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标量错了
2016年4月9日更新。在这篇文章的末尾，我附上了我关于标量的笔记的pdf文件。
关于标量的注释现在是关于线性代数的笔记。
当我在更新我的简报时张量的注释，我突然想到在iMechanica上发了一个请求推荐的帖子万博manbetx平台线性代数教材。我很高兴看到阿拉什的回应。然后我问他对张量的定义的看法。他又回答了，我们似乎也同意了。然后阿米特加入了讨论，然后其他人也加入了讨论。这条线索变得很有趣，很长。
但是关于线性代数的使用我还有一个问题。我想听听你的意见。这个问题是关于标量的。
向量空间。首先介绍一下背景。一个向量空间包含两个集合和四个运算。其中一组是数字字段F，以及两个操作:F中的两个元素相加会得到F中的另一个元素，F中的两个元素相乘会得到F中的另一个元素。这两个操作遵循通常的算术规则。的正式定义数域。对于我们的目的，F可以是实数域。仅此而已。另一个集合V是一个向量的集合，还有两个操作:V中的两个元素相加得到V中的另一个元素，F中的一个元素与V中的一个元素相乘得到V中的一个元素。这两个操作遵循向量的通常规则。的正式定义向量空间。
如果空间V中存在n个线性无关的元素，则空间V是n维的，但是空间的每n + 1个元素都是线性相关的。
特别地，对于数字域F上的一维向量空间S, S中的任意两个元素都是线性相关的。设u是S中任意的非零元素。S中的所有其他元素都是au的形式，其中a是F中的一个元素。
标量是数字的同义词吗?在很多线性代数课本中，这个词标量是单词的同义词吗数量，域F中的一个元素。标量这个词在物理学中也常用来表示质量、能量和熵等量。标量这个词的两种用法在几个方面是不相容的。首先，像质量这样的物理性质不仅仅是一个数字;它有一个单位。第二，在场上定义的乘法对质量没有意义:F中两个元素的乘法会得到另一个元素，但是两个质量的乘法不会得到另一个质量。第三，如果我们把质量和熵都看作F域中的元素，那么我们需要赋予质量和熵的添加一个意义。这到底是什么意思?
因此，我们将字段F中的元素称为数字，并将标量这个词保留给物理量。
各种大小的物质的一组。给定一种物质(如黄金)，不同数量的物质组成一套。我们可以定义这些部分的加法，但是对于这些部分的乘法我们没有一个合理的定义。因此，这个集合不是一个数字字段。然而，这个集合是一个一维向量空间。我们以自然的方式规定了这两种操作。两块物质的相加是另一块物质，一个实数和一块物质的相乘是另一块物质。
一种物质的广泛特性一块物质有许多物理性质，如体积、形状、颜色、温度、质量、能量、熵。如果一种物理性质与物质的量成正比，那么它就是广泛的。体积、质量、能量和熵是广泛的性质。形状，颜色，温度不广泛的性质。
广泛的标量。我们可以使用一维向量空间S来模拟物理性质，比如质量。在这个模型中，F是实数域。我们称这个一维向量空间为标量集。我们用S中的一个特定元素作为这个量的单位。例如，对于所有质量的标量集合S，单位质量kg是位于法国塞夫尔的一块金属。所有其他质量等于这个单位乘以一个实数。
相反，温度不能表示为一维向量空间。两个温度相加不会得到另一个温度。
线性形式。在线性代数教科书中，线性形式通常定义如下。设V是数字域F上的一个向量空间，线性形式是一个线性映射，它将V中的一个元素映射到F中的一个元素。
我认为这个定义与机械师使用线性形式的方式不一致。万博体育平台
这是我修改后的定义。设V是一个向量空间，S是一个标量集合，它们都在同一个数域f上，一个线性形式是一个线性映射，它把V中的一个元素映射到S中的一个元素。
对偶空间。从V到S的所有线性形式的集合也是一个向量空间。我们用V'表示这个空间，称它为V关于标量集合s的对偶空间，向量空间V和它的对偶空间V'具有相同的维数。
功，位移和力。这里有一个线性形式如何出现在力学中的例子。功不能形成一个数字域:两个功的乘积不会产生另一个功。然而，功是一个标量。如果位移很小，我们知道在位移中做功是线性的。也就是说，存在一个线性映射，将位移映射为功。位移是三维向量空间U的一个元素，功是标量集合的一个元素。线性映射符合线性形式的定义，我们称线性映射为力。力是对偶空间U'中的一个元素关于功的标量集。
张量。我们有一个张量定义上的长螺纹。这是我喜欢的一个定义。让V1 V2…， Vp和V是同一场f上的向量空间，这些向量空间可以表示不同种类的物体，甚至可以具有不同的维数。张量是多重线性映射映射V1中的一个元素，V2中的一个元素，…， Vp中的一个元素变成V中的一个元素。
备注1。张量是线性形式的推广。
备注2。集合所有V1, V2，…Vp到V是一个向量空间。这个向量空间推广了对偶空间。
备注3。我们可以用这个新的向量空间来生成其他张量。为了保持一致，向量是张量的一种特殊情况，标量也是。它们生活在不同的向量空间中。
这是线性代数的主题:向量空间，以及它们之间的线性映射。线性映射本身形成新的向量空间。我们绘制地图。线性代数永无止境的故事。
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评论
标量做错了
亲爱的中国,
我也思考过这个问题，并在课堂上提到过。由于我教的课程不太以数学为导向，我通常告诉学生要意识到他们正在执行的操作的物理意义:如果他们将向量或张量与“纯”数字相乘，则无需过多关注。然而，如果这个量是一个有维度的标量，学生们被告知要意识到他们正在执行的操作的物理意义。
如果标量没有单位(比如第一主应变)怎么办?我们可以认为它是一个纯数吗?
我觉得这个问题不是标量所特有的。例如，内积可以在向量场中定义，但试图在力向量场中定义它可能是没有意义的……
试图将所有这些纳入数学本身可能会不必要地使这一主题复杂化，因为对我们许多人来说，所有这些抽象概念已经足够困难了。在我看来，物理学家和工程师更好地关注他们所执行的操作的物理意义和有效性，而不是把负担放在数学家身上。
问候,
Jayadeep
数学家要学会不害人
亲爱的Jayadeep:非常感谢你的评论。你提出了一个很好的观点。在教学中，明智的做法是分工，保持数学结构的整洁，与应用脱钩。
然而，对于重要的应用，数学结构本身应该足够通用，即使这些应用在数学课程本身中没有提到。
在这个特殊的例子中，我相信很多关于线性代数的教科书在两个地方做错了。
下面是最后一个句子的例子。设V为位置向量的三维空间，F为实数域。在最初的文章中，我们已经将功作为一维向量空间。V关于功的对偶空间就是力的向量空间。现在我们想用电势作为一维向量空间。V关于电势的对偶空间就是电场的向量空间。
因此，我是在要求线性代数老师少做点，而不是多做点。不要做有害的额外工作。
标量做错了
亲爱的Jayadeep:
关于你的问题:“如果标量没有单位(比如第一主应变)怎么办?”我们可以认为它是一个纯数吗?”我会说没有。你能把两个主株相乘吗?中国吗?
问候,
乔
我们能把主菌株相乘吗?
我想我们可以，当两个对称张量相乘时(以谱的形式考虑)结果与碱无关。
在某些情况下，这甚至可以被赋予一个合理的物理意义-由两个连续的纯拉伸变形引起的均匀变形，或者纯拉伸之后是可逆的均匀变形....
我们能把主菌株相乘吗?
嗨,阿米特,
是的，但是这不是太特别了吗?对于任意连续变形，主拉伸不是相乘的。
在一些失效准则中，我们会看到主应变(或应力)的乘积。但这些只是一些现象学标准。你觉得呢?
问候,
乔
我们能把主菌株相乘吗?
Arash:在我看来，总是有一个物理问题，你可以把它附加到两个张量的主值的乘法上(为了简单起见，让我们保持对称张量，但不一定是同轴的)。它是两个张量对应主方向的拉伸比的乘积。为什么人们需要这样的产品是另一个问题，但这是一个很好的物理问题，当然，与碱无关。
Re:主应变乘积的物理性质
“为什么人们需要这样的产品是另一个问题。”
在这里，我能想到的一个物理量是，以某种间接的方式，应变能密度(隐含地假设，通过单位转换已经假设/给出了弹性模量的数字)。是否有其他物理量更直接地归因于这种产品?
——特
- - - - -
(E&OE)
标量做错了
亲爱的中国:
谢谢你的这篇好文章。你提了一些很好的问题。我认为我们应该强调，在任何坐标变化下标量的值都保持不变。
问候,
乔
什么时候使用线性映射V- >F?
亲爱的阿拉什:新年快乐!非常感谢你的评论。我还没有考虑过很多事情，但随着各个方面变得清晰，我会在这篇文章中添加评论。
有一点很清楚，线性形式的两种定义有不同的代数结构
F中的两个元素相乘得到F中的另一个元素，但是S中的两个元素相乘是没有定义的。S有一个一维向量空间的简单结构:给定S中的一个元素u, S中的所有元素都取au的形式，其中a是F中的任意元素。
我已经给出了几个例子，其中我们科学家和工程师使用定义II。我想不出任何可以使用定义I的物理情况，你呢?如果我们能找出定义1的任何用法，这将会有所帮助。
粒子质量的倍增(电荷)
亲爱的中国:
也祝你新年快乐!顺便说一下，为了计算静电力(或引力)，我们将电荷(或质量)相乘。不确定这是否意味着什么?
问候,
乔
回复:粒子质量的乘法(电荷)
亲爱的Arash:问得好。在…的情况下库仑定律，我们可以从麦克斯韦方程推导出这个定律。当然，许多教科书会从库仑定律作为经验观察开始，然后制定麦克斯韦方程来与它保持一致。这种方法遵循了静电学的历史发展。但是我们现在有了麦克斯韦方程，我们可以选择从它们开始，推导出库仑定律。这是我在这里要采用的方法。
马威尔方程是线性的。这个事实本身很有趣，但在这里我就当它是已知的吧。一旦你解决了边值问题，发现电场是线性的，你需要计算力。大多数人会使用洛伦兹力，其中力等于电荷乘以电场。因此，力包含电荷乘以电荷。
但是洛伦兹力看起来很神秘。你不需要他的方程式。你可以通过计算能量找到电荷的二次依赖关系。在下面的评论文章中，我将在第3节中描述一种简单的方法。
锁志刚。介电弹性体理论。固体力学学报23,549-578(2010)。
总而言之，麦克斯韦方程组是线性的。力是二次的，因为涉及到能量。
也许重力的情况可以用类似的方式合理化，但在这一点上我不确定。
你什么时候使用线性映射V- >F?
志刚:你的定义I是在定义向量的分量w.r.t.一个基的时候用到的(张量分量也是一样，不管你怎么定义它)。获得向量w.r.t.的分量的行为是V中的一组基(不一定是标准正交的)是V到F的线性泛函。事实上，给定V_n中的一组基，从V_n到F的n个线性映射的集合，是证明V_n中与所选的“原始”基对应的对偶基的存在性的关键，然后是协变和逆变分量，上下标等。
当然，由于这些线性映射依赖于一个基，所以它们没有内在的物理意义，因为它们是不变的，而不是基的选择。另一方面，分量是有用的，大多数向量和张量的计算都利用它们。
你什么时候使用线性映射V- >F?
谢谢你，阿米特，新年快乐!我完全同意你的两个观点:
这个示例可能说明了一个一般的要点:定义I不太理想，因为映射将元素从向量空间获取到与向量空间不同的数字字段。为了研究与基无关的行为，我们应该关注向量空间之间的映射。
你什么时候使用线性映射V- >F?
Hi Zhigang:我同意你的观点，学力学的学生必须从直觉上理解物理标量和“纯标量”(你的数字)之间的区别，数字领域的元素;重要的是，你的集合S和F不需要总是相同的，正如你已经试着拼出来的。
我想补充一点，当你说数学家会造成伤害时，我认为你对数学家有点苛刻——我更倾向于宽容一点。为了适应力学需求而调整数学定义并不难，反之亦然(对于学生来说，这也是一种很好的理解练习)，我不认为我们中的任何人会故意误导别人，所以为什么不只是欣赏来自特殊性和普遍性的微妙之处，然后继续生活呢?....
从哲学的角度来说，我对新年致以最美好的祝愿，
- - - - - -阿米特
不要伤害
亲爱的阿米特:谢谢你的来信。我应该把希波克拉底誓言和医生联系起来。誓言的意思是，我引用这个维基百科页面，“鉴于存在的问题，与其冒弊大于利的风险，不如不做某事，甚至什么都不做。”
誓言并不是要对医生苛刻。同样，我提到这个短语并不是要对数学家们苛刻。
如何将力线性泛函视为力矢量?
志刚:假设像你上面说的，我们完全切断集合S和F的元素之间的联系(我同意......)。在功，位移和力的例子中，到目前为止，我还不知道如何从你所说的力线性泛函中构造一个向量(有方向和大小的东西)模拟力。
下面，f是力的线性映射，{e_i, i = 1 to 3}是位移向量空间的标准正交基。我们假设位移空间有一个内积，这样就可以构造和使用非正则基，wlog。
在构造这个向量的时候，我遇到了一个障碍，我需要把每个I = 1到3的f(e_i)解释为纯数字，或者换句话说，作为f的元素，这样看
F (e_i)e_i(隐含的重复指标的和)会产生力
对应于力的线性泛函f。
现在从物理上讲，我想我们可能会同意我们应该能够将力解释为具有方向和大小(可测量的属性)的东西而不仅仅是对位移产生功的抽象事物?
当然，我只尝试了一种攻击模式，可以想象，还有其他方法可以成功地做到这一点。在这种情况下，看到一个明确的力向量的结构是很好的，或者如果我们切断F和S之间的联系我们就失去了牛顿的力的概念?或者有什么聪明的方法来使用DND映射这里?……我认为我们需要一些年轻人在力学方面做一些思考......万博manbetx平台
回复:如何将力线性函数视为力矢量?
亲爱的阿米特:谢谢你的评论。正如你所注意到的，我们通过线性映射f: V- >E来定义力，其中V是位移的向量空间，E是能量的一维向量空间(即标量集)。(这里需要注意，E应该是能量的变化，或功。)
用我们机械师熟悉的术语来说，这张地图相当于说万博体育平台
力乘以位移=功
我们知道功是标量，位移是矢量。因此，力是一个矢量。
我们可以把上面的式子写成线性代数的形式。
所有从V到S的线性映射的集合本身是数字域f上的一个向量场，我们用V'表示这个向量空间，并称之为V关于S的对偶空间V'和V具有相同的维数。
在力学中，我们这样说
在代数中，我们这样说
“共轭”和“对偶”的意思是一样的。
这是维基百科关于双空间的页面。页面是好的，除了他们仍然使用V- >F。这个定义有前面讨论过的缺点。
我们想用V- >S，所以S可以是能量，电荷，或者电势。根据S的选择，对于固定的V和f，我们可以有不同的对偶空间。这种灵活性的重要性在另一个题为世界的线性代数。
Re:^2如何将力线性函数视为力矢量?
志刚:谢谢你的解释和维基页面的链接。这里有一个微妙之处。
我将称你的数字场为R而不是F(我需要F来表示下面的牛顿力)。
你定义的对偶空间vw.r.t. S是所有线性变换的空间，比如V和S之间的L(V,S)我同意它可以被证明(这确实需要证明)L(V,S)又是一个向量空间，但是从它的定义也很清楚，这个向量空间不包含V的元素。
现在，假设R = S。线性代数中线性泛函的表示定理(以及泛函分析中的Riesz表示定理)的全部工作就是证明对应于L(V,S)中的每个元素f(在泛函分析中，L(V,S)必须是有界线性泛函的集合)在V中存在一个唯一元素a (f)，使得属于L(V,S)的f对V中*任意* u的作用由a (f)与u的内积(在V中)给出。因此a (f)是f在L(V,S)中在V中的表示。在力学中，这个(A)是力向量对应于力的线性泛函(f)我试图构建的就是这个力向量。
为什么这样的构造很重要?假设我想解一个经典粒子力学中的问题F = ma。假设我们还提到F是保守的，所以它是由负空间梯度的势产生的。势场被指定为一个给定的函数，比如psi，在周围欧几里得三维空间中的位置。梯度的含义是什么?显然惯性力和加速度的方向来自于我们指定的F;F最好是一个力向量，是V中的一个元素，或者看起来闻起来像V的一个近亲，有正确的力的物理尺寸。在这种情况下，不能说F是L(V,S)的成员，即使L(V,S)有正确的维度(向量空间的意义和物理单位的意义)，并设置它等于V的成员ma(或V的近亲“力”)。或者，你必须以某种方式将ma提升为L(V,S)的成员。
现在已知作为位置的函数，求它的导数。在空间任意点处的导数是什么?根据定义，它属于L(V,S)梯度是导数吗?不。梯度是L(V,S)的导数在V中的表示，当S = r时，如果你把写成直角笛卡尔坐标下的函数，就像我们对'导数'做的那样，你会得到什么?在正交基上得到对应于所选直角笛卡尔坐标的梯度向量的分量(所有这些都可以在任意坐标中完成)。现在我问，给我一个类似的导数公式。尽管大多数人会接受衍生品的存在，但人们很难想出一个不是人为的东西。正是在这个意义上，我发现向量空间的代数对偶空间是一个“抽象”的对象。
所以，我的观点是在应用中，线性泛函在向量空间中的表示是很重要的，在目前所讲的内容中，它是如何计算出来的还不清楚。这就是我在描述中想要做的。当S = R(你的F)所有这些都没问题，但当S不是R时，就有问题了。
我的感觉是，S中的元素和V中的元素之间乘法的概念至少是需要的(为了建立力的“近亲”向量空间)，但一个令人满意的解决方案似乎需要一些仔细的思考。将S与R分开是一个好主意，但是想出一个令人满意的替代框架需要的不仅仅是我们到目前为止在力学上看到的定义(请记住，到目前为止我们只讨论了一个例子)。万博manbetx平台如果我们能得到一些既懂代数又懂力学的人的帮助，那就太好了。
Re:^3如何将力线性泛函视为力矢量?
亲爱的阿米特:我一直没有想过分析。现在只是代数。
根据定义，标量集S是实数域上的一维向量空间。因此，一旦我们在S中选择一个非零元素u, S中的所有元素都取au的形式，其中a是实数。
在线性代数中，u是S的一组基
在物理学中，u是S中标量的单位。
因此，在分析上，S与实数域具有相同的结构。位置空间V仍然是欧几里德空间。
这能解决你的问题吗?
Re:^4如何将力线性函数视为力矢量?
Hi Zhigang:我所说的一切都与代数有关(粒子力学的特殊例子涉及到一点微积分，我对泛函分析做了一些旁注，一个可以被视为无限维线性代数的主题)。至于你问的问题，能够允许S和V元素相乘的代数规则对我正在考虑的问题有帮助，但我不确定它本身就能解决问题，它需要比我做的更多的工作来得到一个干净的答案。此外，类似地，我不清楚是否有其他重要的问题，你的数字域实际上是一个代数(粗略地说，是允许元素“乘法”的向量空间)也变得重要。我真的不知道。我认为它需要一个真正的专家对数字域和向量空间相互作用的分支有深入的了解......
Re:^5如何将力线性泛函视为力矢量?
亲爱的阿米特:A你在之前的帖子中提出的问题为这个讨论提供了一个焦点。这又是你的问题:
“…为什么传统力学可以将位置矢量、位移、速度、面积矢量、牵引力等视为属于同一个矢量空间(当物理上我们不能添加位移和速度等时)……”
在我看来，答案是，所有这些物体都是由一个单一的三维向量空间生成的:位置向量空间。
正如我在a中提到的先前的评论，我们这个世界的线性代数有以下几个基本组成部分:
然后，我们可以使用这些基本部分来生成物体，如速度，力，面积矢量，牵引力等，通过使用V和各种标量集之间的线性映射。然后我们可以映射地图来生成更多的对象;例如，应力是一个线性映射，将面积矢量映射为力。所有应力的集合就是一个向量空间，可以被映射。
在上面的基本构建块列表中，只有一个3D向量空间V出现。我们使用线性映射来生成其他对象。因此，根据张量的规则，V中基的变化将改变由此生成的所有对象的分量。
对所提问题的回答+各种评论
1)由于我不想有“提出问题而不试图回答”的可疑区别，我对我提出的问题的回答似乎在这条长长的线索中，这里有一个链接。
2)在这些帖子中，我读到线性的重要性。我只是想指出，可能只是作为旁注，当一个物体，像标量势f的导数Df(x): V -> R，根据定义是底层向量空间上的线性映射
也就是说，它就像Df(x)[au + bv] = aDf(x)[u] + bDf(x)[v]，对于所有a b在R中，u v在v中，以及(为了简单起见)x在v中
Df对x的依赖可以是完全非线性的。因此f (x)的梯度在x上也是完全非线性的。
3)我的感觉是物理的线性偏微分方程不应该在我们的讨论中扮演重要角色。正如我的朋友Luc Tartar喜欢思考的那样，也许在最小的尺度上，我们的物理世界充其量是一个双曲偏微分方程的半线性系统，但最小的尺度上物理学并没有…
特别是，仅仅基于旋转不变性，我们知道我们心爱的弹性不可能是线性理论。
4)关于温度的讨论-就像点空间及其平移空间一样，温度空间可以通过引入“原点”而被认为是接近向量空间的东西-因此温度差异是有意义的(否则我们将不得不对热方程说再见，例如)。然而，它只是“接近矢量空间”，因为即使是温差也不会在加法下关闭(绝对零度有物理意义)?
回复:对问题的回答+各种评论
亲爱的阿米特:谢谢你。我刚铲完雪回来。
你在你的文件中提到的“DND映射”是什么先前的评论?
事实上，温度是一个棘手的变量。这件事困扰了我好几年。50K到70K的温度与100K到120K的温度不同。这两个区间的物理性质是不同的。
我们希望有一个相加的量，但是温度没有。我同意你的观点:即使我们选择一个原点，仍然很麻烦。然后我们需要说原点离绝对零度有多远。因此，温度不像时间点和空间点那样具有“平移对称性”。
熵也可能没有平移对称性。
为什么能量具有平动对称性?也许在某种基本层面上，能量并不具有这种“平移对称性”。我们只是在离“绝对零度”很远的地方运作，不管那是什么。
随机的问题，我现在还没有答案。
回复:^2对问题的回答+各种评论
从牵引矢量空间到无维三维矢量空间的DND映射生成如下:
人们可能已经(任意地)选择了一些基本的单位系统，比如质量、时间和长度，这个系统对于从各种维度的3d向量空间到非维度的所有“DND映射”来说都是通用的。现在简单地将每个牵引向量在维度向量空间中非量纲化。然后我认为每个维度的牵引向量对应于所选的标准无维度向量空间的一个元素。现在我们可以对位置向量和速度等向量空间做同样的事情。有趣的是，实际上一组DND图(通过选择基本单位集进行参数化)允许人们将速度矢量(表示北纬30度，量级为2m /s)与某些牵引矢量(当然不能被解释为任何物理上的东西)联系起来。
然后应力张量，我们在维度环境中理解为某个面积矢量到某个牵引矢量的映射可以转化为V_3到V_3的线性映射我现在认为V_3是标准的无维度空间就像我们在连续介质力学中想要的......等等，对于其他张量....
当然，所有这些都需要仔细检查线性的保存，以及这些是否真的是1-1地图等。
是的，我同意你的观点，对于这些事情，你挖掘得越深，它就越模糊。如果数学(和物理)在逻辑上是一致的，那么它们是不可决定的，这可能是哲学上的原因.....
在这种情况下，我有时真的很喜欢David Mermin关于量子力学的评论——“闭嘴，好好计算”。
这里也有关于斯特朗的讨论——他的一句名言是“擅长抽象，不擅长计算”我很高兴能成为一名工程师，这样我们就能想出一些答案，尽管不完美....
当我随意评论的时候，这里有一个斯特朗的书的插页，我认为它绝对是了不起的——它是《应用数学入门》。
Re^2:对所提问题的回答+各种评论
这听起来怎么样?应变是一个麻烦的变量。钢试样在屈服点前后的应变是不同的。这两个区间的物理性质是不同的。
绝对零度本身就是寻找的“原点”，即使温度不能被建模为矢量。但是，是的，应该可以考虑增加温度。我在这个线程的某个地方的早期评论中解决了这个问题。这样的话，你就不用加上电势了;你只是把电荷从一点移到另一点。然而，我们总是把势看作可以彼此相加的量。如果是这样，为什么温度不是?
第三条法律只禁止会从非零度温度到绝对零度温度;它不可能禁止宇宙某处的某些事物/某些区域已经被在绝对零度，法律不排除这种可能性。这个问题类似于c。仅仅因为大质量物体不能从v < c加速到v = c，并不意味着物体不能以c运动——光子可以。当然，据我所知，我们还没有遇到过绝对零度的东西。但没有已知的法律禁止我们可能遇到它。如果发现了一个禁止性原则，它将是一种新知识;一条新的法律，直到今天还不为人知。
有一些报道说在实验中达到了负(绝对)温度。这些都是噱头(就像其他一些关于光速超过c的报道一样)。除此之外，一个处于绝对零度的物体仅仅意味着它不能放弃它的能量;它只能吸收一些。已知的规律和经验数据并不排除这种可能性。
当然，要定义数学对象，只需要知道在刻度上没有任何物理约束。因此，尺度确实可以被定义，并用于增加/减少温度。
明天什么时候见。
——特
- - - - -
(E&OE)
^7如何将力线性函数视为力矢量?
嗨，志刚:我不明白为什么我之前的问题在某种关键方面与这个讨论有关。
Re:^6如何将力线性函数视为力矢量?
亲爱的阿米特:我刚刚又看了一遍这本书Landau和Lifshitz的《力学》。第一章描述了最小作用原则，无基原则。这本书用能量梯度来定义力。
在某一点上使用了空间的各向同性。速度的大小也进来了。这些依赖于位置空间的内积。
回复:标量是数字的同义词吗?
亲爱的中国,
感谢这篇文章;你提出了一些非常棘手的问题。
这样的话，我几乎没有任何抽象代数的背景知识，但是，我猜(按照我的形式)我仍然可以(仍然)对你在关于标量的段落中提出的观点进行头脑风暴。
你注意:
“首先，像质量这样的物理性质不仅仅是一个数字;它有一个单位。第二，在场上定义的乘法对质量没有意义:F中两个元素的乘法会得到另一个元素，但是两个质量的乘法不会得到另一个质量。
第三，如果我们把质量和熵都看作F域中的元素，那么我们需要赋予质量和熵的添加一个意义。这到底是什么意思?”
好注意!
作为回应，我认为可能发生的事情如下(我也参考了上面Arash的回复，关于电荷或质量的乘积):
让我们根据你的第一点，来看看你的第二点，这就是我认为我们得到的:两个元素的乘法一个F给出了唯一的元素另一个F。
就像你可以定义质量的数字域一样，所以你也可以定义另一个它们乘积的数字域(质量X质量)第二个F的代数性质仍然是数字域的代数性质;这只是一个数字字段的不同实例——每个附加的物理单位是不同的。可以想象，加法操作可能会接近同一类型代数字段(这里是数字字段)的相同实例。例如，如果你把两把疯狂的腻子粘在一起，你会得到一个疯狂的腻子球，它的质量等于两个球的质量之和。但是，乘法运算并不接近于同一类型字段的同一实例。产品操作的结果可能有意义，但仅与一些其他物理考虑有关(例如，作为计算重力的一个因素)。
相反，由于类似的原因，质量和能量都遵守一个数字场的定律，但它们因此不是同一个数字场实例的元素——它们属于两个不同的数字场。只有抽象的代数结构是共同的;但实际的数学集合——它们的实例——是不同的。
因此，标量是数字字段的具体实例的元素。每个实例可以参照物理单元来指定。
…
好吧，我不确定数学家们是怎么理解同一个代数结构的多个实例的。
…数学家们好，或者那些碰巧正在阅读这篇文章的人，无论如何，也祝你们新年快乐(!)，而且，我说的有意义吗?(如果有帮助的话:我之所以有这些想法，并不是因为我了解抽象数学，而仅仅是因为我熟悉程序员在面向对象编程中使用的某些概念——比如抽象数据类型(adt)、类和实例、泛型等等。)
当然，在结束之前，让我也祝所有的机械师们新年快乐，事业有成!万博体育平台
——特
- - - - -
(E&OE)
标量是数字的同义词吗?
亲爱的阿吉特:本着你刚才概述的精神，我建议我们用一个一维向量空间来表示每个标量，我称之为标量集。
因此，我们有质量的标量集，能量的标量集，等等。
向量空间的好处在于它在乘法下不闭合。一维向量空间有我们要找的结构。
标量是数字的同义词吗?
亲爱的中国,
1.看来我用错词了。我想让一个标量只存在于一个简单的实数域[＾]，而一个向量应该属于一个向量空间[＾]．
因此，请将我在上述回复中使用“数字字段”的地方替换为“实数字段”。
2.我的主要观点是质量的实数场和质量X质量的实数场是不一样的。这两个将是实数字段，但由于它们的物理单位不同，它们将属于两个不同的实例实数域的。两者都不是向量空间。
3.向量空间的结构，即使它只是一个一维向量空间，也会带来基集的额外负担。
一个基集就是，一个最小集合向量它可以用来张成整个空间。对于一维空间，基只包含一个向量，但它仍然是a向量！然而，当我们谈论像质量这样的标量时，我们并不是用一个实数乘以一个“质量的单位矢量”来考虑的，后者的概念可能意味着从一个零质量的原点到一个单位质量的点——“从”和“到”的概念并不适用于像质量这样的标量。
基集引入的这个额外的概念包袱对标量来说既不是必需的，也没有任何意义。
4.是的，向量空间在乘法下是不闭合的。但相反的情况是不正确的(我不确定“相反”这个词是不是我想要的)。向量空间的概念并不一定是所有非乘法封闭运算的答案。
正如我指出的，答案是:多个用物理单位标识的某种“类标量”结构的实例。在我上面的第一个回复中，我称之为数字字段。看起来我应该叫它实数域然而，我介绍的关键思想是多个的实例相同结构，而不是介绍另一个结构。
我也想知道其他机械师对这些点的看法。万博体育平台
(PS:现在签收，将在明天早上IST，即大约15个小时后返回。)
——特
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(E&OE)
再保险:标量。我错了(或者，可能只对了一半!)
亲爱的志刚和其他人:
我想我有问题了现在——至少我是这么认为的
所以，我现在才意识到，不，当涉及到标量时，即使是普通的“实数域”也不适合。实数域的定义是在乘法下闭合，我们需要一个不是这样的结构。(我现在才更欣赏这部分!!)
但是，由于上面提到的原因，它也不是一个向量空间——不管是一维的还是其他的。
所以，至少对于像质量和能量这样的标量，它既不是矢量空间也不是实数场，而是一种新的结构，就像实数场一样，除了一个进一步的约束，它在乘法下不是封闭的。假设我们称这种新结构为s，现在，由于质量的物理单位，质量^2和质量^4确实不同(更不用说质量^3了)，这种新结构有不同实例的想法操作数和结果的乘法运算，可能仍然成立。(在这个意义上，我只说对了一半。)
我不知道该怎么考虑增加两个温度。加法不应该是一个有效的操作吗绝对使用温标吗?我倾向于这样认为，但现在我不再确定任何事情(哈哈!)
(好了，明天见，真的!)
——特
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(E&OE)
亲爱的阿吉德和其他人，我
亲爱的阿吉德和其他人:
我不熟悉抽象代数(仍然在我的待办事项清单上!)，但我完全明白你的观点。我同意，如果物理量的场在乘法下不是封闭的，那么应该用其他结构来表示。我们可以把物理量看作一种特殊的结构，这种结构是通过以下方式产生的:
S由两个元素组成(所以它类似于向量)，但其中一个元素是在实数域(F)上表示的，另一个是在物理单位(我们称之为PU)上表示的。现在我们可以假设只有当Si(2)=Sj(2) ->第二项必须匹配时，S上的加法才有定义，则Si+Sj = [Si(1)+Sj(1)， Si(2)]。而在乘法下，项分别相乘。我不知道这是否有意义，但这就是我的看法。
PS1。维基百科区分了数学和物理中的标量。
PS2。这更像是哲学上的讨论，而不是工程上的讨论(这是我的观点)
PS3。温度的增加是没有意义的，因为温度只表示能量流动的方向。如果没有至少两具尸体，温度就没有意义。那么增加温度意味着什么呢?如果你把两个物体连接在一起，它们不会完全增加温度，而是它们的差异将决定热流(我猜)。另一方面，差是减法(所以这里是加法)这个量在牛顿冷却定律中被使用。
回复:亚历山大的建议
你好Alec(希望你能接受这种打电话的方式)，还有其他:
关于你的S = F + PU的建议:是的，我认为这是一个非常简洁的建议。(你说得对，在加法等更多操作上也需要施加约束。)没有理由说一个数学对象或一个结构不能是一个复合体。是的，物理单位是这里考虑的一个重要部分。
但是，不，这不是哲学讨论。这是关于逻辑的部分数学，以及关于基础的问题力学。如果你愿意，你可以称之为科学哲学/力学。但由于科学，包括工程科学，不仅需要数据的精确，而且概念在美国，这样的讨论有一定的位置，就在科学本身的领域——而不是哲学的领域。
是的，我们工程师通常依赖数学家为我们提供最精确的定义，但如果他们提供的不够，我们当然有责任向他们指出我们的需求。至少我是这么看的。所以，这在很大程度上是科学上的讨论。(想想康德，休谟，或者，就此而言，一个佛教徒会通过讨论或回答同样的问题说些什么，你马上就能看出这不是哲学。)
Re. temperature:认识论上，概念是根据两个或两个以上的实例/对象形成的。(一个明显的例外是存在的概念，或在物理学中，作为一个整体的物理宇宙的概念，在某种程度上，它指的是一个单一的对象。)但是一旦像温度这样的概念形成了，我认为从认识论上讲，把它看作单个物体的性质或属性也是恰当的。一个改变温度的变化当然需要两个物体，但在这里，我们首先假设，每个物体都有温度的属性。
热是指传递中的能量，因此至少需要两个物体，而不是温度。
由于温度意味着(单个)物体的能量含量水平，我认为我们可以考虑增加(或减少)温度。你能把两个高度相加吗?是的。两个潜力?是的。如果是，那么在类似的直线上，也加(或减)两个温度应该是有意义的。要把温度理解为一个水平，参考动能理论(作为动能/声子能量的度量)是有用的，但我也认为这个过程不是完全必要的——你也可以“纯粹”地用连续体术语定义温度，即使这样定义，它也意味着某种水平。
关于你的建议，我想进一步谈几点看法:
数学家从不关心物理单位;事实上，在他们的抽象中进一步发展，他们通常甚至不关心常数，比率，有时甚至是极限(在分形理论中)或长度/面积(在拓扑中)之类的度量。而且，他们对这些想法的追求当然也很有用;我不否认这一点。但这并不意味着他们应该这么做从来没有关心物理单位。这确实是他们的任务去思考理论必须有物理单位，然后建议适当的逻辑数学方法来处理它。
题外话:在更早、更好的时代，比如19世纪左右，数学并没有脱离物理现实，像量纲分析这样的创新是可能的。维度同质性定律(我想最早是由傅立叶提出的)通常被认为是一条物理定律，但由于它适用于方程---任何物理上有效的方程——也有必要数学它的侧面;我认为，它也是某种数学定律。(当然，物理学和数学之间关系的本质已经超出了这里的范围。)同样，数学家也不应该回避处理在这条线索中提出的问题，特别是物理单位或维度的问题——建议适当的数学结构/形式/对象来封装这些问题。
——特
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(E&OE)
标量集被定义为实数上的一维向量空间
亲爱的Aleksander和Ajid:在最初的帖子中，我是这样定义标量集的
定义。标量集合是一个一维向量空间S，在实数域R上。
我跟着数字域的定义和向量空间的定义。这个定义涉及两个集合S和R，以及四个二进制映射:
这些二进制映射遵循熟悉的规则，如向量空间和数字域的定义所列。S中的每个元素称为一个标量。R中的每个元素称为一个数字。
设u为s中的一个非零元素，s中的每个元素s与u的尺度为一个实数r，即s = ru。我们称u为S的单位，r为S相对于单位u的大小。这些项与高维向量空间中的项平行:标量~向量，单位~基，大小~分量。
这个定义是抽象的，但它的目的是对能量、质量、电荷、熵等物体进行建模。例如，对于质量的标量集，1.7kg表示质量，它是a质量的1.7倍特殊的金属块。特定金属块的质量是质量标量集合中的一个元素，并被选为一个单位。1.7公斤是另一个元素。
这个定义的目的是为了理解我们物理世界的线性代数，如另一个评论。
这个定义和你的一样吗?
Re:标量集被定义为实数上的一维向量空间
亲爱的中国,
0.转述伊恩·弗莱明[＾(并改变所讨论的操作符短语的(扩展的)操作数的顺序)，这个名字是Ajit——Ajit R. Jadhav。
1.不，定义是不同的。亚历山大和我都同意的对象应该是一个复合对象，它既不是矢量空间，也不是由矢量空间衍生出来的。
2.第四个操作是an外部二进位图[＾]．这类似于我们想让它成为复合对象。
3.条款是这样的平行对于那些在向量空间中使用的，但这仍然不意味着它应该被称为a向量空间。
让我建议一个新名字:物理单位空间，或者，如果数学家们对此感到反感，称之为PU空间。(“单位空间”这个名字会让它过于一般化——甚至实数域也可以被称为单位空间。)
4.使其成为一个复合对象似乎自动考虑到应该有多个f的实例，我必须在这方面考虑更多。
5.事实上，当我在这个帖子里写我的上述回复时，虽然我没有提到，我也认为向量和张量空间也会有多个实例——相同的抽象数学结构，但不同的对象，根据它们的物理单位实例化。
请回复你最近在这个帖子上对Amit的回复[＾]．我不知道Amit在我之前提到过这一点(关于同一结构的不同实例)，因为我没有阅读之前的帖子。因此，我比他晚一点认识到这一点，但是，当然，也是独立于他的。(我是从面向对象编程和ADT的角度出发的。)我也独立于他理解了维度同质性定律——我现在意识到他也提到了维度分析。那么，让我先回顾一下前面的线程。
——特
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(E&OE)
向量空间vs标量集合
亲爱的阿吉特:新年快乐!我很抱歉把你的名字拼错了。
我试图在两个向量空间之间构造一个线性映射。f: V——>。这里V是一个三维向量空间，S是一个一维向量空间，它们都在相同的数字域r上，V中元素的线性组合是V中的一个元素。F是一个线性映射。线性是解决问题的关键这是Amit提出的一个问题。
我也不喜欢一维向量空间这个词，尽管物体S和一维向量空间有相同的结构。这个短语太长了。称标量为一维向量是令人困惑的。
我建议称S为实数域上的标量集合。因此，我们有向量空间和标量集之间的平行关系:
最后一对平行术语值得评论。因为三维向量空间V是一个内积空间，所选的基通常是标准正交的。基的变化涉及基的方向上的电荷，而不是每个基向量的长度。然而，在改变标量集的单位时，我们将单位从一个标量改变为一个不同大小的标量。
Re:向量空间vs.标量集
亲爱的中国,
也祝你新年快乐!(现在，让我继续以诙谐的口吻说:我不接受道歉
。更严肃的是:在这里道歉既没有必要，也不值得。)
你注意到称S为向量空间是令人困惑的，我想我们基本上是一致的。
是的，向量(和张量)的基的变化涉及到旋转，而谈论旋转对标量来说是没有意义的，因为首先没有方向与它们相关。
——特
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(E&OE)
向量空间的应用
尊敬的索教授:
我同意你对张量和标量的定义。但作为一名学生，我更关心这些定义的应用。我希望看到，例如，随着线性泛函的新定义的引入，即从一般向量空间到一维标量空间的线性映射，力学中的经典概念将得到改进，从而导致后续概念的更新衍生。
然而，尽管向量空间的概念是力学的基础，我发现大多数关于连续介质力学的书，即使是德国数学家Truesdell&Noll写的著名的书，他们也没有引入带线性映射的张量。
你能介绍一下新定义的一些应用吗?我认为这样对观众来说会更直接。非常感谢。
世界的线性代数
菁，谢谢你提了一个很好的问题。我儿子迈克尔昨天教我如何使用twitter。我的推特账号是@zhigangsuo。他说，推特正在成为主流。在互联网问题上，他说，我听。正是他给了我最初的想法，促使我推出了《iMechanica》。万博manbetx平台
作为试推，我列出了物理世界的代数结构:
这样每条推文的空间就很小了。我在推特上又说了一遍，我们然后构建线性地图。
这里我可以补充更多细节
这些地图对应于常用的物理量。
线性代数提供了一种结构，可以从以下构建块生成线性映射:
{一个数字域，一个向量空间，多个标量集}。
对每个标量集的基的选择给标量一个单位。我们确定所有标量集的基。
对位置向量空间的基的选择也给出了所有其他向量和张量的基，包括力、电场、应力……
我会给这条评论添加一个新的tweet链接。
理性力学的发展趋势
尊敬的索教授:
如果是这样的话，物理世界就会有一个严谨而美丽的数学结构。我们可以用修正后的定义来分析和重新定义经典的力学概念。因此，在这方面，它似乎值得大量的工作??
很遗憾，由于我在中国浙江大学，目前无法直接访问您在twitter上的评论。正如我在发给你的邮件中建议的那样，我认为imechanica可以考虑加入latex，以便它的用户可以直接编辑数学公式。万博manbetx平台从技术上讲，网站与Latex兼容似乎并不难。
借助与乳胶的相容性，也许我们可以详细描述线性映射的应用。
理性力学的发展趋势
亲爱的Jing:标量集合的采用清理了我们的实践，但它没有引入任何新的机制。我们正在研究在iMechanica上使用Latex。万博manbetx平台
所有与框架无关的变量之母，以及它们的父
我刚刚提出这个主题关于框架无关性的注释。
不太清楚问题出在哪里....
例如，“质量”不是一个“标量”;质量、体积等都是在可测量空间(实线、三维物体等)上定义的度量。
新年快乐!
标量与数字
亲爱的中国,
如果我们要用数字代替标量，那么我们可以叫什么
张量的单个元素它们不是标量，因为它们在
坐标变换我们不能称它们为数字，因为我们
用它们代替标量。
问候
Mohsen
回复:标量和数字
亲爱的莫森:在我的张量的注释，按照线性代数的惯例，我定义了数域和向量空间。然后我将标量集定义为一维向量空间。因此，数字域和标量集具有不同的代数结构。两个数的乘积是另一个数，但两个能量的乘积不是另一个能量。
在线性代数中，向量是基向量的线性组合。系数是数字字段中的成员。然而，在物理学中使用这一思想时，方便的做法是使基向量为单位向量，并让分量携带单位。这种用法在某种程度上混淆了术语。但就代数结构而言，矢量(或张量)的分量是数字场的元素乘以一个单位。
数字与标量
亲爱的中国,
其实那篇文章是几个月前的事了。用数字场表示张量的各个分量是可以的。但是对于标量场，比如温度。二阶张量的分量在坐标变换下变化，而标量场不变化。我们还能称标量场为数字场吗?如果我们去掉标量场对应的约束，并假设数字在坐标变换下如何变换是无关紧要的，那么我们就可以称标量场为数字场。我发现这就是我想要的方法。不管它如何变换，我们都用数字域我们把一个单位和它联系起来，对吧?
问候
Mohsen
回复:数字和标量
亲爱的莫森:在张量的注释我遵循了代数中的术语。特别地，短语“数域”意味着一个特定的代数结构:参见关于数字字段的维基百科条目。这里的“场”一词与“矢量场”一词无关。我关于张量的笔记完全是关于代数的，并没有讨论向量场(即，一个向量在欧几里德空间中的变化)。
我列出“数字场”的属性是因为我希望展示数字场不同于我们使用能量、质量和电荷的方式。我把所有能量的集合称为标量集合。请参阅我的笔记用于数字字段和标量集之间的对比。
对于我们的目的，数字字段就是实数的集合。
部分关于框架无关性的注释(第15-22页)描述世界的代数结构。注释显示了力学中所有的向量和张量是如何起源于一个单一的向量空间:分离空间。
数字与标量
亲爱的中国,
非常感谢你的评论。我来读一下你的讲义。
问候,
Mohsen
从我的理解，当
在我的理解中，当说数字是标量时，我们取代数的点。在这里，我们只关心“抽象数字”，而不关心其潜在的物理或几何。
当我们说质量、密度、温度、能量等是标量时，我们是从物理学(或几何学)的角度出发的。在线性化弹性中，能量密度=应力*应变，应力与应变共轭(对偶)。这有几何意义。
标量
我刚刚更新了关于标量的说明。这些音符现在是线性代数注释。