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为什么在科学/工程中崇拜数学?
这只引用了Harry Lewis教授最近发表的文章的最后一段。节点/ 1423 - 2880 #评论．
我写这篇文章的原因是，我对发明、学习或教授数学的看法似乎总是与刘易斯教授最后一段“似乎”所暗示的明显不一致。
公平地说，刘易斯教授并不是唯一一个对数学事物持这种观点的人。事实上，他所暗示的是学术界非常普遍的观点。这是一种主流观点，无论你走到世界的哪个角落，这种观点都可能被表达得最频繁。我想尽可能坦率地面对这个问题。
为了从刘易斯教授的评论中找到争论的真正问题，让我们首先考虑他所叙述的情况。如果克鲁克教授像刘易斯教授所说的那样，在一小时内填满6块黑板，人们显然会非常好奇地想知道更多关于以下事情的信息(即使我们的调查在一开始似乎相当无聊):
(1)空格:(a)克鲁克教授的笔迹有多大?(b)他画的共形映射图有多大?(c)那时候哈佛有小得不寻常的黑板吗?
时间:更重要的是，克鲁克斯教授什么时候有时间来“解释”他所写的东西?
或者，即使在那个时代，在哈佛，就像今天和其他地方的大多数时候一样，当涉及到教学或解释数学时，“对那些理解的人来说，不需要解释;对那些没有的人来说，没有就足够了。”如果是这样，我必须表达我对这种观点的严重反对……
从哲学上讲，我反对以牺牲归纳法和物理学为代价来崇拜演绎法和数学的做法。我意识到，自柏拉图时代以来，传统的重要性与我在这里采取的立场相悖。历史上的主流观点一直认为“数学是科学之王”。(通常被认为是高斯或你最喜欢的数学老师说的，这句话实际上可以追溯到毕达哥拉斯学派和柏拉图学派。神秘主义)。
然而，从根本上说，我相信获得知识的主要方法是归纳法，而不是演绎法，数学也不例外。
演绎在获取和应用知识方面确实占有一席之地。但它只是次要的，不是主要的。例如，在一盘国际象棋中推断出可能的最佳走法，与从对现实的系统观察中得出万有引力定律，并发明微积分来完成必要的计算，这两者之间存在着巨大的差异。就所有方面而言，差异都是显著的:所坚持的方法，所解决的问题，以及对人类生存的影响。
我最近在iMechanica(和其他地方)发表的关万博manbetx平台于数学、力学和物理的不必要抽象的言论，就是这种信念的“后果”。
计算机科学是另一门明显抽象的科学——可以说和数学一样抽象。但计算机科学与数学的一个主要区别是，计算机科学也是一门直接以技术为导向的科学。
计算机行业每年花费数百万美元，也许数十亿美元，年复一年，仅仅是为了培训刚毕业的大学毕业生如何解释他们编写的代码，以及如何编写更有效的正式文档。此外，也有一些人例行公事地大声疾呼，抱怨文件过多的问题——毫无帮助的文档数量之多令人难以忍受。
简明扼要地“解释”抽象概念的能力似乎是一项困难的技能——一项本来就很罕见的技能，或许正变得越来越罕见。
在这里，术语“解释”一个抽象与简单地使用另一组抽象进行“重述”形成对比——第二组抽象本身也同样没有解释清楚(或没有解释清楚)。说明某事物，就是说明它的意义，说明它与知识的其余部分在概念上的联系。化简一下。不要继续快速地写符号，直到学生恼怒地放弃。
计算机科学行业非常清楚解释抽象概念的迫切需要——以及由此带来的成本超支。
但是当涉及到力学和物理时，甚至没有人考虑是否会有过度的数学化。显然，在物理科学和工程领域(与计算机科学相反)，我们有足够的财力，可以亲切地容忍，不，甚至可能是微笑地鼓励，所有过分崇拜推理和“数学”的行为。
现在，请注意数学与计算机科学的第二个主要区别。计算机科学几乎专门研究人造的东西;在计算机发明之前，计算机科学并不存在。整个数字技术的大厦是这样设计的，即使是电子设备和电路参数的漂移这样的基本物理现象，也不会以任何重要的方式进入在物理层之上的任何层次上建造的概念性上层建筑。(数字计算机相对于模拟计算机的相对成功正是基于这一事实。)
相比之下，数学解决(或者至少应该解决!)为形而上学的给定现象和人为的现象找到测量方法的问题。在这两个类别中，第一个类别为物理科学带来了一定的丰富性和范围，因此，也为数学带来了一定的丰富性——这种丰富性是基本或核心计算机科学所不可能拥有的。(游戏邦注:通常与CS相关的概念丰富性要么纯粹是金钱丰富性的炒作，要么是一种天真的错误描述，实际上是基于“应用”——而非CS本身的核心。)
最后，作为第三个主要区别，与计算机科学不同，核心数学概念本身的直接参照物主要是心理上的，而不是存在的——在形而上学给定的现实中，五样东西可能存在，但“五”不存在。“五”属于达到这个概念的个人的思想。
由于这三个原因，找到概念上的参照物的需要，将抽象具体化的需要，以及“解释”思想的需要，实际上在数学中更为迫切。因此，想象一下，应用范围的巨大，因此，不理解数学将导致的巨大的“浪费”——或者可能已经导致了。
这种与数学有关的困难在某种程度上是很自然的。尽管很难找到如上所述的造成困难的原因，但困难本身却是众所周知的。问任何一位从小学开始的老师，或者如果你愿意，读一下哈代的《道歉》中相当敏锐的评论:例如，学生如何不可避免地涌向一个好老师——不管他是否是一个好的研究者。
这里的问题不是数学(或CS)与物理(或工程)之间的地盘争夺战。这个问题无助于掩盖任何数学上的无能。(我希望大家清楚，至少我不需要这样做。)这个问题只是提出了同一枚硬币的另一面——即。这是“第二种”数学上的无能。
当Johny不会加法(或者判断一个研究得很好的微分方程BV问题是否适定)时，就会出现通常的或第一种数学上的无能。
但也有可能存在另一种数学上的无能——这种无能实际上隐藏在符号和演绎形式主义的幌子之下。这种可能性很少被讨论，甚至被承认，但在20世纪却非常普遍。
第二种无能是由学术上的习惯所助长的，这种习惯把这些东西捧为神物，比如进行纯粹的心理操纵的能力，而不考虑其目的或背景，或者仅仅是演绎一个又一个演绎的能力，而不考虑在现实中协调任何确切的意义(在对真实事物的测量中)，等等。正是这种无能被隐藏起来，因为某种哲学上的认可——学术上青睐的将抽象提升到现实之上的做法。
因此，第二种数学上的无能更容易在学术领域被制度化，而不是第一种。很有可能，第一种不称职的人更容易在“实用”的行业找到归宿。
不管在什么地方，不管怎样，无能就是无能。这里确实存在一个问题，我们迫切需要承认它——而不是通过滥用研究界的同侪压力机制来帮助它隐藏起来。
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我总是发现，我遇到的大多数与物理科学、工程、力学或计算机科学相关的研究人员，都不能很好地接受上述分析。我也不会对论坛上的冷淡态度感到惊讶。但是，也有另一面。就我而言，我也发现以下事情是相当荒谬的矛盾:
在学习了一年的高中微积分(在标准十二年级)之后，我们希望人们开始消化像克雷齐格这样的大书。然而，在研究生院度过了五年之后(有时甚至在研究生涯中又度过了二十年)，人们仍然觉得直截了当地说，例如，裂纹扩展的分析微观力学模型是在二维情况下推导出来的，这是不自然和不方便的，因为保角映射不能用于三维，即使大多数部件“需要”进行三维分析。在对数学赞不绝口之后，我们发现同样难以承认的是，分析模型仍然不能充分解决耗散或滞后问题……分析不足的问题清单只会继续增加……那么，这些模型应该保留什么价值呢?仅仅是证明一个人在大学的数学课程中学习得很好?这是一个令人满意的答复吗?
仔细想想，分析模型所存在的问题列表将构成一个单独帖子的好主题。这个清单可以从这样的宣言开始，比如:“比空气重的飞行是不可能的……”
(ii)分析(即数学)模型到此为止。至于他们的解释，我们不需要去量子力学……这个故事更接近这个论坛本身……
我还没有找到一个单一的物理解释，比如说，Galerkin的一般偏微分方程的广义方法(因为该方法经常被FEM社区“宣传”)。没有一个物理解释。然而，我发现这种方法被提倡用于解决所有已知的“物理”问题。除了研究(和实践)团体愿意推动这种武断的观点，仅仅因为它在专业上方便之外，还有什么能解释这种明显的矛盾呢?当然，这一切都是通过一些熟练的操作来完成的，给它一个平滑的外观，好像这件事在物理上已经被很好地理解了。但真的是这样吗?如果是，那么直接“说”的调查或概述文章(更不用说书籍章节了)在哪里?解释一下相关的物理原理?难以忽视的真相，说真的……
但是如何解释这些矛盾呢?是个人的不诚实吗?还是物理和工程领域不必要的数学化的“文化”?理性地说，第二种解释是……
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在结束之前，有一个单独的澄清，纯粹因为这是互联网:以上不是对哈利·刘易斯教授的人身攻击。如果说这是一种攻击，那也是他无意中写下的旁注“间接”指向的数学观点。因此，即使这是一个攻击，这将是对他假定的知识地位-它仍然不会是对他自己....这样，如果我必须以更个人的方式攻击他，我会发现他的“自由意志主义”哲学更有争议。但是，真正的“人身攻击”?我多么希望刘易斯教授能写点什么来吸引我对他进行特别的人身攻击啊!：）
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评论
为什么要崇拜数学
特的,
请允许我说明我如何理解你在你的帖子中试图提出的争论要点:
关于你的第一点，虽然确实有一些这样的人，但我认为这种概括并不适用于所有人。有些人可能会认为微积分是工程中不必要的复杂因素。然而，一旦你理解了微积分，你就会意识到用这种语言思考会变得容易得多。群论也是如此。如果你想轻松地理解夸克或晶体学，对某些群的直观理解是必不可少的。这就是为什么人们用数学的各个方面来讨论他们的工作。在大多数论文中，隐含着这样一种理解，即你正在与之交谈的社区理解这种语言，并且可以继续讨论内容。当数学语言看起来很明显，甚至是必要的时候，新手总是要努力达到这一点。
关于你的第二点，一维和二维模型对于物理过程的定性理解是必不可少的。对于一些简单的情况，它们甚至可能足以提供定量结果。我认为你低估了这些简单模型的作用。
关于你的第三点，伽辽金的方法首先是一种数学技巧。在某些情况下，它有物理上的解释，这有点幸运。您将在许多文本中找到关于该方法在线性弹性背景下的物理解释的细节，例如，欧文在70年代末的系列，甚至休斯在有限元中的书。
我认为给予数学应有的地位是有道理的。在许多情况下，使用正确的数学方法可以对复杂的物理过程进行系统的思考。非线性动力系统的流形思想就是一个很好的例子。然后你可以把高维空间想象成曲面，对那些难以想象的东西有一种直观的感觉。另一个思想是在有限单元中从一个函数空间到另一个函数空间的投影。一旦你意识到这样的投影类似于寻找极点的阴影，你就可以想象在高维空间中会发生什么。
我同意你关于研究论文可读性的几个观点。我不认为这是恶意，而是因为写作技巧太差。
Biswajit
一个故事的多个版本
亲爱的阿吉特和比斯瓦吉特:
谢谢你们俩讨论这个话题。我自己从来没有真正理解为什么数学可以如此有效地表达一些思想，但却无法表达另一些思想。
在过去的几天里，我又尝试了一次相对论。很长一段时间以来，这个主题一直吸引着我，我可能有机会以一种严肃的方式使用这个理论。我试过不少非数学书籍，包括爱因斯坦自己的通俗著作。没有一个能真正帮助我理解任何实质性的东西。
这一次我在尝试一个本科生沃尔夫冈·伦德勒的教科书．这个题目对我来说突然变得合情合理了。然而，即使在伦德勒的书中，我也发现许多非数学解释的段落是多余的、令人困惑的、分散注意力的。
在经历了大半生的学习和近20年的教学之后，我对学习有了一些经验性的认识，但对学习的理论仍然知之甚少。许多人希望找到一种有效的学习方式，拥有一个版本的真理，并消除冗余。在写一篇论文或一本书时，作者试图教给别人一些东西。但是人是不同的，即使是同一个人，在不同的时刻也是不同的。一个故事的一个版本在任何时候都被所有人所欣赏，这往往是不可能的。因此，用不同的版本讲述同一个故事是个好主意，一些用英语，一些用中文，一些用数学，一些用漫画，还有一些用视频。
既然互联网已经使所有这些版本的存储和分发几乎免费，我们不妨鼓励所有的表达方式。让个人学习者和她当时的心情来决定学习哪个版本。
也许明天我会发现伦德勒的非数学段落很清晰。也许不是。但这不是重点。他显然很喜欢讲这个故事，我有很多可以学习的东西。
但是，志刚，科学不是一个“故事”(小说)，不是吗?
亲爱的中国,
(据我所知)数学的归纳根理论还没有发展得很好。如果我在这里提出或引用的一些观点后来被发现是原创的，我不会感到惊讶。
如果一种理论存在了100年之后，仍然找不到解释其所有方面的好书，或者在没有相关论据的情况下，仍然无法轻易引用——即使该理论已成为占主导地位的主流理论——那么，问题是出在人类拥有的学习天赋上，还是出在理论本身?(这就是相对论。)
英语，就我所知，汉语，都是语言。但数学不是。数学与语言不同，它有特定的内容——它有明确的主题，有明确的“事实”，这些“事实”是按照一定的原则组织起来的。相比之下，莎士比亚的作品，例如，只用英语“表达”。但是，即使从整体上看，英国文学也不能被认为是英语语言的“内容”。所以，当人们说数学是一种语言时，这是错误的。
但是，姑且相信他们，这可以被理解为数学有一种特殊的符号。即使数学符号本身被认为是一种独立的“语言”，它也是一种高度限制的语言形式——它只允许表达数量关系，而不能表达其他关系。(这个限制实际上赋予了数学符号一种使用语言无法实现的能力。)
但我完全同意你的最后一点，即更丰富的教学设备、工具和技术是更好的。
谢谢你的评论. ...就我个人而言，我想知道我的名字用中文字母怎么写。
回答:数学和比斯瓦吉特观点的狮子化
嗨Biswajit,
0.不管一个人是否完全同意，收到有思想的评论都是一件愉快的事。
1.关于我自己的职位。再想想，我觉得我在一个帖子里放了太多的观点。这使得文章在几个子线索中蜿蜒曲折。但是，这只是博客上的一篇文章——甚至不是一篇网络文章……我相信博客回复不像一篇写得很严谨的文章或一场结构严密的辩论，博客回复应该尽量保持交流的流畅性，这在现实生活中是很自然的。
2.你选择的争论点并不是我所关注的核心问题。我想从我的帖子中可以清楚地看出这一点。
例如，我写了归纳法的首要地位及其在数学中的适用性，这是你们的总结中没有包括甚至没有暗示的东西。
3.重复一遍，这条线索的主要问题是，以牺牲归纳法和物理学为代价来崇拜演绎和数学的做法。密切相关的问题是:让数学无法解释，即与现实脱节(在教学中)。(在对理论/方法的评价中)把象征性的操作提升到高于现实的水平。等。
所有这些都是深层次的文化问题;每一个都有直接的哲学意义。这些问题并不像科学管理中某些优先事项的改变那样肤浅。这里的问题与科学、思想的“文化”有关，而且是在历史的尺度上。其他与我在这里所做的密切相关的哲学观点的例子，请看:http://www.capmag.com/article.asp?ID=4823和http://www.capmag.com/article.asp?ID=4818
让我强调一下:这个想法并不是要剥夺组成一个研究社区的个人在彼此交流时可能感受到的便利。问题更为深刻。它是:为什么没有这样的人费心去说明他所使用的抽象概念所具有的物理联系?还是说这一切都是空谈?与争论为什么请求不合理相比，详细说明请求的连接不是更容易吗?
4.以牺牲归纳为代价来美化演绎的方法有很多。
增加论文数量只是一种次要的方法——请注意，我在上面的帖子中并没有特别提到。从你今天在iMechanica的帖子和活动来看，我猜你只是在追赶进度，在这个过程中万博manbetx平台，你从我的另一个帖子中导入了它。
在某种程度上，是的，我确实认为增加论文的数量可能是一种将推理奉为偶像的方式。
但更重要的是，如果一种文化错误地尊重推理，那么当一个人只是在编造想法，而没有做任何严肃或原创的研究时，他就无法分辨出来。这是一个非常严肃的问题。我想这也是大卫·哈里曼一直在强调的，关于波格丹诺夫兄弟的争论。看到的:http://www.capmag.com/article.asp?ID=3147
5.还有许多其他的方式来美化可能会打动人的推论。让我写下一些例子....
深奥的:仅仅是看起来深奥到足以产生对自己的良好印象的在这里，将演绎提升到归纳概括之上，既可以是手段(或涉及的心理方法)，也可以是现实中要达到的目的(或目的)。所以，这可能是“崇拜……”的一种方式。
另一种方式是不愿意考虑物理论证，只要这些论证还没有转化成数学方程的形式。
不承认一个真正的新物理理论，错误地将其标记为相同的旧数学的新解释，又是另一种。让我举个例子。根据这种将数学神化的方法，波粒二象性的悖论在20世纪20年代和30年代就已经被解决了，因此，你和我从高中时代就一直困惑的量子谜题都不是问题。如果你不相信这些，看看诺贝尔奖的官方网站——为外行人写的简化故事。所以，这是另一种“崇拜……”的方式。
愿意接受、吸收或内化任何符号表征，即使它的物理意义是不明确的，只是为了它的演绎乐趣，而不考虑这种心理活动的目的，这是另一种方式。
向那些能够更好地剥离扣除额的学生提供更好的推荐信，以便进入排名更高的美国大学，这又是另一回事。
为“政治顾问”提供终身职位又是另一回事……
这个名单还可以长得多……你也可以加入这个列表…在这里，一个人不需要有创造力——只要有一点观察力就足够了。
6.大约1 d / 2 d / 3 d。
一般来说，这里的问题类似于调用线性，守恒/路径无关，无限范围等假设....这些假设只有借助于你所提出的观点，即它们使我们有一种定性的理解，才能证明是正确的。
但是，人们不禁要问，为什么对于那些没有以符号数学或方程的形式出现的理论，对定性理解的支持不是那么强烈。
我选择微观力学建模的例子(我可以在应力分析的分析过程中选择任何东西)的主要原因是，在应力理论中，不仅解决方案的定性性质在1D, 2D和3D之间发生了重大变化，而且2D的解决方案“不那么”保守-即。从设计的角度来看，可能更危险。此外，请注意，裂纹扩展通常是灾难性的事件。
所以，你所提出的论点，最多也只能说一半是正确的。特别是:2D模型在提出新的材料设计方法方面很有用，但在机械设计方面却很危险。
一般来说，“定性帮助”的论点在“向量”字段的上下文中更有效。但是，根据定义，应力/应变张量场在空间轴上携带微分项的紧密耦合。这和通常的向量场很不一样。因此，在应力分析中，3D问题的2D结果相对来说价值低得多，而且危险得多。
既然这是问题的本质，研究界是否会认真考虑这个问题?人们会像遇到微观力学模型的另一种微小变化一样容易陷入这样的深思吗?在我15年以上的观察研究活动中，我没有。这种习惯很典型。正如其他地方(可能是哈代)所指出的那样，数学家们，由于他们的“骄傲”，倾向于简单地停止谈论他们无法解决的麻烦问题，而不是以一种运动精神坦率地承认局限性，然后继续前进。虽然没有必要，但人们对数学限制的感情是他们在物理学中永远想象不到的。如果光真的有速度限制，没人会认为这是人身攻击。如果没有足够的机智来指出他们无法解决一类问题，大多数数学家都会生气。为什么?因为数学概念的核心是方法概念，这就是为什么! It's funny, but despite knowing the origin, people continue to take offence! (Mathematics! LOL!!)
7.关于伽辽金的方法。
我说的是它的“扩展”版本。(见文章。)我不明白为什么你所做的评论会出现!
当然，在可逆线性各向同性弹性的背景下(我不能确定我是否错过了一两个适用的条件)，确实存在能量解释。但这样一种解释的存在值得庆祝吗?在力学中，或者在力学的阐述中，物理解释是如此罕见，以至于在数百本书中，还需要挑选出特定的书籍吗?这难道不是在强化我在这里想要表达的观点吗?
然后，考虑到伽辽金方法的物理解释(目前在大多数FEM书籍中都可以找到)，我立即想到了两个问题——一个非常明显，另一个则不那么明显。
显而易见的问题是:什么样的“物理学”与这种方法的扩展版本相对应?
推论:如果我们不理解它的物理原理，我们怎么能断言这种技术在“应用”于“物理”问题上的可行性?
现在，这是一个严重的错误，事实上，严重到，如果一个人被要求确定这个错误的确切认识论性质，他会感到困惑。
我来举个例子。除了高中微积分之外，整个商业会计领域不涉及任何数学。可以说，会计学核心中最先进的数学问题是:连续复利。这是否意味着每个理科高中毕业生都有资格成为一名会计?别管这个国家的法律是否允许。这里真正的问题是:每个理科高中毕业生是否仅仅因为了解相关的数学而“了解”会计?如果不是，为什么我们要把扩展伽辽金方法应用到，比如说，一个非线性问题上呢?对于流体动力学问题?断裂机械问题?等等?
让我补充一句:如果人们想要在物理学或应用之前尝试数学，我没有意见。
如果*一些*人发现像狄拉克那样“玩弄方程式”更容易，那是他们发展科学的习惯或特质。但请注意，这种“游戏”不能被视为科学的最终内容....
所以，我确实有一个问题，如果一个纯粹的数学方法被简单地推为有价值的解决物理问题，而不是任何仔细识别其物理性质。但这正是FEM社区对于广义WR(即Galerkin)方法的常规做法。我对FEM社区的实践有异议。我甚至有一个更严肃、更哲学的问题，如果玩弄方程被提升到高于物理发现的程度——就像科学文化(不仅是流行文化，而且是实践文化)经常描绘的那样。
不管这有多伤人，FEM社区都应该停下来思考一下。相信我，识别扩展Galerkin(或WR或任何其他类似的数学)的物理特性现在只会帮助FEM社区——而不是伤害它。
如果有人有好的观点来证明识别物理伤害数学，至少让他在这里的回复中说出来!!
现在，我们来谈谈这个不太明显的问题:这里有两种方法。一种在数学上更具挑战性和复杂性，但它的物理性质尚不清楚，或者即使知道，也从未发表过。然后，还有另一种方法。这在数学上要简单得多。它与这种情况所涉及的基本物理学的对应关系也非常直观。然而，甚至没有人想到将它应用于任何固体力学问题。为什么?
如果到目前为止你还没有猜到，第二种方法显然是FDM。
为什么研究和应用社区在简单地将其应用于固体力学中会有这样的心理障碍?
难道不是因为FDM没有通过“以牺牲归纳和物理为代价的推理和数学化”测试吗?想想看。如果你这样做了，你就会意识到Zienkiwicz支持FEM的答案是不够的。(我选他的名字只是为了举个例子。几乎他那一代的其他人都会这样做。他们追求FEM的发展是“不”坏的。FEM的优点和FDM的缺点被夸大了，这是很糟糕的。
8.鉴于普遍存在的偏见，我可以重申一下，我的职位(或职位)并没有从数学中拿走任何东西。
既然你提到了流形，让我在这里引入另一个帖子。让我们做一个小实验:我给你(这里的“你”只是一种口头表达)上一堂印度最有才华的工程学本科生之一的课，给你尽可能多的时间——比如5节课，每节课2个小时。学生们对固体力学是完全陌生的。你选择要教哪一半的学生。另一半会归我。你将教授流形上的矢量束等等张量场和固体力学的方法，也可能涉及非线性等。我将教授另一半学生主流工程课程中的标准主题(例如，遵循Shames的书，或者我帖子中关于UG SM课程的建议)。在课程结束时，让我们看看是你的学生还是我的学生更容易自己学习某些“未教”的主题，如应力集中(甚至是板/壳的应力——一个我自己还没有机会学习的主题)。让我们看看学生们是采用第一种方法还是第二种方法表现得更好。
我敢肯定，只要在你的思想中进行这个实验，就足以让你知道向量束、流形等根本不是非常深刻或基本的概念——尽管它们是以一种熟练而聪明的方式被制造出来的。现在，这是另一个以牺牲归纳法为代价，将演绎数学神化的例子。明白了吗?
至于维度和所有的。这是一个单独的辩论。请允许我指出，我认为整个物理学应该只用3个(空间)维度来呈现，仅此而已。这是可以做到的。它避免了混淆。这让事情变得简单。真的。是的，整个物理学都可以用这种方式涵盖。)
9.在结束之前，我想说句话，因为在座的主要听众，我想说句话就足够了;一个成熟的论点可能是不必要的。
我的观察是，建立一个我反对数学的稻草人，然后开始打败它是毫无意义的。
10.当然，我看重数学事物的精确性、严谨性、确定性等，而不考虑其潜在的应用范围。
但即使在这里，我似乎也有某种观点，在整个思想史或数学史上都没有找到适当的表达。
要解决这个问题，只需想想为什么“正确的数学使对复杂物理过程的系统思考成为可能”?为什么会发生这样的事情呢?为什么它需要“正确的”数学?判断某种数学方法是否“正确”的标准是什么?任何想法?…
这已经成为一个很长的回答，所以我在这里提供一个提示(可能稍后会写另一篇文章):在我看来，“为什么”数学工作的原因不在于数学本身，而主要在于物理定义阶段的归纳过程(或任何其他应用领域)。
因此，至少有一部分通常归于数学的功劳——这是历史上未被承认的部分——实际上应该归于数学以外的科学。
物理学中著名的数学“不合理的有效性”甚至不难推理，更不用说不合理了。这种有效性的产生，并不是因为数学具有某种神秘的力量，无论在物理应用领域如何，都能使思想变得清晰，而是因为物理学中被选择研究的现象本身是以这样一种方式被选择的，即现有的定量分析框架(或者，更准确地说，认识论上，一种测量方法)将被发现与之对应。孤立的物理概念和相关的数学基础同时得到阐述。这就是数学如此有效的原因。
让我不要让这种抽象的描述像现代科学趋势那样飘忽不定。相反，让我举一个可以理解和相关的例子。注意记住这是一个什么例子。
流体力学孤立了连续性方程，但长期以来对湍流没有真正的认识。在所有这样的时间里，是更简单的线性理论(理想流体流动)被誉为数学统治的观点的胜利——数学是科学的女王。“欢呼抽象和演绎!”一直以来，粘度和湍流的问题都被隐藏起来了。(约翰·冯·诺伊曼(John von Neumann)曾将其称为“干水”研究。)
但是，一旦有可能定量地解决湍流问题，严格来说只有专家才能理解的论文开始发表。再一次，它被认为是数学规则——它是科学的女王。废话，废话，废话……“抽象和演绎万岁!”
如果演绎法是基本原理，为什么“研究界”花了这么长时间才弄清楚湍流是如何产生的?毕竟，一个多世纪以来，所有的“演绎”数学家和机械师都一直在使用纳维-斯托克斯方程!万博体育平台为什么要花那么长时间?
11.很丑，不是吗?这样的文化?把所有应得的荣誉都拿走，然后出去从其他领域也尽可能多地攫取?(如果不是“丑”，还有什么词能准确地用在这里呢?)
12.现在，有点私人问题。关于Biswajit的帖子，最精彩的部分不是他写了什么，而是他写了这个简单的事实——尽管主题是什么!谢谢,Biswajit !你可以随意补充，但也请试着理解我所说的哲学问题——没有这些，交流只会变得无限漫长。
归纳与演绎
嗨特,
你的博客里提到了很多有趣的问题。在这里，我将简单地给出我对归纳和演绎的看法。
我
我认为这两种推理方法都很重要，我不认为我们
可以选择一个比另一个优越。什么是有争议的
顺序是第一位的。我同意克莱恩(《为什么》一书的作者)的观点
约翰尼不能补充说，归纳法是攻击新事物的自然方式
问题和推理在后面。你需要用归纳法得到a
感觉和推理得出结论。
干杯
回复:归纳与演绎
嗨Temesgen,
哇!
我也很喜欢读莫里斯·克莱恩教授的数学历史书，但那是大约15年前的事了，所以我真的不记得任何细节了。我只记得我喜欢他的写作风格(非常简单明了)，而且第一章更有哲理，从归纳-演绎的角度来看很有价值。
…我说“哇”的原因是，当我提到归纳与演绎，以及与数学有关的“任何事情”时，大多数人都会这样说:“耶!归纳法太棒了!我也一直很喜欢它!!取n = 1 n = 2 n = 3所以，你可以看到为什么我会如此感激你所做的评论!:)……然而，一些澄清是有序的....
问题不在于优势，而在于首要地位。当然，演绎法也很有用。但问题是，任何演绎推理都可以用亚里士多德三段论的形式来简化，如果你想避免三段论中的无限回归，正如亚里士多德指出的，你别无选择，只能用归纳法来定义你的起始项。
所以是归纳，而不是演绎，这实际上是泛化的过程。
但是我，是的，我想强调我同意，演绎是非常有用的。物理学/工程学中演绎的最好例子。我所知道的是麦克斯韦理论对电磁波的预测。