连续介质力学的第一门课程

作为回应志刚的论坛主题在连续介质力学的第一门课上，恰巧这学期我也在教授一门连续介质力学的课程。我将列出我们在伯克利的连续介质力学课程大纲。

伯克利在连续介质力学方面有着自己的传统和独特的风格。历史可以追溯到Paul Naghdi, Tom Hughes, Jerry Marsden, Juan Simo, David Bogy, Coby Lubliner, Bob Taylor, Karl Pister, James Casey, george Johnson以及其他一些人。

在过去，这里的重点是有限变形与微分拓扑在流形上的应用和非线性有限元方法的应用相一致。多年来，在我之前，伯克利的教师们可能已经形成了他们自己的连续介质力学课程——所谓的“西海岸体系”。

我们先从张量代数和分析开始。第一门课，我们主要教授欧几里得空间中的笛卡尔张量，但我们也会引入“向前推”、“向后拉”等概念。盖特导数，李氏导数，协变和逆变张量，切空间，等等，尽管我们在这门课上除了材料高级力学和多变量微积分不需要任何的必修课程。

在初步的数学准备之后，我们开始讨论运动学，这是在有限变形的背景下。介绍了变形梯度、左右柯西-格林张量、拉格朗日-格林应变、欧拉-阿尔曼西应变等应变测量方法。重点讨论了变形梯度的极坐标分解，得到了旋转张量和左右张量。我们将有限变形退化为无穷小的情况，并详细讨论了无穷小变形的物理意义，如小应变和Saint Venant相容条件，我们不假设学生已经学过任何弹性课程。

运动学之后，我们研究平衡。我们介绍了柯西应力、第一和第二皮奥拉-基尔霍夫应力、比奥应力等概念。重点介绍了应力转换和应力测量的物理意义。

然后，我们研究了平衡定律、材料时间导数、变形速率和各种应力速率，如Jaumann速率、Treusdell速率、Oldroyd速率、Green-Naghdi速率等。一旦完成，我们开始讨论材料框架-冷漠和客观性，准备过渡到研究本构关系。

本课程的第三个主要部分是本构关系。目前，我们涵盖了四种类型的本构关系:

(1)弹性:包括:线性弹性、低弹性和超弹性;例如，我们讨论了Neo-Hooken材料、Mooney-Revilin材料等。

(2)准连续介质理论:包括嵌入原子方法和准连续介质方法;

(3)塑性:包括无穷小塑性理论和大变形理论。但对于有限变形塑性，我们只讨论速率公式。我们把E. H. Lee的有限分解和超弹塑性理论留到后面的课程。这部分课程与非线性有限元理论密切相关。例如，许多材料取自Tom Hughes和Juan Simo的“计算非弹性”和Ted Belytschko、Wing Liu和Brian Moran的“非线性有限元方法”。例如，我们讨论了连续统正切与Simo-Taylor算法正切在线性化方面的区别。

(4)粘弹性

这是本课程的大纲。我每周上三次课，持续14周。我们有一次期中考试、一次计算机作业和一次期末考试。每周，学生们将为大约六个问题交上一个硬件。

总的来说，这门课对很多学生来说都是一个挑战，但至少我能看出他们喜欢智力上的挑战。

由于时间的限制，我们不能涵盖连续介质热力学、变分原理和变分微积分、梯度理论等。这些将留到明年春天的高级连续介质力学中讨论。

此外，我们不能像Timonsheko和其他方法那样解决许多应用问题，但这留给了其他一些面向应用的力学课程，比如“微力学和纳米力学导论”，这是我下学期要教的。在那里，我们将涵盖格林函数理论、位错理论和位错动力学理论、一些断裂力学理论、构形力力学、夹杂理论、空洞生长理论和多尺度均匀化理论。