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对数自旋的低弹性塑性

星期二，2007-07-03 15:42 -Banerjee Biswajit
教育
次弹性
塑料
对数旋转

在小应变弹塑性中，我们首先将总应变分解为弹性和塑性部分。我们用应变率表示

$\displaystyle \dot{\ensuremath{\boldsymbol{\varepsilon}} = \dot{\ensuremath{\boldsymbol{\varepsilon}}_e} + \dot{\ensuremath{\boldsymbol{\varepsilon}}_p}。<br /> $

在1990年之前，大多数大变形塑性算法通过假设欧拉拉伸张量(变形率)的加性分解来扩展这一思想:

$\displaystyle \ensuremath{\boldsymbol{d}}= \ensuremath{\boldsymbol{d}}_e + \ensuremath{\boldsymbol{d}}_p .<br /> $

一般采用准弹性本构模型计算基尔霍夫应力。对于各向同性材料，这种模型的形式是

$\displaystyle \ensuremath{\overset{\circ}{\ensuremath{\boldsymbol{\tau}}}} = \l…<br />…ht)} \ensuremath{\boldsymbol{\mathit{1}}}+ 2 \mu \ensuremath{\boldsymbol{d}}_e<br /> $

如何从无数的可能性中选择正确的基尔霍夫应力的客观比率，这个问题一度困扰着许多力学的忠实分子。由于各种原因，Zaremba-Jaumann比率变得流行起来。然而，很快就发现这个比率有一个问题。当采用Zaremba-Jaumann速率时，预测了单调施加剪切变形时的振荡剪应力响应。利用格林-纳格迪速率，在一定程度上改善了剪切振荡问题，但仍存在其他问题。

研究发现，对于大变形，低弹性模型不仅严重偏离胡克定律，而且模型是耗散的和路径相关的，不能从势导出。因此，上面所考虑的低弹性材料实际上并不是通常意义上的弹性(超弹性)。随着时间的推移，人们忘记了在某些情况下，纯弹性材料可以作为准弹性材料的一个子类来获得。在有限塑性学界，使用低弹性材料模型成为禁忌。

当塑性学界转向涉及初始弹性各向异性的问题时，他们还发现经典的准弹性材料模型仅适用于初始各向同性材料。这给低弹性/添加剂分解的棺材钉上了最后一颗钉子。一些研究人员(包括我)继续追求经典的路径，说大多数金属只经历很小的弹性应变。模拟结果还表明，在拟合各种弹塑性模型时，由低弹性假设引入的误差小于实验数据中的误差。然而，这些理由并不真正令人满意。

研究人员试图找到摆脱混乱的方法，并决定改变轨道。他们开始使用变形梯度的乘法分解和超弹性材料模型来表示弹性响应。这种方法非常成功，但是关于分解的唯一性的一些基本问题仍然存在。相关文献数量庞大，往往难以与实验数据相吻合。

20世纪90年代末，一些研究人员发现欧拉共轭对数应变率与基尔霍夫应力幂共轭，这给加性分解方法注入了新的生命[1]．

欧拉亨基(对数)应变定义为

$\displaystyle \ensuremath{\boldsymbol{h}}= \ln\ensuremath{\boldsymbol{V}}= \sum…<br />…ath {\ ensuremath {\ mathbf {n}} _i \ boldsymbol {\ otimes} \ ensuremath {\ mathbf {n}} _i}。< br / > $

用henky应变表示的各向同性弹性模型可以写成

$\displaystyle \ensuremath{\boldsymbol{\tau}}= \lambda \ensuremath{\text{tr}\ left…<br />…ht)} \ensuremath{\boldsymbol{\mathit{1}}}+ 2 \mu \ensuremath{\boldsymbol{h}} .<br /> $

新发现的亨基应变与变形速率的关系为

$\displaystyle \ensuremath{\boldsymbol{d}}= \ensuremath{\overset{\circ}{\ensurem…<br />…<br /> $; <br /> $; <br /> $; <br /> $

对数自旋是由

$\displaystyle \ensuremath{\boldsymbol{\Omega}}^{\text{log}} = \ensuremath{\bold…<br />…suremath{\boldsymbol{m}}_i\boldsymbol{\otimes}\ensuremath{\boldsymbol{m}}_i})<br /> $


和

$\displaystyle \ensuremath{\boldsymbol{b}}= \ensuremath{\boldsymbol{F}}\cdot\ens…<br />…{\boldsymbol{m}}_i\boldsymbol{\otimes}\ensuremath{\boldsymbol{m}}_i} .<br /> $


结果表明，如果关系式中的目标速率为零，则可以获得无路径依赖和耗散的纯弹性行为

$\displaystyle \ensuremath{\overset{\circ}{\ensuremath{\boldsymbol{\tau}}}} = \l…<br />…ht)} \ensuremath{\boldsymbol{\mathit{1}}}+ 2 \mu \ensuremath{\boldsymbol{d}}_e<br /> $


是由

$\displaystyle \ensuremath{\overset{\circ}{\ensuremath{\boldsymbol{\tau}}}} = \d…<br />…uremath {\ boldsymbol{\ω}}^{\文本日志}{}\ cdot \ ensuremath {\ boldsymbol{\τ}}。< br / > $

结果还表明，这一客观速率是在一致的欧拉弹塑性速率理论中唯一允许的。

因此，至少对于中等应变，一些反对使用低弹性模型和变形张量速率的加性分解的主要理由已被消除。还有待观察的是，需要对理论进行哪些修改，以允许最初的各向异性材料。我打算在接下来的几天里试用这个模型。如果你已经这样做了，请评论你的发现。

参考书目

1 H.肖，O. T.布鲁恩斯，A.迈耶斯。
超出小变形的弹塑性。
Acta Mechanica中文信息学报，32(2):31-11,2006。
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评论

康斯坦丁·沃洛克的照片

提交的康斯坦丁·沃洛克在星期日，2007-07-08 01:21。

亲爱的Biswajit,

感谢您引起我们对大应变塑性这一古老而未解决的问题的关注。你引用的那篇论文很有意思，不过我遗漏了一点，你也许可以澄清一下。在我看来，你和肖等人所说的欧拉方法并不是完美的欧拉方法，因为基尔霍夫的应力和亨基的应变都需要一个参考构型。一个纯粹的欧拉方法不应该考虑任何参考构型，即它应该只涉及柯西应力和变形张量的速率。众所周知，纯欧拉低弹性缺乏物理依据。您和Xiao等人所考虑的伪欧拉低弹性与Naghdi或Lee方法并没有根本的不同(除了公式)，后者也依赖于参考状态的概念。

-Kosta

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提交的Banerjee Biswajit星期日，2007-07-08 17:57。

亲爱的Kosta,

你是对的，在Xiao的公式中需要一个参考状态(我不会说它对他们的公式特别了解，考虑到我几天前才在Andy提到之后发现它:)

事实上，任何应变的定义都需要长度的变化。任何变化都需要知道在时间上分离的两种状态。因此，根据定义，应变不可能是纯欧拉量。肖的公式使用左拉伸，因此不能是纯粹的欧拉公式。需要对数自旋提供的扭曲才能将左拉伸与纯欧拉变形率联系起来。然而，可以用柯西应力代替基尔霍夫应力，而不改变他们的任何结论。

我对Xiao等人的工作很感兴趣，因为他们声称使用Kirchhoff应力的同向对数速率的线性速率本构方程是只有这样的方程可以由势导出。他们的方法似乎解决了一些被标榜为严重弱点的加性分解变形率高的问题。然而，对于Xiao等人的方法而言，增量客观数值算法所涉及的复杂性降低了其吸引力。并不是说任何其他方法都更好:)

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阿尔伯特·迈耶斯的照片

提交的阿尔伯特·迈耶斯星期二，2009-05-26 11:06。

亲爱的Biswajit,

我很高兴看到你对对数速率在弹塑性中的作用的阐述。我想知道基尔霍夫应力的使用并没有被普遍接受。我来评论一下这个和其他一些观点。

  1. 当然，一个真正的欧拉本构律应该根据适当的欧拉测度来表述。柯西应力张量不是一个固有张量，但基尔霍夫应力张量却是。上个世纪初，人们对这个问题进行了热烈的讨论。布里渊在1986年做了评论;参见他论文中引用的文献。顺便说一下，这是henky重温他早期弹性定律b[2]的动机用基尔霍夫应力b[3]来交换柯西应力。
  2. 众所周知，闭合的超弹性变形路径是无耗散的。可以证明，闭合的亚弹性变形路径只有在对数应力率下才能无耗散(见[4]及相关文献)。虽然使用对数应力率是必要的，但这是不够的。此外，该定律必须可转化为超弹性形式。零级低弹性就是这样一个规律。因此，根据对数应力率，有时可以将低弹性和超弹性公式结合在一起。
  3. 材料的弹塑性。没有应变的概念。这是一个适当的欧拉度量的速率公式，即基尔霍夫应力和变形率，使应变的概念过时。
  4. 在某些地方，变形速率的加性分解被认为只适用于小变形弹塑性。分解是基于比能的分解τ：D变成可恢复的部分τ：DE和耗散部分τ：Dp.对小变形的限制从何而来?

艾伯特

参考文献
[1] lsamon Brillouin。Les lois de l ' ' ' ' plastic it ' ' sous forme tensorielle valable pour des coordones quelconques。安。理论物理。[10][中国科学:地球科学]，1995。
b[2] H.亨基。Über die Form des Elastizitä gesetzes bei ideal elastischen Stoffen。中欧z。理论物理。， 9:215-223, 1928。
b[3] H.亨基。有限变形下各向同性和准各向同性物质的弹性规律。j . Rheol。， 2:169-176, 1931。
H.肖，O. T.布鲁恩斯和A.迈耶斯。超出小变形的弹塑性。力学学报，32(1-2):31-111,2005。

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提交的Banerjee Biswajit星期一，2009-05-28 23:22。

亲爱的艾伯特,

谢谢你提供的推荐信。你有布里渊论文的英文译本吗?

还有一些问题:

你说“……”柯西应力张量不是一个固有张量"你能详细说明一下吗?

你还说，应变的概念因你的提法而过时了。这是一个有趣的观点。这是否意味着与利率无关的公式已经过时了?

关于你关于附加分解对小变形的限制的观点，我认为人们的意思是de和dp的定义不应该是特别的，而是基于有限变形运动学。

——Biswajit

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阿尔伯特·迈耶斯的照片

提交的阿尔伯特·迈耶斯星期一，2009-07-13 10:33。

亲爱的Biswajit,

非常感谢您的发言。让我简短地回答你的问题:

布里渊的论文是法文的;我没有遇到英文翻译。布里渊将固有张量(独立于任意框架变化)与伪张量、张量密度和张量容量区分开来。他提到赫尔曼•魏尔的《时空材料》(Raum-Zeit-Materie，一本德语书，包含相对论力学的讲座)，书中似乎解释了细节。我没读过那本书。

没有与De和Dp相对应的唯一变形。为什么人们把D的分解建立在运动学的基础上?我更倾向于把它和比能的分解联系起来。这种分解不是特别的。所涉及的能量的一部分被耗散，另一部分被恢复。

D, De, Dp是时间相关的量，即弹塑性公式是速率无关的。可以看出，总D等于总亨基菌株的对数速率。细节在我们之前的回答中引用的论文中。有趣的是，如果考虑旋转时间导数，拉伸和应变率之间的关系是唯一的，即只有Hencky应变的对数速率等于d。没有其他速率和其他应变可能以这种方式相关。

艾伯特

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提交的Banerjee Biswajit星期三，2011-06-08 22:50

Romano和Barrettaa发表了一篇关于低弹性的有趣论文:协变低弹性，2011，欧洲力学杂志- A/固体。doi: 10.1016 / j.euromechsol.2011.05.005。任何评论?——Biswajit

摘要:本构行为理论，有明确的参照
亚弹性材料，用几何方法来解决，
根据物理论证，得出协变公式。的
空间矢量之间的仔细区分发挥了重要作用，
强调了基于材料的空间矢量和材料矢量。
对有争议的问题给出明确的答案，例如…的正确定义
应力率，可积性条件的制定，实现
材料框架无关性，以及评估应力的任务
国家演化，都是给定的。试样的简单剪切和拉伸
研究了亚弹性材料的应用
理论。不恰当的陈述和不合理的身体反应
因此，协变理论克服了准弹性材料
为双方恢复本构模型的适当角色
理论和计算目的。

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乔瓦尼·罗马诺的画

提交的乔凡尼·罗马诺周六，2011-12-10 03:49。

亲爱的博士。Banerjee Biswajit

我非常感谢您对我和Barretta博士(我以前的博士生)合著的论文的兴趣。协变hypo-elasticity”。我读了你对中国问题的一些评论万博manbetx平台我很想听听你对新想法和新结果的评论。该文件所述的调查是由于对时间率的一般处理深感不满而进行的。很明显，应该设计一个适当的物理几何框架，以提供连续介质力学和本构关系的速率公式的清晰图像。

在四维事件空间中提供一种处理方法的努力现在已经取得了进展，从几何的角度来看，这当然是最令人满意的。我坚信，几何方法不应被视为对已知结果的时髦表述，而应被视为对非线性连续介质力学(NLCM)中基本理论和计算问题进行适当表述的必要工具。不幸的是，直到现在，对微分几何基本原理仍然缺乏熟悉，使得许多聪明的学者(包括作者)无法避免对定义不清的概念进行错误的表述和徒劳的辩论。要想对NLCM底层的几何构造有一个清晰而有效的认识，需要对这一数学学科进行适当的培训，但这种努力当然是值得的，而且在任何情况下都是不可避免的。

我和同事将在一篇新论文中全面介绍连续介质力学的几何方法，我将尽快提交给您。

致以最亲切的问候

乔凡尼·罗马诺

附注:请访问我的主页网址

http://wpage.unina.it/romano

这是我最近一次讲座的幻灯片(2011年9月13日)

关于这个问题的列表是可用的演示。

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