材料模拟

是否有任何工作验证MPM用于非结构化网格?

约翰的问题在MPM和非结构化网格上。让我们简要回顾一下MPM及其涉及的问题。

为涉及主体的问题开发MPM算法的主要步骤是(我在这里描述的是“GIMP”方法):

• 求控制方程的弱形式。积分是在当前的构型上。
• 定义粒子特征函数，满足单位的划分在初始配置。这些函数有助于将物体上的积分转化为粒子上的积分和。
• 接下来使用标准的有限元样插值函数离散任何连续量。这些插值函数定义在网格上(可以是结构化的，也可以是非结构化的)。
• 最后，离散时间导数(使用一些差分方案)。
• 得到的代数方程组用通常的方法求解。

现在让我们看看下面的方法示意图。

MPM算法通常遵循以下步骤:

• 主体被离散为材料点(显示为绿色点)。
• 每个材料点在初始配置中都有一个相关联的体积。这些体块的平铺用红色虚线显示。任何兼容的变形都能使瓷砖保持完整(当与每个材料点相关的体积由变形梯度确定时)。不需要显式平铺。
• 网格覆盖在主体上。该网格仅用于计算梯度和求解离散化控制方程。网格在每个时间步骤结束时被丢弃。
• 如果身体的不同区域有明显不同的材料点密度，则可以使用非结构化网格。然而，相关的网格和重网格成本使得这种方法对于大型问题没有吸引力。
• 在材料点处进行本构更新。所有历史变量也存储在材料点上。
• 在此阶段，执行投影以从材料点获取信息到网格。这些信息通常仅限于动量、内力和热惯量之类的量。
• 在网格上求解离散方程后，将速度插值回粒子。粒子不断更新，循环往复。

误差的主要来源是

• 从材料点到网格投影量的误差。
• 计算对当前体积积分的误差。

这些错误使得原始的MPM方法不稳定。但是，GIMP方法及其后继方法具有更好的行为。犹他州有一个活跃的研究小组正在探索这些问题。

对于涉及小变形的问题，例如，如果你不需要重新网格，非结构化网格更适合于最小化积分误差。丽贝卡·布兰农教授在桑迪亚大学时研究了一些这样的情况。非结构网格的主要问题是，要进行任何大型并行模拟，您需要一个域分解算法。就软件工程而言，这不仅成本更高，而且需要付出相当大的努力。

我所处理的大多数问题都涉及到流体-结构相互作用下的大变形。对于这类问题，结构化网格使工作变得更加简单，特别是因为大多数CFD代码都使用结构化网格。但是，一如既往，天下没有免费的午餐。自适应网格细化可以在结构化网格的瞬间变得相当复杂。

我认为这里有很多探索的机会。我很想知道如果使用非结构化网格，是否可以保留MPM的一些很好的特性(无重网格，大变形，容易流固交互，容易接触)。