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2007年2月期刊俱乐部主题:生物膜的计算力学
脂质双分子层是包括细胞膜在内的所有生物膜的重要组成部分之一。脂质双分子层及其在生物膜中的功能可以找到一个很好的描述在这里。它们可能非常复杂，包含数百种不同的成分，所以更简单脂质双层模型通常是在实验室里生产和实验研究的。它们形成封闭的球体结构，称为脂质体，厚度为几纳米，特征线性尺寸可达几微米。较大的这种结构通常被称为巨型单层囊泡，或guv。作为力学家，我们为什么要关心这些结构呢?万博体育平台由于许多原因，脂质膜的弹性特性被认为在控制其潜在构型方面起着至关重要的作用。最近的实验研究例如，膜曲率对生物膜结构域形成的作用证明了这一概念。他们作品的图片被转载(经许可)在这里。
尽管人们肯定会争论连续体模型对这些结构的适用性，但事实上，连续体模型已经提供了大量的见解。此外，虽然分子动力学和其他离散方法当然可以为理解这些结构提供很多帮助，但即使是粗粒度的方法也无法处理guv中许多感兴趣的长度和时间尺度。
并不是说连续统模型更容易!在此基础上进行模拟的一个主要问题是，即使是最简单的进化方程，其阶数也相对较高。例如，经典的双层力学理论由海尔瑞迟(参见……的作品Canham和埃文斯)涉及薄膜表面主曲率的二次弯曲能。这就得到了四阶欧拉-拉格朗日方程。提出的表面成分模型，类似于卡恩-希利亚德方程，在成分领域同样是四阶的。考虑到巨大单层囊泡的复杂几何结构和可能的构型，经典的高阶有限差分和光谱方法基本上是不切实际的。
对于四阶问题，经典的有限元方法也存在问题。在这种情况下，函数的父空间是二阶Sobolev空间H2(S)，粗略地说，这需要在膜表面使用光滑的C1形状函数。有充分的理由，Feng和Klug(1)最近的工作已经从经典的壳有限元转向符合c1细分表面。最近其他结合光滑基函数的工作包括Ayton等人(2)，他们依赖于asmoothed-particle流体动力学(SPH)的方法。
虽然这些方法都有其优点，但都不能合理地模拟预测guv平衡构型所需的拓扑变化(例如球体到环面)(尽管艾顿可能会有不同的说法)。唯一具有这种能力的方法似乎是Qiang Du和他的同事(3)，采用(本质上)canham - hellich - evans生物膜理论的相场正则化。这种处理方法很有吸引力，但它并不是一种特别有效的方法，因为它需要使用统一的笛卡尔网格，并将界面嵌入到更高维度的域中。此外，虽然他们最近的工作已经允许弹性模量的空间变化，但他们还没有将他们的方法与组合动力学相结合。
本文讨论的三篇论文是:
(1)冯峰、郭卫生，2006。脂质双层膜的有限元建模，计算物理学报，vol. 220, 394-408。
(2)杨建军，杨建军，杨建军，2005。耦合场理论与连续介质力学:巨型单层囊泡区域形成的模拟，生物物理学报，vol. 88, 3855—3869。
(3)杜强，刘长春，王晓霞，2006。三维弹性弯曲能下囊泡膜变形的模拟，计算物理学报，vol. 212, 757—777。
我建议从Klug的论文开始，因为它提供了一些很好的背景知识和对弯曲方面的很好的介绍。Ayton的论文涉及耦合化学-机械方面和guv结构域的形成。对于外行来说，这本书可能很难读懂，因为作者正在尝试解决一个非常具有挑战性的问题。最后，杜的论文对这个问题有一个非常不同的看法，我相信这是一个有趣的问题。我欢迎对这些论文进行讨论，并将把我的回答集中在计算方面。
二维薄软表面在三维环境中的变形
不考虑生物化学，我们是在处理这些问题，就像在3D环境中二维薄软表面的变形一样吗?
关于二维薄软表面的变形
当然，建模变形是一个最终目标。然而，确定膜的平衡形状是一个最初的挑战。Feng和Klug的论文把膜当作一个表面。Du等人的论文也是如此，但数字表示有很大的不同。
增加的挑战是对表面积和封闭体积的限制。
刑罚约束
在Feng和Klug的论文中，他们将对面积和体积的“硬”约束改为对面积/体积偏离期望值的能量的“软”惩罚(第2.2.1节)。在一个特定的数值过程中，我做了一些工作，改变惩罚的约束并使惩罚逐渐变大(通过增加惩罚前的系数)导致最终的刚度矩阵逐渐变得病态。
1.当人们从约束转向惩罚时，这是一个普遍的特征吗?
2.在他们检查的特定示例中，他们没有报告这个问题(参见第11页)。对于脂质双分子层问题中经常出现的数字例如渗透压导致的体积限制以及类似的面积限制，这是我们需要注意的吗?
谢谢,
Kaushik
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Kaushik新德里
航空航天工程与力学
明尼苏达大学
联系信息:
http://www.aem.umn.edu/~kaushik/research/#ContactInfo
回复:约束到惩罚
Kaushik,
我相信我可以回答你的第一个问题，也许我们可以请比尔·克鲁格来评论第二个问题。
你所描述的是一种不一致的惩罚方法。在这种情况下，为了保持网格细化的良好收敛性，惩罚参数必须比矩阵中的其他项增长得快得多。结果就是不良的调节。不幸的是，所使用的许多惩罚方法在变量上并不一致。尼采的方法是个例外。
编辑:
然而，不管一致性问题如何，如果在保持网格固定的情况下增加惩罚参数，那么也应该期望看到矩阵的不良调节。然而，这样做没有意义。
替代方法包括增广拉格朗日方法，其中惩罚参数仅用作迭代并获得(真正的)拉格朗日乘子的内核。
回复:约束到惩罚
约翰,
谢谢你提供的信息。我还没听说过变化一致的惩罚。你有推荐信吗?
谢谢,
Kaushik
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Kaushik新德里
航空航天工程与力学
明尼苏达大学
回复:约束到惩罚
Kaushik,
我不确定是否有一个参考文献详细讨论了这个问题。你更有可能找到对这个问题进行简要评论并提出替代方案的论文。沿着这些思路，请参阅对我上面评论的编辑。
回复:约束到惩罚
约翰,
在Feng和Klug的下面(12b)，他们指出，可以任意增大惩罚前的系数，以尽可能严格地执行约束。天真地说，这就是我所期望的。你能详细解释一下为什么如果一个人保持网格固定，除了可能的不良条件问题之外，这样做没有意义吗?
再次感谢,
Kaushik
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Kaushik新德里
航空航天工程与力学
明尼苏达大学
回复:约束到惩罚
Kaushik,
一个是肯定的可以这样做，但不一定是明智的。条件差是一个问题。在某些情况下，我们也应该预料到函数中出现的其他(非约束)项会失去准确性。这是一种权衡。
回复:约束到惩罚
嗨Kaushik,
很抱歉我没有及时回答你的问题和评论。当然，当增加惩罚参数时，预期条件反射问题是正确的。你和约翰对钱的看法是正确的。
在与Feng的研究中，我们对约束精度的要求并不高(如果我没记错的话，我们满足于将面积和体积控制在0.1%左右)，所以我们使用了不太大的惩罚参数。
顺便说一下，在本文中，我们使用了非线性共轭梯度求解器而不是牛顿求解器，因此我们实际上并没有形成刚度矩阵，但对于较大的惩罚系数，条件反射问题似乎确实表现为CG方法的缓慢振荡式收敛形式。最近，(在完成论文之后)我们使用了增广拉格朗日方法，并结合了惩罚系数的增量更新，以便在我们需要的时候获得更好的准确性。这工作得很好，仍然允许CG快速收敛。根据我的经验，至少对于准静态问题，人工智能绝对是可行的方法。
关于你关于基于渗透压等的实际数字的问题，我想说，是的，人们确实需要关注弯曲和面积/体积变化之间能量尺度的分离。抵抗拉伸和体积变化的力/能量比由于弯曲而产生的内力大几个数量级。这就是为什么人们通常认为这些约束是困难的。从某种意义上说，我和冯在这里使用的惩罚系数可能小于测量的面积和体积“刚度”，这似乎有点“作弊”。然而，对于我们选择解决的特定问题(形状作为缩小体积的函数)，不完全满足约束的事实是无关的，因为违反约束只会给你带来有效的压力和紧张感。如果你去掉惩罚项，代入固定的拉格朗日乘数，用惩罚项计算压力和张力，形状仍然会处于平衡状态。无论如何，你对这些问题的关注是正确的，因为它们通常对囊泡力学很重要。
最好的
比尔
回复:约束到惩罚
亲爱的比尔,
我非常喜欢读你的论文。感谢您和John的详细回复。
问候,
Kaushik
谢谢比尔的评论
比尔，感谢你对这个问题的评论，并告诉大家你最近是如何处理这个问题的。我相信这对在这个领域工作的人来说是非常有价值的。
二月杂志俱乐部
约翰，很好的话题和讨论。需要补上所有的岗位。检查票据(起始点);以后可能会有一些问题。
无网格方法和GUV仿真
几年前，我尝试用物质点法来解决巨型单层囊泡(GUV)问题。我想知道我是否可以重现一些由鲍姆加特等人，自然科学，42(5):821,2003。;下面是这篇论文的一些示例图片。
一个模拟问题的例子张志强，陈志强，2006如下所示。
一般的想法是最小化金伯格-朗道自由能泛函
并观察胆固醇和脂质结构域是如何相互作用的。然而，数值方法无法处理这个问题，主要是因为缺乏适合表面的网格。有人知道其他的无网格方法对这类问题有多好吗?(我试图模拟的问题是一个三维问题，除了膜表面胆固醇运动的动力学外，还有流固相互作用。)
re:无网格和GUV
Biswajit,
谢谢你的评论。原则上，我不明白为什么无网格方法不能处理这个问题。实际上，上面列出的第二篇论文基本上使用了一种无网格方法。然而，他们似乎没有得到像谷口的研究那样有趣的结果。
光滑粒子应用力学
在这种情况下，光滑粒子应用力学可能是比材料点法更好的选择。
再保险:垃圾邮件
也许是这样，但是仅仅根据上述情况很难得出结论。我看不出两国都能解决这个问题的理由。
Re:粒子方法和囊泡中的大变形
约翰和亨利，
谢谢你的评论。
原则上，给予足够的离散化，应该能够预测guv的变形。然而，特别是在我之前评论中展示的星形GUV等情况下，所需的离散化量变得令人反感。
在我意识到这种方法无法处理非常大的变形(如果没有非常精细的离散化)之前，我确实与Gary Ayton在SPAM上进行了一段时间的交互。我认为其他粒子方法也存在类似的限制。我想知道每个粒子的支撑力要有多小才能准确地表示s形弯曲。
基于表面网格的Galerkin方法对于这些问题显然是有利的，即使与周围流体的相互作用可能不像物质点法那样容易实现。
Re:大变形和颗粒法
Biswajit,
事实上，SPAM是基于SPH，一种设计用于处理大变形的无网格方法。然而，当涉及材料强度时，SPH表现不佳，并表现出众所周知的拉伸不稳定性。我想知道这是否就是你看到的SPAM。
无论如何，你关于星形轮廓的评论是绝对正确的。在这种情况下，SPAM粒子必须紧密排列以很好地表示几何形状，并且没有人为交互的支持。包装可能是这样的，单处理器计算不再是一种选择。也许这就是你所说的禁止性?
杜，刘和王的预测校正步进
在Du等人(3.18)导出的最终离散化演化方程中，方程组似乎是一个代数非线性耦合(在每个网格点耦合场变量\phi)系统，在每个时间步都要求解。
作者使用“预测校正器”来解决这个系统(3.18)，见3.1节结束。我不确定在这种情况下预测校正器是什么意思。一位CFD研究人员向我展示了一种解决方法，他们称之为“分步法”。了解这两种方法的人知道它们是一回事吗?
再保险:预估
我怀疑这两个词是同义词;我刚刚看到了有问题的部分，我是这样看的。在实体中，预测校正术语更为普遍(弹性-预测器，塑性-校正器)，本质上传达的是，对于更新f_n -> f_n+1，需要两步过程(首先计算预测器，然后通过校正器步骤修复它，因为前者可能不满足任何必须满足的约束)。当然，两者之间还有更多的细节。在流体中，分步方法通常用于求解不可压缩的Navier-Stokes方程(我认为这可以追溯到Chorin在60年代末的工作)。从动量方程中，可以得到速度的近似值(通常这不是无散度的)。然后，用速度场散度在右侧求解标量(压力/压力校正)泊松方程。利用压力/压力校正的梯度对速度近似进行校正，得到无散度的速度场。这就完成了循环。
再保险:预估
Sukumar，谢谢你的澄清。
细分
有几个问题和意见。1.对于膜问题，实现是否比其他细分有限元应用更容易一些(由于细分表面不能插值，需要基本的bcs，幽灵节点和/或拉格朗日乘法器)?原则上，任何C^1近似值都可以工作，但节点基函数支持对于细分来说是“不错的”(节点的2环)，因此积分(3点)不是主要问题;2.CG/线搜索的选择是由于(12b)中的函数不是严格凸的事实，因此CG优先于牛顿(Hessian计算)?3.细分的结果非常好(球体上只有160个节点)。这些解决方案是否合理地融合在一起(没有多少改进)?4. If both the starting area (smaller sphere) and reduced volume are off would one still converge to the same local minima? Is it possible to convexify the problem somehow by modifying the functional of interest (i am thinking of the epigraph)?