平面弹性问题

中国:

再一次，我想从你身上学到一些东西，我从你的纸条上学到了。我去年也教过类似的课。经过艰苦的工作，我们得到了作用于半空间(2D)上的线力的解。不幸的是，我不得不告诉学生，这个解是有问题的，因为远程位移边界条件不满足。如果考虑切向力的直线，解看起来就更奇怪了。我相信这是2D弹性中一个众所周知的问题。但是，我不知道有什么解决办法。我想知道是否有可能将Boussinesq和Cerruti的问题的3D解决方案集成在一条线上。既然三维解在远程边界上没有问题，那么积分是否会给出更现实的线力解呢?

我对这个问题感兴趣的另一个原因是，该解决方案可以(并且已经)用于分析薄膜中的边缘效应和界面断裂(这是我这学期教的一门课)。有问题的2D解决方案让我很不舒服。

我希望通过讨论对这个问题有更多的了解。

RH

嗨,瑞,

我对这个讨论很感兴趣。如果你不介意的话，我也想加入。

-如果你处理的是二维(比如XY平面)问题，位移以log(r)为尺度似乎很自然。我认为如果你沿着Z方向的无限大直线对三维点力解进行积分，你会得到同样的结果。这种无界位移似乎是不可避免的，因为二维的性质和无限的领域。我不知道你们为什么担心位移的无界性。当你考虑在均匀应力场下的无限固体时，你会得到以r为尺度的无界位移场，你担心位移的多值吗?

Jae-Hyun

真正的困难来自于“无限物体”的概念。我更倾向于有限主义的观点。没有无限的物体。涉及无限物体的问题的解应该被认为是有限物体的相应解的极限，当该物体的维数趋于无穷时。没有理由假定一个有限问题中的所有物理量都是有限的，如果物体被允许变得无限。有些量会收敛，有些则不会。对于不收敛的量，没有任何有意义的表述。

假设我们可以解决一个点力作用于矩形表面的问题，矩形的下表面被支撑在一个刚性的无摩擦表面上。然后增加矩形的大小。如果原点在施力点，你会发现所有点的位移都会随着物体尺寸的增大而增大。然而，在力附近的某些区域的位移(与矩形尺寸相比)只会随着矩形尺寸的增加而增加刚体位移。

另一个可以用封闭形式求解的问题是一个半圆，它的平边位于无摩擦的刚性表面上，并且在弯曲边界的中点受到集中力的载荷。这可以通过采取Timoshenko和Goodier第41条中完整磁盘的解决方案并沿对称轴切割磁盘来解决。如果我们现在让圆盘的半径无限制地增加，曲率将趋向于零，我们将恢复弗拉曼特解。然而，位移将以与矩形例子相同的方式无限制地增加。

对数无限位移导致二维接触问题的公式问题，因为除其他事项外，它阻止我们能够定义一个收敛的测量接触的刚度。

正如其他人所建议的那样，你也可以从一个三维的半空间开始，并施加一个线荷载，只要线荷载不一直延伸到无穷大的任何一边，就可以得到一个有界的解。J.J.Kalker利用这一特性开发了一些“几乎”二维接触问题的有趣解。他考虑了接触区域又长又窄的情况，比如椭圆度接近统一的椭圆。在这种情况下，通过应力场的二维横截面看起来非常像二维状态，但沿轴有缓慢的变化。Kalker利用匹配渐近展开的概念来解决这个问题，本质上定义了一个变形的坐标系，涉及两个方向上的代表性接触尺寸之间的小比率。参见J.J.Kalker，关于弹性线接触，ASME j.p p . mech。J.J.Kalker，弹性半空间在有界曲面区域内的表面位移及其在滚子接触压力计算中的应用，数学与应用，Vol. 19(1977)， 127—144。我在J.R.巴伯、《错位弹性圆柱的滚动接触》、j.m ich中也用过这些方法。Eng。科学。, 22 (1980), 125-128, Jose Castillo and J.R.Barber, Contact problems involving beams, Proc.Roy.Soc. (London), Vol.A453 (1997), pp. 2397--2412.

最后一点:这一困难出现在许多其他机制应用中。一个与我自己的兴趣接近的例子是受局部表面加热的三维物体中的热弹性位移。在这种情况下，如果物体是无限大的，那么温度是有界的，但是温度和因此产生的应变随与受热区域距离的倒数而衰减。由此可见，当我们积分应变得到位移时，位移是对数无界的。这一点被数学家Ian Sneddon(他写了一本关于傅里叶变换的书)(见D.L.George和I.N.Sneddon，《加热冲床的轴对称Boussinesq问题》，J.Math.Mech。(1)，李志强，李志强，含硬币形裂纹的无限弹性固体的热应力分布，中国机械工程，11(1962)，665-689。分析的， 4(1960)， 238-254)。由于位移是无界的，一些热弹性接触问题的Sneddon解不是良好定的，它们会导致不收敛的反变换。

对于无限薄板上的圆孔，在远程剪切或拉伸下，解是否取决于薄板厚度?

以下是我的想法。平面应力和平面应变的面内应力解是相同的，而应变和位移是不同的。是平面应力还是平面应变取决于与孔尺寸(两个相关长度尺度)相比的薄板厚度。如果厚度相对于孔半径较小，则适用平面应力条件。在另一极限条件下，当厚度远大于孔半径时，适用平面应变条件。然而，对于有限厚度的薄板，无论它有多厚，其表面的应力状态始终是平面应力。显然，对于有限厚度，孔附近的应力/应变不能假定为平面应力或平面应变;相反，这是一个三维问题。这将如何影响应力集中以及孔附近的变形?

类似的情况出现在我们在本科材料实验课上教过的使用紧致拉伸试样的标准断裂韧性测试中的厚度效应。

RH

我很抱歉发表你的评论“一个学生…“虽然我现在才知道!”由于对函数了解不够，我在第一次注册时就犯了这个错误。我会把每件事都做得更仔细。

感谢Biswajit上面的评论(不。7930年dtd。2008年6月27日)再次引起人们的注意。

事后诸葛亮，我愿补充以下几点:

从他的文章中，我认为Rui在这里并不完全只关心位移的无界性，即使在应力随距离以1/r下降的情况下。

因此，具体地标出应变场(即它是有限的)和位移场(即它是无限的)之间的区别，似乎不是他在这里唯一关心的问题。

关于张力与位移的问题太简单了……通过一个简单的类比(请允许我做一个)，这就像说，即使一个国家的净人口年增长率(即应变的模拟)继续单调减少，其实际总人口(即位移的模拟)将继续以无界的方式增长(或在无限长的时间内趋于无穷)，只要净增长率是一个+ve的数字。我的意思是，所有这些都是太简单的数学，从他的写作来看，我猜，像芮这样的人不会关心它。(如果我说错了，请指正。)

我认为Rui在这里试图对2D和3D情境下行为的本质差异进行真正细致的观察。

特别是，我认为Rui的问题(如果你愿意，可以称之为探索/抓)，当放在更广泛的背景下，是关于离散电网络理论中被称为Polya递归定理的连续(张量)弹性版本。(例如，关于后一种理论的讨论，请参见:Doyle和Snell，“随机行走和电网络”，arXiv:math.PR/0001057)。这样的事情在一般情况下可能是不可能的。(在任何情况下，我都没有单独考虑过——这是否可能。)但至少，这种2D和3D场景之间的决定性和本质区别似乎是芮成钢想要达到的。

有数学家能解释一下这个问题吗?(我很想明确地回答这个问题，但是，数学本身从来都不是我生活中的主要兴趣——就此而言，甚至都不是业余兴趣。)提前感谢你的任何澄清(这也适用于像我这样的工程师)。

Ajit的评论似乎把这个讨论带到了一个更高的数学层面。然而，我最初的问题很谦逊。这与数学无关。我试图理解物理现实(例如，在遥远的边界上的无限位移)。现在可以理解(感谢上面所有的评论)，对于物理上不现实的模型(例如，2D，无限域)，这是不可能的。吉姆·巴伯的评论基本上解决了我的担忧。

RH

哎呀……我现在才意识到，在我昨天的文章中，在序言之前应该有一两个换行符:“(如果我写错了，请纠正我)”，这样序言就会变得独立，并适用于后面的整个事情。对不起!
同样地，我“实际上”并不是在暗示芮在猥亵……其实，这些摸索和抓握都是我的。我一直在思考这个猜想，大意是像随机游走这样的方法应该也适用于像弹性张量场这样的张量场……在我的草稿的最后编辑中，这句话的位置也出了问题。

(这些天，我首先在记事本文件中写下我的评论，然后，在TinyMCE或这里的编辑器中复制粘贴内容，因为互联网，编辑器(在IE中)和电力随时都可能崩溃。我先写，然后复制粘贴。但是，在这样的复制粘贴之后，更多的东西打动了我，所以，我想修改初稿。有时候，我在这个过程中会犯一些愚蠢的错误……)

不管怎样，让我把这个猜想从这条线索上拿掉。所以，如果有人有兴趣讨论这个问题，请给我写信，或者随时开始新的讨论。谢谢!

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还有一点:是的，巴伯教授的评论在某种意义上是值得注意的，尽管他的背景，他谈到了“一个有限系统——>是一个适当的限制过程——>是一个涉及无限的更高抽象”的方法。这种观点在机械师或应用数学家(更不用说“纯”数学家了)中是非常罕见的。万博体育平台我也很喜欢……

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.．.我必须结束了，否则我可以一直说下去……