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为什么在科学/工程领域重视数学?
这只参考了Harry Lewis教授最近的文章的最后一段，可以在:节点/ 1423 - 2880 #评论．
我写这篇文章的原因是，我似乎总是对发明、学习或教授数学有一种看法，这与刘易斯教授最后一段“似乎”暗示的观点截然不同。
公平地说，刘易斯教授并不是唯一一个对数学事物表达这种观点的人。事实上，他暗示的是学术界非常普遍的观点。这是一种主流观点，无论你走到世界的哪个角落，这种观点都可能被表达得最频繁。我想尽可能直接地面对它。
为了从刘易斯教授的评论中找出争论的真正问题，让我们先考虑一下他所叙述的情况……如Lewis教授所说，如果Krook教授在一个小时内填满了6个黑板，人们显然会非常好奇地想知道更多关于以下问题的信息(即使我们的调查在一开始看起来相当无聊):
(1)空间:(a) Krook教授的笔迹有多大?(b)他画的保形映射图有多大?(c)哈佛当时使用的是异常小的黑板吗?
(2)时间:更严重的是，克鲁克斯教授什么时候抽出时间来“解释”他这样写的东西?
或者，即使在那个时代，在哈佛，就像今天和其他地方的大多数时候一样，当涉及到教授或解释数学时，“对于那些理解数学的人，不需要解释;对于那些不知道的人，没有一个是足够的”?如果是这样的话，我必须表达我对这种观点的严重反对。
从哲学上讲，我反对以牺牲归纳法和物理学为代价而推崇演绎和数学的做法。我知道，自柏拉图时代以来，传统的分量与我在这里所持的立场是相悖的。历史上的主流观点一直是认为“数学是科学的女王”。(这句话通常被认为是高斯或你最喜欢的数学老师说的，实际上可以追溯到毕达哥拉斯学派和柏拉图学派。神秘主义)。
然而，从根本上说，我认为获取知识的主要方法是归纳法，而不是演绎法，数学也不例外。
演绎在获取和应用知识方面确实有一席之地。但这只是次要的，不是主要的。例如，在国际象棋比赛中推断出最佳走法，与从对现实的系统观察和发明微积分来完成必要的计算中推导出万有引力定律之间存在着巨大的差异。这些差异在所有方面都是重大的:所坚持的方法，所解决的问题，以及对人类生存本身的影响。
我最近在iMechanica(和其他地方)发表的关万博manbetx平台于数学、力学和物理的不必要抽象的言论，就是这种信念的“结果”。
计算机科学是另一门非常抽象的科学——可以说和数学一样抽象。但计算机科学与数学的一个主要区别是，计算机科学也是一门非常直接的技术导向科学。
计算机行业每年花费数百万美元，也许是数十亿美元，年复一年，仅仅是为了培训应届大学毕业生如何解释他们编写的代码以及如何编写更有效的正式文档。此外，人们还经常大声疾呼“过多”的问题——毫无用处的文档数量实在太多了。
似乎简明扼要地“解释”抽象概念的能力是一项困难的技能——一项本就罕见的技能，也许正变得越来越难找到。
在这里，术语“解释”抽象是与简单地使用另一组“抽象”来“重述”它相反的——第二组抽象本身同样没有得到很好的解释(或没有得到解释)。解释某事意味着揭示它的意义，并显示它与其余知识的概念联系;为了化简。不要继续快速地写符号，直到学生恼怒地放弃为止。
CS行业非常清楚解释抽象概念的迫切需求——以及由此带来的成本超支。
但当涉及到力学和物理时，甚至没有人会考虑是否会有过度的数学化。显然，在物理科学和工程领域(与计算机科学相反)，我们足够富有，可以深情地容忍，不，甚至是微笑地鼓励，当涉及到崇拜演绎法和“数学”时的所有过度行为。
现在，注意数学与计算机科学的第二个主要区别。计算机科学几乎只涉及人造事物;计算机技术在计算机发明之前并不存在。整个数字技术的大厦是这样设计的，即使是基本的物理现象，如电子设备和电路的参数漂移，也不会以任何重要的方式进入物理层之上任何层次上的概念上层建筑。(数字计算机相对于模拟计算机的相对成功正是基于这一事实。)
相比之下，数学解决了(或者至少应该解决!)为形而上学的给定和人为现象寻找测量方法的问题。在这两个类别中，第一个类别为物理科学带来了某种丰富性和范围，因此，也为数学带来了某种丰富性，这种丰富性根本不可能在基础或核心计算机科学中拥有。(通常与CS相关的概念的丰富性要么是纯粹的炒作，要么是一种天真的错误描述，实际上它的基础来自于应用——而不是CS本身的核心。)
最后，作为第三个主要区别，与CS不同的是，核心数学概念本身主要是精神上的，而不是存在的——在形而上学的现实中，五种东西可能存在，但“五”不存在。五性属于达到这一概念的人的头脑。
基于以上三个原因，在数学中，寻找概念性参照物的需求，具体化抽象概念的需求，解释概念的需求，实际上更加迫切。因此，想象一下，应用范围的巨大，因此，对数学的不理解将导致(或可能已经导致)巨大的“浪费”。
这种与数学有关的困难在某种程度上是很自然的。尽管上述困难的原因很难找到，但困难本身却是众所周知的。从小学开始随便问一位老师，或者如果你愿意，可以读读哈代(Hardy)的《道歉》(Apology)中颇有见地的评论:例如，学生们不可避免地会涌向一位好老师——不管他是否是一位优秀的研究者。
这里的问题不是数学(或计算机科学)vs.物理(或工程)之争。这个问题并不能掩盖数学上的无能。(我希望至少我不需要这样做。)这个问题只是提出了同一枚硬币的另一面——即。这是数学上的“第二种”无能。
当Johny不能做加法(或判断一个被充分研究的微分方程BV问题是否恰当)时，通常会出现或第一种数学上的无能。
但也有可能存在另一种数学上的无能——这种无能实际上被隐藏在象征和演绎形式主义的伪装之下。正是这种可能性很少被讨论，甚至很少被承认，但在20世纪却很猖獗。
第二种无能是由于学术上的习惯所助长的。学术上的习惯把一些事情吹捧得很好，例如，人们能够不顾其目的或背景，仅仅进行心理式的操作，或者能够一而再再而三地推演，而不考虑其在现实中的确切意义(即对现实事物的测量)，等等。正是这种无能被隐藏起来，因为某种哲学上的认可——学术上所青睐的把抽象抬高到现实之上的做法。
因此，第二种数学上的无能更容易在学术领域被制度化，而不是第一种。很有可能，第一种无能在“实用”类行业中更容易找到归宿。
无论无能在哪里，无论无能是什么，无能就是无能。这是一个真正的问题，我们迫切需要承认它——而不是通过滥用研究界的同侪压力机制来帮助隐藏它。
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我一直发现，我遇到的大多数物理科学、工程科学、力学或计算机科学相关的研究人员都不太接受上述分析。我也不会对它在这个论坛上不冷不热的反应感到惊讶。但是，也有另一面。就我而言，我也发现以下事情是相当荒谬的矛盾:
(i)在学习高中微积分一年后(标准十二)，我们希望人们开始消化像Kreyszig的大部头。然而，在研究生院度过五年之后(有时甚至在进一步的二三十年的研究生涯之后)，人们仍然发现不自然和不方便的直接陈述，例如，裂纹扩展的分析微观力学模型是为2D情况推导出来的，因为保形映射不能用于3D，即使大多数组件*需要* 3D分析。我们发现同样难以承认的是，在所有对数学的狂热之后，分析模型仍然不能充分地解决耗散或滞后……分析如此令人遗憾地不足的问题清单将继续增加……那么，对于这样的模型应该保留什么价值呢?仅仅是证明一个人在大学里的数学课程学习得很好?这是一个令人满意的答复吗?
仔细想想，分析模型的问题列表将构成一个单独帖子的好主题。这个清单可以从宣布开始，比如:“比空气重的飞行是不可能的……”
(ii)分析(即数学)模型到此为止。至于他们的解释，我们不必去量子力学……这个故事离这个论坛本身要近得多。
我还没有找到一个单一的物理解释，比如说，对于一般偏微分方程，伽辽金的广义方法(因为FEM社区经常“宣传”这种方法)。没有一个物理解释。然而，我发现这种方法被提倡用于太阳下所有已知的“物理”问题。除了研究(和实践)团体愿意仅仅因为专业上方便而推动这种武断的观点之外，还有什么可以解释这种明显的矛盾呢?当然，这一切都是通过一些熟练的操作来完成的，让它看起来很平滑，就好像这个问题在物理上被很好地理解了一样。但事实真的如此吗?如果是，调查或概述的文章(更不用说书的章节了)在哪里直截了当地说了?解释一下相关的物理原理?说实话，难以忽视的真相……
但是如何解释这些矛盾呢?是个人的不诚实吗?或者是物理学和工程学中对数学不必要的崇拜的“文化”?理性地讲，第二种解释是……
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在结束之前，单独澄清一下，纯粹因为这是互联网:以上不是对哈里·刘易斯教授的人身攻击。如果说这是一种攻击，那也是一种对数学观点的攻击，他可能无意中写下的旁注“似乎”间接指向了这一点。因此，即使这是一个攻击，这将是对他的所谓的知识地位，而不是对他本人....这样一来，如果我不得不以更个人化的方式攻击他，我就会发现他的“自由意志主义”哲学更具严重的争议性。但是，真正的“人身攻击”呢?我多么希望刘易斯教授写些东西，吸引我对他进行专门的人身攻击!：）
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评论
回复:为什么要崇拜数学
特的,
让我来说明我是如何理解你在文章中试图提出的争论点的:
关于你的第一点，虽然确实有这样的人，但我不认为这样的概括适用于所有的人。有些人可能认为微积分在工程中是不必要的复杂。然而，一旦你理解了微积分，你就会意识到用这种语言思考会变得容易得多。群论也是如此。如果你想轻松地理解夸克或晶体学，对某些基团的直观理解是必不可少的。这就是为什么人们使用数学的各个方面来讨论他们的工作。大多数论文都隐含着这样一种理解:与你交谈的社区理解语言，并可以继续讨论内容。当数学语言看起来是显而易见的，甚至是必要的时候，新手总是要努力理解这一点。
关于你的第二点，一维和二维模型对于物理过程的定性理解是必不可少的。对于一些简单的情况，它们甚至足以提供定量结果。我认为你低估了这些简单模型的力量。
关于你的第三点，伽辽金方法首先是一种数学技巧。在某些情况下，它有物理解释是有点运气的。你可以在许多文献中找到关于线性弹性的物理解释的细节，例如，欧文70年代末的系列，甚至休斯的有限元素书。
我认为给数学这样的地位是有道理的。在许多情况下，使用正确的数学方法可以对复杂的物理过程进行系统的思考。一个恰当的例子是非线性动力系统的流形思想。然后你可以把高维空间想象成曲面，对难以可视化的东西有一种直观的感觉。另一个概念是有限元素中从一个函数空间到另一个函数空间的投影。一旦你意识到这样的投影类似于寻找一个极点的影子，你就可以想象在高维空间中发生了什么。
我同意你关于研究论文可读性的几个观点。我认为这不是恶意，而是因为糟糕的写作技巧。
Biswajit
一个故事的多个版本
亲爱的阿吉特和比斯瓦吉特:
谢谢你们讨论这个话题。我自己从来没有真正理解过，为什么数学在表达某些思想时如此有效，而在表达另一些思想时却如此无效。
在过去的几天里，我再一次尝试相对论。很长一段时间以来，这个课题一直吸引着我，我可能有机会以一种严肃的方式使用这个理论。我尝试了不少非数学书籍，包括爱因斯坦自己的流行著作。没有一个能真正帮助我理解任何实质性的东西。
这一次，我选择了本科生沃尔夫冈·伦德勒的教科书．我突然觉得这个题目有道理了。然而，即使在伦德勒的书中，我也发现许多非数学解释的段落是多余的、令人困惑的和分散注意力的。
在大半生的学习和近20年的教学生涯中，我对学习有了一定的经验知识，但对学习的理论仍不甚了解。许多人都想找到一种有效的学习方式，只有一个版本的真理，并消除冗余。在写一篇论文或一本书时，作者试图教会别人一些东西。但是人是不同的，甚至同一个人在不同的时刻也是不同的。一个故事的一个版本在任何时候都被所有人欣赏往往是不可能的。因此，用多个版本讲述同一个故事是个好主意，有些用英文，有些用中文，有些用数学，有些用漫画，还有一些用视频。
既然互联网已经使所有这些版本的存储和分发几乎免费，我们不妨鼓励所有的表达方式。让每个学习者和她当时的心情来决定学习哪个版本。
也许明天我会发现伦德勒的非数学段落很清晰。也许不是。但这不是重点。他显然很喜欢讲述这个故事，而我有很多可以学习的资源。
但是，志刚，科学不是(小说的)“故事”，不是吗?
亲爱的中国,
数学的归纳根理论(据我所知)还没有得到很好的发展。如果我在这里提出或引用的一些观点后来被发现是原创的，我不会感到惊讶。
如果在一个理论存在了100年之后，能够解释其所有方面的好书仍然没有，或者在没有相应争论的情况下仍然不容易被引用——即使该理论已经成为占主导地位的主流理论——那么，问题是在于人类拥有的学习天赋，还是在于理论本身?(这是相对论。)
英语，就我所知，还有汉语，都是语言。但数学不是。数学有语言所没有的特定内容——它有明确的主题，有一组明确的“事实”，这些“事实”是按照一定的原则组织起来的。相比之下，莎士比亚的作品只用英语来表达。但是，英语文学，即使从整体来看，也不能被认为是英语语言的“内容”。所以，当人们说数学是一种语言时，这是错误的。
但是给他们一些怀疑的好处，它可以被理解为数学有一个特殊的符号。即使数学符号本身被认为是一种单独的“语言”，它也是一种高度限制性的语言形式——它只允许表达数量关系，不允许表达其他关系。(这种限制实际上赋予了数学符号一种使用语言时不可能实现的力量。)
但我完全同意你的最后一点，也就是说，丰富多样的教学设备、工具和技术是非常好的。
感谢您的评论. ...就我个人而言，我想知道我的名字用中文字母会怎么写。
回复:对数学和Biswajit观点的崇拜
嗨Biswajit,
0.收到有思想的评论是一件很愉快的事——不管你是否完全同意这些评论。
1.关于我自己的帖子。转念一想，我觉得我在一篇文章里写了太多的观点。这使得写作在几个子线程中曲折。但是，这只是博客上的一篇文章——甚至不是一篇网络文章……我认为，与一篇紧凑的文章或一场高度结构化的辩论不同，博客回复应该尽量保持交流的流畅性，这在现实对话中很自然地会发生。
2.你选择的争论点并不是我的核心关注点。我想这一点在我的文章中已经很清楚了。
例如，我写了关于归纳法的首要性及其在数学中的适用性，这是你的总结观点中没有包括甚至没有暗示的。
3.这条线索的主要问题是，重复一遍，以归纳法和物理学为代价来推崇演绎和数学的做法。密切相关的问题是:让数学无法解释，即(在教学中)与现实脱节。(在评价理论/方法时)将符号操作置于现实之上。等。
这些都是深层次的文化问题;每一个都有直接的哲学意义。这些问题并不像科学管理中某些优先事项的改变那样肤浅。这里的问题是那些与科学、思想的“文化”有关的问题，而且是在历史的规模上。作为与我在这里所做的密切相关的哲学观点的其他例子，请参见:http://www.capmag.com/article.asp?ID=4823而且http://www.capmag.com/article.asp?ID=4818
让我强调一下:这个想法并不是要剥夺组成一个研究团体的个人在相互交流时可能感到的便利。问题有更深层次。问题是:为什么没有这样的人费心去阐明他所使用的抽象概念所具有的物理联系?还是说这都是空谈?实际上阐明所请求的连接不是比争论为什么请求是不合理的容易得多吗?
4.有n种方法可以用归纳法来支持减法。
增加论文数量只是一个次要的方法——请注意，我在上面的帖子中没有非常突出地提到这一点。从你今天的帖子和在iMechanica的活动中，我猜，你只是在追赶，在这个过程中，万博manbetx平台从我的另一个帖子中导入了它。
在某种程度上，是的，我确实认为增加论文数量可能是颂扬演绎的一种方式。
但更重要的是，如果一个文化错位地尊重演绎，那么当一个人只是在胡思乱想，而没有做任何严肃或原创的研究时，他是无法理解的。这是一个非常严肃的问题。我想这也是大卫·哈里曼在波格丹诺夫兄弟争议中一直强调的。看到的:http://www.capmag.com/article.asp?ID=3147
5.还有许多其他的方法来吹捧演绎，可能会打动一个人。让我写下一些例子....
仅仅是为了给自己留下好印象而显得深奥。在这里，将演绎提升到归纳概括之上，既是现实中要达到的手段(或涉及的心理方法)，也是目的(或目的)。所以，这可能是“lionize…”的一种方式。
另一种方式是，不愿意考虑物理论点，只要它们还没有转化为数学方程的形式。
不承认一个真正的新物理理论，错误地把它贴上同样的旧数学的新解释的标签，仍然是另一种。让我举个例子。根据这种崇拜数学的方法，波粒二象性的悖论在20世纪20年代和30年代就已经被解决了，所以，你我从高中时代就一直困惑的量子谜语都不是问题。如果你不相信这一点，那就去看看诺贝尔奖的官方网站——为外行编写的简化故事。所以，这是“lionizing…”的另一种方式。
愿意接受、吸收或内化任何符号表征，即使它的物理意义不明确，只是为了它的演绎乐趣，而不考虑这种心理活动的目的，这是另一种方式。
给那些能更好地计算扣除的学生写更好的推荐信，让他们进入排名更好的美国大学，这又是另一回事。
给“政治顾问”提供终身职位也是另一回事……
这个清单可以长得多……欢迎您也加入到这个列表中…在这里，你不需要有创造力——只要有一点观察力就足够了。
6.大约1 d / 2 d / 3 d。
一般来说，这里的问题类似于调用线性、守恒/路径独立、范围无限大等假设....所有这些假设，只有诉诸于你所提出的观点，即它们使我们有一种定性的认识，才能证明是正确的。
但是，有人会想，为什么对于那些没有以符号数学或方程的形式表现出来的理论来说，对定性理解的支持不是那么强烈。
我选择微力学建模的主要原因(我可以在应力分析的分析程序中选择任何东西)是，在应力理论中，不仅解决方案的定性性质在1D、2D和3D之间发生了重大变化，而且2D中的解决方案更不保守——即。可能更危险——从设计的角度来看。此外，请注意，裂纹扩展通常是灾难性事件。
所以，你所提出的论点，充其量只是半途有效。特别是:2D模型在提出新的材料设计方法方面很有用，但在机械设计方面却很危险。
一般来说，“定性帮助”论点在*向量*字段的上下文中有更好的有效性。但是应力/应变张量场，根据定义，在空间轴上携带微分项的紧密耦合。这和通常的向量场很不一样。因此，在应力分析中，3D问题的2D结果相对来说价值低得多，而且危险得多。
既然这是问题的本质，那么研究界会以任何重要的方式来讨论这个问题吗?一个人很容易遇到这样的思考，就像一个人很容易遇到微观力学模型的另一个微小变化一样吗?在我观察这一领域15年多的研究活动中，我没有。这个习惯很典型。正如其他地方所指出的——可能是哈代所指出的——数学家们，带着他们的“骄傲”，倾向于简单地停止谈论他们无法解决的麻烦问题，而不是以一种运动的精神坦率地承认局限性并继续前进。虽然没有必要，但人们在数学限制中投入情感的方式，是他们在物理学中永远无法想象的。如果光速确实有速度限制，没人会把这当成人身攻击。如果没有足够的机智来指出他们无法解决一类问题，大多数数学家都会生气。为什么?因为数学概念的核心是方法的概念，这就是原因! It's funny, but despite knowing the origin, people continue to take offence! (Mathematics! LOL!!)
7.关于伽辽金方法。
我说的是它的扩展版本。(见文章)我不明白你这样的评论怎么会出现!
当然，在可逆线性各向同性弹性的背景下(我不能确定我是否没有错过一个或两个适用的限定条件)，确实存在这种能量解释。但这种解释的存在是值得庆祝的吗?物理解释在力学中如此罕见，或者在力学的阐述中如此罕见，以至于在数百本书籍中，还必须单独挑选出来吗?这难道不是强化了我在这里想要表达的观点吗?
然后，考虑到伽辽金方法的物理解释(现在在大多数关于FEM的书中都可以找到)，两个问题立即打动了我——一个非常明显，另一个不那么明显。
一个明显的问题是:什么样的“物理”与该方法的扩展版本相对应?
推论:如果我们不理解它的物理原理，我们怎么能断言这项技术在物理问题上的应用是可行的呢?
这是一个严重的错误，严重到，如果有人被要求确定这个错误的认识论本质，他会感到困惑。
让我举一个象征性的例子。整个商业会计领域不涉及任何数学，除了高中微积分所涵盖的内容。可以说，会计核心中最高级的数学问题是:连续复利。那么，这是否意味着每个理工科高中毕业生都有资格成为会计师呢?忘记这个国家的法律是否允许这样做。真正的问题在于:每一个理科专业的高中毕业生都“懂”会计，仅仅是因为他知道相关的数学吗?如果不是，我们为什么要把扩展伽辽金方法应用于，比如说，一个非线性问题?一个流体动力学问题?断裂力学问题?等等?
让我补充一句:如果人们想在确定它的物理或应用之前尝试数学，我没有意见。
如果*一些*人发现像狄拉克那样“玩弄方程式”更容易，那是他们发展科学的习惯或癖好。但请注意，这样的“玩”不能作为科学的最终内容....
所以，如果一个纯粹的数学方法被简单地推举为有价值的解决物理问题，在任何仔细鉴定其物理性质之前，我确实有一个问题。但这正是FEM社区通常所做的，对于广义WR(即Galerkin)方法。我对FEM社区的实践有意见。我还有一个更严肃、更哲学的问题，如果玩弄方程式被提升到物理发现之上——就像科学文化(不仅是流行文化，而且是实践文化)中所描绘的那样。
无论它有多伤人，FEM社区都应该停下来思考一下。相信我，确定扩展Galerkin(或WR或任何其他类似数学)的物理现在只会帮助FEM社区，而不是伤害它。
如果有人有好的观点来证明识别物理伤害数学，让他至少在这里的回复中这么说!!
现在，稍微讲一下不太明显的问题:这里有两种方法。一种在数学上更具挑战性，也更复杂——但它的物理原理未知，或者即使已知，也从未发表过。那么，还有另一种方法。这在数学上要简单得多。它与这种情况所涉及的基本物理的对应关系也非常直观。然而，甚至没有人想到将它应用于任何固体力学问题。为什么?
如果您到目前为止还没有猜到，那么第二种方法显然是FDM。
为什么研究和应用社区在固体力学中简单地使用它时会有这样的心理障碍?
难道不是因为FDM没有通过“以归纳法和物理为代价，将演绎法和数学化”的测试?想想看。如果你这样做了，你就会意识到Zienkiwicz支持FEM的答案是不够的。(我举他的名字只是举个例子。他那一代人中几乎所有人都会这么做。他们追求FEM的发展并不是坏事。FEM的优点和FDM的缺点被夸大了，这是不好的。
8.鉴于普遍存在的偏见，可以重申一下，我的职位(或职位)并没有从数学中拿走什么东西。
现在，既然你提到了流形，让我在这里再写一篇文章。让我们来做一个小实验:我给你们(这里的“你”只是作为一种说法)上一堂印度最有才华的工科本科生的课，并提供尽可能多的合理时间——比如5节课，每节课2个钟点。这些学生对固体力学是完全陌生的。你选择你要教的学生群体中的哪一半。另一半会归我。你将教矢量束在流形等方法张量场和固体力学，也许还包括非线性等。我将教另外一半的同学主流工程课程中的标准主题(例如，遵循Shames的书，或者我关于SM的UG课程的建议)。在课程结束时，让我们看看是你的学生还是我的学生更容易自学某些“未教授”的主题，如应力集中(甚至是盘子/贝壳中的应力——我自己还没有机会研究这个主题)。让我们看看采用第一种方法还是第二种方法，学生的表现会更好。
我相信只要在你的思想中进行这个实验就足以让你知道向量束、流形等根本不是非常深刻或基本的概念——尽管它们是用熟练和聪明的方式被制造出来的。现在，这是另一个演绎数学以归纳法为代价的例子。明白了吗?
至于维度和一切。这是一个单独的辩论。我想强调的是，我认为整个物理应该只呈现3个(空间)维度。这是可以做到的。这样可以避免混淆。这让事情变得简单。真的。是的，整个物理学都可以这样覆盖。)
9.在结束之前，我只想说一句，因为考虑到这里的主要听众，我想，即使是一句评论也应该足够了;一个成熟的论点可能没有必要。
我观察到，设立一个我反对数学的稻草人，然后开始击败它是毫无意义的。
10.当然，我看重的是数学的精确性、严谨性、确定性等等——除了这个主题的潜在应用范围。
但即使在这里，我似乎有某种观点，在整个思想史或数学史上还没有找到充分的表达。
要提出这个问题，只要想想为什么“正确的数学使对复杂物理过程的系统思考成为可能”?为什么会发生这样的事情呢?为什么它需要正确的数学?判断某种数学方法是否“正确”的标准是什么?任何想法?…
这已经成为一个很长的回复，所以我将在这里提供一个提示(可能稍后会写另一篇文章):根据我的观点，“为什么”数学有效的原因不在于数学本身，而主要在于物理学定义阶段(或任何其他应用领域)的归纳过程。
因此，至少有一部分功劳——这是历史上未被承认的部分——通常被归于数学的功劳实际上应该归于数学以外的科学。
数学在物理学中著名的“不可理喻的有效性”甚至都不难推理，更不用说不合理了。这种有效性的产生，并不是因为数学拥有某种神秘的力量，无论应用的物理领域是什么，都能使思想变得清晰，而是因为在物理学中选择用于研究的现象本身是以这样一种方式选择的，即现有的定量分析框架(或者，更准确地说，认识论上，一种测量方法)将与它相对应。物理概念的隔离和相关数学的基础同时得到表述。这就是数学如此有效的原因。
让我不要像现代科学趋势那样把这种抽象的描述放在空中。相反，让我举一个可以理解的恰当的例子。注意记住这是什么例子。
流体力学孤立了连续性方程，但在很长一段时间内对湍流没有真正的认识。在所有这些时期，更简单的线性理论(理想流体流动)被誉为“数学是科学之王”这一观点的胜利。“欢迎抽象和演绎!”，可以这么说。粘度和湍流的问题一直被掩盖。(约翰·冯·诺伊曼(John von Neumann)将其称为“干水”研究。)
但是，一旦能够定量地解决湍流问题，只有专家才能完全理解的论文开始发表。再一次，它被认为是数学的统治——它是科学的女王。等等，等等，等等……“欢迎抽象和演绎!”
如果演绎是基本原理，为什么“研究界”花了这么长时间才弄清楚动荡是如何产生的?毕竟，纳维-斯托克斯方程已经被所有的“演绎”数学家和机械师使用了一个多世纪!万博体育平台为什么要花那么长时间呢?
11.很丑，不是吗?这样的文化?把自己应得的荣誉都拿走，然后走出去，从其他领域攫取尽可能多的荣誉?(如果不是“丑”，还有什么词能准确地用在这里?)
12.现在，有点私人的问题。Biswajit的文章最棒的部分不是他写了什么，而是他写了一个简单的事实——尽管主题是什么!谢谢,Biswajit !请随意补充，但也请试着理解我所说的哲学问题——没有这些，交流只能无限长。
归纳与演绎
嗨特,
你的博客里提到了很多有趣的问题。在这里，我将简单地谈谈我对归纳和演绎的看法。
我
我认为这两种推理方法都很重要，我不认为我们
一个比另一个优越。什么是有争议的
顺序是第一位的。我同意克莱因(《why ?》一书的作者)的观点
约翰尼不能补充’)归纳是攻击新事物的自然方式
问题和演绎在后面。你需要用归纳法得到a
通过感觉和推理得出结论。
干杯
回复:归纳与演绎
嗨Temesgen,
哇!
我也很喜欢读莫里斯·克莱恩教授的数学史书，但那是大约15年前的事了，所以我真的不记得任何细节了。我只记得我很喜欢他的写作风格(非常简单明了)，而且第一章从归纳法和演绎法的角度来看更有哲理，也很有价值。
．.．我说“哇”的原因是，当我提到归纳法和演绎法，以及任何与数学有关的事情时，大多数人都会说:“是啊!归纳法太棒了!我也一直很喜欢!!你取n = 1 n = 2 n = 3…”所以，你可以理解为什么我会如此感激你所做的评论!:)……然而，一些澄清是按顺序....
问题不在于优越感，而在于首要地位。当然，演绎也是有用的。但问题是，任何演绎推理都可以简化为基本的亚里士多德三段论形式，如果你想避免三段论中的无限倒退，就像亚里士多德指出的，你别无选择，只能用归纳法来定义你的起始项。
所以，这是归纳，而不是演绎，这实际上是泛化的过程。
但是我，是的，我想强调我同意演绎是非常有用的。物理/工程中演绎的最好例子。我所知道的是麦克斯韦理论对电磁波的预测。