模型是合理的，并且看起来相当通用
在自由度的处理上。

作为一名故障建模者，我经常被数值不稳定性引起的分歧所困扰。特别是商业软件，它们没有给用户太多的操作空间。

但这个问题在损坏或故障分析中有物理基础，其中负特征值可能无法完全避免(有时甚至是必要的)。我不是计算算法方面的专家，我想知道是否有任何有效的方法来解决这些所谓的不定矩阵(一个矩阵既有正特征值也有负特征值)。欢迎提出任何意见或建议。

Qingda,

我非常喜欢你最近在《科学》杂志上发表的文章。当然，我也要感谢您提到X-FEM并引用我的工作!我认为X-FEM在研究复合材料的破坏方面具有很大的潜力。

现在，回答你的评论和问题。我同意数值不稳定性是令人沮丧的一大根源，而且商业软件并不总是提供一套很好的选项来处理它们。我确实相信ABAQUS在这方面非常出色，因为它为整体解决方案策略提供了许多选项。尽管如此，有时很难确定代码到底在做什么。

你能提供一个更具体的失效分析的例子吗?我想你可能指的是失去椭圆性，但我不确定。在任何情况下，我很确定求解器是可用的，它们可能不那么容易链接到您的分析，特别是如果您使用的是商业软件。

我从谷歌找到了这个线程，我马上注册了，因为我一直在努力选择一个合适的FEM包为我的研究项目在过去的两周。

主要的挑战是材料的性能。我的项目是对单个细胞的力学响应进行数值模拟。已发表的文献表明，生物细胞可以被建模为一个经历大变形的粘弹性固体球体。杜克大学的Farshid Guilak使用FEAP进行了这样的研究。将线性粘弹性和非线性粘弹性材料模型与FEAP相结合，仿真结果与实验吻合较好。

我们实验室有Ansys软件，但采用的粘弹性材料模型最初是针对橡胶类聚合物推导的。我不知道这种材料模型是否适合生物细胞。Ansys确实有一些用户可编程材料，但粘弹性不包括在内。

Abaqus是另一种选择。我对Abaqus有了更好的感觉，因为我用它完成了硕士学位。UMAT子程序允许用户定义材质。但是在使用Abaqus时遇到的奇怪问题让我很沮丧，因为我意识到生物材料可能与传统工程材料根本不同。

那么，对于这个问题，有什么专家可以评论一下使用什么FEM软件包吗?我不太喜欢开源包，因为我将在编程而不是分析上花费太多时间。但是如果这是我们唯一能把我们想要的材料属性纳入有限元的方法，我想我必须选择它。

谢谢。

说法语的人可以找到Code-Aster (http://www.code-aster.org)一个有趣的开源有限元软件。一些文档有英文版本。一个互补的开源项目是SALOME (http://www.salome-platform.org)进行前后处理。CAELinux (http://www.caelinux.com)有一个LiveDVD发行版，它直接从DVD启动和运行，并使用上述代码。该网站也有一些教程。

这是另一个例子:http://www.calculix.de/
它的输入文件具有与ABAQUS输入文件相似的语法!

明确的分析:http://impact.sourceforge.net/

基肖尔Pochiraju

关于免费有限元代码，尝试ELMER，可以从下载www.csc.fi埃尔默/连同它的使用手册。其他信息可以找到只要键入ELMER作为关键字在任何网页搜索。您可能会对许多描述实际应用的报告和在大会上的演讲感兴趣。

由Belytschko, Liu和Moran撰写的这本书是一本非常全面和完整的书，以一种非常实惠的方式涵盖了非线性有限元分析的大多数方面。它相对便宜，所以对这个领域感兴趣的人会发现买这本书是很好的。然而，本书的pdf版本可以在网上的单独章节中免费下载。不幸的是，我没有这个网站，但有耐心的话，你可以用关键字，比如主要作者的名字，书名等，找到它。

这个线程对我最有用，感谢所有贡献者。

很高兴看到有许多复杂程度和重点不同的选择。

我认为如果我们用这些软件包分享我们的经验会更有用。我很想知道上述软件是否被推荐。如果推荐的话，有多强烈?我知道有时候这是个人喜好的问题，评估软件也不是一件小事，但是这样的信息可以为用户节省很多时间。

我对一个简单的包特别感兴趣，它可以从CAD文件中生成网格，并进行模态分析(相对简单几何形状的模态振型和固有频率)。

提前感谢

Cetin内

光声研究室

克拉克森大学

任何对CFD感兴趣的人都可以考虑Featflow，由多特蒙德大学Turek教授的团队。

基于Fortran的代码可以免费下载，也可以通过CD获得。据我所知，这些代码主要应用于CFD的入门实验等教学中。还有一个基准集合叫做流体运动的虚拟相册，作为流体动力学类中的示例。

我个人在我的硕士课程中使用了这个软件。恕我直言，由于资金状况，教学和研究也是这些免费代码的主要应用。

连结及下载:

• Featflow:http://www.featflow.de/

• 流体运动的虚拟专辑:http://www.featflow.de/album/index.html

• 相关的课程(数字实验室):http://www.mathematik.uni-dortmund.de/%7Enumlab/

亲切的问候:
Gerd

开源有限元程序分为两类:

1.具有物理观点的有限元程序。(有限元代码)

2.具有数学观点的有限元程序。解决(Pde)。

我在我的博客中提供了他们列表的有用链接

http://roozbehsanaei.blogspot.com/

我简要地阅读了他们的手册，我认为FEAP,ADVENTURE和TAHOE可能最适合我的目的。我需要你的帮助，以便选择其中一个进行开发。

研究了非线性各向异性和微极性材料的力学行为。

我尝试了一个免费的开源有限元代码Warp3D (http://cern49.cee.uiuc.edu/cfm/warp3d.html）.我必须承认，我的试验仅限于范例问题。所以不能说太多关于它的可用性。我成功地将它安装在运行openSUSE 10.2的linux机器上

可与PATRAN接口进行预处理。它有90000个元素或200000个节点的限制。可以从各种实现的材料模型中进行选择。MPI版本的代码也实现了。对他的限制没有。可以通过更改适当的变量和重新编译代码来克服节点和元素的缺陷。更重要的是，它配备了一个非常好的和信息丰富的手册。

我对它的接触能力很感兴趣，但它显然只能处理变形-刚性接触，而我对变形-变形接触情况很感兴趣。只有有限种类的刚性表面可以用这个代码建模。

V. Hegadekatte，德国卡尔斯鲁厄大学

你可以试试免费的计算数学建模代码

http://www.fenics.org/

范围内

FENICS是一门发展中的计算力学学科，具有很高的目标。

交易。ii(免费)和Diffpack(商业-1000美元)是类似的项目。

Diffpack-Feap(商业-800美元)是有限元编程中两个非常著名的软件包，但它们有一些缺点，第一个是因为它的FORTRAN基础，最后一个是因为它的成本(OpenScience-OpenSource)。请注意，每个软件包都有其特性和优势，例如CALFEM不是那么有名，但它在振动和声学方面有很好的程序，TAHOE在非经典固体力学方面最好，OOF2用于微观结构和....。

一般的有限元软件包如ELMER,DEAL.II,DOLFIN(Fenics)， Adventure Project和PETSC-CS正在成长，但他们不是SPECIAL Subjects的专家。

请原谅我的英语很差。

ELLPACK非常高水平，便携式系统解决椭圆边值问题。人们可以通过简单地将问题写下来并命名要使用的方法来解决日常问题。通过使用灵活的ELLPACK框架中的问题解决模块，可以解决更难的问题。ELLPACK语言是Fortran的一种易于学习的扩展:它为大多数计算提供了大大减少的编码，但仍然允许进行特殊处理。ELLPACK集成了50多个解决问题的模块，包括一些世界上最好和最新的软件。知识渊博的用户甚至可以通过添加新的问题解决或分析模块来定制ELLPACK本身。KASKADE和PLTMG也是类似的软件包

你好,

我正在努力维护一个开源/自由软件，名为MechSys，这是一个用于实现机械系统相关程序的c++库。地质力学是我的主要学科，但我对其他学科也感兴趣。基本上，库中有4个模块(实际上还有更多):

• 数值(数值算法:RK、正交、布伦特法等);
• 张量(张量分析:不变量、投影、行列式、特征值等);
• 线性代数(线性代数:密集，稀疏，非对称线性求解，特征值和特征投影等);
• 基于Runge-Kutta全局和局部求解的三维土-水非饱和耦合有限元分析;
• Utils, Constmods, Models, VTKwrap, GUI，…

所有这些模块都是相互独立的，我们可以在未来的实现中使用它们(DEM, MPM，接触/断裂力学，多尺度等)。这个库的主要目标是:1)易于添加新模型、元素或求解器(对于学生、新开发人员、共享、团队合作);2)高度组织性(具有管理系统-并发版本系统，以及几种代码风格约定)。

事实上，一些著名的开源库被包装成函数或类。这些例子是LAPACK，UMFPACK，SuperLU,SuperLUd对于密集和稀疏线性求解器(包括并行)。一些GNU Scientific例程也被包装起来，例如:用于正交或数值积分的QAGS。我使用搅拌机作为绘图工具，TetGen用于网格生成和ParaView可视化;它们都是免费的(而且是优秀的)软件。

我希望这对某人有用。

安东尼奥绅士;电子邮件:acaballeroj@civil.uwa.edu.au

大家好。从我的角度来看，总是开发自己的FE代码有两个基本原因:

• 首先，这段经历会让你受益匪浅!!我认为处理公式和执行的棘手问题是理解什么是真正的有限元程序的关键。
• 另一方面，你将更有能力扩展和纠正它。

然而，我同意开发自己的代码是一项困难且非常耗时的任务。对于那些只需要开放源代码的FE代码来使用或使用的人，这里有两个参考:

http://www.cimne.com/kratos/

http://sokocalo.engr.ucdavis.edu/~jeremic/PDD/

干杯

我想知道如何使用abaqus进行裂纹的萌生和扩展。

所以，绅士们，给我一些解决办法吧。

问候

prashant

它是一个与c++一起使用的快速而紧凑的库。

SciLab现在是一个开源的SML并支持工具箱

Maxima是另一个开源的SML

Octave是另一个类似于mathlab的开源SML

它们的生产状态稳定、成熟。

操作系统的便利之处主要在于，你可以扩展软件，定制它，添加功能，或者将它移植到其他平台，即使你从中得到错误，你也可以尝试修复它们，操作系统模型并不适用于所有人，技术支持主要依赖于社区和私人企业的团队。

如果你刚开始在商业社区开发软件，这是一个非常有吸引力的解决方案，如果你的规模越来越大，时间越来越短，你就会忍不住购买昂贵的软件，包括更快和专家的支持。

其中一个例子是OpenCASCADE:他们提供操作系统OpenCASCADE，但他们也提供支持，并教你如何使用它进行开发(这是一个庞大而复杂的可视化库)，VTK是另一个例子。

我做我的项目在温暖的深绘图，我想知道如何做WDD的模拟使用abaqus软件

我我怀疑开源交易平台的出现是否会很快蚕食Portware和FlexTrade的成功，但它可以以更低的价格为公司提供更多的自由来做自己的事情。

嗨

我叫aswin，在印度鲁尔基理工学院读硕士二年级

现在我正在做一个基于无网格技术的项目。

我正在开发弹塑性问题的代码

我有弹性pert的代码。但我不知道如何为塑料部件编写代码以及如何求解非线性方程

请帮我吃甜点。

ELMER算法的缺点之一是不使用PETSC，求解器并行化的能力有限。

奥云indir

我一直在寻找一种开源或低成本(< 1500美元)的结构FEM包，以支持热载荷下航空航天结构的优化。为了优化，我一直在分布式处理Linux环境中使用遗传算法。我们目前商用FEM软件包的许可费用越来越高。

查看了我在这里和其他来源找到的所有软件包。Code Aster是唯一一个似乎与我所寻找的非常接近的软件包。唉，我不懂法语……

有谁知道除了Code Aster网站上提供的英文文档之外的其他文档吗?

此外，我是否错过了航空航天分析师(根据John Dolbow的非常合适的术语)的好机会?

感谢你们的集体智慧;这是一个伟大的论坛!

地理

嗨,所有

CASTEM是一种用于结构有限元分析的计算机代码
元素的方法。这个代码是由机械部和
法国警察局与原子能(ECA)的技术(DMT)。这是一个免费的有限元软件，可以从以下链接下载:http://www-cast3m.cea.fr/cast3m/index.jsp

实际上这是一个法语的软件，但是有英语的帮助。有英文文档，但有大量法语文档。它有许多模块和源文件(代码)可供参考，可以从网站下载。有关该软件的完整细节在上面提到的链接中。

灵感和天才，是一回事。
_______________________________________
http://sites.google.com/site/kolukulasivasrinivas/
----------------------------------------------------------------------
Siva Srinivas Kolukula
初级研究员

你好,

我认为EDF的Code_Aster可能是最“完整”的免费有限元代码。

看到http://www.code-aster.org/V2/UPLOAD/DOC/Presentation/plaq_V7_GB.pdf的能力。您可以在CAE Linux wiki上找到英文文档和示例:http://www.caelinux.org/wiki/index.php/Doc:CAE

我也用莎乐美http://www.salome-platform.org/用于前置和后置处理器。它也是开源的，易于使用并且非常强大。

显然，以上都没有比Ansys, ADINA, Ls-Dyna等商业软件包更容易使用，但它又不需要任何成本。任何对CFD感兴趣的人都可以经常查看这两个开源程序。

http://www.openfoam.com/和

http://research.edf.com/research-and-the-scientific-community/softwares/code-saturne/introduction-80058.html

缺点(或者对某些人来说是优点)是，大多数这些开源软件包都是为Linux创建的。上述方案均得到了验证，并在工业上得到了积极应用。

问候,

卡尔

很好的东西!

尤其是编码员。我想知道我有FSI的开源软件。

要了解“all in one”FSI软件包，请查看Elmer:

http://www.csc.fi/english/pages/elmer

我认为用埃尔默可以在流体和结构之间做双向耦合但我不确定这是否仅限于稳态分析。我对Elmer了解不多，但是通过快速浏览一下文档，你会发现它的材料、元素等都很有限，但是它是开源的，当你用它做研究的时候，我想你可以用Fortran自己写。

您还可以在Code_Saturne和Code_Aster之间进行单向耦合，只需从cfd运行中读取压力边界并将其应用到您的结构中。对于具有小变形的静态分析，这应该足够好了。但是，如果你想充分利用Code_Aster和Code_Saturne +的全部功能，你有很多耐心，你可以使用Google翻译(因为大多数代码是用法语编写的)，也可以进行双向耦合。我在Code_Aster论坛上看到，他们目前正在实验室中验证这个功能，所以到今年年底，它应该会变得更容易设置。我没有尝试过这个开源FEA/CFD是我在业余时间必须做的事情，因为我们在工作中使用商业FEA，但除非你能做瞬态/动态FSI来观察流动诱发振动，否则它对我来说是毫无意义的。

嗨
我想知道ANSYS11中是否有使用它的功能
能简单直接解决吗热传导比如三维几何中的问题?所有的边界条件都是已知的，我要解热方程并得到多孔介质中的节点温度。
如果你能指导我，我会很感激。
问候
FRZ

对于开发人员来说，FEAP是一种优秀的代码。代码的核心大部分是透明的肾结石

看看sfepy.org，它是一个用python编写的开源有限元软件。

INRIA的MODULEF是一个开源有限元代码的应用。

我过去在sherbrooke大学开发了一个程序，在unix操作系统下使用GL图形库在工作站上可视化四面体元素:3D网格使用重渲染和双重缓冲对隐藏平面进行着色，照明，收缩和旋转(运动)，以检查FE网格。如果你愿意，我可以把节目单和你的书交换一下。

对于最近可用的硬件，您可以使用opengl(或其他)库对相应的函数执行等效的工作。位移，应力和/或应变的表示可以通过以下方式进行:计算元素内部的应力，并使用有效图形库的这些值的2D或3D表示。这将在2D中可视化面积值的范围或在3D中可视化体积值。

在2013年，我没有发现任何有效的恒应变四面体形状函数的计算。之后，我开发了一种有效的方法来计算它们。这是我对我的背景知识做的修改。问候