关于这个问题，我想到了一个有趣的想法。正如我上面提到的，由于在无穷远处的边界条件，带线力的二维问题的解看起来有问题。我认为原因可能在于，在平面应变假设下，直线力本身延伸到无穷大。所以，如果一个人把3D解决方案整合起来，结果是一样的。另一方面，你的圆柱体的例子很吸引我。将柱面近似为平面是一个很好的应用，可以很好地发展柱面附近的渐近性质。把问题反过来，我们能否解决一个轴对称问题(也是二维问题)在一个半径为R的有限圆柱体表面上有一个线力?如果存在这样的解，它应该是半径R的函数。在极限情况下，当R趋于无穷时，它应该恢复平面应变问题的解。对于有限半径，解在满足远程边界条件方面应该没有任何问题，因为现在线力(围绕圆柱体)的延伸是有限的。这有道理吗? Are you aware of such a solution?
评论
力:作用在半空间表面上的直线力
中国:
再一次，我试着从你身上学到一些东西，我从你的笔记中做到了。去年我也教过类似的课程。经过所有的努力，我们得到了作用在半空间(2D)上的线力的解。不幸的是，我不得不告诉学生，这个解决方案是有问题的，因为远程位移边界条件不满足。如果考虑一条切向力线，这个解看起来就更奇怪了。我相信这是二维弹性中一个众所周知的问题。然而，我不知道有任何解决方案。我想知道是否有可能将3D解决方案整合到Boussinesq和Cerruti的问题上。既然三维解在远边界处没有问题，那么积分是否会给出更真实的线力解?
我对这个问题感兴趣的另一个原因是，该解决方案可以(并且已经)用于分析薄膜中的边缘效应和界面断裂(这是我这学期教的一门课)。有问题的2D解决方案让我很不舒服。
我希望通过讨论了解更多关于这个问题的信息。
RH
一个边缘效应的例子
瑞:
我得考虑一下你的一般性意见。对于边缘效应，我在笔记的最后描述了一个陶瓷层压板的实验。这个观察结果很有趣，但我们能够解释它。我在今天的课上讲了这个例子。我不知道学生们是否喜欢，但我喜欢。
你也有类似的想法吗?
线力轴对称问题
中国:
关于这个问题，我想到了一个有趣的想法。正如我上面提到的，由于在无穷远处的边界条件，带线力的二维问题的解看起来有问题。我认为原因可能在于，在平面应变假设下，直线力本身延伸到无穷大。所以，如果一个人把3D解决方案整合起来，结果是一样的。另一方面，你的圆柱体的例子很吸引我。将柱面近似为平面是一个很好的应用，可以很好地发展柱面附近的渐近性质。把问题反过来，我们能否解决一个轴对称问题(也是二维问题)在一个半径为R的有限圆柱体表面上有一个线力?如果存在这样的解，它应该是半径R的函数。在极限情况下，当R趋于无穷时，它应该恢复平面应变问题的解。对于有限半径，解在满足远程边界条件方面应该没有任何问题，因为现在线力(围绕圆柱体)的延伸是有限的。这有道理吗? Are you aware of such a solution?
谢谢。
RH
圆柱的对称变形
这是Timoshenko和Goodier的《弹性理论》第143条的标题。本文不包含您想要的显式解决方案，但该方法可能适用。
现在，回到你更普遍关心的远程位移场。线力和位错共同导致了无界位移场的产生。这个特性似乎是不可避免的。这里有一个维度的考虑。对于线力的情况，设P =力/长度，r =到力作用处的距离。应力在p上是线性的，因此，
应力(r) = P/r
所以位移等于log(r)
不管你有多不舒服，这种无界的迁移都会伴随着我们。到目前为止，我还没有遇到任何它无法处理的物理情况。
Flamant解决方案
你好瑞:
我希望一切都好。你能更具体地解释一下你所说的Flamant解决方案“有问题”是什么意思吗?我很高兴参加这次讨论并作出贡献。
无限的位移
正如Zhigang在上面的评论中提到的，二维Flamant溶液中的位移尺度为log(r)，因此当r趋近于无穷时，位移无界。
RH
谢谢你的
谢谢你的澄清。正如在其他回复中所讨论的，无论您如何开发解决方案，位移都是对数的(即使您从3d开始并整合以获得平面应变2d)。
普遍接受的物理解释(你也想到了)是，在这个问题中有一个无限的总施加力;解Plogr中的力P以厚度为单位，在平面应变问题中，厚度为无限大。物理上可接受的结果是位移变为无穷大。
弹性是相当美丽和有教育意义的。一个相关的问题如下。学生(以及弹性挑战的个人)经常问为什么我们在Flamant解决方案中接受应力的1/r奇点(从而无限应变能)，但在裂纹问题中却不接受(我们将奇点限制为倒数平方根)。其原因是裂纹尖端不存在无限能量源，但在点力解中存在无限能量源。r=0处的位移是无限大的，因此力做的功是无限大的。
无限的位移
嗨,瑞,
我对这个讨论很感兴趣。如果你不介意的话，我想加入这里。
-如果你在处理二维(比如，XY平面)的问题，看起来很自然的位移尺度为log(r)。我认为如果你沿着Z方向的无限大直线积分三维点力解，你会得到相同的结果。由于二维性质和无限域，这种位移的无界性似乎是不可避免的。我不明白你为什么要担心位移的无界性。当你考虑一个在均匀应力场下的无限固体时，你会得到一个无界的位移场，它的尺度是r。你担心位移的多值性吗?
Jae-Hyun
无限域中的位移
Jae-Hyun:
谢谢你的评论。
我同意你的观点，无界位移对于二维问题可能是不可避免的。在三维中，在一个集中的力作用下，无限域中的位移保持有界。因此，载荷的影响停留在局部，从作用点开始衰减。然而，在2D中，集中力(平面应变的线力)的影响延伸到无限，这对我来说似乎是不现实的。正如我在之前的评论中提到的，这可能是由于线力本身在平面应变假设下延伸到无穷大。在某种意义上，无限大(作为一种数学理想)的行为就像一个点，无论你如何接近它。所以，如果力延伸到无穷大，效应也会存在。另一个无限大的量是二维平面应变问题隐含的总力，而在三维中总力是有限的。
以上是我对这个问题的自由思考。证明这一点的一种方法是解决轴对称圆柱问题，上面也提到过。
RH
Flamant解决方案
真正的困难来自于“无限身体”的概念。在这里，我更倾向于采取有限主义者的观点。没有无限的物体。涉及无限物体的问题的解应被认为是当物体的尺寸趋于无穷时，有限物体的相应解的极限。如果允许物体变得无限，就没有理由假定有限问题中的所有物理量仍然是有限的。有些量会收敛，有些则不会。对于不收敛的量，不能作出有意义的表述。
假设我们可以解决作用在矩形表面上的点力问题，矩形的下表面被支撑在一个刚性平面无摩擦表面上。然后增加矩形的大小。如果在施力点取原点，你会发现所有点的位移都会随着物体尺寸的增加而增加。然而，在力附近的某些区域的位移(与矩形尺寸相比)只会随着矩形尺寸的增加而增加刚体位移。
另一个可以用封闭形式解决的问题是一个半圆的问题，它的平边位于无摩擦的刚性表面上，在弯曲边界的中点受到集中力的载荷。这可以通过取Timoshenko和Goodier第41条中完整圆盘的解并沿对称轴切割圆盘来解决。如果我们现在让圆盘的半径无限制地增大，曲率将趋于零，我们将恢复火焰解。然而，位移会无限制地增加，就像矩形的例子一样。
对数无穷大的位移在二维接触问题的表述中引起了问题，因为它使我们无法定义接触刚度的收敛度量。
正如其他人建议的那样，你也可以通过从三维半空间开始并施加线载荷来得到有界解，前提是线载荷在任何一侧都不会一直延伸到无穷大。J.J.Kalker利用这一特性，为“几乎”二维接触问题开发了一些有趣的解决方案。他考虑了接触面积又长又窄的情况，比如椭圆率接近于一的椭圆。在这种情况下，通过应力场的二维截面看起来很像二维状态，但沿轴有缓慢的变化。Kalker利用匹配渐近展开的概念来解决这个问题，本质上定义了一个涉及两个方向上代表性接触维数之间小比例的变形坐标系。参见J.J.Kalker，弹性线接触，美国机械工程师协会。J.J.Kalker，细长有界曲面区域中弹性半空间载荷的表面位移及其在滚子下接触压力计算中的应用，数学研究所学报及其应用，Vol. 19(1977)， 127—144。在J.R. Barber的《错位弹性圆柱的滚动接触》，j.m h。Eng。科学。, 22 (1980), 125-128, Jose Castillo and J.R.Barber, Contact problems involving beams, Proc.Roy.Soc. (London), Vol.A453 (1997), pp. 2397--2412.
最后一点:这个困难出现在许多其他机制应用中。一个与我感兴趣的例子是三维物体在局部表面受热作用下的热弹性位移。在这种情况下，如果物体是无限的，温度是有界的，但温度和因此应变随距离受热区域的倒数而衰减。由此可见，当我们对应变积分得到位移时，后者是对数无界的。Ian Sneddon(他确实写了关于傅里叶变换的书)(见D.L.George和I.N.Sneddon，加热打孔机的轴对称Boussinesq问题，j.m amath . mech)。[2]李志强，含裂纹的无限弹性固体的热应力分布，力学学报，11(1962)，665-689。分析的， 4(1960)， 238-254)。由于无界位移，一些热弹性接触问题的Sneddon解不是适定的，并且会导致非收敛的逆变换。
回复:火焰溶液
最近，我重温了关于线性弹性中的Flamant解的精彩讨论(我们需要在iMechanica上进行更多这样的讨论)。万博manbetx平台然而，我在讨论中注意到的一个问题是，Flamant解决方案并没有真正向不熟悉的读者解释。考虑到我们的许多读者可能是线性弹性的新手，我继续在维基百科上添加了关于Flamant解决方案的页面(基于Barber教授的书)。你可以在http://en.wikipedia.org/wiki/Flamant_solution．
请补充一些见解并纠正文章中的错误。
——Biswajit
另一个关于平面弹性的问题
对于无限薄板上的圆孔，在远程剪切或拉伸作用下，解是否取决于薄板的厚度?
以下是我的想法。平面应力和平面应变的解相同，而应变和位移的解不同。是平面应力还是平面应变取决于板材的厚度与孔尺寸(两个相关的长度尺度)的比较。如果厚度小于孔半径，则适用平面应力条件。在另一极限，当厚度远远大于孔半径时，则采用平面应变条件。然而，对于有限厚度的薄板，无论薄板有多厚，其表面的应力状态都是平面应力。显然，对于有限厚度，孔附近的应力/应变不能假设为平面应力或平面应变;相反，这是一个三维的问题。这将如何影响应力集中以及孔附近的变形?
类似的情况出现在我们在本科材料实验课上教的标准断裂韧性测试中的厚度效应。
RH
睿:你最初的猜测是对的，但是人们不小心!
瑞,
为了完成Jim Barber对你的问题的回答(他实际上还提出了一些更多的问题)，你可能知道你可以通过使用位移导数来制定许多问题(例如接触和裂纹问题)，这避免了刚体运动的问题。你也可以在巴伯的书中找到这一点。
关于你最近的问题，当然，严格地说，根据定义，表面总是有平面应力状态，并且内部总是有一些应力的趋势。应力增加到极限平面应变1，这取决于泊松比s3= nu * (s1 + s2)所以这恰好是零，通常只有在泊松=0的情况下，或者在纯剪切状态下。
你是对的，在标准的断裂力学测试中，这或多或少是已知的，但我可以向你保证，在许多情况下，这是被忽视的!例如，我提交了一篇关于巴黎定律的论文，其中显示了在影响巴黎“常数”C和m ----时，样品的大小如何经常被忽视，因此人们不小心，只有GI Barenblatt之前对此进行了强烈评论
论文还没有被接受，但是你可以在我最近的巴黎研讨会上找到一些6月5日星期四，在巴黎达朗贝尔学院举行的研讨会——一个人，没有人，和十万个裂纹扩展方程。1
问候,迈克
对不起
我很抱歉发表评论“一个学生……“虽然我直到现在才知道!在对函数了解不够的情况下，我第一次注册时就犯了这个错误。我会更仔细地做每件事。
回复:Flamant Solution——是关于2D vs 3D的问题吗?
感谢比斯瓦吉特上面的评论(不。7930年dtd。2008年6月27日)再次引起关注。
鉴于事后诸葛亮，让我补充以下几点:
从他的写作中，我认为Rui在这里并不是完全关注位移的无界性，即使在应力随距离下降为1/r的情况下。
因此，明确指出应变场(即它是有限的)与位移场(即它是无限的)的差异的问题似乎并不是他在这里唯一关心的问题。
这个问题——张力vs位移——太简单了……通过一个简单的类比(请允许我一个)，这就像说，即使一个国家的净人口年增长率(即应变的模拟)继续单调减少，它的实际总人口(即位移的模拟)将继续以“无界”的方式增长(或在无限时间内趋于无穷大)，只要净增长率是一个+ 5的数字。我的意思是，所有这些都是太简单的数学，从他的写作来看，我猜像芮这样的人不会关心它。(如果我说错了，请指正。)
我认为芮在这里试图对2D和3D场景中行为的本质区别做出一个真正细致的观察。
特别是，我认为芮的问题(如果你愿意，可以称之为摸索/纠缠)，在更广泛的背景下，是关于离散电子网络理论中Polya递归定理的连续体(张量)弹性版本。(关于后一种理论的讨论，例如，见:Doyle和Snell，“随机行走和电子网络”，arXiv:math.PR/0001057)。这样的事情在一般情况下是不可能的。(无论如何，我没有单独考虑过这一点——不管这是否可能。)但至少，这种2D和3D场景之间的明确而本质的区别似乎正是Rui想要表达的。
有数学家能解释一下这个问题吗?(我很想明确地回答这个问题，但是，数学从来都不是我生活中的主要兴趣——就这一点而言，甚至不是一个次要兴趣。)提前感谢任何澄清(这也可以访问像我这样的工程师)。
火焰解决方案-一个很好的数学
Ajit的评论似乎把这个讨论带到了数学的更高层次。然而，我最初的问题是一个卑微的问题。这与数学无关。我试图理解物理现实(例如，在遥远的边界上的无限位移)。现在可以理解(感谢上面的所有评论)，这对于物理上不现实的模型(例如，2D，无限域)是不可能的。吉姆·巴伯的评论基本上解决了我的担忧。
RH
回复:火焰解决方案-一个很好的数学
哎呀……我现在才意识到，在我昨天的帖子中，应该在前言前面加一两行:“(如果我错了，请纠正我。)”这样，前言就可以独立出来，适用于后面的整个文章。对不起!
同样，我并没有“实际上”想暗示芮在摸……其实，摸索和扭打都是我的…我一直在思考这个猜想，大意是像随机游走这样的方法也应该适用于像弹性的张量场……在我的草稿的最后编辑中，这句话的位置也出了问题。
(这些天，我首先在记事本文件中写下我的评论，然后，只是在TinyMCE编辑器中复制粘贴内容，因为互联网，编辑器(在IE中)和电力随时都可能崩溃。所以，我先写，然后复制粘贴。但是，在这样的复制粘贴之后，我有了更多的想法，所以，我想修改初稿。有时候，我在这个过程中会犯一些愚蠢的错误…)
不管怎样，让我把这个猜想从这条线上去掉。所以，如果有人有兴趣讨论这个问题，请给我留言，或者在这个问题上开始一个新的话题。谢谢!
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还有一点:是的，巴伯教授的评论在某种意义上是值得注意的，尽管他的背景，他谈到了“一个有限系统->一个适当的极限过程->一个涉及无限的更高抽象”的方法。这种观点在力学家或应用数学家(更不用说“纯粹”数学家)身上是非常罕见的。万博体育平台我也很喜欢……
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…我必须结束，否则我可以一直继续下去……