线性代数对力学的许多方面都有重要意义。几年来，我一直在使用希洛夫著．但这本书可能不适合推荐给学生，这取决于他或她以前的经验。在StackExchange Mathematics上，有几个讨论线性代数教科书的优秀线程。特别提出了建议三个层次的线性代数教材．你有什么建议吗?
亲爱的中国:
关于这个主题的经典是:
Halmos，有限维向量空间，施普林格，1987。
我在乔治亚理工学院教授应用数学课程时使用了本书的部分内容。
A. W. Naylor, G. R. Sell，工程与科学中的线性算子理论，施普林格,2000年。
吉姆·诺尔斯写了一本更实用的书，可能更适合初学者。
http://www.amazon.com/Linear-Vector-Spaces-Cartesian-Tensors/dp/0195112547
问候,乔
亲爱的阿拉什:非常感谢。我有哈莫斯和诺尔斯的书，我都喜欢。我也喜欢Gelfand的书诺尔斯强烈推荐。我不知道内勒和塞尔的书。的目录亚马逊书店的这本书看起来很有趣。你和你的学生喜欢这本书吗?
Gelfand的第四章专门讨论张量。他没有使用分量来定义张量，而是使用一个多线性函数，定域是向量空间及其对偶的乘积。我喜欢用线性映射来定义张量的一般方法，但我不确定多线性函数对于我们的目的是否足够普遍。例如，应力张量是一个线性映射，它将面积矢量发送到作用在面积上的力。这个映射的定义域和值域是两个不同的向量空间。
你怎么看?
是的，我喜欢这本书。我在加州理工学院读研究生的时候读过这本书。
我认为这个定义很好，很普遍，即使对于压力也是如此。1)如果你认为柯西应力是一个张量。这是一个线性映射，给定一个单位向量(法向面积元素)，给出作用在该区域上的力。力是一个对流，它可以用平凡的欧几里得度规(甚至在更一般的空间中)的向量来识别。2)如果你考虑第一个Piola-Kirchhoff应力，它是一个两点张量。它是一个线性映射，给定参考构型中的一个单位向量(法线指向一个未变形的区域元素)，就可以得到作用在变形区域(环境空间中的一个对流体)上的力。这是一个两点张量，显然与变形梯度共轭。
同样，“域”和“范围”不需要相同。
亲爱的阿拉什:听起来你和我的想法是一样的。我刚教完一门固体力学的课。我的笔记如上所述，描述标称应力和真实应力。因此，标称应力是将参考状态的面积矢量发送到作用于当前状态的面积上的力的线性映射。定义域和值域是两个不同的向量空间。
亲爱的志刚，我对iMechanica上关于线性代数的讨论很感兴趣。万博manbetx平台虽然我没有任何有意义的贡献，除了已经说过的，我想做一本书推荐。
当我作为一名年轻的助理教授加入休斯顿大学时，刘易斯·惠勒(Lewis Wheeler)曾经教我们研究生必修的数学课程(后来我也教了这门课)。他非常相信线性代数的深度教学，也成功地让我相信它对机械师的重要性。万博体育平台他在数学课上参考了几本书，但当我向他要一篇基础课文时，他推荐了以下几本书:这本书他经常用:《正确的线性代数》http://www.amazon.com/Linear-Algebra-Right-Undergraduate-Mathematics/dp/..。
我很高兴在你的帖子上看到，还有一本书的书名正好相反!我很久以前读过《线性代数》，非常喜欢。如果我没记错的话，它并没有涉及到张量，但它以一种既严格又容易理解的方式列出了所有的基础材料
在一个最近出版的， Jeevanjee写了一个简短的章节(3.4)，涉及两个不同的向量空间，但以一种非常具体的方式。我有个问题。我们能否简单地说，从一个或多个向量空间到另一个向量空间的任何线性映射都是张量?也就是说，线性映射和张量是同义词。
我没读过这本书但张量是多线性映射。你当然可以有不止一个向量空间。连续介质力学中的一个例子是“变形梯度”，这是从参考位形中的向量空间(参考位形中给定点X的切线空间)到环境空间中的另一个向量空间(环境空间中X图像的切线空间)的线性映射。这是两点张量的一个例子。
亲爱的阿拉什:非常感谢。如果张量与向量空间之间的线性映射相同，我们也可以去掉“张量”这个词，或者只用“张量”这个词来简写“向量空间之间的线性映射”。你也这么想吗?
是的，这是正确的。
你上面说的是正确的，除了我想补充的是，所讨论的空间是有限维的。无限维空间上的有界线性算子与有限维空间上的张量很接近，但即便如此，它也有点不同。
我上传了几组唐·卡尔森笔记-我不得不使用优化的pdf文件大小太大，否则。如果你看一看a .4章，多线性方法和把张量看作是f-d向量空间和同一空间上的高阶张量空间之间的线性变换之间的联系都讲清楚了。
如果有兴趣，我也可以上传剩下的笔记。对于初学者来说，这绝对是美丽的东西，至少改变了一个人的生活....
亲爱的阿米特:谢谢你上传卡尔森的笔记。我已经下载了。
亲爱的阿米特:我经历了卡尔森笔记你发到网上的。大师的精彩笔记!非常感谢你的好意。你能把剩下的笔记寄出去吗?我渴望研究它们。
在A4章中，Carlson在n维的线性空间上定义了m阶张量。他给出了几个定义。根据一个定义，张量是一个多线性函数，它将线性空间及其对偶空间中的几个元素映射到一维线性空间中的一个标量。
顺便提一下，这个定义也被盖尔芬德并通过Jeevanjee．
我觉得这个定义对机械师来说太严格了。万博体育平台我们通常使用线性映射将元素映射到不同的线性空间中。例如，应力是一个线性映射，它将面积矢量映射到作用在该区域上的力。面积向量是线性空间中的一个元素——也就是说，两个面积向量的线性组合是另一个面积向量。力是另一个线性空间中的一个元素。这两个线性空间是不同的:我们没有形成面积矢量和力的线性组合。
正如在与Arash的讨论中提到的，我觉得我们应该简单地将张量这个词等同于短语“将几个线性空间中的元素映射到另一个线性空间中的一个元素的多线性映射”。短语很长，但概念很简单。
这个更一般的定义将迫使我们为每个线性空间单独选择基。当然，在某些情况下，我们可以使不同线性空间中的基底重合。
这个定义还允许映射中涉及的不同线性空间具有不同的维度。
不确定这个更普遍的定义是否能被人们接受。
志刚:我认为在力学中广泛使用的(高阶)张量的定义是A 4.1.1。而不是映射到r的多线性函数，使用张量的一个特点是定域和上域不是相同的向量空间....
所谓的线性变换(例如Carlson a 2.4)具有你所寻求的普遍性;事实上，甚至没有维数的概念需要与定义域和上域联系起来，这在力学中也是有用的，就像线性微分算子一样。张量使用了更多的结构，因此在我看来，换个名字是可以的。
不管怎样，最后，这些都是定义，重要的是要充分理解它们，用它们做一些合理的事情，而不是太多的麻烦......
我引用卡尔森指出：
"Vn是一个n维的内积空间。
A4.1.1定义。Vn上的roder m张量是Vn上的线性函数，它将Vn的元素映射为(m - 1)阶张量。
我们取0阶张量为标量;即R的元素，视为线性空间。1阶张量是Vn到R上的线性函数;也就是线性泛函。”
我觉得这个定义对机械师来说太严格了。在这个定义中，单个线性空间Vn占据了一个特殊的位置。例如，定义不包括有两个不同的向量空间U和V的情况。
特别地，这个定义不允许应力是张量。使用力平衡，可以表明应力是一个线性映射，它将面积矢量映射到作用在该区域上的力。面积向量是向量空间中的一个元素，力是另一个向量空间中的一个元素。这两个向量空间是不同的:我们没有形成面积向量和力的线性组合。
志刚:我可能误解了你想表达的观点，也可能没有。如你所知，在经典连续介质力学中最常用的张量是2阶张量它从_3到_3取向量，这就是我们认为应力张量所在的空间。在你上面说的，你想要定义域和上域的不同向量空间吗?然后，即使是1阶张量也允许它们是不同的。如果你认为定义域是笛卡尔积，它也可以用V_n来表示。
同意如果一个人非常挑剔，一个人可以说为什么和如何有效地写(当一个人选择这样做时)位置向量，速度，牵引力等，所有这些都是在一个3-d欧几里得空间(平移空间)的一些共同的基础上，把它们看作是同一个向量空间的成员;正是有了这个证明，应力作为二阶张量的经典定义才有意义。但我们都知道，这很好，我承认我没有认真考虑过这个问题。我相信要精确地做到这一点，就需要隐式地利用这些量的三维向量空间之间必然存在的同构。如果我没理解错的话，你更愿意把位置向量和速度看做是独立向量空间中的元素?
另外，我已经按照您的要求上传了Carlson的剩余笔记。自然地，线性动量与应力的平衡作为V_3到V_3之间的二阶张量，在那里被详细地计算出来。
此外，Hill的“Aspects of Invariance in Solid Mechanics”文章中关于连续介质力学的几页介绍性内容是对Carlson处理方法的完美补充。特别是，它在解释对流导数方面做得很好，对于没有流形微分几何背景的人来说。希尔再次利用了你可能不喜欢的识别(比如“公共背景框架”)。
亲爱的阿米特:非常感谢这次有益的讨论。你完全理解我，我相信我们是一致的。我对那些运转良好的事物感到满意，但仍然希望了解它们为什么会起作用。
跟踪可能证明这种做法正确的步骤可能是有用的。
假设我们采用向量空间的定义在线性代数中。这个定义涉及到一个数字域K和一个集合V，以及两个运算:V中两个元素的相加，以及K中一个元素和V中一个元素的相乘。向量空间之所以有用，是因为V中两个元素的线性组合也是V中的另一个元素。
我们希望将这个定义应用于物理对象，例如位移和力。我们都同意，我相信，这两个物体属于两个不同的向量空间。位移属于一个向量空间U，力属于另一个向量空间v。通过这些表述，我们的意思是，两个位移的线性组合是U中的另一个元素，两个力的线性组合是v中的另一个元素。在形成线性组合时，我们使用数场K中的元素，取其为实数。
为什么位移集是向量空间?我认为这是我们物质世界的一个模型。
但是我们的物理世界不允许我们形成位移和力的线性组合。如果我们尊重我们的物理世界和线性空间的定义，我们必须说位移和力属于两个不同的线性空间。
为什么力的集合是向量空间?我们也可以说它是我们物质世界的一个模型。
或者，我们可以把这个物理事实和其他物理事实联系起来。例如，我们可以从能量守恒定律开始，并试图找到一种方法来计算与空间运动相关的能量变化(即位移)。根据经验，我们发现存在一个线性映射，将U中的位移映射到一个标量，即能量的变化(即功)。我们称这个线性映射为力。因此，力是u对偶空间中的一个元素，剩下的，就像他们说的，是代数。
非常感谢你的上传唐·卡尔森的课堂笔记．他们使我想起了这个人，他的学识和善良。我给你的帖子加了一条评论。我已经下载了笔记，并将从中学习。
你好中国:对我来说,工作、力、位移的例子至少提供了一种方法看为什么传统的力学解释工作,因为底层向量空间的内积和很容易看到为什么力可以被关联到一个向量在同一空间。(甚至是身体上的,我可以感觉到立即推比的方向和大小的东西从一个抽象的对偶空间位移联系我)。
然而，另一个问题是，为什么传统力学将位置向量、位移、速度、面积向量、牵引力等都视为属于同一个向量空间(当物理上我们不能真正添加位移和速度时)，似乎无法通过表示定理对子性解决....这甚至是在线性变换......之前如果有人坐下来仔细研究了逻辑，这将是很好的.....这一定也与量纲分析有关，我想....
亲爱的Amit:非常感谢你让我们一直关注这个问题:“为什么传统力学能逃脱……”以下是由这个焦点激发的一些想法。
将物理空间建模为向量空间．我们的物理空间不是线性代数中定义的向量空间．然而，一旦我们在物理空间中选择一个点作为原点，我们就可以将物理空间中所有点的集合建模为实数场上的三维向量空间。这个向量空间的一个元素表示物理空间中一点相对于原点的位置。
我们在这个向量空间中再加一个结构:内积。因此，我们用3D模型来模拟物理空间欧氏空间．我们称这个向量空间为U。
很多人都讨论过这个物理空间模型。我们知道这个模型并不是我们物理空间的精确表示，但是我们将接受这个模型作为一个近似表示。
向量空间的基．因为U是一个向量空间，U中任意两个元素的线性组合仍然是U中的一个元素。我们可以选择U中任意三个线性无关的元素作为基。我们可以用内积来表示长度和角度。此外，我们可以在向量空间中选择三个标准正交元素作为基底。
力．我们讨论过力。如果我们愿意从能量守恒定律开始，那么力就是计算物理空间中与运动相关的能量变化的一种方法。具体来说，力是一个线性映射，将两个位置的差映射到能量的差。(如果变化是平滑的，并且两个位置彼此接近，则映射是线性的。泰勒展开。)
能量是一个标量，两个位置的差是一个向量，U中的一个元素。因此，力是另一个向量空间V中的一个元素，但U和V是对偶空间。正如这里所解释的维基百科页面双空格，我们可以为V选择对偶基，因为U是欧几里得空间，它的对偶空间V也是欧几里得空间。进一步，我们可以选择V的基与U的基重合。
速度．速度是位置之差除以时间变化量。因为时间是标量，速度的集合是另一个欧几里得空间。我们可以选择这个空间的基与美国的基相吻合。
电场．电场是一个线性图，它将位置的差与电势的变化映射在一起。Lke力，电场是U的对偶空间的一个元素。
还有别的向量吗?上面所有的例子都与位置空间u有关，那么一个与物理空间无关的向量呢?假设我们有另一个三维向量空间M。M中任意两个元素的线性组合也是M中的另一个元素。我们不希望利用M和U之间的任何关系，除非它们都是三维向量空间。
我们可以在M中选择三个线性无关的元素作为M的基，但是我们没有办法把M的基和U的基联系起来。
那么问题是什么呢?这里有一个可能的例子。假设我们已经发现了一个线性映射a，它将U中的一个元素映射到M中的一个元素。一旦我们为U选择了一组基，为M选择了一组基，我们就可以将a表示为一个有9个分量的矩阵。如果我们分别改变两个碱基，A的分量也会相应改变，就像A两点张量．如果我们愿意，我们总是可以选择用相同的方式改变两个基底，通过使用一个矩阵进行变换。这样，A的分量就会像常规张量一样变化。
真正的压力．在这种观点中，即使真应力也是两点张量，因为真应力是一个线性映射，它将面积矢量映射到作用于面积上的力。面积向量属于一个向量空间，力属于另一个向量空间。应力是由力的平衡建立的线性映射，与我们如何选择向量空间的基无关。按照惯例，我们选择使两个向量空间的基底重合。但是我们也可以，为两个向量空间选择不同的基底。碱基的选择没有物理上的影响。
总结．传统的力学通过一个惯例摆脱了它:使不同向量空间的基以相似的方式变换。
志刚:你在《Velocity》一文中提到“我们可以选择这个空间的基底与u的基底相吻合。”因为没有唯一的基底可以选择，在任何情况下，速度仍然是速度和位置，位置，在这个讨论的背景下，我认为这种情况也最好保留为一般的M情况，你们之后会讨论。
你要描述的线性映射A是我在之前的评论中提到的两个有限维等维向量空间之间的同构。对我来说，首先必须为每一对空间发现这样一个物理上有意义的映射。否则，有无限多的可以构建，因为物理学不关心惯例，即物理结果必须是不变的，因为惯例的选择，它需要表明，你在速度和位置向量空间之间的映射a的选择(a与任何空间中的基无关)，而我在相同空间之间的另一个映射a的选择保持了我们想要做的所有力学不变……或者，我看不到一个物理上有意义的线性地图，将每个可能的位置向量与相应的速度向量联系起来....即使我这样做了，我也不确定你或第三人会在多大程度上接受这是唯一的选择。因此，似乎证明映射A的不同选择的不变量可能是可行的方法，这需要一些仔细的推理，我可能不会在imechanica上打字，所以这告诉我，如果我应该进一步讨论这个问题，我最好集中精力，独处时认真思考，然后回来说一些有意义的东西……万博manbetx平台
在那之前，请代我向你致意
- - - - - -阿米特
亲爱的志刚和Amit:
谢谢你们有趣的讨论。只是一些想法:
让我们考虑一个非常简单的例子。在欧几里得三维空间中运动的粒子。位置矢量x(t)在任意时刻t可以写成关于笛卡尔基向量{我，j，k}。如果你现在微分xt相对于时间，得到速度v(t)具有关于同一基的分量{我，j，k}。我们把位置向量和速度向量看作存在于同一个线性空间中的向量。但是我们不能把位置向量和速度向量相加因为它们有不同的物理维度。
还要注意，当使用曲线坐标时，自然基将具有不同的物理尺寸，因此矢量的分量可能没有正确的物理尺寸，例如在球坐标中。在这里，我们必须使用所谓的物理组件。
如果这个粒子在一个弯曲的空间中运动，那么位置向量甚至没有定义。然而，速度是定义的，在任何给定的时间t，它位于环境空间的切线空间中x(t).因此，在这种情况下，甚至不能提出“位置”和速度向量相加的问题。
我们称它为点处速度的线性空间x五、利用能量或功率的变化率，速度和力是对偶的(同样，力和位移是对偶的，如志刚所述)。力存在于V的对偶空间中，即V*。这是一维空间或者说是协向量的空间。选择V的基，V*就有了自然的对偶基。一般来说，它们有不同的物理维度。在V和V*的元素之间存在一种自然的配对，这种自然的配对不需要内积(或度规)。内积(度规)在V和V*之间引起同构，即可以识别两个线性空间。注意，一般来说，这个等距从一点到点都是变化的。
给定两个线性空间V和W，同构是一个一对一到的线性映射。如果基于V指定映射，则映射是唯一定义的。这两个向量空间是同构的并不意味着你可以把V中的一个向量加到w中的一个向量上，在这种意义上，把力的线性空间和速度的线性空间相结合并不意味着你可以把两者相加。
我认为柯西应力是张量意义上的张量在卡尔森教授的笔记中使用了向量和协向量的同构。我们甚至不需要考虑力和速度的线性空间。柯西应力可以简单地用协向量基表示(而且显然是对称的)。然而，我再次同意Zhigang的观点，在力学应用中，我们应该在不一定相同的线性空间集合上使用多线性映射。最明显的例子是变形梯度和第一皮奥拉-基尔霍夫应力。
你好Arash:我想就你的评论说几句:
1.“我们认为位置向量和速度向量都是存在的向量同样的线性空间。但是我们不能加上a位置矢量和速度矢量，因为它们有不同的物理性质维。”
这就是问题的症结所在，因为这听起来像是一个矛盾。理想情况下，我们希望能够说，如果两个对象生活在同一个线性空间中，那么它们绝对应该是“可加的”，如果不是，那么它们就不属于同一个线性空间。
2.“如果这个粒子在弯曲空间中移动，那么位置向量甚至没有定义。”
我明白你的观点和背景，但我只是说一句“魔鬼代言人”，只要有一个良好的物理嵌入空间，一切都没问题。例如，三维空间中的二维壳层，当然，我们利用壳层上的位置向量做了很好的力学。
3.给定两个线性空间V和W，同构是一对一映上的线性映射。如果你以V为基础指定映射，那么映射就是独特的定义。两个向量空间同构并不意味着你可以把V中的一个向量加到w中的一个向量上力的线性空间和速度的线性空间并不意味着你可以把两个加起来。”
对于任何线性变换(至少在有限维空间上)，不管是不是同构，显然，知道它在基底上的作用就完全决定了它。然而，所有线性变换(在fd空间上)的这个性质显然不能唯一地选择它们中的任何一个。
利用同构的目的不是将来自不同空间的向量相加。我们的目标是只研究一个空间，并希望能够通过这个空间，利用同构所提供的识别，来研究与另一个空间相关的力学。
4.然而，我再次同意Zhigang关于力学应用的看法应与多线性地图的线性空间集合不一定完全相同。最明显的例子就是变形梯度和第一Piola-Kirchhoff应力。”
既然这只是我的个人观点，下面我就分享一下我的实际经验。我遵循了漂亮的非线性壳理论(Antman, Fox-Simo等)，做了一些理论，也在没有考虑多线性映射的情况下数值实现了一些理论。任何做过壳理论的人都会立即意识到，你必须通过考虑参考壳和目标壳上对应点的切线空间的根本不同来处理壳上的变形梯度，但我不认为这是使多线性地图观点成为力学应用的必要理由......它就是它，只是一个观点。
亲爱的阿米特:
谢谢你的发言。我想我主要想理解的是第一个评论(我非常同意你的其他评论)。我不确定这是不是解但是我们可以想到同一个线性空间的两个副本。换句话说，位置向量和速度向量存在于同一个线性空间的两个副本上。这意味着你甚至不能从数学上把两个副本中的向量相加。
在微分几何中，你可以清楚地看到同一线性空间的不同副本。给定一个n流形，任意一点的切线空间都是一个n维线性空间。同一个线性空间在不同的点上有不同的副本。这些线性空间都是同构的但是你不能从同一个线性空间的不同副本中添加向量。允许你这样做的额外结构是“连接”。当然只是一些想法。
嗨乔,
我当然同意你说的线性连接，但这把我们带入了流形的微积分而在这个讨论中，所有东西都在一个切线空间中
事实上，在我看来，这就是不同线性空间的大惊小怪真正开始起作用的地方，人们必须表明立场。例如，假设我们在线性代数中有很多麻烦，然后当我们必须做微积分时，我们采用线性动量的平衡，并开始从不同的切线空间中添加牵引向量(后者我非常乐意做，并且已经接受，我也不会在线性代数中麻烦)，那么在做代数时最初的麻烦是什么?我知道你在弹性协变化方面的工作，所以你似乎总是“小题大做”，我喜欢——(这是一个笑话，不要太在意)。
Hi Zhigang和Arash:
下面是一个我还没有完全检查逻辑一致性的想法:
我们取一个线性空间，比如3维空间，其中包含没有物理维度的物体。
假设我们现在有一组基本的物理单位。然后，我们适当地对感兴趣的3维物理向量空间中的每个元素进行无量纲化——位置向量、速度、面积向量、牵引力等空间。对于这些物理向量空间中的每一个，这种无量纲化行为在它们和无量纲向量空间之间诱导了一个映射(例如，DND映射)。
然后我们在无维空间上做线性代数和力学，在此基础上定义张量等。为了解释结果，我们返回，使用适当的DND映射到相关向量空间的逆。
DND映射可能是同构的-我没有仔细检查。但即使他们不是，这似乎是正确的物理选择。此外，对于所有可能的物理单元基本集的选择，都应该存在隐含力学的不变性，这仅仅是力学定律对基本单元选择的不变性。
也许这就是力学中我们将位置向量、速度、牵引力等放在同一个向量空间中的含义。
嗨,阿米特,
如果我理解正确的话，你的意思是让我们看看同一个线性空间的不同副本(使用DND映射)，每个感兴趣的量都存在于一个副本中。你怎么看?
是的，我就是这么说的。当然，这个讨论中需要思考的主要问题是副本应该以何种方式构造，因为有无限多种方法可以这样做，人们希望找到一种与我们在连续介质力学中通常所做的方法一致的方法，考虑到其结果的重要性，后者当然是合理的。
我发现DND映射的有趣之处在于，通过维度一致性，它们将不同的副本链接起来——它们不能完全从任意的同构中生成。
我找到一个旧的iMechan万博manbetx平台ica两点张量上的螺纹，如变形梯度和名义应力。在那个帖子里，我刚刚添加了一条新的评论来描述我是如何教这门课的。
亲爱的中国,
Map是一个动作。没人需要把张量定义为一个动作。它可以被定义为一个对象——类似于向量。没有地图就没有问题:)
Kosta
地图也是对象。在线性代数中，张量被定义为线性映射。请看下面的评论:线性代数错了．
更重要的是，我们机械师一直在使用线性映射来万博体育平台定义张量。下面是一些大家熟悉的例子:
也许你我用词不同，但我们的意思是一样的。我已经在我的笔记中描述了这些定义有限变形．
不完全是。您可以通过它们的操作来定义映射。对象由它们的属性定义。为了定义张量，你不需要将向量映射到向量。你可以通过它的分量的变换属性来定义张量(就像Levi-Civita所做的那样)。或者你可以把张量定义为二元，三合等的线性组合。它们可以用于地图，但它们的定义不需要地图。
亲爱的科斯塔:那好吧。请概述你是如何证明应力是张量的。
志刚，柯西应力被定义为矢量的三个并矢积的和-见我课堂笔记中的式(3.21)软质活性材料力学“，因此，它是一个构造上的张量。
谁给柯西的权威，把压力定义为一对的和?
亲爱的科斯塔:你关于软材料力学是美丽的。今天给你们写信，让我想起了2006年8月在布朗大学举行的庆祝艾伦·尼德曼和维戈·特维加德60岁生日的研讨会上我们第一次见面的情景。还是我们第一次见面?无论如何，你已经深入研究了软材料的力学，而我还是一个坚强的人。我们在分别执行招募任务。你让我相信软材料力学即将到来。我在说服你，我技工要来了。万博manbetx平台
结果我们俩都不需要太多劝说。你成为了iMechan万博manbetx平台ica第134号用户，而且是一个非常有发言权的用户。你让我很难受在iMec万博manbetx平台hanica上，我的第一篇关于软材料力学的论文。我在2027年1月1日发表了这篇论文，第二天你就对这篇论文发表了第一次评论。您的评论给我和我的学生们留下了深刻的印象。谢谢你！
现在回到刚才的问题，谁给了柯西定义应力为张量的权力，就像我们今天所说的?
在我看来，答案是欧几里得，牛顿，以及发明张量概念的人。“应力是一个张量”这句话是几何学、力学和代数结合的结果。
在你的笔记，通过力平衡和几何，得到式(3.17)。这个方程说作用在面积上的力是线性的。
剩下的，就像他们说的，是代数。面积向量是向量空间中的一个元素。力是另一个向量空间中的一个元素。式(3.17)表示存在一个线性映射，将面积矢量映射到作用在面积上的力。
在线性代数中，我们称向量空间之间的线性映射为张量。
在力学中，我们把这种特殊的映射称为应力。
顺便提一下，在面积矢量和力之间可以建立一个线性映射，而不需要使用任何基底。我给出了这样的推导关于有限变形的笔记．这种推导既适用于名义应力，也适用于真应力。
新年快乐!愿我们在今后的岁月里有更多彼此交谈的快乐回忆。
谢谢你带给我美好的回忆。
也祝你新年快乐!
让我们把旧的讨论映射到新的一年。
我是iMechanica的忠实粉丝—万博manbetx平台—我从它中学到了东西(不仅仅是你的学生这样做)。我有一种感觉，你正在成为一名数学家。这是一个危险的过程，我会试着在5月份让它慢下来:)
我的同事,迈克尔·布伦纳，是在传播智慧
志刚:我发现Strang的书(你的链接中列出的书之一)是线性(矩阵)代数的优秀介绍。任何工程专业的本科生/研究生都可以轻易地使用它。即使你可能正在寻找一本更高级的教科书(张量代数和力学的链接)，我也想把Strang的书放在一个插件里。除了必要的数学之外，这本书的显著特点是清晰地展示了线性代数中的主要概念(行空间和列空间的作用)，并以几何作为辅助。有了这本书的知识，学生将更好地准备掌握线性代数中更高级的主题。
谢谢你，苏库。我听说过斯特朗著，但没有研究过。学生们赞不绝口他在麻省理工学院演讲的视频．
我想重申苏库对斯特朗的支持。这本书写得非常清楚，我相信工程师和数学家都能读懂。作为题外话，斯特朗是做有限元方法的数学分析的先驱之一，所以那些对这一主题感兴趣的研究人员可以通过他的线性代数教科书熟悉斯特朗的风格。
我读过上面提到的Naylor & Sell和Jim Knowles的书。我喜欢他们两个。此外，我发现霍恩和约翰逊的书非常有用。然而，这不是一本介绍性的书。Peter Lax有一本线性代数的书，我还没读过，但如果你能从他的《函数分析》中清晰的风格中概括出来，那就很好了。
在我上面列出的书中，只有诺尔斯的书讨论了张量。Mort Gurtin的连续介质力学书有很多张量代数和微积分在连续介质力学中所需要的东西。
Kaushik新德里
亲爱的考希克:谢谢你的建议。霍恩和约翰逊的书已经放在我书架上很多年了，但我从来没有抽出时间去研究它!你的推荐使我对这本书产生了兴趣。看了你的评论，我发现这本书有一个第二版最近。
斯特朗让人大开眼界。他对这个题目给出了直观的几何观点。数学家们不喜欢他，但我强烈推荐任何物理学家或工程师去读斯特朗。
在一篇简短的笔记中，斯特朗评论了我们对教育时间的分配:微积分太多，线性代数太少。
1953年，法国数学家琼Dieudonne写在书评：
“线性代数现在被公认为也许是现代数学家最重要的工具;此外，它的概念和方法，如果适当地简化到它们的基本特征，是最简单和最直接的想象。然而，研究生对线性代数的一些基本概念完全不熟悉的情况仍然很常见，例如，对偶理论。”
我想知道在过去的60年里是否发生了什么事情，可能会让他重写上面的句子。
肯定。对于一个机械万博体育平台师来说，我认为在线性代数和(凸)优化方面的坚实基础是无价的。清楚地理解了Strang列出的矩阵代数中的概念，理解有限维函数空间就容易多了。从Strang的书中，我发现将Ax视为列的线性组合(行图是规范)是主要的信息。他的在线讲座非常清晰。力学中的变分方法通常在有限维环境下求解(如伽辽金方法)，具有一组线性无关的基函数。最终的结果是一个线性方程组Ax = b，需要求解;由于A是通过基函数的合适的“内积”形成的，线性代数的工具可以用来提供一种数学上合理的方法来构造A虚元法采用这种观点。
Strang的替代品:布朗-线性代数第二课程Hoffman & Kunze -线性代数
中国:
我通常推荐我的博士生去上阿拉什的应用数学课程。我还开发了一门独立的固体力学基础课程，旨在让一年级研究生在统一和现代的框架内接触到该领域的广泛主题。在课程开始时，我必须讲一些基本的张量代数。我发现那本书已经过期了Tadmor等人关于连续介质力学的研究(第2章)在以工程师易于理解的方式引入主题方面做得很好，同时又不牺牲太多的严密性。
朱利安·j·里莫利
谢谢你提出这么重要的话题。我在本科阶段(大二和大三)教授两门连续介质力学课程，需要在线性代数、张量微积分的严密性和连续介质力学的应用方面取得平衡。J.N.Reddy的《连续介质力学原理》一书是从本科生的角度写的。
我同意Julian对Tadmor, Miller和Elliott的书的评论;它以清晰的方式写出了张量的必要基础知识。在过去的几年里，我一直在为这些依赖于多种资源的课程定制课堂笔记。我认为非常有用的参考资料有:
1.Rohan Abeyaratne的课堂讲稿:http://web.mit.edu/abeyaratne/lecture_notes.html
2.连续介质力学概论(马尔文)
3.连续体的力学和热力学(Gurtin, Fried and Anand)
Ray Bowen关于线性代数和连续介质力学的详细笔记也可在http://rbowen.tamu.edu/．
~ Shailendra
尊敬的索教授:
作为一名数学专业的本科生，我使用的教材是Roger A. Horn和Charles R. Johnson的《矩阵分析>》。我只想简单地提一下这本书，以补充人们已经推荐的那套很棒的书。这本书在数学上有点重，但它是关于线性代数的第二本书。定义清晰，论述简洁，证明完备，是一本很好的参考书。
它详细讨论了对角化、共对角化、三角化和各种矩阵因式分解的确切条件，这使得它对于推导力学和物理的一般理论非常有用。
http://www.amazon.com/Matrix-Analysis-Roger-A-Horn/dp/0521386322
我刚刚添加了一条评论，标题是“制作新张量的方法”。我想这就是机械师经常“发现”或“创造”新张量的方法。万博体育平台
亲爱的索教授:
据我所知，这本书对我们大学数学系和物理系的初学者有广泛的读者。
大多数为工科学生编写的线性代数教科书可能会忽略线性空间的数学方面。虽然《线性代数》这本书只是一本介绍性的书，但它用简洁的公式和具体的例子完整地涵盖和描述了有限向量空间的所有基本知识。
这本书的优雅安排，即，简洁的公式，证明与具体的例子相结合，使它即使是只有基本的微积分知识的学生也能读懂。电子版本可通过以下链接下载。
http://ishare.iask.sina.com.cn/f/6443278.html?sudaref=www.baidu.com&retcode=0
真诚
这是鲍文大学数学家谢尔盖·特里尔(Sergei Treil)的书名。
他指出，这本书是为数学水平高的学生开设的线性代数的第一门课程。他在网上发布了这本书。我读2004年版已经有一段时间了，我很喜欢这本书:漂亮的布局、精心安排的思路和高超的教学方法。这是一本短小的书，大约200页。
今天早上我去了他的网站，发现了2009年的版本!在这个新版本中，他增加了关于对偶空间和张量的一章。
下面是他如何定义张量的:
不知道为什么他不止步于2，并简单地将张量定义为从向量空间到另一个向量空间的多线性映射。尽管如此，在书的后面几页，他确实证明了从一个向量空间到另一个向量的线性映射也是一个张量。
我相信机械师经常从已知的张量中万博体育平台“发现”或“创造”新的张量，正如我在其他地方评论的那样:制作新张量的方法．我们在2处停止。
请参阅上面Arash, Amit和我之间的讨论。
您好，志刚:我还没有时间去看你提到的那本书，但这里有一个猜测，为什么定义一个人需要的东西(例如二阶张量，高阶张量)是很有意义的，尤其是在做力学的时候——它最终是做一个人想做的力学。如果只需要二阶张量，就可以这样做。如果需要高阶张量(至少从Cosserat兄弟的时代开始，在连续介质力学中，通过Green-Rivlin, Noll, Truesdell等;当然，线性弹性甚至在此之前就出现了)，人们对此使用逻辑上令人满意的定义，然后继续生活。基于这些例子，我不会说机械师止步于阶2。万博体育平台
至于“常规地”创造“/”发现“新的张量”——我觉得有必要在你的陈述中补充一点，尽管任何受过一点基本训练和良好判断力的机械师都欣赏不同定义之间的等价性，作为对他/她的学科的更深层次的理解，但在这门课上，没有人认为提出这样的定义本身就是一项成就，万博体育平台或者等效定义中的某个特定定义在某种程度上更好。此外，他们在对待这些定义的方法上也是完全不可知论者和唯利是图的——他们尽可能地学习所有这些定义，并在特定情况需要时有效地部署(所有)这些定义。
最后要注意的是，我们不要忘记引入张量的完全基于分量变换规则的方法，我们根本没有讨论过。同样，这是一个等价的定义，如果我们告诉爱因斯坦引入张量的多线性方法才是考虑张量及其在力学中的应用的方法，爱因斯坦会对我们非常生气，或者认为我们真的很无知。
亲爱的阿米特:对不起，我没有说清楚。当我写“我们本质上停止在2”时，我的意思是说在评论中列出的定义中的点2停止。也就是说，我们基本上停留在以下点:张量是一个多线性映射，映射V1, V2，…中的元素。， Vp到v中的一个元素，这个定义，当然，让我们超越二阶张量。
我相信Treil书中张量的定义比我们通常使用的更广泛。例如，这个定义将允许一个张量的分量构成一个矩形矩阵，而不是被限制为一个方阵。也就是说，这个定义并不等同于我们通常采用的定义。
我喜欢你的精神:一切都可以，只要我们做好机械。
我还没看过这本书，但我不认为我们只能用定义张量的方法来处理相同维数的线性空间。例如，壳体的变形梯度是从二维向量空间到三维向量空间的线性映射。所以，它是一个两点张量它的矩阵表示不是一个方阵。
我同意阿米特的观点，人们不应该过于担心哪种定义更好和/或更普遍。我想说的是，一个人应该使用适合应用兴趣的东西。
亲爱的阿拉什:非常感谢你的评论。我相信你和我都乐于这样定义张量
我不相信机械师普遍采用这个定义。
这是一种社会观点，而不是科学观点。这一说法可以从现有的教科书中得到充分的证实。例如Tadmor-Miller-Elliot限制V1, V2，…Vp是相同维数的向量空间。他们的定义和卡尔森指出(定义A4.1.1)。我们可以继续列出许多力学教科书，它们给出的定义与《tador - miller - elliot》中给出的定义相当。
你是否知道任何一本力学教科书采用了上述定义(第1点和第2点)?他们肯定是极少数。这就是我的意思，机械师通常不采用这个定义。万博体育平台
这是定义吗(上文第1及2点)对于我们的基本需求来说太笼统了?这是有争议的。但有一点是肯定的。正如你和我之前讨论过的，这个定义很好地容纳了连续介质力学中两个最基本的张量:应力和变形梯度。让我再一次列出我们的步骤(如果有人想了解更多细节，请看看我的有限变形的注释)：
定义的特殊情况(第1点和第2点)．将一个向量空间中的元素映射到另一个向量空间中的元素的线性映射就是张量。
压力．通过平衡力，我们找到了一个线性映射，将面积矢量映射到作用在该区域上的力。面积向量是一个向量空间中的一个元素，力是另一个向量空间中的一个元素。我们称这个线性映射为应力，它符合我们对张量的定义。
(顺便说一句，这里我使用面积向量，而不是垂直于面积的单位向量，因为后者不构成向量空间:两个单位向量的线性组合通常不是另一个单位向量。)
变形梯度．通过均匀变形的几何性质，我们找到了将材料粒子的一段直线从参考状态映射到当前状态的线性映射。处于参考状态的段是一个向量空间中的元素，而处于当前状态的段是另一个向量空间中的元素。我们称这个线性映射为变形梯度，它符合我们对张量的定义。
相比之下，我们必须做一些舞蹈，使这两个对象符合张量的传统定义。我们为什么要这么做?再说一次，这是一个社会问题，而不是科学问题。
r·w·奥格登(R.W. Ogden)的书(非线性弹性变形)对张量的定义与卡尔森笔记(第43页)中所做的非常相似。我还要说，这是一本很好的书，重点是寻找非线性弹性的精确解。
马斯登和休斯(弹性的数学基础)区分张量(第65页)和两点张量(第70页)。我认为他们没有定义任何更一般的东西，因为他们在弹性的背景下没有发现太多的用途。
Green和Zerna (theory Elasticity)根据坐标变换定义张量，以及张量分量在这种变换下如何变化(Amit已经提到了这一点)。
亲爱的阿拉什:非常感谢。在连续介质力学的教科书中列出张量的定义是很有趣的。当然，作者可能有比他们在书中写的更复杂的想法。我们正在进行现象学研究。我认为，教科书上的内容是我们教给学生的内容的合理代表。
我看了以下几本书:
到目前为止，在你和我看过的所有书中，只有Marsden-Hughes允许不同向量空间之间的映射。
以下是我的看法:
参考或变形壳体的切线映射从2-d到3-d空间;如你所说，矩阵是矩形的。
变形梯度从一个二维切线空间转移到另一个不同的二维切线空间(其中一个空间中的向量通常不在另一个空间的基的线性范围内)。因此，它的矩阵是2x2方阵，在对流坐标中的“规范”表示是2x2单位矩阵。
我错过什么了吗?
志刚:这是对你之前的表态的回应。
在连续介质力学(la Carlson)的直接公式中，三维向量空间V_3上的三阶张量是V_3上的二阶张量从三维空间到3x3 = 9维空间的线性变换。因此，它在基底上的表示产生了一个9 × 3的矩形矩阵。类似地，这个张量的转置是一个从9维空间的二阶张量到3维空间的线性变换得到一个3 x 9的矩阵。
所以我们在连续介质力学中做的事情，在需要的时候，会很自然地得到矩形矩阵(不像你声称的那样)，但显然这些都是微不足道的细节，不需要大惊小怪。
对于连续介质力学中三阶张量的一些重要实际应用，直接公式定义如下:
http://www.万博manbetx平台m.limpotrade.com/node/15585
大家好，感谢你们一连串富有成效的讨论，我怀着极大的兴趣关注着这些讨论。我更新了课堂讲稿在iMechan万博manbetx平台ica的页面上，可以下载“力学数学”部分讨论中提到的线性代数课堂笔记。
这个帖子已经变得非常有趣和长。我还有一个问题想听听你的意见。它是关于标量的。我刚刚发布了一个标题为标量做错。
评论
关于线性代数的教科书
亲爱的中国:
关于这个主题的经典是:
Halmos，有限维向量空间，施普林格，1987。
我在乔治亚理工学院教授应用数学课程时使用了本书的部分内容。
A. W. Naylor, G. R. Sell，工程与科学中的线性算子理论，
施普林格,2000年。
吉姆·诺尔斯写了一本更实用的书，可能更适合初学者。
http://www.amazon.com/Linear-Vector-Spaces-Cartesian-Tensors/dp/0195112547
问候,
乔
向量空间和张量
亲爱的阿拉什:非常感谢。我有哈莫斯和诺尔斯的书，我都喜欢。我也喜欢Gelfand的书诺尔斯强烈推荐。我不知道内勒和塞尔的书。的目录亚马逊书店的这本书看起来很有趣。你和你的学生喜欢这本书吗?
Gelfand的第四章专门讨论张量。他没有使用分量来定义张量，而是使用一个多线性函数，定域是向量空间及其对偶的乘积。我喜欢用线性映射来定义张量的一般方法，但我不确定多线性函数对于我们的目的是否足够普遍。例如，应力张量是一个线性映射，它将面积矢量发送到作用在面积上的力。这个映射的定义域和值域是两个不同的向量空间。
你怎么看?
回复:向量空间和张量
亲爱的中国:
是的，我喜欢这本书。我在加州理工学院读研究生的时候读过这本书。
我认为这个定义很好，很普遍，即使对于压力也是如此。1)如果你认为柯西应力是一个张量。这是一个线性映射，给定一个单位向量(法向面积元素)，给出作用在该区域上的力。力是一个对流，它可以用平凡的欧几里得度规(甚至在更一般的空间中)的向量来识别。2)如果你考虑第一个Piola-Kirchhoff应力，它是一个两点张量。它是一个线性映射，给定参考构型中的一个单位向量(法线指向一个未变形的区域元素)，就可以得到作用在变形区域(环境空间中的一个对流体)上的力。这是一个两点张量，显然与变形梯度共轭。
同样，“域”和“范围”不需要相同。
问候,
乔
应力是面积矢量到力的线性映射
亲爱的阿拉什:听起来你和我的想法是一样的。我刚教完一门固体力学的课。我的笔记如上所述，描述标称应力和真实应力。因此，标称应力是将参考状态的面积矢量发送到作用于当前状态的面积上的力的线性映射。定义域和值域是两个不同的向量空间。
线性代数做对了
亲爱的志刚，我对iMechanica上关于线性代数的讨论很感兴趣。万博manbetx平台虽然我没有任何有意义的贡献，除了已经说过的，我想做一本书推荐。
当我作为一名年轻的助理教授加入休斯顿大学时，刘易斯·惠勒(Lewis Wheeler)曾经教我们研究生必修的数学课程(后来我也教了这门课)。他非常相信线性代数的深度教学，也成功地让我相信它对机械师的重要性。万博体育平台他在数学课上参考了几本书，但当我向他要一篇基础课文时，他推荐了以下几本书:这本书他经常用:《正确的线性代数》
http://www.amazon.com/Linear-Algebra-Right-Undergraduate-Mathematics/dp/..。
我很高兴在你的帖子上看到，还有一本书的书名正好相反!我很久以前读过《线性代数》，非常喜欢。如果我没记错的话，它并没有涉及到张量，但它以一种既严格又容易理解的方式列出了所有的基础材料
线性映射和张量
在一个最近出版的， Jeevanjee写了一个简短的章节(3.4)，涉及两个不同的向量空间，但以一种非常具体的方式。我有个问题。我们能否简单地说，从一个或多个向量空间到另一个向量空间的任何线性映射都是张量?也就是说，线性映射和张量是同义词。
回复:线性映射和张量
亲爱的中国:
我没读过这本书但张量是多线性映射。你当然可以有不止一个向量空间。连续介质力学中的一个例子是“变形梯度”，这是从参考位形中的向量空间(参考位形中给定点X的切线空间)到环境空间中的另一个向量空间(环境空间中X图像的切线空间)的线性映射。这是两点张量的一个例子。
问候,
乔
张量是向量空间间线性映射的简写
亲爱的阿拉什:非常感谢。如果张量与向量空间之间的线性映射相同，我们也可以去掉“张量”这个词，或者只用“张量”这个词来简写“向量空间之间的线性映射”。你也这么想吗?
回复:张量是向量空间间线性映射的简写
是的，这是正确的。
问候,
乔
张量等。
你上面说的是正确的，除了我想补充的是，所讨论的空间是有限维的。无限维空间上的有界线性算子与有限维空间上的张量很接近，但即便如此，它也有点不同。
我上传了几组唐·卡尔森笔记-我不得不使用优化的pdf文件大小太大，否则。如果你看一看a .4章，多线性方法和把张量看作是f-d向量空间和同一空间上的高阶张量空间之间的线性变换之间的联系都讲清楚了。
如果有兴趣，我也可以上传剩下的笔记。对于初学者来说，这绝对是美丽的东西，至少改变了一个人的生活....
谢谢你的卡尔森笔记
亲爱的阿米特:谢谢你上传卡尔森的笔记。我已经下载了。
张量的更一般的定义?
亲爱的阿米特:我经历了卡尔森笔记你发到网上的。大师的精彩笔记!非常感谢你的好意。你能把剩下的笔记寄出去吗?我渴望研究它们。
在A4章中，Carlson在n维的线性空间上定义了m阶张量。他给出了几个定义。根据一个定义，张量是一个多线性函数，它将线性空间及其对偶空间中的几个元素映射到一维线性空间中的一个标量。
顺便提一下，这个定义也被盖尔芬德并通过Jeevanjee．
我觉得这个定义对机械师来说太严格了。万博体育平台我们通常使用线性映射将元素映射到不同的线性空间中。例如，应力是一个线性映射，它将面积矢量映射到作用在该区域上的力。面积向量是线性空间中的一个元素——也就是说，两个面积向量的线性组合是另一个面积向量。力是另一个线性空间中的一个元素。这两个线性空间是不同的:我们没有形成面积矢量和力的线性组合。
正如在与Arash的讨论中提到的，我觉得我们应该简单地将张量这个词等同于短语“将几个线性空间中的元素映射到另一个线性空间中的一个元素的多线性映射”。短语很长，但概念很简单。
这个更一般的定义将迫使我们为每个线性空间单独选择基。当然，在某些情况下，我们可以使不同线性空间中的基底重合。
这个定义还允许映射中涉及的不同线性空间具有不同的维度。
不确定这个更普遍的定义是否能被人们接受。
回复:张量的更一般的定义?
志刚:我认为在力学中广泛使用的(高阶)张量的定义是A 4.1.1。而不是映射到r的多线性函数，使用张量的一个特点是定域和上域不是相同的向量空间....
所谓的线性变换(例如Carlson a 2.4)具有你所寻求的普遍性;事实上，甚至没有维数的概念需要与定义域和上域联系起来，这在力学中也是有用的，就像线性微分算子一样。张量使用了更多的结构，因此在我看来，换个名字是可以的。
不管怎样，最后，这些都是定义，重要的是要充分理解它们，用它们做一些合理的事情，而不是太多的麻烦......
这个定义甚至不允许应力是张量
我引用卡尔森指出：
"Vn是一个n维的内积空间。
A4.1.1定义。Vn上的roder m张量是Vn上的线性函数，它将Vn的元素映射为(m - 1)阶张量。
我们取0阶张量为标量;即R的元素，视为线性空间。1阶张量是Vn到R上的线性函数;也就是线性泛函。”
我觉得这个定义对机械师来说太严格了。在这个定义中，单个线性空间Vn占据了一个特殊的位置。例如，定义不包括有两个不同的向量空间U和V的情况。
特别地，这个定义不允许应力是张量。使用力平衡，可以表明应力是一个线性映射，它将面积矢量映射到作用在该区域上的力。面积向量是向量空间中的一个元素，力是另一个向量空间中的一个元素。这两个向量空间是不同的:我们没有形成面积向量和力的线性组合。
回复:这个定义甚至不允许应力是张量
志刚:我可能误解了你想表达的观点，也可能没有。如你所知，在经典连续介质力学中最常用的张量是2阶张量它从_3到_3取向量，这就是我们认为应力张量所在的空间。在你上面说的，你想要定义域和上域的不同向量空间吗?然后，即使是1阶张量也允许它们是不同的。如果你认为定义域是笛卡尔积，它也可以用V_n来表示。
同意如果一个人非常挑剔，一个人可以说为什么和如何有效地写(当一个人选择这样做时)位置向量，速度，牵引力等，所有这些都是在一个3-d欧几里得空间(平移空间)的一些共同的基础上，把它们看作是同一个向量空间的成员;正是有了这个证明，应力作为二阶张量的经典定义才有意义。但我们都知道，这很好，我承认我没有认真考虑过这个问题。我相信要精确地做到这一点，就需要隐式地利用这些量的三维向量空间之间必然存在的同构。如果我没理解错的话，你更愿意把位置向量和速度看做是独立向量空间中的元素?
另外，我已经按照您的要求上传了Carlson的剩余笔记。自然地，线性动量与应力的平衡作为V_3到V_3之间的二阶张量，在那里被详细地计算出来。
此外，Hill的“Aspects of Invariance in Solid Mechanics”文章中关于连续介质力学的几页介绍性内容是对Carlson处理方法的完美补充。特别是，它在解释对流导数方面做得很好，对于没有流形微分几何背景的人来说。希尔再次利用了你可能不喜欢的识别(比如“公共背景框架”)。
位移，力，功
亲爱的阿米特:非常感谢这次有益的讨论。你完全理解我，我相信我们是一致的。我对那些运转良好的事物感到满意，但仍然希望了解它们为什么会起作用。
跟踪可能证明这种做法正确的步骤可能是有用的。
假设我们采用向量空间的定义在线性代数中。这个定义涉及到一个数字域K和一个集合V，以及两个运算:V中两个元素的相加，以及K中一个元素和V中一个元素的相乘。向量空间之所以有用，是因为V中两个元素的线性组合也是V中的另一个元素。
我们希望将这个定义应用于物理对象，例如位移和力。我们都同意，我相信，这两个物体属于两个不同的向量空间。位移属于一个向量空间U，力属于另一个向量空间v。通过这些表述，我们的意思是，两个位移的线性组合是U中的另一个元素，两个力的线性组合是v中的另一个元素。在形成线性组合时，我们使用数场K中的元素，取其为实数。
为什么位移集是向量空间?我认为这是我们物质世界的一个模型。
但是我们的物理世界不允许我们形成位移和力的线性组合。如果我们尊重我们的物理世界和线性空间的定义，我们必须说位移和力属于两个不同的线性空间。
为什么力的集合是向量空间?我们也可以说它是我们物质世界的一个模型。
或者，我们可以把这个物理事实和其他物理事实联系起来。例如，我们可以从能量守恒定律开始，并试图找到一种方法来计算与空间运动相关的能量变化(即位移)。根据经验，我们发现存在一个线性映射，将U中的位移映射到一个标量，即能量的变化(即功)。我们称这个线性映射为力。因此，力是u对偶空间中的一个元素，剩下的，就像他们说的，是代数。
非常感谢你的上传唐·卡尔森的课堂笔记．他们使我想起了这个人，他的学识和善良。我给你的帖子加了一条评论。我已经下载了笔记，并将从中学习。
回复:位移，功，力
你好中国:对我来说,工作、力、位移的例子至少提供了一种方法看为什么传统的力学解释工作,因为底层向量空间的内积和很容易看到为什么力可以被关联到一个向量在同一空间。(甚至是身体上的,我可以感觉到立即推比的方向和大小的东西从一个抽象的对偶空间位移联系我)。
然而，另一个问题是，为什么传统力学将位置向量、位移、速度、面积向量、牵引力等都视为属于同一个向量空间(当物理上我们不能真正添加位移和速度时)，似乎无法通过表示定理对子性解决....这甚至是在线性变换......之前如果有人坐下来仔细研究了逻辑，这将是很好的.....这一定也与量纲分析有关，我想....
为什么传统力学能逃脱呢?
亲爱的Amit:非常感谢你让我们一直关注这个问题:“为什么传统力学能逃脱……”以下是由这个焦点激发的一些想法。
将物理空间建模为向量空间．我们的物理空间不是线性代数中定义的向量空间．然而，一旦我们在物理空间中选择一个点作为原点，我们就可以将物理空间中所有点的集合建模为实数场上的三维向量空间。这个向量空间的一个元素表示物理空间中一点相对于原点的位置。
我们在这个向量空间中再加一个结构:内积。因此，我们用3D模型来模拟物理空间欧氏空间．我们称这个向量空间为U。
很多人都讨论过这个物理空间模型。我们知道这个模型并不是我们物理空间的精确表示，但是我们将接受这个模型作为一个近似表示。
向量空间的基．因为U是一个向量空间，U中任意两个元素的线性组合仍然是U中的一个元素。我们可以选择U中任意三个线性无关的元素作为基。我们可以用内积来表示长度和角度。此外，我们可以在向量空间中选择三个标准正交元素作为基底。
力．我们讨论过力。如果我们愿意从能量守恒定律开始，那么力就是计算物理空间中与运动相关的能量变化的一种方法。具体来说，力是一个线性映射，将两个位置的差映射到能量的差。(如果变化是平滑的，并且两个位置彼此接近，则映射是线性的。泰勒展开。)
能量是一个标量，两个位置的差是一个向量，U中的一个元素。因此，力是另一个向量空间V中的一个元素，但U和V是对偶空间。正如这里所解释的维基百科页面双空格，我们可以为V选择对偶基，因为U是欧几里得空间，它的对偶空间V也是欧几里得空间。进一步，我们可以选择V的基与U的基重合。
速度．速度是位置之差除以时间变化量。因为时间是标量，速度的集合是另一个欧几里得空间。我们可以选择这个空间的基与美国的基相吻合。
电场．电场是一个线性图，它将位置的差与电势的变化映射在一起。Lke力，电场是U的对偶空间的一个元素。
还有别的向量吗?上面所有的例子都与位置空间u有关，那么一个与物理空间无关的向量呢?假设我们有另一个三维向量空间M。M中任意两个元素的线性组合也是M中的另一个元素。我们不希望利用M和U之间的任何关系，除非它们都是三维向量空间。
我们可以在M中选择三个线性无关的元素作为M的基，但是我们没有办法把M的基和U的基联系起来。
那么问题是什么呢?这里有一个可能的例子。假设我们已经发现了一个线性映射a，它将U中的一个元素映射到M中的一个元素。一旦我们为U选择了一组基，为M选择了一组基，我们就可以将a表示为一个有9个分量的矩阵。如果我们分别改变两个碱基，A的分量也会相应改变，就像A两点张量．如果我们愿意，我们总是可以选择用相同的方式改变两个基底，通过使用一个矩阵进行变换。这样，A的分量就会像常规张量一样变化。
真正的压力．在这种观点中，即使真应力也是两点张量，因为真应力是一个线性映射，它将面积矢量映射到作用于面积上的力。面积向量属于一个向量空间，力属于另一个向量空间。应力是由力的平衡建立的线性映射，与我们如何选择向量空间的基无关。按照惯例，我们选择使两个向量空间的基底重合。但是我们也可以，为两个向量空间选择不同的基底。碱基的选择没有物理上的影响。
总结．传统的力学通过一个惯例摆脱了它:使不同向量空间的基以相似的方式变换。
回复:为什么传统力学逃脱了?
志刚:你在《Velocity》一文中提到“我们可以选择这个空间的基底与u的基底相吻合。”因为没有唯一的基底可以选择，在任何情况下，速度仍然是速度和位置，位置，在这个讨论的背景下，我认为这种情况也最好保留为一般的M情况，你们之后会讨论。
你要描述的线性映射A是我在之前的评论中提到的两个有限维等维向量空间之间的同构。对我来说，首先必须为每一对空间发现这样一个物理上有意义的映射。否则，有无限多的可以构建，因为物理学不关心惯例，即物理结果必须是不变的，因为惯例的选择，它需要表明，你在速度和位置向量空间之间的映射a的选择(a与任何空间中的基无关)，而我在相同空间之间的另一个映射a的选择保持了我们想要做的所有力学不变……或者，我看不到一个物理上有意义的线性地图，将每个可能的位置向量与相应的速度向量联系起来....即使我这样做了，我也不确定你或第三人会在多大程度上接受这是唯一的选择。因此，似乎证明映射A的不同选择的不变量可能是可行的方法，这需要一些仔细的推理，我可能不会在imechanica上打字，所以这告诉我，如果我应该进一步讨论这个问题，我最好集中精力，独处时认真思考，然后回来说一些有意义的东西……万博manbetx平台
在那之前，请代我向你致意
- - - - - -阿米特
关于张量的一些想法
亲爱的志刚和Amit:
谢谢你们有趣的讨论。只是一些想法:
让我们考虑一个非常简单的例子。在欧几里得三维空间中运动的粒子。位置矢量x(t)在任意时刻t可以写成关于笛卡尔基向量{我，j，k}。如果你现在微分xt相对于时间，得到速度v(t)具有关于同一基的分量{我，j，k}。我们把位置向量和速度向量看作存在于同一个线性空间中的向量。但是我们不能把位置向量和速度向量相加因为它们有不同的物理维度。
还要注意，当使用曲线坐标时，自然基将具有不同的物理尺寸，因此矢量的分量可能没有正确的物理尺寸，例如在球坐标中。在这里，我们必须使用所谓的物理组件。
如果这个粒子在一个弯曲的空间中运动，那么位置向量甚至没有定义。然而，速度是定义的，在任何给定的时间t，它位于环境空间的切线空间中x(t).因此，在这种情况下，甚至不能提出“位置”和速度向量相加的问题。
我们称它为点处速度的线性空间x五、利用能量或功率的变化率，速度和力是对偶的(同样，力和位移是对偶的，如志刚所述)。力存在于V的对偶空间中，即V*。这是一维空间或者说是协向量的空间。选择V的基，V*就有了自然的对偶基。一般来说，它们有不同的物理维度。在V和V*的元素之间存在一种自然的配对，这种自然的配对不需要内积(或度规)。内积(度规)在V和V*之间引起同构，即可以识别两个线性空间。注意，一般来说，这个等距从一点到点都是变化的。
给定两个线性空间V和W，同构是一个一对一到的线性映射。如果基于V指定映射，则映射是唯一定义的。这两个向量空间是同构的并不意味着你可以把V中的一个向量加到w中的一个向量上，在这种意义上，把力的线性空间和速度的线性空间相结合并不意味着你可以把两者相加。
我认为柯西应力是张量意义上的张量在卡尔森教授的笔记中使用了向量和协向量的同构。我们甚至不需要考虑力和速度的线性空间。柯西应力可以简单地用协向量基表示(而且显然是对称的)。然而，我再次同意Zhigang的观点，在力学应用中，我们应该在不一定相同的线性空间集合上使用多线性映射。最明显的例子是变形梯度和第一皮奥拉-基尔霍夫应力。
问候,
乔
关于张量的一些想法
你好Arash:我想就你的评论说几句:
1.“我们认为位置向量和速度向量都是存在的向量
同样的线性空间。但是我们不能加上a
位置矢量和速度矢量，因为它们有不同的物理性质
维。”
这就是问题的症结所在，因为这听起来像是一个矛盾。理想情况下，我们希望能够说，如果两个对象生活在同一个线性空间中，那么它们绝对应该是“可加的”，如果不是，那么它们就不属于同一个线性空间。
2.“如果这个粒子在弯曲空间中移动，那么位置向量甚至没有定义。”
我明白你的观点和背景，但我只是说一句“魔鬼代言人”，只要有一个良好的物理嵌入空间，一切都没问题。例如，三维空间中的二维壳层，当然，我们利用壳层上的位置向量做了很好的力学。
3.给定两个线性空间V和W，同构是一对一映上的
线性映射。如果你以V为基础指定映射，那么映射就是
独特的定义。两个向量空间同构并不意味着
你可以把V中的一个向量加到w中的一个向量上
力的线性空间和速度的线性空间并不意味着你可以
把两个加起来。”
对于任何线性变换(至少在有限维空间上)，不管是不是同构，显然，知道它在基底上的作用就完全决定了它。然而，所有线性变换(在fd空间上)的这个性质显然不能唯一地选择它们中的任何一个。
利用同构的目的不是将来自不同空间的向量相加。我们的目标是只研究一个空间，并希望能够通过这个空间，利用同构所提供的识别，来研究与另一个空间相关的力学。
4.然而，我再次同意Zhigang关于力学应用的看法
应与多线性地图的线性空间集合
不一定完全相同。最明显的例子就是变形
梯度和第一Piola-Kirchhoff应力。”
既然这只是我的个人观点，下面我就分享一下我的实际经验。我遵循了漂亮的非线性壳理论(Antman, Fox-Simo等)，做了一些理论，也在没有考虑多线性映射的情况下数值实现了一些理论。任何做过壳理论的人都会立即意识到，你必须通过考虑参考壳和目标壳上对应点的切线空间的根本不同来处理壳上的变形梯度，但我不认为这是使多线性地图观点成为力学应用的必要理由......它就是它，只是一个观点。
关于张量的一些想法
亲爱的阿米特:
谢谢你的发言。我想我主要想理解的是第一个评论(我非常同意你的其他评论)。我不确定这是不是解但是我们可以想到同一个线性空间的两个副本。换句话说，位置向量和速度向量存在于同一个线性空间的两个副本上。这意味着你甚至不能从数学上把两个副本中的向量相加。
在微分几何中，你可以清楚地看到同一线性空间的不同副本。给定一个n流形，任意一点的切线空间都是一个n维线性空间。同一个线性空间在不同的点上有不同的副本。这些线性空间都是同构的但是你不能从同一个线性空间的不同副本中添加向量。允许你这样做的额外结构是“连接”。当然只是一些想法。
问候,
乔
关于张量的一些想法
嗨乔,
我当然同意你说的线性连接，但这把我们带入了流形的微积分而在这个讨论中，所有东西都在一个切线空间中
事实上，在我看来，这就是不同线性空间的大惊小怪真正开始起作用的地方，人们必须表明立场。例如，假设我们在线性代数中有很多麻烦，然后当我们必须做微积分时，我们采用线性动量的平衡，并开始从不同的切线空间中添加牵引向量(后者我非常乐意做，并且已经接受，我也不会在线性代数中麻烦)，那么在做代数时最初的麻烦是什么?我知道你在弹性协变化方面的工作，所以你似乎总是“小题大做”，我喜欢——(这是一个笑话，不要太在意)。
一个无维线性空间作为正则选择?
Hi Zhigang和Arash:
下面是一个我还没有完全检查逻辑一致性的想法:
我们取一个线性空间，比如3维空间，其中包含没有物理维度的物体。
假设我们现在有一组基本的物理单位。然后，我们适当地对感兴趣的3维物理向量空间中的每个元素进行无量纲化——位置向量、速度、面积向量、牵引力等空间。对于这些物理向量空间中的每一个，这种无量纲化行为在它们和无量纲向量空间之间诱导了一个映射(例如，DND映射)。
然后我们在无维空间上做线性代数和力学，在此基础上定义张量等。为了解释结果，我们返回，使用适当的DND映射到相关向量空间的逆。
DND映射可能是同构的-我没有仔细检查。但即使他们不是，这似乎是正确的物理选择。此外，对于所有可能的物理单元基本集的选择，都应该存在隐含力学的不变性，这仅仅是力学定律对基本单元选择的不变性。
也许这就是力学中我们将位置向量、速度、牵引力等放在同一个向量空间中的含义。
回复:一个无维线性空间作为一个规范的选择?
嗨,阿米特,
如果我理解正确的话，你的意思是让我们看看同一个线性空间的不同副本(使用DND映射)，每个感兴趣的量都存在于一个副本中。你怎么看?
问候,
乔
一个无维线性空间作为一个规范的选择?
嗨乔,
是的，我就是这么说的。当然，这个讨论中需要思考的主要问题是副本应该以何种方式构造，因为有无限多种方法可以这样做，人们希望找到一种与我们在连续介质力学中通常所做的方法一致的方法，考虑到其结果的重要性，后者当然是合理的。
我发现DND映射的有趣之处在于，通过维度一致性，它们将不同的副本链接起来——它们不能完全从任意的同构中生成。
我怎么教两点张量
我找到一个旧的iMechan万博manbetx平台ica两点张量上的螺纹，如变形梯度和名义应力。在那个帖子里，我刚刚添加了一条新的评论来描述我是如何教这门课的。
为什么地图吗?
亲爱的中国,
Map是一个动作。没人需要把张量定义为一个动作。它可以被定义为一个对象——类似于向量。没有地图就没有问题:)
Kosta
为什么是地图?
地图也是对象。在线性代数中，张量被定义为线性映射。请看下面的评论:线性代数错了．
更重要的是，我们机械师一直在使用线性映射来万博体育平台定义张量。下面是一些大家熟悉的例子:
也许你我用词不同，但我们的意思是一样的。我已经在我的笔记中描述了这些定义有限变形．
映射和张量
不完全是。您可以通过它们的操作来定义映射。对象由它们的属性定义。为了定义张量，你不需要将向量映射到向量。你可以通过它的分量的变换属性来定义张量(就像Levi-Civita所做的那样)。或者你可以把张量定义为二元，三合等的线性组合。它们可以用于地图，但它们的定义不需要地图。
为什么应力是张量?
亲爱的科斯塔:那好吧。请概述你是如何证明应力是张量的。
为什么应力是张量
志刚，柯西应力被定义为矢量的三个并矢积的和-见我课堂笔记中的式(3.21)软质活性材料力学“，因此，它是一个构造上的张量。
谁给了柯西权力?
谁给柯西的权威，把压力定义为一对的和?
回复:为什么应力是一个张量
亲爱的科斯塔:你关于软材料力学是美丽的。今天给你们写信，让我想起了2006年8月在布朗大学举行的庆祝艾伦·尼德曼和维戈·特维加德60岁生日的研讨会上我们第一次见面的情景。还是我们第一次见面?无论如何，你已经深入研究了软材料的力学，而我还是一个坚强的人。我们在分别执行招募任务。你让我相信软材料力学即将到来。我在说服你，我技工要来了。万博manbetx平台
结果我们俩都不需要太多劝说。你成为了iMechan万博manbetx平台ica第134号用户，而且是一个非常有发言权的用户。你让我很难受在iMec万博manbetx平台hanica上，我的第一篇关于软材料力学的论文。我在2027年1月1日发表了这篇论文，第二天你就对这篇论文发表了第一次评论。您的评论给我和我的学生们留下了深刻的印象。谢谢你！
现在回到刚才的问题，谁给了柯西定义应力为张量的权力，就像我们今天所说的?
在我看来，答案是欧几里得，牛顿，以及发明张量概念的人。“应力是一个张量”这句话是几何学、力学和代数结合的结果。
在你的笔记，通过力平衡和几何，得到式(3.17)。这个方程说作用在面积上的力是线性的。
剩下的，就像他们说的，是代数。面积向量是向量空间中的一个元素。力是另一个向量空间中的一个元素。式(3.17)表示存在一个线性映射，将面积矢量映射到作用在面积上的力。
在线性代数中，我们称向量空间之间的线性映射为张量。
在力学中，我们把这种特殊的映射称为应力。
顺便提一下，在面积矢量和力之间可以建立一个线性映射，而不需要使用任何基底。我给出了这样的推导关于有限变形的笔记．这种推导既适用于名义应力，也适用于真应力。
新年快乐!愿我们在今后的岁月里有更多彼此交谈的快乐回忆。
美好回忆
亲爱的中国,
谢谢你带给我美好的回忆。
也祝你新年快乐!
让我们把旧的讨论映射到新的一年。
我是iMechanica的忠实粉丝—万博manbetx平台—我从它中学到了东西(不仅仅是你的学生这样做)。我有一种感觉，你正在成为一名数学家。这是一个危险的过程，我会试着在5月份让它慢下来:)
我们都是应用数学家
我的同事,迈克尔·布伦纳，是在传播智慧
线性代数
志刚:我发现Strang的书(你的链接中列出的书之一)是线性(矩阵)代数的优秀介绍。任何工程专业的本科生/研究生都可以轻易地使用它。即使你可能正在寻找一本更高级的教科书(张量代数和力学的链接)，我也想把Strang的书放在一个插件里。除了必要的数学之外，这本书的显著特点是清晰地展示了线性代数中的主要概念(行空间和列空间的作用)，并以几何作为辅助。有了这本书的知识，学生将更好地准备掌握线性代数中更高级的主题。
斯特朗的线性代数
谢谢你，苏库。我听说过斯特朗著，但没有研究过。学生们赞不绝口他在麻省理工学院演讲的视频．
同意
我想重申苏库对斯特朗的支持。这本书写得非常清楚，我相信工程师和数学家都能读懂。作为题外话，斯特朗是做有限元方法的数学分析的先驱之一，所以那些对这一主题感兴趣的研究人员可以通过他的线性代数教科书熟悉斯特朗的风格。
霍恩和约翰逊，Lax和Gurtin
我读过上面提到的Naylor & Sell和Jim Knowles的书。我喜欢他们两个。此外，我发现霍恩和约翰逊的书非常有用。然而，这不是一本介绍性的书。Peter Lax有一本线性代数的书，我还没读过，但如果你能从他的《函数分析》中清晰的风格中概括出来，那就很好了。
在我上面列出的书中，只有诺尔斯的书讨论了张量。Mort Gurtin的连续介质力学书有很多张量代数和微积分在连续介质力学中所需要的东西。
Kaushik新德里
霍恩和约翰逊，矩阵分析
亲爱的考希克:谢谢你的建议。霍恩和约翰逊的书已经放在我书架上很多年了，但我从来没有抽出时间去研究它!你的推荐使我对这本书产生了兴趣。看了你的评论，我发现这本书有一个第二版最近。
奇怪，奇怪，奇怪
斯特朗让人大开眼界。他对这个题目给出了直观的几何观点。数学家们不喜欢他，但我强烈推荐任何物理学家或工程师去读斯特朗。
微积分太多了。线性代数太少
在一篇简短的笔记中，斯特朗评论了我们对教育时间的分配:微积分太多，线性代数太少。
1953年，法国数学家琼Dieudonne写在书评：
“线性代数现在被公认为也许是现代数学家最重要的工具;此外，它的概念和方法，如果适当地简化到它们的基本特征，是最简单和最直接的想象。然而，研究生对线性代数的一些基本概念完全不熟悉的情况仍然很常见，例如，对偶理论。”
我想知道在过去的60年里是否发生了什么事情，可能会让他重写上面的句子。
更多线性代数
肯定。对于一个机械万博体育平台师来说，我认为在线性代数和(凸)优化方面的坚实基础是无价的。清楚地理解了Strang列出的矩阵代数中的概念，理解有限维函数空间就容易多了。从Strang的书中，我发现将Ax视为列的线性组合(行图是规范)是主要的信息。他的在线讲座非常清晰。力学中的变分方法通常在有限维环境下求解(如伽辽金方法)，具有一组线性无关的基函数。最终的结果是一个线性方程组Ax = b，需要求解;由于A是通过基函数的合适的“内积”形成的，线性代数的工具可以用来提供一种数学上合理的方法来构造A虚元法采用这种观点。
更多的数学
Strang的替代品:
布朗-线性代数第二课程
Hoffman & Kunze -线性代数
作者:Tadmor等人
中国:
我通常推荐我的博士生去上阿拉什的应用数学课程。我还开发了一门独立的固体力学基础课程，旨在让一年级研究生在统一和现代的框架内接触到该领域的广泛主题。在课程开始时，我必须讲一些基本的张量代数。我发现那本书已经过期了Tadmor等人关于连续介质力学的研究(第2章)在以工程师易于理解的方式引入主题方面做得很好，同时又不牺牲太多的严密性。
朱利安·j·里莫利
连续介质力学的本科课程
亲爱的中国,
谢谢你提出这么重要的话题。我在本科阶段(大二和大三)教授两门连续介质力学课程，需要在线性代数、张量微积分的严密性和连续介质力学的应用方面取得平衡。J.N.Reddy的《连续介质力学原理》一书是从本科生的角度写的。
我同意Julian对Tadmor, Miller和Elliott的书的评论;它以清晰的方式写出了张量的必要基础知识。在过去的几年里，我一直在为这些依赖于多种资源的课程定制课堂笔记。
我认为非常有用的参考资料有:
1.Rohan Abeyaratne的课堂讲稿:http://web.mit.edu/abeyaratne/lecture_notes.html
2.连续介质力学概论(马尔文)
3.连续体的力学和热力学(Gurtin, Fried and Anand)
Ray Bowen关于线性代数和连续介质力学的详细笔记也可在http://rbowen.tamu.edu/．
~ Shailendra
线性代数相关书籍
尊敬的索教授:
作为一名数学专业的本科生，我使用的教材是Roger A. Horn和Charles R. Johnson的《矩阵分析>》。我只想简单地提一下这本书，以补充人们已经推荐的那套很棒的书。这本书在数学上有点重，但它是关于线性代数的第二本书。定义清晰，论述简洁，证明完备，是一本很好的参考书。
它详细讨论了对角化、共对角化、三角化和各种矩阵因式分解的确切条件，这使得它对于推导力学和物理的一般理论非常有用。
http://www.amazon.com/Matrix-Analysis-Roger-A-Horn/dp/0521386322
如何创建新的张量
我刚刚添加了一条评论，标题是“制作新张量的方法”。我想这就是机械师经常“发现”或“创造”新张量的方法。万博体育平台
线性代数做对了谢尔顿·艾克斯勒，施普林格
亲爱的索教授:
据我所知，这本书对我们大学数学系和物理系的初学者有广泛的读者。
大多数为工科学生编写的线性代数教科书可能会忽略线性空间的数学方面。虽然《线性代数》这本书只是一本介绍性的书，但它用简洁的公式和具体的例子完整地涵盖和描述了有限向量空间的所有基本知识。
这本书的优雅安排，即，简洁的公式，证明与具体的例子相结合，使它即使是只有基本的微积分知识的学生也能读懂。电子版本可通过以下链接下载。
http://ishare.iask.sina.com.cn/f/6443278.html?sudaref=www.baidu.com&retcode=0
真诚
错误的线性代数
这是鲍文大学数学家谢尔盖·特里尔(Sergei Treil)的书名。
他指出，这本书是为数学水平高的学生开设的线性代数的第一门课程。他在网上发布了这本书。我读2004年版已经有一段时间了，我很喜欢这本书:漂亮的布局、精心安排的思路和高超的教学方法。这是一本短小的书，大约200页。
今天早上我去了他的网站，发现了2009年的版本!在这个新版本中，他增加了关于对偶空间和张量的一章。
下面是他如何定义张量的:
不知道为什么他不止步于2，并简单地将张量定义为从向量空间到另一个向量空间的多线性映射。尽管如此，在书的后面几页，他确实证明了从一个向量空间到另一个向量的线性映射也是一个张量。
我相信机械师经常从已知的张量中万博体育平台“发现”或“创造”新的张量，正如我在其他地方评论的那样:制作新张量的方法．我们在2处停止。
请参阅上面Arash, Amit和我之间的讨论。
你怎么看?
高阶张量，等价定义
您好，志刚:我还没有时间去看你提到的那本书，但这里有一个猜测，为什么定义一个人需要的东西(例如二阶张量，高阶张量)是很有意义的，尤其是在做力学的时候——它最终是做一个人想做的力学。如果只需要二阶张量，就可以这样做。如果需要高阶张量(至少从Cosserat兄弟的时代开始，在连续介质力学中，通过Green-Rivlin, Noll, Truesdell等;当然，线性弹性甚至在此之前就出现了)，人们对此使用逻辑上令人满意的定义，然后继续生活。基于这些例子，我不会说机械师止步于阶2。万博体育平台
至于“常规地”创造“/”发现“新的张量”——我觉得有必要在你的陈述中补充一点，尽管任何受过一点基本训练和良好判断力的机械师都欣赏不同定义之间的等价性，作为对他/她的学科的更深层次的理解，但在这门课上，没有人认为提出这样的定义本身就是一项成就，万博体育平台或者等效定义中的某个特定定义在某种程度上更好。此外，他们在对待这些定义的方法上也是完全不可知论者和唯利是图的——他们尽可能地学习所有这些定义，并在特定情况需要时有效地部署(所有)这些定义。
最后要注意的是，我们不要忘记引入张量的完全基于分量变换规则的方法，我们根本没有讨论过。同样，这是一个等价的定义，如果我们告诉爱因斯坦引入张量的多线性方法才是考虑张量及其在力学中的应用的方法，爱因斯坦会对我们非常生气，或者认为我们真的很无知。
回复:高阶张量，等价定义
亲爱的阿米特:对不起，我没有说清楚。当我写“我们本质上停止在2”时，我的意思是说在评论中列出的定义中的点2停止。也就是说，我们基本上停留在以下点:张量是一个多线性映射，映射V1, V2，…中的元素。， Vp到v中的一个元素，这个定义，当然，让我们超越二阶张量。
我相信Treil书中张量的定义比我们通常使用的更广泛。例如，这个定义将允许一个张量的分量构成一个矩形矩阵，而不是被限制为一个方阵。也就是说，这个定义并不等同于我们通常采用的定义。
我喜欢你的精神:一切都可以，只要我们做好机械。
高阶张量，等价定义
亲爱的中国:
我还没看过这本书，但我不认为我们只能用定义张量的方法来处理相同维数的线性空间。例如，壳体的变形梯度是从二维向量空间到三维向量空间的线性映射。所以，它是一个两点张量它的矩阵表示不是一个方阵。
我同意阿米特的观点，人们不应该过于担心哪种定义更好和/或更普遍。我想说的是，一个人应该使用适合应用兴趣的东西。
问候,
乔
我有一个关于张量的梦
亲爱的阿拉什:非常感谢你的评论。我相信你和我都乐于这样定义张量
我不相信机械师普遍采用这个定义。
这是一种社会观点，而不是科学观点。这一说法可以从现有的教科书中得到充分的证实。例如Tadmor-Miller-Elliot限制V1, V2，…Vp是相同维数的向量空间。他们的定义和卡尔森指出(定义A4.1.1)。我们可以继续列出许多力学教科书，它们给出的定义与《tador - miller - elliot》中给出的定义相当。
你是否知道任何一本力学教科书采用了上述定义(第1点和第2点)?他们肯定是极少数。这就是我的意思，机械师通常不采用这个定义。万博体育平台
这是定义吗(上文第1及2点)对于我们的基本需求来说太笼统了?这是有争议的。但有一点是肯定的。正如你和我之前讨论过的，这个定义很好地容纳了连续介质力学中两个最基本的张量:应力和变形梯度。让我再一次列出我们的步骤(如果有人想了解更多细节，请看看我的有限变形的注释)：
定义的特殊情况(第1点和第2点)．将一个向量空间中的元素映射到另一个向量空间中的元素的线性映射就是张量。
压力．通过平衡力，我们找到了一个线性映射，将面积矢量映射到作用在该区域上的力。面积向量是一个向量空间中的一个元素，力是另一个向量空间中的一个元素。我们称这个线性映射为应力，它符合我们对张量的定义。
(顺便说一句，这里我使用面积向量，而不是垂直于面积的单位向量，因为后者不构成向量空间:两个单位向量的线性组合通常不是另一个单位向量。)
变形梯度．通过均匀变形的几何性质，我们找到了将材料粒子的一段直线从参考状态映射到当前状态的线性映射。处于参考状态的段是一个向量空间中的元素，而处于当前状态的段是另一个向量空间中的元素。我们称这个线性映射为变形梯度，它符合我们对张量的定义。
相比之下，我们必须做一些舞蹈，使这两个对象符合张量的传统定义。我们为什么要这么做?再说一次，这是一个社会问题，而不是科学问题。
回复:我有一个梦——关于张量
亲爱的中国:
r·w·奥格登(R.W. Ogden)的书(非线性弹性变形)对张量的定义与卡尔森笔记(第43页)中所做的非常相似。我还要说，这是一本很好的书，重点是寻找非线性弹性的精确解。
马斯登和休斯(弹性的数学基础)区分张量(第65页)和两点张量(第70页)。我认为他们没有定义任何更一般的东西，因为他们在弹性的背景下没有发现太多的用途。
Green和Zerna (theory Elasticity)根据坐标变换定义张量，以及张量分量在这种变换下如何变化(Amit已经提到了这一点)。
问候,
乔
力学课本中张量的定义
亲爱的阿拉什:非常感谢。在连续介质力学的教科书中列出张量的定义是很有趣的。当然，作者可能有比他们在书中写的更复杂的想法。我们正在进行现象学研究。我认为，教科书上的内容是我们教给学生的内容的合理代表。
我看了以下几本书:
到目前为止，在你和我看过的所有书中，只有Marsden-Hughes允许不同向量空间之间的映射。
高阶张量，等价定义
嗨乔,
以下是我的看法:
参考或变形壳体的切线映射从2-d到3-d空间;如你所说，矩阵是矩形的。
变形梯度从一个二维切线空间转移到另一个不同的二维切线空间(其中一个空间中的向量通常不在另一个空间的基的线性范围内)。因此，它的矩阵是2x2方阵，在对流坐标中的“规范”表示是2x2单位矩阵。
我错过什么了吗?
张量表示的矩形矩阵
志刚:这是对你之前的表态的回应。
在连续介质力学(la Carlson)的直接公式中，三维向量空间V_3上的三阶张量是V_3上的二阶张量从三维空间到3x3 = 9维空间的线性变换。因此，它在基底上的表示产生了一个9 × 3的矩形矩阵。类似地，这个张量的转置是一个从9维空间的二阶张量到3维空间的线性变换得到一个3 x 9的矩阵。
所以我们在连续介质力学中做的事情，在需要的时候，会很自然地得到矩形矩阵(不像你声称的那样)，但显然这些都是微不足道的细节，不需要大惊小怪。
对于连续介质力学中三阶张量的一些重要实际应用，直接公式定义如下:
http://www.万博manbetx平台m.limpotrade.com/node/15585
线性代数的在线课堂笔记
大家好，感谢你们一连串富有成效的讨论，我怀着极大的兴趣关注着这些讨论。我更新了课堂讲稿在iMechan万博manbetx平台ica的页面上，可以下载“力学数学”部分讨论中提到的线性代数课堂笔记。
让我们继续讨论标量
这个帖子已经变得非常有趣和长。我还有一个问题想听听你的意见。它是关于标量的。我刚刚发布了一个标题为标量做错。