材料模拟

是否有任何工作验证非结构化网格的MPM ?

约翰的问题是在MPM和非结构化网格上让我们简要回顾一下MPM及其涉及的问题。

为涉及身体的问题开发MPM算法的主要步骤是(我在这里描述的是“GIMP”方法):

• 求控制方程的弱形式。积分是在当前的构型上。
• 定义粒子特征函数，满足初始构型的单位分割。这些函数帮助将物体上的积分转换成粒子上的积分之和。
• 其次，使用标准的类有限元插值函数来离散任何连续量。这些插值函数是在网格(可以是结构化的，也可以是非结构化的)上定义的。
• 最后，离散时间导数(使用某种差分格式)。
• 所得到的代数方程组用通常的方法求解。

现在让我们看看下面这个方法的示意图。

MPM算法通常遵循以下步骤:

• 身体被离散成材料点(显示为绿点)。
• 在初始配置中，每个材质点都有一个相关的卷。这些体量的体块用红色虚线表示。任何兼容的变形都会使瓷砖保持完整(当与每个材料点相关联的体积由变形梯度确定时)。不需要显式平铺。
• 网格覆盖在主体上。该网格仅用于计算梯度和求解离散化的控制方程。网格在每个时间步骤结束时被丢弃。
• 如果身体的不同区域具有明显不同的材料点密度，则可以使用非结构化网格。然而，相关的网格划分和重新网格划分成本使其对大型问题没有吸引力。
• 本构更新在材料点执行。所有历史变量也存储在材料点。
• 在这个阶段，执行投影以从材料点获取信息到网格。这些信息通常限于动量、内力和热惯性等量。
• 在网格上求解离散方程后，将速度插值回粒子。粒子被更新，循环不断重复。

误差的主要来源是

• 将数量从材料点投射到网格中的错误。
• 计算当前体积上的积分时的错误。

这些误差使得原MPM方法不稳定。然而，GIMP方法及其后继方法的性能要好得多。犹他州有一个活跃的研究小组正在探索这些问题。

对于涉及小变形的问题，例如，如果您不需要重新网格划分，则非结构化网格更适合最小化集成误差。丽贝卡·布兰农(Rebecca Brannon)教授在桑迪亚大学(Sandia)时研究过一些这样的情况。非结构网格的主要问题是，要进行任何大型并行模拟，都需要一个域分解算法。这不仅更昂贵，而且涉及到软件工程方面的大量工作。

我处理的大多数问题都涉及与流固相互作用有关的大变形。对于这样的问题，结构化网格使生活变得更加容易，特别是因为大多数CFD代码使用结构化网格。但是，一如既往，天下没有免费的午餐。在结构化网格中，自适应网格细化会变得非常复杂。

我认为这里有很多探索的机会。我非常想知道，如果使用非结构化网格，是否可以保留MPM的一些好的特性(没有重网格，大变形，容易流固相互作用，容易接触)。