附注是为a写的塑性课程.当我更新笔记时,我会在我的twitter账户上发布一个链接:https://twitter.com/zhigangsuo.
流变行为与刚体运动无关.颠簸的飞机使我们头晕。我们感觉到飞机相对于地面的加速度。相比之下,材料的流变行为似乎与刚体平移和旋转无关。当飞机翻滚、偏航和俯仰时,机翼的弹性模量保持不变。汽油的粘度也是如此。
这里有一个基本假设:材料的流变行为不受各种刚体运动的影响。我们关注的是假设的结果。我们构造关于刚体运动的不变变量。稍后,我们将使用这些变量来构建相对于刚体运动不变的流变模型。
Frame-indifference.在欧氏空间中,一个参照系由一个原点和三个基向量组成。我们可以将一个框架连接到地面上的一个点,并将另一个框架连接到飞机上的一个点。这两个框架是刚性的,但相对于彼此平移和旋转。与刚体运动无关的变量与框架的选择无关,反之亦然。这样的变量被称为帧无关变量。
分离与框架无关.欧几里得空间中两个位置之间的距离是一个与坐标系无关的矢量。这种分离是所有与帧无关的变量之母。它们有不同的“父”——时间、能量、熵、电荷,以及每种物质的原子、分子和胶体的数量。它们是标量,与坐标系无关。我们将观察分离和标量产生其他与帧无关的变量。
相对速度是帧敏感的.尽管分离是帧无关的,但它的速率——相对速度——是帧敏感的。一般来说,帧无关变量的速率是帧敏感的。这让我们质疑速率的含义,并将其定义推广到允许帧无关速率。
亲爱的Zhigang -谢谢你指出这篇文章。我一直想在回复之前找时间详细阅读你的笔记,但你知道怎么回事....不过我看得很快。关于不要把张量和它们的分量混淆的警告也是值得注意的。
在这方面的一个评论-当你讨论方程x ' = Qx + c时-有些人可能会争辩说,重叠刚体运动下的不变量(Green和Rivlin)是一种概念上更容易思考“坐标系无关”后果的方法。在这个框架内,x ' = Qx + c是一个完全有效的张量方程,不涉及任何分量。事实上,在我所有的工作中,我更喜欢在刚体运动叠加下的不变性作为基本假设,在我的工作中,我已经做了很多这些,结果是正确的。
第二个评论是,在第28页,你谈到客观利率的不重要性,你是对的,但可能非常重要的是要强调函数F不能随着利率的变化而保持固定——一些人,尤其是学生,可能会把“不重要性”解释为你的变动利率可以在不改变F的情况下与声明中的任何其他客观利率交换,事实上,关于描述低弹性的客观比率的整个争论可以归因于保持函数F固定的愿望,并与找到最佳客观比率相对应。
这个问题的一个很好的例子是,当人们意识到客观速率实际上建立在非线性中,通过张量的耦合来描述速率与速度梯度的某个函数。因此,它可以对张量演化的稳定性产生影响,由材料变形驱动。因此,对于给定的客观速率,函数F在某些情况下可能为0。如果现在有人改变了客观利率,这意味着rhs上的相应函数不应该再为零,非常精确地转换以保持第一个陈述的物理内容不变。如果我没记错的话,Rice和Rudnicki(1975)的论文以及Rice和Asaro(1977)在JMPS的论文中都提到了客观利率的选择可以对分叉的预测产生影响。
最近的一个例子出现在我们与位错成核有关的工作中,在以下链接的第一篇论文的第11- 14页出现在JMPS上。
http://faculty.ce.cmu.edu/acharya/publications/
(实际上,这篇文章也曾作为关于力学的两部分系列文章发布万博manbetx平台
在这里,http://万博manbetx平台m.limpotrade.com/node/16949
这里——http://万博manbetx平台m.limpotrade.com/node/16950
因为现在一个人不能发表大于1Mb的论文,我曾要求Akanksha发布整个论文的链接,但她可能没有时间去做。)
同样,在你们所写的东西中,重要的是旋转速率的rhs上的F函数是其参数的各向同性函数这一点需要提到。
亲爱的中国:
谢谢分享你的笔记。我同意人们不应该把向量(一般来说,任何张量)和它的分量混淆。我也同意你的观点,即牵引力不是一个矢量,“牵引力矢量”是一个不正确的术语。另一个被广泛接受的错误术语是“变形梯度”,它不是梯度,因为它不依赖于任何度量;“变形梯度”就是变形图的导数。
我不同意你在第8页开始的论点,即文献中对框架冷漠的一些处理存在一些不一致(我同意Amit的评论)。在Marsden和Hughes的书中,这个问题在更一般的背景下进行了简要讨论,即在弯曲的环境空间中形成机制。在那里你可以处理任意平滑的坐标变化。他们解释说,一个人可以主动或被动地表述协方差(非欧几里得空间中的框架无差异)。你所描述的是被动的观点,而阿米特的方法是主动的。在活动的观点中(正如Amit提到的),你从一个运动开始,然后考虑任意叠加的刚体运动。不存在矛盾,这两种观点是等价的。我个人更喜欢主动的观点,比如,能量在刚体运动叠加下是不变的。
关于客观速率,正如我之前在iMechanica中讨论过的所有已知的客观速率都是同一个张量的不同分量,也就是李氏导数万博manbetx平台。
问候,乔
嗨,Arash -对你关于客观利率的评论有几点评论。我不确定你是否真的想说你做了什么——“所有众所周知的客观速率都是同一个张量的不同分量,也就是李氏导数。”这给我的印象是,你说所有的客观速率实际上是相同的张量,只是通过分量表示有所不同。在我看来,同一个张量的不同客观率,比如柯西应力,是不同的张量,完全不需要参考分量或基就可以表达。的确,一个特定张量的每个客观速率的分量,相对于时间上非常具体的对流基,也可以表示为该张量的分量在被选择来定义客观速率的特定对流基上的时间变化率。即假设e_i (t) = A(t) e_i^0,则OT = {d/dt (e_i)。T e_j)} e_i (0X) e_j,其中e_i^0是时间上的固定基,a是时间的可逆张量值函数,(OX)是张量积,OT是T的客观速率(我认为T是一个在当前构型上有两条腿的张量)。当然这看起来很神奇右手边应该是一个独立于任何基的张量,只依赖于T a T导,但这是可以证明的。
我想用一种简单的方式来表达我的主要观点是:Jaumann(T) = Tdot - WT + TW和upperconvected(T) = Tdot - LT -T L^ T,其中W是材料自旋,L是速度梯度。Juamman(T)和上对流(T)是不同的张量。
现在说到另一点。并非所有的客观利率,甚至是众所周知的利率,都是李氏衍生品——我已经说过很多次了,所以再强调一次也无妨。对于李氏导数,上面的张量A必须是物体运动的某个质点上的变形梯度(你可以根据自己的喜好调整术语)。如果你以jaaumann速率为例,在任何时刻由物质自旋场产生的旋转张量场不必对应于物体任何运动的变形梯度-事实上,旋转张量场,如果在物体上不均匀,就不能对应于变形梯度-这是一个相容问题。
亲爱的阿米特:
谢谢你的评论。我应该说,所有众所周知的客观应力率都与柯西应力对速度的李氏导数有关(或者是它的不同表现形式)。上下指标不能与李氏导数交换因此你不会得到相同的张量;你是对的。
亲爱的阿米特和阿拉什:
非常感谢大家的评论。我同意你们两人的看法,这两种方法是等价的。他们只是把许多公式写成不同的形式,这可能会造成混淆。这里我采用了双框架的方法。我应该明确说明这两种方法。我将返回这些笔记并更新它们。
我喜欢这个,谢谢
感谢Zhigang, Arah和Amit的精彩讨论。我想我们在语义学上涉猎得太深了,所以我想提出一些我自己的观点。
虽然我知道柯西定理定义的点上所有牵引的集合不构成向量空间,但切线是向量,因为它们存在于R3中并以向量的形式变换。
Arash关于变形梯度不是变形梯度的观点似乎取决于梯度算子的定义。如果用逆变基向量(切基向量的倒数)在广义环境下定义梯度,那么F仍然可以被定义为变形图的梯度。
最后,对于框架无关,我在课堂上介绍了两种观点,但像Arash和Amit一样,很快就会用活跃的观点来运行。从概念上讲,学生们更容易直观地看出刚体运动不应该改变物体的应力或应变能密度。
亲爱的维琪:
谢谢你的留言。
变形梯度是否为梯度不是一个语义问题。这不是一个很重要的问题如果你用标准结构在R^3中做任何事情。然而,在更一般的上下文中,标量的微分1形式和梯度是两个非常不同的对象。例如,本质上,你可以在任意曲线上对1-形式积分,但在曲线上对梯度积分通常没有意义。这两个对象之间的关系是用度量来建立的。标量的导数(或外导数)不需要度规,而梯度显式地依赖于度规。换句话说,用不同的度量来装备你的空间你会有不同的梯度。变形梯度是变形映射的导数,无论你在参考配置中选择什么度量,它总是相同的对象。在经典连续介质力学中,你假设你的参考构型(无应力)是欧几里得空间,但情况并非总是如此,在残余应力存在的情况下,你可能想要使用一个非平凡的材料度规。
乔,
显然,1型向量和(切线)向量在总体上是不同的。然而,我认为在这个讨论中缺少的是一个精确的定义,首先是你所说的梯度,其次是你所说的“变形梯度”。没有这些定义,人们就不能作出精确的陈述。
例如,Marsden & Hughes以及Abrahamson, Marsden & Ratiu认为函数f的梯度是对象grad(f),使得对于所有向量v = df(v),其中<,>是切空间上的内积配对,df是微分1形式。在这个意义上grad(f)是一个向量。然而,这远不是普遍现象。例如,Schutz将函数f的梯度定义为微分1形式df,其他许多作者也是这样做的。因此,了解梯度的定义是有帮助的。同样,你认为“变形梯度”的定义到底是什么?
了解这两点是进行有说服力的讨论所必需的。
桑杰
亲爱的桑杰,
根据Schutz,标量函数f的梯度是一个协矢量df (1-form),当作用于矢量v时,给出f在v方向上的方向导数,即。但是在连续介质力学的情况下如果我们假设Φ(X,t)是从参考位形到空间位形的映射那么F=∂Φ/∂X是从参考位形到空间位形的切空间的映射。换句话说,它是从参考构型中P的邻域到空间构型中P的相切空间的映射。
Mohsen
亲爱的桑杰:
谢谢你的评论。我所说的函数的梯度就是你们从那两本书中引用的。改变内积(度规)你会得到不同的梯度。我也同意这些定义中的许多并没有被普遍接受。
关于变形梯度,我完全按照Marsden和Hughes的定义来定义:给定参考构型和当前构型的坐标图{X^A}和{X^A}, F^a_A = \偏X^A / \偏X^A。你可以把变形梯度想象成一个向量值为1的形式。我所说的不是梯度是指1-form部分(参考构型中的腿)。该对象(变形梯度)不受度量选择的影响G在参考配置中。所以,我认为“变形导数”会更合适。但是,我仍然使用公认的术语,并将其称为变形梯度,知道改变材料度量F不会受到影响。
亲爱的乔,
这里我们讨论的是向量场的梯度,比如Φ(X, t),当然不是标量函数的梯度,比如f。这是完全不同的,对吧?在后一种情况下,我们有f沿v的方向导数,但在前一种情况下,我们处理的是[Φ,v]或Φ (grad_v Φ)的协变导数,这些都不同于f =∂Φ/∂X。那么问题是我们如何把这些联系起来?
亲爱的Mohsen:
变形梯度是一个两点张量。环境空间中的部分是一个矢量,我们在这里不担心它的“梯度”。但你是对的,它的空间“梯度”应该用协变导数来定义(如果需要的话)。要定义变形梯度,我们只需对变形图求导即可。这个映射作用于参考配置中的一个向量,并给出环境空间中的一个向量,在这种意义上是一个量值为1的形式。您可以通过使用度量和类似于标量定义(参考)梯度(这是我试图说明的一点)来使参考分支(1-form部分)成为矢量。重要的一点是:变形梯度不依赖于任何度量(参考或空间)或连接。它只是变形图的导数。
如果你同意马斯登和休斯的定义,那么我同意变形梯度不是一个合适的术语。F映射两个切线空间之间的向量,因此需要是一个${1 \choose 1}$张量,根据马斯登梯度的定义,它不可能是变形梯度(给定所涉及的张量腿)。但是,如果您接受另一种常见的定义,那么它就可以工作。
我想在第一点说明牵引力是矢量。输入错误。
”虽然我知道柯西定理定义的点上所有牵引的集合不构成向量空间,但牵引是向量,因为它们存在于R3中,并以向量的形式变换。”
阿拉什,我得先消化一下你的解释。谢谢你的讨论。
我很高兴你发表了这个评论。我回去更仔细地看志刚的笔记。假设给定四面体上的均匀拉力我们不能简单地看拉力的矢量和;我们必须把每一个都乘以相应的面积。在他的笔记第18页,志刚考虑了一个平面区域,并将引力定义为作用在该表面上的力除以其面积。这不是牵引力的正确定义;这只是作用在表面上的平均牵引力。给定一个点,从一个包含该点的小区域开始,并将这个表面缩小到感兴趣的点,牵引力是力的极限除以面积。在人体中,牵引力场取决于位置和N(单位法向量)属于单位球面。
准确地说,力是一种形式(当与速度配对时,它会给你力量,一个标量),但使用欧几里得度量可以考虑相应的向量。现在固定一个点和经过它的平面(即固定单位法线)N),此时所有牵引的集合是一个向量空间。为什么?因为满足向量空间的所有性质。特别地,给定两个作用于同一点的引力,它们的和也是该点的引力。
这里混乱的根源是什么?我们习惯于将向量从一点移动到另一点,然后相加。这种操作是在本科刚体平衡静力学中第一次学到的(在静力平衡中作用在刚体上的所有力的总和必须是零矢量)。注意,这与力是否为矢量无关。在物体上固定一个点,作用于该点的所有力在标量乘法和向量加法下的集合就是一个向量空间。
现在要把作用于两个不同点的两个向量相加需要更多的结构。可以考虑沿曲线平行移动一个矢量。这个操作通常是路径相关的,因此没有很好的定义。然而,在平坦空间(零曲率)中,它变得很好定义。这就是我们在经典力学中所做的;我们使用欧几里德空间的标准平行移动把所有的力移到一点,然后加起来。
关于你的评论“…柯西定理定义的某一点上所有牵引的集合不构成向量空间…”,1)牵引不是通过柯西定理定义的;柯西定理告诉我们,牵引矢量对单位法线的依赖N是线性的,即存在二阶张量(柯西应力σ)这样t=σ.N.2)正如我刚才提到的,不动点处的牵引集确实是一个向量空间。
总结:1)我应该收回我之前所说的:“牵引矢量”是一个非常好的术语(但“变形梯度”不是)。2)志刚在笔记中提到的牵引力是不正确的。然而,应该强调的是,人们不应该考虑在不同的点上增加牵引力,在这种意义上,力和牵引力是非常不同的。
亲爱的Vicky和Arash:非常感谢你们的评论。我猜你们都在看草案日期为2014年12月2日.这是我在第18页和第19页上写的文字:
“牵引.考虑一个面积为a的平面区域,垂直于一个单位向量n.作用在平面区域上的是一个力f.一般来说,力有法向分量和切向分量。定义牵引t用作用在平面区域上的力除以该区域的面积:
t=f/一个。
物体处于均匀状态。牵引力与区域的形状和面积无关,但取决于方向n这个地区的。例如,对于处于拉伸状态的口香糖,不垂直于轴向的平面将同时具有法向和剪切拉力。
牵引力通常被称为矢量。这种说法是错误的。作用在不同平面区域上的牵引力形成一个集合。然而,这个集合不是一个向量空间。引力不服从矢量规则:作用在两个平面区域上的引力之和,一般不会给出作用在另一个平面区域上的引力。
亲爱的Arash:关于你的评论“这不是牵引力的正确定义;这只是作用在表面上的平均牵引力。”就像我写的,物体处于均匀状态。这种对牵引力的定义是正确的。对于处于均匀状态的物体,引力只与平面区域的方向有关,而与平面区域的位置无关。
亲爱的Vicky和Arash:你们似乎都反对“这个称号是错误的”这句话中的“错误”这个词。但你们都同意以下说法:“作用于不同平面区域的引力形成一个集合。然而,这个集合不是一个向量空间。引力不服从矢量规则:作用在两个平面区域上的引力之和,一般不会给出作用在另一个平面区域上的引力。这些陈述说明了我认为将牵引力指定为矢量是错误的。
在笔记中,我接着定义了重音T作为将平面区域的面积矢量a映射到作用在平面区域上的力的函数:
f=T(一个)。
所有平面区域的面积向量的集合形成一个向量空间。力的平衡表明作用在所有平面区域上的力的集合构成了另一个矢量空间。注释显示了函数T是从一个向量空间到另一个向量空间的线性映射。因此,应力T是一个张量。
用上面的方程除以面积a,得到
t=T(n)。
这个方程对所有方向的平面区域都是正确的。然而,垂直于各个平面区域的单位向量集合并不构成向量空间。作用在各个平面区域上的一组牵引力也不起作用。因此,方程t=T(n)不是两个向量空间之间的线性映射。
相比之下,方程f=T(一个)是两个向量空间之间的线性映射。我喜欢这个方程。你呢?
也许我应该坚持这样一个事实:作用于所有平面区域的牵引集合不会形成一个向量空间。调用t如果你同意一个向量违反了向量运算的基本规则,那么它就是好的。事实上,我们称之为n一个向量,即使单位向量的集合不能构成向量空间。
Arash:当然我同意你的说法“现在固定一个点和一个经过它的平面(即固定单位法向N),在这一点上的所有牵引的集合是一个向量空间。”但在使用方程时,我们并不局限于固定方向的平面区域t=T(n)。该方程适用于所有方向的平面区域。
我同意,如果你假设物体处于均匀的受力状态,那么牵引力只取决于单位法线N你可以简单地把力除以面积。但是你为什么要把自己限制在这种特殊的情况下呢?对于处于任意受力状态的任意物体呢?但我认为这不是主要问题。
作用在不同平面区域上的引力形成一个集合。然而,这个集合不是一个向量空间。引力不服从矢量规则:作用在两个平面区域上的引力之和,一般不会给出作用在另一个平面区域上的引力。这里你首先定义一个集合,然后论证它不是线性空间。很好。但是你定义的集合没有物理意义,据我所知,在文献中没有任何地方提到牵引力是一个矢量,在你定义它的意义上。
给定一个点x单位法线N,我想我们都同意牵引力取决于双方,即。t=t(x,n)。现在我们可以加上t(x,n1)和t(x,n2)吗?答案是否定的,我完全同意你的观点。把这两个量相加是完全没有意义的。然而,如果你解决了这两个问题x和n,然后是set {t(x,n)}是一个向量空间。这就是人们所说的牵引是矢量的意思。柯西定理说t(x,n)=σ(x)。n这σ(x)是一个二阶张量。你是正确的,所有单位向量的集合(单位球)不是一个向量场。然而,柯西应力是一个线性图,在方程中t(x,n)=σ(x)。n,σ(x)作为一个地图被限制在单位球。
嗨乔,
你在上面给志刚的回复中说:“如果你两者都解决了x和n,然后是set {t(x,n}是一个向量空间。”
我不太明白。假设应力状态是固定的——假设存在一个特定的静态(与时间无关的)应力场。修复x意思是固定兴趣点。修复n意思是固定无穷小数学切割的方向。现在,如果这一点的应力状态是固定的,那么很明显t(x,n)也是固定的。如果是这样,它如何构成整个空间?…我错过了什么?或者你的意思是说集合只有一个元素?
最好的
——特
(E&OE)
谢谢你,Ajit,这个清晰的问题。我会用它来传授思想。
亲爱的特:
谢谢你的好问题。修复x和n,t(x,n)是向量空间的一个元素(对我们来说是三维的)。这并不意味着底层向量空间只有一个元素(还要注意,牵引力通常也取决于时间)。也许下面的例子会使这一点更清楚。让我们考虑物体的运动和速度场。我们都同意,在每一个物质点上,速度是一个矢量(在一个固定点上)x速度v是该点处切空间的一个元素,这是一个三维向量空间)按照志刚的观点,有人可能会说速度不是矢量,因为如果你把两个不同质点的速度相加,它不会得到另一个质点的速度。这是对的,但是把不同点的速度相加,就像试图把作用在不同方向上的引力相加一样毫无意义。在欧氏空间中有意义的是添加线性动量向量。考虑一个小体积元dv乘以速度v质量密度,然后加上所有这些向量vDv(积分)就得到了总线性动量向量。现在这个矢量必须等于作用在物体上的总力(线性动量平衡)。
还要注意,当你考虑一个叠加的骑体运动(或者像志刚在他的笔记中提到的坐标变化)牵引力是固定的x和n像矢量一样变换(也许这就是Vicky所指的)。
…嗯…我的意思是,讨论这两个向量的行为本身x和n它假定有一个嵌入向量空间是由一些基向量张成的,比如说三个笛卡尔基向量,然后,对于给定的应力状态,拉力t它是一个向量,简单地说,它是组件在嵌入空间旋转下服从余弦定律,即使t它本身,作为数学对象,保持不变(当然,正如你所指出的,它也遵循平移不变性)。
现在,对于定义嵌入空间的固定框架,对于给定的应力状态,向量t是唯一的,因此不需要使用集合符号。我就是这个意思。在连续统假设下,嵌入向量空间确实包含无穷个牵引向量(在不同的点上在不同的方向上),因此可以使用集合符号来表示嵌入空间.但是修复x和n固定向量函数的值t,因此你不能说:“如果你两者都解决了。x和n,然后是set {t(x,n}是一个向量空间。”我想你上面写的东西有个小错字。不管怎样,事情已经解决了。
另一方面,志刚的笔记需要稍微澄清一下,以区分嵌入空间中某一点固定的平面区域(或数学切割)与同一空间中不同点的平面区域。
顺便说一句,如果添加线性动量(在一个物质点)是有意义的,那么速度(在同一物质点)也应该如此。
顺便说一句,除了时间(你考虑的),还有一个案例应该有助于彻底解决这个问题:你可以添加两个不同的牵引向量x和n是固定的。设想一根1D杆在轴向压力1mpa的情况下,然后再增加10mpa的压力。现在,这样说很有意义:t(x1,n1) =t1(x1,n1)+t2(x1,n1)。
顺便说一句,我非常感谢你在这篇文章中对1-form,梯度以及为什么变形梯度不是矢量的澄清。
我刚刚提到这部分在我的本科班有限元去年,但没有能够提供任何解释在飞行-毕竟,这是一个入门课程的线性有限元,所以,我自己没有准备好这部分。当时在讲课的过程中,这个问题正好打动了我,尽管我一时想不起它的确切逻辑。有了你明确的答案,我想今年我应该能做得更好——我的意思是在UG班。去年,我只是告诉他们,我已经不再在方程中出现的每一个\nabla上使用\vec{},就这样,然后就转移到教学大纲部分来完成:). ...无论如何,如果你能抽出一些时间写一个小纸条/纸(比如说,给ASEE),在一个典型的工程ug可以理解的层面上澄清这个问题,我会很高兴的…
不,我的上述回复(主要是最后两段)表明我对这些事情仍然很困惑。
让我承认我的困惑,并要求您在我专门为解决矢量,梯度,变形梯度等问题而创建的新帖子中回答问题,在这里[^].
[对管理员:顺便说一句,由于发帖错误(网络连接错误,页面重载等),我最终在帖子的底部发布了这个回复,但我脑海中困惑的回复是上面的那个。很抱歉重复。]
齐次态的意义.我遵循连续介质力学中熟悉的分工。我们希望研究一个经历非均匀变形的物体。我们把身体分成许多小块。每个小块在时间上经历一系列均匀变形。流变模型回答以下问题:给定应力的历史,我们如何预测应变的历史,或者反过来?身体的不同部分通过变形的兼容性、力的平衡以及能量和物质的守恒来交流。这些笔记关注于均匀状态,因为常用的流变模型依赖于均匀状态。参看课程开始笔记的第一页劳动分工.
牵引力违反向量法则.你和我在一个基本事实上是一致的:两个平面区域上的拉力之和不会给出另一个平面区域上的拉力。因此,方程
t=T(n)
不能将一个向量空间映射到另一个向量空间。
这一事实本身并不引人注目。但是我们知道压力T是一个张量,它应该是两个向量空间之间的线性映射。这两个向量空间是什么?写
紧张的状态T将平面区域的面积矢量映射到作用在平面区域上的力。这个方程表示压力状态T是两个空间之间的地图。一个向量空间是各个平面区域的面积向量的集合,另一个向量空间是作用在各个平面区域上的力的集合。
在注释中,我展示了这张地图f=T(一个)是一张线性地图。看到这个三角形了吗?笔记第20页.
所有向量和张量之母,以及它们的父。这些注释的一个更大的目的是表明分离的向量空间是流变学中使用的所有向量和张量的母体。纸条上还写明了他们的父亲。
(这篇评论的标题是为了搞笑。对于那些不熟悉的人,可以试试《周六夜现场》的一些老剧集,其中有一段“杰克·汉迪的深刻思考”。
Hi Zhigang:我承认我没有读过你关于牵引业务的笔记部分,所以严格地说我不知道我在说什么,但我已经收集了一个很好的想法,关于“牵引不是矢量空间”的讨论是什么问题。所以,让我设一个潜在的稻草人。我们也刚刚在这里上完课,所以我心情很好,我不介意它被击落——这就是目的。下面我要说的每件事都要以轻松的方式来对待——我们太严肃了,假期即将到来,所以是时候来点轻松了(在我的“定理”之后会有更多的内容)。
定理:连续介质力学中的牵引力形成一个矢量空间。
注释1 -我的定理太深奥了,不能发表。
注二:我明白为什么志刚说的总和对两个平面区域的牵引力不会对另一个平面区域产生牵引力。我相信连续介质力学所讨论的牵引力的矢量空间并不局限于一个物体上的一点和一个法向对于接触力的特定分布。它是所有可能的点,所有法线,所有可能的物体在所有可能的接触力分布下产生的所有牵引力的集合。
证明:取点x_1处的牵引矢量,对于法向n_1到x_1。这是一个有方向和大小的箭头,叫它t_1。在点x_2处取另一个牵引矢量,对于法向n_2到x_2。这是另一个有方向和大小的箭头,叫它t_2。现在我们把这两个箭头相加,就像向量相加一样。现在取合力箭头,记作t,取任意一点x_3(可以是x_1,或者x_2)选择一个任意单位向量,记作n(可以是n_1或者n_2),建立一个物体,它的平面经过x_3,法线方向为n,面积为a,在这个面上画一个合力(矢量)At的力分布。所以我构造了一个平面区域,它的牵引是牵引向量t_1和t_2的和。
在这个意义上,我们也可以理解Arash的牵引向量空间的例子,当点x和法向n是固定的。考虑在x点面上所有可能的接触力分布所产生的牵引力。
我看不出这个论点有什么错。你呢?
最后,志刚——随着寒假的临近,你似乎变成了一个严厉的工头。如果我没记错的话,去年的这个时候你也开始了这个关于矢量空间,矢量空间的讨论,包括矢量,协矢量,梯度和导数等等,我很喜欢并参与其中,但我不得不思考,因为你质疑了基本原理这对我们所有人来说都是件好事。理想情况下,在休息期间,我只想和我的学生一起完成我们已经完成的思考和需要写下来的事情,花点时间和亲人在一起,通常是植物人。我不想担心线性代数,柯西和欧拉是否错了,至少在这段时间。
所以我建议就机制问题进行投票——从12月15日万博manbetx平台到1月5日,基本原则不会受到质疑。
正如你所看到的,我已经完全疯了,所以我将在这里结束。
谢谢你的评论。
问候,
“颠簸的飞机让我们头晕。我们能感觉到飞机相对于地面的加速度。”然而,敏感的程度当然取决于我们的抗拒程度或适应程度——取决于我们的构成体系。加速引发了反应。就像旋转的弹簧一样。的数学根据牛顿决定论,加速度是由位置和速度决定的——牛顿定律。这从粒子延伸到连续体,其中加速度作为力场进入方程,应力由相对位置和/或相对速度决定(即由应变和/或变形率决定):均匀的加速度场不会对下落的球施加应力,而重力会使静止的球变形(通过边界条件)。因此流变学只减去不引起相对变化的运动——刚体运动。
关于李导数:每一个客观速率都是柯西应力的回拉变换的时间速率的向前推进。因此,所有客观利率都是李氏衍生品。根据所使用的观测帧,回拉和向前推变换可能与物体的运动有关(如在对流速率的情况下,与对流帧有关)或与抽象帧的运动有关(如在约曼速率的情况下,回拉产生旋转应力)。
关于梯度:实际上,通常所说的变形梯度实际上是运动的导数。导数是函数变分的线性部分——一个线性算子。换句话说,定义导数只需要一个向量空间的结构和一个极限过程,一个拓扑。当此拓扑由与标量积相关的度量生成时,线性算子/泛函获得具有特征向量-梯度的点积的表示。
关于广义卷积导数(w.r.t.,一个任意的,可逆的,与时间相关的两点张量函数,比如a (t)(不仅仅是F(t)或F^-1(t)),关于时间的卷积坐标系或协坐标系)和李氏导数之间的区别——也许你错过了重点。李氏导数,从定义上讲,需要从流形的流动开始。而卷积导数则不需要,只需要fn。A(这是一个逐点操作)。并不是物体上所有的A场都能与物体的某些流相容。因此所有李氏导数都是广义的对流导数,而不是相反。
有人可能会说,那又怎样。给定一个A(.)函数在给定的物质点上,比如X,我总是可以为物体构造一个抽象的均匀运动,使得A(.)是该运动的空间均匀变形梯度。那么这个运动的广义卷积导数就是李氏导数。除了以下两点需要考虑之外,这几乎已经完成了。
1.对于物体的任何运动,物体上的任何李氏导数场都是一个广义的共轭导数场。任何广义的共轭导数场都不一定是一个李氏导数场,而不是一个物体的特定运动(或流形的流动)。
2.更重要的一点是——在一个流形上,比如说一个壳,谈论均匀变形是没有意义的,因为来自两个不同基点的变形梯度是无法比较的——它们的域是不同的。因此,构建具有“均匀时间均匀变形梯度”的抽象运动,就像我之前做的那样,将不是一个可操作的想法。
总之,问题是广义卷积导数是流形上的点态概念。李氏导数几乎就是这样,除了它的定义中出现的流动。
我认为,我们所有人(尤其是可能正在阅读本文的学生)已经在这个衍生品业务上花费了足够的电子墨水(即能量)来形成我们自己的观点。我在这里签字。
亲爱的志刚,非常感谢你做这个有趣的工作。我非常喜欢你指出张量和它们的分量之间的混淆此外,我还想提一下第二点,这一点经常是我所任职的那个班级的困惑的根源。即:在不同时间测量的组合参数的帧无关性。例如,对于您在公式
在这里,我们必须考虑到我们的调查对象的部分是在不同的时间(d_x在t_2, d_x在t_1)确定的。因此,我们需要验证它们在那些单独的时间里是与帧无关的。通过一般Q的与时间无关的关系不足以满足这个标准。该准则必须根据“测量”或“测定”的实际时间应用于每个单独的组分。
再次感谢您对这个话题的详细处理,我希望您在课堂上进行有趣的讨论Patrick
亲爱的中国,
非常感谢你做了这么有趣的工作。我非常喜欢你指出的张量和它们的分量之间的混淆。此外,我还想提一下第二点,这一点经常是我所工作的班级的困惑的根源。即:在不同时间测量的组合参数的帧无关性。例如,这可能对你在方程中使用的定义很有趣"[…]A ' _{ab} = Q_{ai} Q_{bj} A_{ji}它们都意味着张量与坐标系无关。[…]”
在这些定义中,Q通常适用于总A,但如果A由不同时间确定的成分组成呢?这样的例子可以是变形梯度(与上面讨论的定义无关):假设两个观察者在t_1处测量一根钢筋的长度l_1。然后,拉伸棒,两个观察者在时间t_2测量新的长度l_2。对于两个观察者来说,长度和l_2/l_1的比率是相同的,它们将是帧无关的(当然假设速度<<光速,正如你在介绍中所说的)。现在,假设我们用d_x和d_x的极限来代替l1和l2,即时间t_2的“实际”构型和时间t_1的参考构型的空间微分,它们都是在三维空间中定义的。张量d_x/ d_x要求以下关系是无关帧的:(d_x/ d_x) ' = Q_ai(t_1) Q_(bj)(t_2) d_x/ d_x。在这里,我们必须考虑到我们的研究对象的部分是在不同的时间确定的(d_x在t_2, d_x在t_1)。因此,我们需要验证它们在那些单独的时间里是与帧无关的。通过一般Q的与时间无关的关系不足以满足这个标准。该标准必须适用于每一个单独的成分相对于“测量”或“确定”的实际时间。更一般地说,如果我们有一个表达式E,它依赖于n个向量,a_1,…,a_n,在n个不同的时间,t_1,…,t_n测量,帧无关性的准则可以修改为(忽略指标)E(“_1,…,“_n”)= E (Q (t_1) * a_1,…,Q (t_n) * an)。类似的表达式也适用于同时测量更高阶张量的E (Q(t_1) * A_1 * Q(t_1)^T,…)。
然而,在文学中似乎并没有达成一致,因为一些教科书对这个话题的看法非常不同,分别使用了不同的客观性或框架冷漠的方法/定义。下面的工作考虑了时间依赖性
I.-S。刘。变形梯度的变换性质在一个框架的变化。[j] .力学与工程学报,2009,31(1):393 - 398。
p . Haupt。连续介质力学与材料理论。施普林格,2002,然而,许多人在定义时忽略了这一点(尤其是教科书,这会使教学更加困难)。
再次感谢你对这个话题的详细论述,希望你们在课堂上进行有趣的讨论
帕特里克
PS:我很抱歉重复发布,编辑第一次错误地转换了html编码。不幸的是,我无法自己纠正它,也许管理员可以删除第一个版本。