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非单连通体非线性弹性的相容性方程
弹性相容方程已有近150年的历史。有趣的是，到目前为止，似乎还没有对非单连通体进行严格的研究。本文导出了在欧几里德环境空间下任意非单连通体的非线性弹性的充分必要相容方程。对于非单连通体，即使满足标准相容方程(“体”相容方程)，应变测量也可能不相容。结果表明，两种变形梯度的相容性可能存在拓扑障碍，本文旨在了解它们F和正确的柯西-格林菌株C。给出了变形梯度相容的充分必要条件F它的外导数和它的所有周期都消失了，即它在物质流形的第一同调群上的积分。我们将证明并非每个非零同伦路径都需要补充相容方程F线性应变e。然后我们找到了合适的柯西-格林应变张量的充分必要相容条件C对于任意非单连通体，当材料流形与环境空间流形具有相同尺寸时。我们讨论了众所周知的线性化条件下的必要相容方程和Cesaro-Volterra路径积分。得到了体非单连通时线性化应变相容的充分条件。
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评论
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亲爱的乔,
这是一部伟大的作品。表示! !
Mohsen
再保险:兼容性
伟大的东西。让我开心了一天。
——Biswajit
可以避免与轮换组打交道吗?
嗨乔,
不错的工作!
问:我觉得你的摘要的最后两句话很有趣。如前所述，您似乎认为(2.24)的目标空间是(非平凡的)旋转流形，这是非交换的，因此存在问题。
然而，如果你看看你的收入。在2.18和2.21中，你提出的兼容性问题也可以用确定一个可逆张量场F来提出，给定C在一个可能的多连通域上。2.18 + 2.21转化为F的线性方程组。
由于所有可逆张量的集合是二阶张量空间中的开集而不是流形，这是否减轻了你的负担?
例如，从单连通域中C相容的证明中，我们可以证明，在给定C(曲率消失)和域中某一点的可逆“初始”数据(这利用了平行移动保持矢量场之间夹角的事实)的情况下，可以构造可逆F场的“全局解”。
在一个多重连通域中如果有人能在27号提案中对第二个ii)进行类比，那么我认为单连通域的证明将在一般情况下通过，除了
你能解释一下命题27的第二条ii)是如何在给定的数据(即域和C域)上证明充分性的条件，即使你通过R处理C兼容性。
继续努力，
- - - - - -阿米特
Re:可以避免处理旋转组吗?
亲爱的阿米特:
谢谢你提的好问题。
“我觉得你的摘要的最后两句话很有意思。如前所述，你似乎认为(2.24)的目标空间是(非平凡的)旋转流形，这是非交换的，有一个问题。”
当你看相容方程时F好的是，你可以用第一个同调群的生成子来表示拓扑方程。第一个同调群是阿贝尔的，与基群(非阿贝尔的)相比容易计算。这里的“问题”是处理一个难以计算的非阿贝尔群。
“然而，如果你看看你的收入。在2.18和2.21中，你提出的兼容性问题也可以用确定一个可逆张量场F来提出，给定C在一个可能的多连通域上。2.18 + 2.21转化为f的线性方程组，因为所有可逆张量的集合是二阶张量空间中的开集而不是流形，这是否减轻了你的负担?”
你对相容性方程的表述是正确的F。你会得到类似于(2.24);你更换R通过F和K通过lγ= \ \点{X}。你仍然会有一个可变系数的线性ode系统。解决方案类似于(2.27);你更换K通过l。然而，这并不能解决这个问题，因为一般线性群也是不可交换的。所以，你的拓扑相容性方程还是写在基本群的生成器上而不是第一个同调群上。
例如，从单连通域中C相容的证明中，可以证明在给定C(曲率消失)和域上一点的可逆“初始”数据(这利用了平行传输保持向量场之间夹角的事实)的情况下，可以构造可逆F场的“全局解”。
在多重连通域中如果一个人能对命题27中的第二个ii)进行类比，那么我认为单连通域的证明将在一般情况下通过，除非你能解释命题27的第二个ii)如何成为给定数据(即域和C域)证明充分性的条件，即使当你通过r处理C兼容性时也是如此
我不确定我是否理解你的问题。命题27中的ii)保证旋转场的唯一性R给定一个C字段。
问候,
乔
阿拉什，你的
乔,
请原谅你的话
＊＊＊＊
你对相容性方程的表述是正确的F。你会得到类似于(2.24);你更换R通过F和K通过lγ= \ \点{X}。
你仍然会有一个可变系数的线性ode系统。
解决方案类似于(2.27);你更换K通过l。
然而，这并不能解决一般线性组的问题
也不是可交换的。所以，你仍然有你的拓扑
相容方程写在基本的生成器上
而不是第一个同调基。
＊＊＊＊
如果你认为这个问题会妨碍你的证明方法，即使它是一个单连通域，对吗?
对于我的另一个问题，你在27号提案中有两个ii)s。我讲的是最后一项，问题是，当你做充分性的时候，你手上只有C场和域B目标是构造一个变形和它的F，所以我不清楚如何把F作为一个假设，一个条件，它是一个必须构造的对象。
- - - - - -阿米特
回复:阿米特的问题
亲爱的阿米特:
你第一个问题的答案是否定的。如果域是单连通的，则每条闭合路径都可以收缩到任意一点，因此基本群(以及第一个同调群)将是平凡的。所以，两个“ii”在这种情况下，他的要求是微不足道的。顺便说一句，多亏了你，我在27号提案中发现了一个错字，第二个“ii)”应该是“iii)”。
关于第二个问题，我明白你的意思。如果满足第一个“ii)”，则F可以唯一构造。这F然后必须满足第二个“ii)”。我不确定在非线性的情况下是否能写得更明确。然而，在线性化的情况下，可以明确地用应变来表示。
问候,
乔
阿拉什，你能解释一下吗
乔,
你能解释一下在线性群或正交群中求值的ode的解与域内表征域连通性的曲线的某些等价类之间的联系吗?
我的第一个问题更多的是关于你提到的一些困难是否与你所使用的基于特定产品集成的公式有关。因为还有其他方法可以在线性群中得到与相容问题相关的解这些方法甚至没有意识到你在线性群中寻找解，但是在得到二阶张量空间的解之后，这个性质就恢复了，仅仅依靠已经解出的方程。
- - - - - -阿米特
回复:阿米特的问题
亲爱的阿米特:
你有一个需要在任意曲线上求解的ode系统。现在，兼容性等价于解的路径独立性。当定义域不是单连通时，除了曲率C消失，你需要确保从一个给定的点出发，沿着任何闭合曲线回到它，你恢复了原始的(在我的解中)旋转张量。这只需要在基本群的生成器上强制执行(即所有“独立”封闭路径)。当然，如果任何封闭路径都可以连续收缩到一个点(单连通域)，那么这些条件就可以满足了。
我没有说解出dR/ ds =RK产品集成是唯一的方法。然而，我们不应该考虑解的路径独立性而不管解的方法是什么吗?我再强调一下C可能有一种更明确的方式来写拓扑方程。当然值得探索。
问候,
乔
路径独立/兼容性
乔,
我完全同意，路径独立性是任何兼容性问题的关键，不管领域的连通性如何。我只是好奇在旋转群或线性群中求解是否真的是一个严重的问题。这是因为在一个非单连通域的简单例子中，我认为我可以通过了解一些标准的ODE理论来证明。我根本没有考虑过这种非单连通的情况，所以我下面所说的可能有空白(我不这么认为)，但话说回来，我不是在写论文:)——力学的伟大之处在于，这样的讨论是可能的。万博manbetx平台
我来告诉你们如何在最简单非单连通域中证明C的兼容性。取一个右圆厚壁空心圆柱体。沿着一个假想的平面进行切割，得到一个单连通域(比原来的圆柱体多两个边界面)。假设给定C场的RC张量在柱面上消失。然后利用t.y.t thomas(1934)的一篇漂亮的论文——这是Shield论文的参考文献12——他给出了一个完全初等的——在我看来非常聪明的——Froebenius定理的证明，我们可以证明在这个单连通域中存在方程组2.18的全局解(因为系统是线性的)。此外，使用向量场的平行移动，可以证明，如果你从一个在某一点指定的可逆张量开始，那么整个构造的场是可逆的(这是我在力学上发布的兼容性笔记)。万博manbetx平台
现在剩下要显示的是，在构造的F场中是否有跨越切口的跳跃。
如果我们现在在RC消失之外加上以下条件:
在洞周围取任意闭合曲线S。要求线积分
\int_S F^a_A \Gamma^A_{BC} dX_C = 0
其中F^a_A是由单连通域上给定的C域构造的F域，因为RC消失了。然后，很简单地表明，在切割面上的任何一点上，F的跳跃必然是零——构造一个从切割面上的一点到切割另一侧相邻点的封闭轮廓，沿着切割到封闭轮廓S与切割的交点，沿着S到切割的另一侧，然后再沿着切割回到a;因为上面在这条封闭曲线上的线积分为零，在S上也为零，很容易看出，来自切割表面两侧的碎片的贡献将会消失(即使F出现在被积函数中)，因此所需的跳跃F(A) - F(B) = 0。完成了。
所以，是的，路径独立就是这一切——我们在这一点上肯定是一致的。
- - - - - -阿米特
回复:Amit关于相容性方程的评论
亲爱的阿米特:
我认为一个问题是与二维空间不同，三维空间中的非单连通域没有那么简单。实际上，对于R^3的非单连通嵌入子流形并没有竞争的分类。在平面上(如我在论文中提到的)，任何非单连通域都是一个具有有限数量孔的圆盘。
使用群论的一个优点是，你不需要进行削减，然后担心(相关)领域的连续性。当然，切割是可以的，你对中空圆柱的建议是正确的。注211将“切”与相对同源群联系起来。
我认为我们需要看更多非单连通体的非平凡例子。
问候,
乔
再保险:乔/兼容性
乔,
＊*＊*＊
我认为一个问题是与二维空间不同，三维空间中的非单连通域没有那么简单。
* * * * * * *
我完全同意(我没有那样称赞你的论文!)
你可能已经意识到，我给出的例子不是二维物体，而是任何三维物体，在拓扑上相当于一个厚壁空心圆柱体(沿其轴的长度非零，假设是有限的)。
对于三维物体，拓扑学中是否存在这样一个定理，即任何非单连通的三维物体都可以通过适当的切割系统简化为单连通的物体?如果是这样，那么我认为我的论点将适用于任何这样的机构。
对我来说，用最简单的工具对连通性进行群论分析，并结合变形的“显式”构造，似乎是解决问题的最佳方法。当然，我对群论几乎一无所知，所以我不玩这个游戏....
- - - - - -阿米特
Amit关于非单连通体的问题
亲爱的阿米特:
谢谢你的鼓励。
我同意你的例子是一个3D身体。然而，它是一个特殊的三维体，因为它对二维问题具有“变形缩回”(变形缩回下保留基群)。我上传了两张图。在其中一幅图中，你可以看到一根有几个管状孔的杆。你的例子只有一个洞。在这种情况下，很明显需要用什么切口来使身体简单连接。在这个图中，c_i是基本群的生成器，每个都对应于一个cut(正是你提到的那个)。还要注意，在这种情况下，基本群恰好是阿贝尔群。
对于R^3的嵌入的3个子流形，我认为没有任何定理能告诉你该用什么切法。我上传了一个图，显示了一个球与一个结被删除。把结想象成一个“变形”的厚环。我们在这里应该用什么切法?我不知道。但是如何计算基本群是已知的。有四个交叉点，每个点对应一个组生成器。注意这个结是连接的(只有一个组件)。事实证明，只要结连接在一起，第一个同源群就只有一个发生器。
问候
乔
回复:Arash，非单连通
谢谢乔。
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对于R^3的嵌入的3个子流形，我认为没有任何定理能告诉你该用什么切法
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好的。你知不知道有哪个定理仅仅宣称存在一个使身体单连通的切割系统?
- - - - - -阿米特
回复:阿米特关于削减的问题
亲爱的阿米特:
我不确定是否有这样一个定理。然而，我认为有方法来寻找这样的切割给定的三角形歧管。我看过一些有关麦克斯韦方程组离散化的相关著作。如果你感兴趣，我可以寄给你。
问候,
乔