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超弹性材料的一致线性化切线模它总是一个正定矩阵吗?
为了得到涉及超弹性材料模型的问题的数值解，我们使用了已知的incremental /迭代牛顿式的解法。基本思想是构造一个非线性方程的离散系统，KU = F,用牛顿法或牛顿法的修正版本来求解。正如我们所知，它导致了内力矢量的系统线性化，并通过链式法则导致了材料模型的线性化。
现在，回到我的问题，我想讨论我们是否可以证明超弹性材料模型的一致线性化过程得到的“刚度矩阵”或雅可比矩阵总是正定的。具体来说，如果我们有一个超弹性材料模型，其标量值能量函数W由Flory-Rehner自由能函数给出，我们是否可以认为“刚度矩阵”是正定的?
谢谢,
马里奥·胡
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评论
和往常一样，这取决于函数
亲爱的马里奥,
有一些应变能函数的一致切线张量不是正定的。例如，奥格登应变能模型可以选择参数，这些参数可以提供非常适合测试数据，但根据德鲁克关于二阶功的假设，会导致不稳定的行为。在这些情况下，至少在材料不稳定的点，切张量不会是正定的，这是可以保证的。
我不知道应变能函数的弗洛里-雷纳形式。如果它是一个基于不变量的相对简单的、非破坏性的张量，那么只要所有的系数都是正的，就可以证明一致切张量是正定的。
欢呼,
马特
马特·刘易斯
新墨西哥州的洛斯阿拉莫斯
刚度矩阵并不总是正定的
亲爱的马里奥，切向刚度矩阵并不总是正定的。正确定性取决于模型的物理性质。当材料失稳时，荷载-位移曲线不连续，刚度矩阵特征值为负。在Flory-Rehner聚合物凝胶模型中，在某些参数范围内，凝胶在某些点是不稳定的，会自发相分离。田中用同样的模型解释了一些凝胶的温度敏感性，这是不连续的。魏
回复:超弹性材料的一致线性化切线模
谢谢你们，亲爱的薇和马特。
现在，它解释了为什么对于某些参数和边界条件我在雅可比矩阵中得到负的特征值。现在，我正在运行几个超弹性问题，使用弗洛里-雷纳自由能函数http://万博manbetx平台m.limpotrade.com/node/3163，但是我没有使用abaqus，而是使用我自己的代码。我可以重现大多数结果，但对于其他一些配置，我的代码失败，但这是另一个故事。
我关心的是求解方程组的有效数值算法。我使用LAPACK例程来解决线性化过程中产生的方程组。我很想使用下面的子程序dposv_，它用于对称正定矩阵，而不是dgesv_。前者采用Cholesky分解算法对雅可比矩阵进行因式分解，后者采用部分旋转的LU分解。如果我们可以使用基于对称正定矩阵的算法，求解时间将大大缩短。你有什么建议吗?
另一方面，刚度矩阵的带状结构是否不受材料模型的影响?还是仅仅取决于节点的连通性?这是我不能完全理解的事情。我知道在线性情况下，当我们有不可压缩材料模型时，我们使用分离的d,p形式(T.J.R. Huges)。有限元方法:线性静态和动态有限元分析。多佛，2000)带状结构被破坏。超弹性材料也会发生同样的情况吗?
这是一个很好的话题，我对它很感兴趣。洪博士，非常感谢您出色的论文。它对我的研究很有帮助。
马里奥
回复:tan模
马里奥,
在我们的论文(http://万博manbetx平台m.limpotrade.com/node/6594)，我们根据魏红作品的相同模型推导出了水凝胶的切线模量的显式公式(Eq. 53)。我们将其编码为ABAQUS中的用户子例程(UMAT)，并能够解决几个问题，包括一个不稳定性问题。
RH
回复:超弹性材料的一致线性化切线模
亲爱的马里奥,
为了补充其他人的评论，我想指出，无论本构模型如何，由于几何效应，切线刚度矩阵可以是非定的。这是在屈曲点附近的情况，或几何不稳定。
最好的问候,
马里诺
马里诺阿罗约
http://www-lacan.upc.es/arroyo/
加泰罗尼亚理工大学
北校区，C2-204
Jordi Girona 1-3
巴塞罗那,08034年
电话:+34 93 4054653
电话:+34 93 4011805
传真:+34 93 4011825
几何不稳定
亲爱的马里诺,
感谢您指出由于几何不稳定而产生的非正切刚度。我完全同意。然而，解决这种不稳定性问题在数值上具有挑战性。例如，在ABAQUS中，我们遇到了屈曲或折痕点的数值稳定性和收敛问题。你认为解决这类问题最好的数值方法是什么?
最好的问候,
RH
回复:几何不稳定性
亲爱的瑞,
的确，牛顿的方法很难收敛到平衡解。如果你寻求稳定的平衡，那些可能被观察到的平衡，一个好主意是结合牛顿法和直线搜索法，保证总势能在每次迭代中减小。这是非常健壮的。
最好的问候,
马里诺
马里诺阿罗约
http://www-lacan.upc.es/arroyo/
加泰罗尼亚理工大学
北校区，C2-204
Jordi Girona 1-3
巴塞罗那,08034年
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再保险:几何不稳定
有几种方法可以做到。其中之一是弧长法或使用下降和梯度最小化方法，如“J.T.奥登。非线性连续单元的有限元。Dover.2000”。我现在正在计划做这件事。不幸的是，我是一个人工作，我不能像我想的那样快。
马里奥
备选控制方案
如果你的问题没有反弹(但可以有峰值或通过)，一个相当简单的位移控制方案将工作(我在一个旋转桁架程序中使用了这种技术，请参阅第7页开始的算法大纲http://people.wallawalla.edu/ louie.yaw / Co-rotational_docs / 2 dcorot_truss……)．虽然算法是为桁架程序，关键思想仍将适用于您的情况可能。
如果你的问题是反弹、通过、峰值点和可能的缠绕环，弧长控制的另一种选择是广义位移控制，它非常有效。我已经在matlab中为我的旋转桁架程序编程，也为一个旋转2D梁程序编程。
描述广义位移控制的一篇很好的论文是
杨宇波，吕丽娟，杨宇波，后屈曲追踪的关键考虑因素
多线圈结构的响应，先进材料力学和
土木工程学报，2014,27(3):344 - 344。
问候,
路易
方法在博客中
方法在博客中http://万博manbetx平台m.limpotrade.com/node/4124也可以解这个非正定的情况。