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质量-密度梯度场的断裂和奇异性
发表在《弹性杂志》上
提出了一种无奇异场连续断裂力学理论。主
贡献是对裂纹尖端的“运动定律”结构的合理化
作为一个运动学结果，涉及到拓扑特征。兼容性问题
从运动学角度对模型进行了探讨。热力学驱动力
在任意结构的固体中，裂纹尖端的运动是该模型的自然结果。
控制方程代表了一类新的模式形成方程。
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评论
有趣的理论
亲爱的阿米特，有趣的理论，虽然我不是这个领域的专家，不能完全判断。
我一直不愿意接受奇点，最后，很多理论都取奇点，但又回到非奇点解，比如疲劳，你知道所谓的“临界距离理论”吗?它是由大卫·泰勒推广的，但实际上在他之前就存在了。Nicola Pugno也有一个类似的“量化断裂力学”版本。
也许你的理论可以和这个(更简单的)想法联系起来?
有趣的理论…
亲爱的米歇尔,
谢谢你的评论和参考资料。我不知道你提到的Taylor & Susmel和Pugno and Ruoff的作品，但现在会知道的，谢谢。我需要一点时间来浏览一下这些文件，然后形成一个观点，到时候我会回复你的。
对我来说，避免奇点是很重要的，因为到目前为止，缺陷演化模型不可避免地需要像应力和能量密度这样的物体作为缺陷的驱动力，在非线性理论中，将“我的应力”与缺陷本身以及其他缺陷和边界条件的“你的应力”分开是非常困难的，如果不是不可能的话.....如果我只对能量感兴趣，并为了结果而最小化它，这不会让我那么困扰，除非有限物体的整体能量开始变得无限，这种情况发生在位错上，但不会发生在裂缝或偏差上。
关于简单的问题-我想这是在旁观者的眼中。我已经在论文中阐明了我的目标，我对处理连续介质力学中不断发展的奇点的概念框架很感兴趣，这可能会导致实际的进步(对我来说，这意味着通过健壮的计算)。我还想忠实于与不同类型的奇点相关的不同运动学以及理解如何在能量中适应这些。奇怪的是，这与物理学中的规范理论的“技术”直接相关，它们从规范原理中提取出这些运动场。我发现更令人满意的是，仅仅从试图理解奇点中就能发现这些东西，在我看来，这是Weingarten、Volterra、Mura和DeWit的作品中更深层的信息。如果不满足规范不变性原则，那么就.....
无论如何，我可能在这里漫无边际，所以我将停止。但对我来说，简单是一种模式
1)具有通用性，所以它对你的帮助超越了你想要解决的直接问题，最好是展示了一些新的思维方式(因为无论如何你都必须努力解决这个问题)，即不会让人只见树木不见森林
只要给你精确的指令，你就可以命令一个没有多少智能的电子设备去执行。精确的指令可能需要非常详细的算法，如非线性波传播等，这本身就需要大量的学习。
我不认为目前处理连续介质力学中不断发展的奇点的相关事务处于理论和算法发展的阶段，可以提出这种说法，但进展正在发生。
泰勒，D.(2010)。临界距离理论:断裂力学的新视角。爱思唯尔。
泰勒，D.(2008)。临界距离理论。岩石力学与工程学报，30(7)，344 - 344。
Susmel, L.， & Taylor, D.(2008)。用临界距离理论预测缺口脆性构件在混合模式载荷下的静强度。岩石力学与工程学报，30(3)，344 - 344。
苏梅尔，L.(2008)。临界距离理论:在疲劳研究中的应用综述。岩石力学与工程学报，30(7)，344 - 344。
Cornetti, P.， Pugno, N.， Carpinteri, A.， and Taylor, D.(2006)。有限断裂力学:应力和能量耦合破坏准则。岩石力学与工程学报，30(4)，2023 - 2023。
Pugno, n.m.， & Ruoff, r.s.(2004)。量化断裂力学。哲学杂志，84(27)，2829-2845。
无意冒犯“简单得多”!
亲爱的阿米特
当我说“临界距离”方法可能“简单得多”时，我并不是说你的理论太复杂了!临界距离方法是非常经验性的，不是一般的发展，我认为它们没有坚实的背景。不过，它们很好用，所以我很高兴你说你想看一看。
也许当你提到“Silling的周动力学方法”时，你可以认为“临界距离”方法是相似的:它们都定义了Silling所说的“视界”。
你有进一步比较过周围动力学吗?如果是这样，你已经非常接近“临界距离”了。
回复:无意冒犯“简单得多”
亲爱的米歇尔,
我一点也不生气(在技术讨论中，让我生气是很不容易的事;希望永远不会)。
虽然我还没有看过你提到的论文(我绝对想看一看——我喜欢看我能看的一切!)，但我对周围动力学的基本概念有一个合理的认识。我的模型是一个pde模型，而不是非局部的(好吧，这取决于你正在使用什么变量)，所以在这方面有一些很大的不同.....我想到了一个有趣的问题，零视界极限下全动力学模型的极限形式是什么?这可能是一个pde模型看看它和我的模型之间的联系可能是有意义的。然而，在极限模型中，我不确定是否可以有一个长度尺度，我的pde模型当然至少有一个内在的长度尺度，即使在平衡解中也是有效的，所以....
“临界距离”，简单地说
关键的距离用几个字(这样你就可以避免读整本泰勒的书!)
1)点法:-本有经典解的标准奇点，但忽略它!所以它只是考虑裂缝前某一点的应力值——给定材料的恒定距离
2)线法:这里有一些应力的平均:结果与上面的PM非常相似，也许这变得“非局部”。
3)面积法和体积法——将面积和体积取平均值，但同样没什么大不了的
4)量化断裂力学:对应力强度因子取平均值
你觉得这些怎么样?
另一个快速的基础阅读是:
临界距离理论(TCD)是一种双参数方法，适用于在静态和高周疲劳载荷下，通过直接后处理根据连续介质力学计算的线弹性应力场来预测裂纹的不扩展，该应力场作用于被评估几何特征附近的材料。换句话说，TCD通过使用临界距离和参考强度来估计裂纹体的静态和高周疲劳强度，这两个参数被认为是材料常数，其值随着材料微观结构特征的变化而变化。同样，梯度力学假定裂纹尖端附近的相关应力场必须通过将固有尺度长度直接纳入材料本构律来确定。这种方法的主要优点是，在存在裂纹和尖锐缺口的情况下，应力场也变得非奇异。上述思想可以以不同的方式形式化，允许在静态和高周疲劳载荷下，对裂纹/缺口部件进行静态和高周疲劳评估，而无需定义失效位置的位置先天的。
本文研究了TCD与梯度力学之间存在的相似之处和区别，后者是根据所谓的隐式梯度方法形式化的，当这些理论用于处理线弹性裂纹尖端应力场时。
Askes, H.， Livieri, P.， Susmel, L.， Taylor, D.和Tovo, R.(2013)。材料固有长度，临界距离理论和梯度力学:处理线弹性裂纹尖端应力场的类比和区别。工程材料和结构的疲劳与断裂，36(1) 39-55。
除非你想让你的裂缝动起来
我想我们都同意，对于静态解决方案，没有什么不同——如果我没弄错的话，梯度弹性并没有提到如何让裂缝移动……
但也许你的主要兴趣是有一个模型，其中一个可以使裂纹尖端移动和多个裂纹相互作用。“临界距离”可能部分解释了相互作用，但移动的裂缝则不然。
然后，第二个问题是如何移动你的裂缝。动态吗?
回复:除非你想让裂缝移动
模型中的动力学不一定与惯性有关。对于脆性情况，它是cqn24_3，并且可以在24_2中无惯性的情况下求解。
模型为什么以及如何移动裂纹尖端的动机见第2节和第3节(3.1之前)。还有结语部分。
至于静力学，是的，我或多或少同意你的观点，除了我看到在更现实的函数依赖于能量c和曲率(甚至在“弹性”部分依赖于c)的类似物中放入原子定义输入的可能性。
但究竟是什么推动了这一运动，格里菲斯理论是否也包括在内?
亲爱的阿米特
我看到了方程式，但我无法看到裂缝形成的驱动力在哪里，从而增加了应力集中，并最终像格里菲斯理论中那样“变得不稳定”。在你的模型中到底有没有不连续的曲面?格里菲斯理论作为特例是否可以恢复?
如果你说的是脆性断裂，我看不出，在弹性中，你怎么能忽视惯性。此时裂纹扩展成为经典不稳定状态，拟静态模型不起作用。
疲劳的情况则是另一回事。如果你想模拟裂纹扩展，你需要让人们相信你有巴黎定律作为特例，而不是格里菲斯理论。
希望这对你有所帮助。
回复:但是是什么在驱动裂缝运动....
亲爱的米歇尔,
我同意你的观点(正如论文中所说)，表明与格里菲斯理论和巴黎定律(在循环加载的情况下)的联系，以及与现有断裂力学概念的联系，是该模型的主要任务。我认为这第一篇论文是一份微薄的贡献，而不是一部即将改变这一主题面貌的巨著。
也就是说，通过与我的学生xiaoahan Zhang和Chiqun Zhang(也用于向列数学中的缺陷传播)一起翻译论文中的特定类型的位错模型，我相信您提出的问题可以很好地回答-根据模型成分预测G_c(我基于在此背景下的初步工作)。显然，在疲劳载荷下与驾驶条件建立基本联系是一个更复杂的问题，但可以通过我正在谈论的简化模型来解决。在任何情况下，这都不是现阶段的问题，所以我们只能拭目以待。
在模型中，任何裂纹的演化都伴随着耗散——即使是在脆性的、名义上有弹性的材料中——这代表了键断裂时耗散的能量，例如，不能通过连续体场表示的运动来捕获。从这个意义上说，模型从来都不是弹性的，我不同意你所说的准静态模型没有任何作用——想想佩尔斯的位错应力模型，作为不稳定传播的一个例子(我们已经非常详细地处理了这个问题)。我并不是说惯性的能量不应该严格地进入能量预算，它可以由模型处理…
该模型的极限解将给出不连续的曲面，在该曲面上没有力被传递。超出极限，这是一个缺口模型。
我不愿意承诺该模型将如何处理裂纹的均匀形核(论文中有评论，需要查看)。我不认为在合理的时间尺度上有任何好的基本模型....
现有裂纹扩展的驱动力来自于弹性应变能(如果包括塑性)。
我不觉得有必要说服任何人任何事情，只是想弄清楚这个模型的结果，看看它会导致什么。但是我真的很感谢你的评论。
错位、裂缝、缺口、
我想如果我知道更多关于错位的知识，也许我会更好地理解你的模型。
当你说在一个极限中你应该倾向于裂缝时，我就不明白了——这个极限是多少?
当你说"超出极限，这是一个缺口模型。”——你说的缺口是什么意思?对我来说，缺口也没有通过表面传递的牵引力，对我来说，缺口就是，比如，板上的一个洞。
我想，如果我们定义一种共同语言，我们就会取得进展。
Re:位错、裂纹、缺口、
为了固定思路，考虑指定了c字段的静态情况，它的长度将与图1a中的c_w相对应。
当c_w不是零而是很小的时候，那么模型将是一个缺口，是的，这也不传递牵引力。
除了我写下来的，没有进一步的工作，我没有/将没有进一步的进展报告。
那为什么不把它投给期刊呢?
我也认为，如果没有进一步的工作，我没有更多的问题要问:如果没有与现有的知识，现有的理论，现有的实验进行比较，我发现很难判断:)
也许如果你把它寄给一些更以数学为导向的关于骨折的杂志，你可能会得到一些评论，并从那里得到....
那么，为什么不把它投给一些期刊呢?
谢谢你的建议。它当然已经提交给了一家杂志。
补充说明(2017年11月7日)-该论文将作为研究论文发表在《弹性杂志》上。论文的录用版本已经上传。