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非线性固体力学中的应变协调方程!!
我们有六个应变相容性方程，它们是在假设“小应变”的情况下由应变-位移关系得到的。应变协调方程保证了单值连续的位移场。这些方程用于基于应力的方法。
现在我的疑问如下。
[1]我们是否有非线性应变-位移关系的应变协调方程?
[2]在非线性固体力学中，我们是否遵循基于应力的方法?
对我来说，在非线性固体力学中推导应变相容性方程是很困难的(可能也不可能)。
我希望有人能通过把重点放在"非线性固体力学中的应变相容性方程"上
提前感谢，
与问候,
——R.金那姆塞提
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评论
compaibility方程
亲爱的Ramdas:
首先注意，经典相容方程仅对单连通域是充分必要的。如果你的身体有“洞”，即为多连接域，你需要一些额外的条件。那么，让我们来考虑局部兼容性方程因为全局兼容性要复杂得多并且强烈依赖于感兴趣域的拓扑结构。
在线性化弹性中，从应变张量开始，你想要计算一个在点B处的位移矢量，它在固定点a处的位移，在非线性弹性中你也会做同样的事情。代替这六个相容方程的是“旋度F = 0”，其中F是变形梯度。注意，这里假设环境空间是欧几里得的。
你可以等价地用右边的柯西-格林应变张量C来写相容方程。把C看作是环境空间的(欧几里德)度规的回拉，当且仅当它的曲率张量为零时，C是相容的。在三维空间中，这给出了六个相容方程。然而，记住有三个Bianchi恒等式被曲率张量满足，最后有三个独立的相容方程(这是你在弹性书上看到的模糊论证的严格版本)。
不幸的传统是从线性化弹性过渡到非线性弹性。这种误导的做法在文献中引起了许多混乱。自然的方法是从非线性弹性开始，然后在必要时对给定的运动进行线性化。当然，一般来说，线性化理论有无穷多种。所以，看到线性弹性中有基于位移和应力的公式，并不意味着我们应该期望在非线性弹性中也有同样的东西。在线性弹性中，在某些问题中(例如，如果所有的边界条件都用牵引力来表示)，用应力来表示相容方程可能会很方便。有了应力张量和应变张量之间的线性关系，这是一个简单的任务。在非线性理论中，相容性方程是用F或c来表示的。根据应力-应变关系(来自于应变能或自由能密度)，你可以用应力来表示一切，尽管这可能不会简化最后的计算。
我希望这对你有帮助。
问候,
乔
F C B的相容性
亲爱的乔,
我不能完全理解你所说的变形“梯度”的(局部)相容性和右柯西-格林张量场之间的等价是在什么意义上。
以下是我对这次讨论的一些看法，可能对一些人有用:
我还将把整个讨论限制在局部存在或单连通域。
如果一个可逆二阶张量场F是相容的(旋度F = 0)，那么它的右柯西-格林场C = F^t F是相容的(Riemann-Christoffel (RC)曲率张量消失)，如果C场是相容的，在RC消失的意义上，F场是相容的，这是不正确的。
最简单的方法是观察，如果两个变形有相同的C场，那么变形最多只能有一个刚性变形。因此，一个兼容的C场定义了一个唯一的旋转场，直到一个无关紧要的空间均匀正交张量(R T Shield基于调和函数的性质给出了一个优雅的证明。数学，25(3)，1973，但也有更多的插头和chug行人证明基于克里斯托费尔符号等，我将张贴)。因此，对给定的F场进行极坐标分解，F = RU。令其C = UU域兼容(RC消失)。这个C场产生一个“唯一的”旋转场，比如R*，这样R*U就可以写成位置场的变形梯度。现在，如果F的R场不等于R*场(直到一个空间均匀的正交张量场)那么F就不能相容。事实上，在位错的连续统理论中，这就是为什么我们可以有零弹性应变能/应力的非平凡奈张量场。
当然，即使在小应变下，应变相容性的证明也依赖于构造与兼容小应变场相对应的“唯一”无穷小旋转场。
注释:对于兼容性证明，变形/位移“梯度”参数是最简单的，其次是小应变兼容性，然后是C兼容性。所有兼容性论证之母是B(左柯西格林兼容性)，据我所知，目前三维中不存在充分必要条件。Janet Blume做了二维的例子，我做了三维的充分条件。
我将为感兴趣的学生张贴一些课堂笔记(它们主要是为了帮助我讲课，但我认为它们可能对那些愿意弄清楚一些事情的学生有用)和关于b兼容性的论文。不幸的是，我将不得不做一个单独的帖子，因为一个不能附加到评论。
最好的祝愿,
阿米特
兼容性
亲爱的阿米特:
谢谢你有趣的评论，也谢谢你有趣的J.弹性论文。
我同意你的第一个评论，但我不完全清楚你想说什么。有一个定理说，如果流形(M,C_{AB})的曲率张量消失(M是参考流形，C_{AB}是“平坦的”右柯西-格林张量C作为从M的切空间到自身的映射具有分量C^ a {}_B)那么局部存在一个变形映射，其右柯西-格林张量为C。有了C，就有不止一个F对应于C，这使得讨论F的相容性变得模棱两可。你是这个意思吗?如果是，那么你在第四段所说的“F字段”是什么意思?
关于B张量，我不明白为什么它和c张量相比有什么特别之处。我快速看了一下你的论文，对B的定义有些困惑。我的理解是，给定环境空间B中的点x是一个从环境空间的切线空间到它自身的线性映射。在第97页，您在参考配置上定义了B。我错过什么了吗?
另一方面，C是从材料流形在X点的切空间到自身的映射。通过变形图可以看出，C是环境空间度规的回拉。如果周围空间是欧几里德空间它的曲率张量就消失了。流形(M,C)的曲率张量是这个曲率张量的回拉，也应该消失。当然，反过来就更难证明了。
我的猜测是，人们可以通过推动材料流形的曲率来做类似的事情(假设没有缺陷等)。
问候,
乔
Re Arash兼容性
亲爱的乔,
让我再试一次:这里所有的东西都在欧几里得空间里。
1)假设在单连通参考构型上给定可逆二阶张量场A，构型中的点一般用x标记。
让由度量张量分量形成的黎曼克里斯托费尔曲率张量分量，后者由场A^t A的直角笛卡尔分量确定，消失。
那么，虽然存在参考构型的变形y使(dy/dx)^t (dy/dx) = a ^t a，但不需要存在*任何*变形z使dz/dx = a。
在这个意义上，右柯西格林相容问题并不等同于“变形梯度”相容问题。
2)我不认为你在B的兼容性问题上遗漏了什么，但我不明白:)(我认为是时候我们当面谈谈了!)混淆的地方在于第97页的定义1)是标准定义。如果我把B(y(x))写成B(y(x))而不是B(x)它的转置等于(dy/dx)^t (y(x))会有用吗?顺便说一句，我同意你的观点，几何上B是在变形流形上基点的切空间上定义的转置也是如此。但在这里，由于我们讨论的是一个内射y而且我们在欧几里德空间中因此在相应基点上的变形流形和未变形流形上的切空间可以相互识别，这对于我们手头的主要存在性问题来说并不重要。
所以B相容的主要问题是自然的-给定一个正定的，对称的，二阶张量场B作为x的函数，问题是在这个场上找到一个条件，使得形变y可以被构造，使得(dy/dx)(dy/dx)^t在每个x处等于B值。
当然，大多数研究连续介质力学的人(包括我)一开始都觉得B的兼容性应该和C的兼容性没有什么不同——但这里的魔鬼似乎在细节中....
此外，布鲁姆、杜达和马丁斯都是非常有能力的人;我相信这个问题也是Blume和Sternberg的博士工作，所以Sternberg也会研究这个问题(至少看看这里是否存在问题)....但这不应该阻止你尝试回答这个问题，特别是通过某种方式将其简化为C兼容性问题-我对此非常感兴趣。
最好的
阿米特
B兼容性
亲爱的阿米特:
我同意你的评论“1)”。
2)是的，如果你写B(y(x))，事情会更一致。也许，在你所做的事情中，这不会有什么不同，但我认为保持参考量和空间量完全清晰可能会解决一些现有的困惑。
再次，我觉得B和C的兼容性应该是密切相关的。让我仔细读一下布卢姆的论文，然后再给你答复。
问候,
乔
B相容性的几何公式
嗨乔,
我期待听到你能回答B兼容性问题的任何新补充。
一些评论:
1)如果你手上有变形y，那么保持参考和空间对象的分离就可以以“建设性”的方式完成，因为你手上实际上有空间切线空间等。但是，当空间构型本身是蒸发的，直到你真正构造了变形/有了它的存在保证，这是这里的主要问题，在我看来，保持先验的差异似乎是一个灰色地带。有趣的是，你所怀疑的混乱的主要原因(实际上这个问题没有混乱——除了平面的情况之外，根本没有明确的答案!)，我发现只是几何上的粉饰而已!也许你会证明我错了。也就是说，你会发现我对这个问题的表述实际上是“被动的”几何形式，即在图表(方程)中。我的论文3到8):)，它在概念上维护了两个具有相应对象的图表。
无论如何，记住，答案最终必须是在某些条件下，在场B上，在唯一已知的构型上——参考。同样，无论你提出什么相容条件，它都必须与变形y无关。
2) Blume在3-d的存在问题上下注。如果你把代数约束Q^ tq = I加到她的方程中，我提供的定理实际上可以应用到她的极分解旋转公式中。3.13.
基本上，答案归结为想要应用Froebenius定理一旦你把这个问题表述为一个全微分方程/普氏形式的系统有一些复杂的代数约束并且没有办法保证，仅仅基于B域和参考位形，可以使可积性条件成立。所以你寻找下一个最好的办法.......
愿一切都好！
阿米特
好书! !
谢谢你，Arash!!你能推荐一些关于“非线性固体力学”的好书吗?
与问候,
——Ramdas
书
亲爱的Ramdas:
我假设你所说的“非线性固体力学”是指“非线性弹性”。在我看来，M.E. Gurtin的《连续介质力学导论》是一本很好的入门读物。另一本书是M. Silhavy的《连续介质的力学和热力学》。如果你对几何的观点感兴趣，可以看看J.E. Marsden和T.J.R. Hughes的《弹性的数学基础》。如果我是你，我会看看其他几本书，看看我更喜欢哪一本。
问候,
乔
“向后拉”和向前拉
亲爱的乔,
谢谢你把事情讲清楚了。你谈到了C的后调，但是关于重音的前调呢?
谢谢
hamanh
推进
亲爱的Hamanh:
当两个流形之间有一个映射时(如果你愿意，你可以把流形想象成欧几里得空间的一个子集来简化事情)，你可以向后拉或向前推(两点)张量场。在经典连续介质力学中，这个图就是变形图。在环境空间中有一个度规(或所谓的变形构型)，你可以把它拉回参考构型，那就是c。如果你愿意，你可以把参考流形的度规推进到环境空间(手指张量)。
“应力”是在变形结构中自然定义的。作为线性动量平衡的结果，你可以证明柯西应力的存在。如果你把柯西应力的第一条腿向后拉，你就会得到第一条皮奥拉-基尔霍夫应力P。把柯西应力的两条腿向后拉，你就会得到第二条皮奥拉-基尔霍夫应力张量S。注意，P和S(在能量上)分别与F和C共轭(柯西应力与环境空间度量相对于空间速度场的李导数共轭)。
如果你在参考构型中定义一些“应力”，就像有些人所说的“构型”或“材料”应力一样，你可以将这种“应力”推进到周围空间，等等。
问候,
乔
Gerhard Holzapfel的非线性固体力学教科书
目前我最喜欢的关于非线性固体力学的书是Gerhard Holzapfel写的。你可以在亚马逊网站上搜索该书的全文。
完整的定义
亲爱的乔,
再次感谢您对兼容性和压力的简短而完整的描述。
问候
Hamanh
基于应力的公式，非线性弹性静力学，J Blume的工作
亲爱的Ramdas,
我希望你已经看到了我在这个有趣的帖子中，由你发起的帖子，以及包含一些笔记和论文的单独博客帖子，关于小应变和有限应变兼容性。
关于非线性弹性静力学中基于应力的公式问题，Janet Blume在她的论文中写道，她研究左柯西绿张量的相容性问题的部分动机是看看是否可以实现基于有限应变相容性条件的基于应力的公式。这里的左柯西绿张量的相关性在于，在有限的、各向同性的、非线性弹性静力学中出现的自然应变测量是B张量。
对于平面变形，Blume给出了完整的相容条件表征，这与右柯西格林场的相容条件有很大的不同。在三维空间中，迄今为止不存在必要和充分条件;在我的工作中有一个一般的充分条件，但它一点也不明确。
我将把布鲁姆1989年的论文添加到我的博客中，以防你感兴趣。
希望这对你有所帮助。
最好的祝愿,
阿米特
谢谢!!
亲爱的先生,
非常感谢您的解释。我是非线性固体力学(非线性弹性)的初学者。我用了柯西应变张量和阿尔曼西应变张量。我正在努力理解这些帖子。我请求你加上布卢姆的论文。
谢谢你！
与问候,
——Ramdas
有见地的评论
这个由一个看似微不足道的问题引发的深刻而深刻的讨论，让我想起了TJR Hughes在一组课堂讲稿中引用的R Sachs的话。他说:“所有线性问题都是微不足道的，所有非线性问题都是不可能的。”
-Nachiket
或多或少
Nachiket,
很高兴你喜欢这个讨论。
对于你引用的那句话，我的回答是“或多或少”，否则生活就太令人失望了。
线性问题的奇妙效用和美妙之处(解决这些问题需要相当多的学习)，加上解决一些非线性问题的诱人可能性和偶尔的成功，我想是什么让人继续前进。
- - - - - -阿米特
谢谢大家!!
我要感谢大家积极参加这次讨论。
问候,
——Ramdas
客观性
亲爱的机械万博体育平台,
为了继续关于应变兼容性和应力定义的有趣讨论，有人能解释一下连续介质力学中的客观性概念吗?我读了Holzapfel关于这个主题的书，但仍然很模糊!!
谢谢你！
Hamanh