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一个点和一个粒子
我们中的一些人一直在讨论柯西重音的存在与否一个理论先生提议的。福尔克·h·科曼．虽然这样的讨论可能对许多力学家来说很有趣或无关紧要，但从教育的角度来看，我认为这是一个挑战，让我清楚地了解连续体力学是什么，万博体育平台如果有的话，它的局限性是什么。不幸的是，这些讨论并没有取得成果，而且可能让许多读《力学》的人感到厌烦。万博manbetx平台为此我向你道歉。但是，我仍然希望，如果我们能够澄清或承认双方在讨论中提出的误解，可能会达成一些共识。首先，我在下面总结了关于连续统中的点和离散系统中的粒子可能存在的误解。我的理解是，这两者本质上是不同的，但在科内曼先生的理论和讨论中被混淆了。由于许多力学家正万博体育平台在研究连续力学和离散建模(例如，原子动力学，分子动力学)，这样的列表可能并非完全无关紧要。当然，我欢迎评论和讨论，使名单更准确，更完整。
(0)首先，连续统中的一个点不等于或表示离散系统中的一个粒子。连续体中某一点的状态，如温度和压力，是一个代表性体积中许多粒子的统计平均值。
(1)连续统有无限个数的点;一个离散系统有有限数量的粒子。
(2)连续统中的一点体积为零，质量为零;离散系统中的粒子(如原子)具有有限的体积和有限的质量。
(3)连续体表面上的一点面积为零，因此在外力(p)作用于一点的力为零(f = PA)。对于一个在外部压力下的离散系统，作用在其表面的一个粒子上的外力不为零(由粒子之间的内力来平衡)，但表面上所有外力(以矢量形式)的总和在平衡状态下为零。连续体的相同平衡条件导致表面积分:int(p n_i)dA = 0，其中n_i是表面上的单位法向量，(p dA)是作用在微分面积dA(不是单个点)上的力的大小。这个条件仅仅是力平衡，并不意味着环境对系统做的功为零。
(4)在连续体内部，力在每一点上都是不确定的。通过选择一个经过点的微分面积(dA)，在该点存在一个微分力矢量(通常称为牵引力，df_i = T_i dA)。考虑到面积(法向)和力的矢量性质，需要一个二阶张量，以便可以评估任意选择的微分面积上的力。在一个离散系统中，粒子之间的相互作用直接导致作用在每个粒子上的力。在平衡状态下，作用在每个粒子上的所有力(内力和外力)之和为零。
(5)连续体中的物体力(如重力、惯性)被定义为单位体积的力(质量密度乘以加速度矢量，单位[N][m^(-3)])。在离散系统中，重力和惯性集中在每个粒子中。
(6)由于在连续统中不考虑单个粒子，所以当系统被视为连续统时，原子键不会明确地出现。离散原子系统中原子键的定义是通过原子相互作用(不一定是对相互作用)，具有特定相互作用(例如，短程/远程，强/弱相互作用)的固有长度尺度。原子相互作用的影响可以用连续体模型来解释，比如用柯西-伯恩规则或其修正形式。
评论
评论
亲爱的瑞:
(1)连续统有无限个数的点;一个离散系统有有限数量的粒子。，也许你的意思是:连续统有不可数的点，而离散系统有可数的点。请注意，例如，Bravais格有无限多个点，但该集合是可数的(即与整数有一对一的对应关系)。
还要注意的是，我们在力学中所说的“连续统假设”与它在集合理论中的含义是非常不同的。在这里，“连续统假设”(由康托尔提出)认为不存在严格大于整数的基数且严格小于实数的基数的基数(对于有限集合，基数是集合中元素的数量)。根据定义，可数集合具有整数的基数性。
问候,
乔
同意
亲爱的乔,
谢谢你的澄清。显然我对集合论不太熟悉。对于Bravais晶格，如果我们考虑一个有限体积的系统，粒子的数量是有限的吗?我知道在原子建模中，周期边界条件经常被用来模拟一个无限系统。
RH
无限vs有限
亲爱的瑞:
Bravais晶格有无限个点，这些点可以由有限个向量(晶格向量，让我们假设我们处理的是一个简单的晶格)生成，这些向量定义了一个单元格。Bravais晶格中的单元格是具有对称群的物体的“基本域”的一种特殊情况。在没有缺陷的情况下，你可以看一个单元格，计算动力矩阵，例如，等等，它代表了无限系统的行为。换句话说，使用三个方向的对称性，你可以将问题简化为一个有限大小的系统。但是底层晶格仍然是无限的。
当存在缺陷时，例如一个点缺陷，人们通常假设给定一个足够大的域，单个缺陷(或缺陷集合)与外部世界(即其他缺陷)的相互作用可以被忽略。通过这种方式，对具有单个缺陷的无限域的分析被简化为周期系统的分析(每个单元中有一个缺陷)。当存在大范围的相互作用时，例如点电荷的静电相互作用，人们必须小心使用这个近似。
如果你有一个扩展缺陷，如畴壁或自由表面，你仍然可以使用一些部分对称性，例如平行于自由表面的粒子有相同的扭曲，你会把问题减少到一条线或半线问题，但不是有限的。同样，你可以进行近似，在自由表面的情况下使用平板(具有足够大的宽度)近似。
问候,
乔
对称群
乔,
你有一个或更多的来源来介绍/推导晶格和对称群之间的关系吗?这是我想了解更多的东西，但缺乏一个好的来源(更不用说做一个仔细的搜索时间)。
提前感谢，
丰富的
Re:对称群
亲爱的丰富:
有很多书讨论了群论在物理学中的应用(我最喜欢的是董武基的《物理学中的群论》)，但关于晶体的应用，我看过的最好的书是:
M. Pitteri和G. Zanzotto晶体相变和孪晶的连续统模型
问候,
乔
Re:对称群
有钱了,
在这方面，我发现另一篇有益的文章是罗伯特·纽纳姆的《晶体的性质:各向异性|对称|结构》。
杰森
Rich，我特别喜欢
有钱了,
我特别喜欢下面这本书，因为它是相当系统的(例如使用群论)，而且处理是基本的(通常不是这样):晶体性质通过群论．
科内曼质量点
以下是科内曼评论的链接:http://www.万博manbetx平台m.limpotrade.com/node/5014?page=1(你必须向下滚动网页才能看到评论)。
RH
点和粒子
瑞,
你的区别对我来说是合理的。一些小的评论是
连续点处的力是零，不是没有定义的。如果我们假设力密度可以用张量的散度来表示，那么在零测量的体积上积分得到零力。
一个有用的类比是，粒子力学可以与离散概率空间相关联，其中事件是粒子系统的所有可能子系统。可以有无数个粒子。粒子平衡被实现为随机变量。如果概率空间被解释为一个积概率空间(位置和动量，例如相空间)，你就会得到一个有限粒子数量的限制。
将离散力学和连续力学联系起来的一种方法是通过相空间中的期望。这首先是由欧文和柯克伍德(1950)doi:10.1063/1.1747782完成的。这是一个令人着迷的结果，连续体平衡可以通过统计考虑来实现。经典连续统理论是由更进一步的近似(与简单材料有关)得出的。
丰富的
力作为狄拉克函数
我一直认为集中的力是狄拉克函数。实际上我们有非常局部的压强分布我认为把它简化成数学上的狄拉克函数是有意义的，在接触点x处是无限的，在x+和x-处是无定义的
有什么原因可以解释为什么这种解释不能很好地适用于连续介质力学吗?它似乎也非常适合连续介质力学的数学(当然我还没有深入研究理论问题)
狄拉克函数
米凯尔,
狄拉克函数可能很有用，但从数学角度来看，你需要小心。
以狄拉克函数表示的密度是无限的，但在体积上积分的狄拉克函数是有限的(假设不包括狄拉克的被积函数在狄拉克未定义的点上是连续的)。
对一组零体积的狄拉克函数积分等于零。你可以把狄拉克函数的积分近似为一个很好的函数的极限在狄拉克函数没有定义的地方达到顶点。
还要记住，经典3D弹性通常所处的函数空间，点载荷是未定义的。
丰富的
回复:狄拉克函数…
亲爱的有钱了,
我不太明白你这话的意思:
“…(假设不包括狄拉克的被积函数在狄拉克未定义的点上是连续的)……”
你还想到了什么被积函数?这些(有限)测试函数的一个序列其极限表示?还是别的什么?
在你的下一段中，你还说:
“…狄拉克函数的极限在狄拉克函数没有定义的地方达到顶峰"
我有一种感觉，如果我们参考上面的第一个图表狄拉克“函数”的Wiki页面，你可以取狄拉克的未定义的在x = 0处。
好吧，如果它在x = 0处没有定义，并且已知它在定义域的其他地方(即对所有其他x值)都消失，那么我们如何描述“它”呢?..．
…我认为可以考虑狄拉克函数在x= 0处的定义。这里可以用"定义"这个词，因为反正不是函数。(而且，万一我说错了，我很想知道应该用什么词来代替“定义”。)
把事情弄清楚一点
特的,
让我来澄清一下我的一些相当松散的陈述。
(1)
众所周知的恒等式\int (f(x) \delta(x)) dx = f(0)假设f在0点连续。
（2）
我们有\int (f(x) \phi_n(x)) dx有极限f(0)当\phi_n(x)在0处达到峰值时，\int (f(x) \phi_n(x)) dx = 1对于所有n和一个收敛的函数序列\phi_n(x)在0处连续。这是理解正在发生的事情的一种有用的方法。想想标准化的高斯函数。
Arash从分布的角度对函数进行了简明而精确的解释。(x)在0处没有定义但它在任何内部为0的体积上的积分是有定义的。这个词δ函数是严格形式化的，只有作为线性泛函才有数学意义。所以不管\(0)是否无定义。
丰富的
回复:关于狄拉克delta的澄清…
有钱了,
这是一个很好的澄清……(实际上，关于第一部分，我在发帖后不久就明白了你的意思……发生了…)
再一次，我希望一位数学家为我澄清这件事:
真的是狄拉克的吗未定义的在唯一有支持的地方?
毕竟，范围值必须唯一的要求只适用于函数，而不适用于分布，对吗?如果我错了，那为什么还把狄拉克的分布称为a分布呢?另一方面，如果我是对的，那么把狄拉克函数定义为支撑点又有什么害处呢?拥有狄拉克的增量理论的全部意义不就是要区分一个点——支撑点吗?这就是我的观点。
(如果你的数学很好，即使不是专业数学家，也欢迎你澄清。)
我的理解
特的,
\函数定义的定义域是一个函数空间，而不是定义域
其中f(x)(\函数作用的测试函数)是定义的。与\delta函数相关的“点”是f(x)而不是x。
从这个意义上说，我们可以说函数在f(x)点的值是
f(0)。没有必要(甚至没有意义)讨论函数在x处的值，特别是\delta函数，它是一些普通函数无法生成的函数。
至于定义\ δ函数在x处的值的“危害”，我认为主要是从上面提到的数学概念考虑。
希望这对你有所帮助。
关于x定义域的狄拉克函数:
徐,
我认为δ(x)函数是在x域中定义的。例如，δ(x)用于移动荷载问题的定义，其中移动荷载P作用于桥梁结构。因此，为了捕获由于移动载荷引起的不同接触点，函数定义为δ(x-ct)，相应的力函数定义为δ(x-ct)乘以P，其中c是移动载荷的速度，t是时间，因此ct定义了载荷P的作用点。
Vgn
研究生
俄克拉荷马大学
δ(x)是一个泛函
文卡特桑,
在力学中，δ(x)通常用来表示在x=0处施加的单位集中载荷。它不是你提到的“力函数”的数学表达式。它是在测试函数空间上定义的函数。它不是普通意义上的“函数”。
当外荷载不够光滑或规则时(如集中荷载)，则不存在相应PDE的经典解。我们只能讨论PDE的广义解。在这种情况下，通常使用所考虑的PDE的弱形式。就力学而言，这只是PDE的“虚功”形式。
这个“虚功”形式的右边，是应用程序所做的虚功
施加在虚拟位移上的力(测试函数)。然后，对于给定的外部负载，对于每个虚拟位移(测试函数)，都有一个实数(功)与之相关联。从
这个意义上，我们可以把“外部负载”看作是一种功能。δ(x)就是这样一个泛函，它给出了1*u(0)对于用合适的函数定义的测试函数u(x)
空间。
δ(x)通常被描述为一个“函数”，使得δ(x)在x=0处=无限大，在其他地方δ(x)=0。从我的理解来看，这只是给我们一些数学上的“感受”
对象，而不是它的“表达式”。如果我们把δ(x)看作普通函数，它的一些性质就不能理解了。
当然，δ(x)与普通函数也有一定的关系。因为它可以
看作一个泛函，它是由普通函数生成的一些泛函的弱极限。这些函数通常会逐点收敛为这样的“函数”
"=" x=0处的无穷大;= 0。
回复Xu关于Delta函数的问题:
亲爱的徐
谢谢你的评论。
我只想提一下δ(x)是在x的定义域上定义的但是值域可能取决于它所关联的函数。
你说:<<这不是你所说的“力函数”的数学表达式。>>
但我从来没说过。我只指出了我们将delta函数关联到激活负载效果的地方，因此delta函数的作用就像“开/关”开关。力函数(我提到的)只与这个问题有关，其中积δ(x-ct)P被认为是一个力函数。
当作用于函数时，你所说的泛函就出现了，比如δ(y(x))，我相信，这就是定义域变成函数空间的时候(从通常的x)虽然我知道这里的定义域变成了函数空间，但我不知道它的范围是什么(一个泛函空间?)
Vgn
研究生
俄克拉荷马大学
亲爱的文卡特斯,
亲爱的文卡特斯,
根据我的理解，δ(x)的定义域是测试函数空间。的范围
δ(x)总是实线。它不“依赖于它所关联的函数”。
工程师发明了δ(x)，数学家建立了它坚实的数学基础。
正如我之前所说，我们可以对δ(x)有自己的理解，但关键是要正确地使用它来得到正确的结果。
非常感谢您的评论。
致以最亲切的问候
徐
但是“功能空间”并没有真正解决我的问题
徐,
谢谢你的回复。
我不确定正确的数学术语/语言是什么。但是是的，我可以看到，作为一个泛函，狄拉克函数必须以一组函数作为输入，并产生一组相应的数字作为输出。现在，指的是MathWorld网页，我推测输入集合由这些测试函数组成，因此，输出数字将只是这些测试函数在x = 0处的值。本质上，这就是你所说的，对此毫无异议。
但所有这些仍然没有解决我提出的基本问题。
说明这个基本问题的另一种方法是向下滚动MathWorld页面，并引用等式。(2)、(3)等见本页。特别是(2)式给出了狄拉克函数涉及某个“a”的性质。
现在我的问题是，根据方程(2)我们如何理解狄拉克函数的垂直线是在x = a处而不是在x = 0或其他任何点?我们如何传达这个基本事实?
最简单的表达方式就是狄拉克函数是定义在x = a处而不是在x = 0处。现在，这有什么害处呢那？这是我最基本的问题。就像我上面说的，我个人认为，我看不出有什么害处，因为狄拉克函数不是一个普通的函数，这已经是上下文的一部分，所以，它不需要说在x = a处定义。
如果数学家们，在彼此交谈的时候，不说狄拉克的是定义在x = a处，它们如何区分a点与其他点的区别?还是它们总是在抽象的线性泛函/函数空间中飞得很高而从来没有落到x = a被定义的区域?这也是我作为工程师的第二个问题。
事先感谢您澄清这些具体事项。
- - - - -
就在你读到这篇文章的时候，我仍然没有工作(多年来一直如此)。
亲爱的特,
亲爱的特,
我想对于数学家来说，当他们谈论“狄拉克函数”时定义在
X = a"也许他们会用δa(X)或者δ(X -a)来表达这个意思
一个线性连续函数，返回测试函数的值在x = a。在这里一个是
用于识别特定\ δ函数的参数。
不管怎样，把数学放在一边，作为机械师，我们可以有自己的语言。万博体育平台
关键是正确地使用\delta函数来得到正确的结果。
致以最亲切的问候
徐
狄拉克函数的支持
亲爱的特:
我看不出狄拉克的定义有什么含糊之处。首先，当支撑点是原点时定义它，然后支撑点可以移动到实直线上的任何其他点(或者在高维问题中是R^n)。移位可以对任何分布进行定义。狄拉克函数不能完全确定，除非给出它的支持，也就是一个点。所以，有人会说" x = 0处支持的狄拉克函数"或者" x = a处支持的狄拉克函数"(这是两种不同的分布)分布的支持是(在R^n的标准拓扑中)分布不是“零分布”的点集的闭包，即对于那些点总是存在一个非零测试函数，其分布是非零的。
问候,
乔
分布理论
亲爱的迈克尔:
S. Sobolev和L. Schwratz(以及其他人)在30年代和40年代建立了一种严谨的看待狄拉克“函数”的方法。在严格的理论中，人们不考虑“广义函数”的点值。你要做的是:
首先定义一组测试函数。它们是具有紧支撑的无限光滑函数，即在紧集(在R^n的情况下是一个封闭有界区间)外为零。现在一个分布(广义函数)是这个集合的对偶。换句话说，给定一个分布，它将一个实数与任何给定的测试函数联系起来;分布是测试函数空间上的线性连续泛函。
在Dirac delta的情况下，当它作用于任何测试函数时，它给你在原点(或支撑点)的测试函数的值。人们可以定义分布的导数和许多其他算子。
我不是在回答你关于离散系统的问题，但如果有一个严格的理论，它应该基于这些想法。
问候,
乔
力密度与力
亲爱的有钱了,
在一个连续体中，你只能定义一个力的密度——无论是物体的力(体积密度)还是表面/线的牵引力(面积/线密度)。
定义密度是将力的粒子力学概念与连续体力学框架内定义的概念相对应的唯一理论方法(反之亦然:将这些连续体密度从CM中取出并进入粒子力学领域)。
因此，“连续体内的力”的概念在原则上是未定义的。(实际上，这是一个任意概念的例子。)
阿吉特，我同意
特的,
我同意你的看法。
我的理解是，当我们在连续介质力学中讨论力的时候，我们已经积分了一定体积的力密度。如果体积为零，那么力在这一点为零，但力密度肯定不是。
丰富的
那就不能说力了
有钱了,
不，说真的，你不同意我的意见。
我仍然认为，力在连续介质力学中是一个未定义的术语;只有(某种形式的a)力密度是。相反，你认为当体积为零时，有可能有意义地谈论一个力。我坚持认为你不能。这就是我们立场的不同。
注意，函数在某一点的极限和函数在这一点的值是不一样的。这两个概念不同。有时，在给定的点上可能只存在极限;函数本身可能在那时还没有定义。确切地说，连续体中的“点-力”恰好就是这种情况——它没有被定义。
阿吉特，好吧，你来吧
特的,
好的，你说得很有意思。当我说到零体积，然后积分，这在数学上是允许的，尽管从力学的角度来看可能没有意义。
丰富的
里奇，你找到的好东西
有钱了,
很高兴你觉得这一切都很有趣。
但我不确定即使是数学也能像你说的那样。
你有任何来自数学科学(更不用说力学)的证据或支持来证明你可以从一个零尺度的体积开始，并且仍然能够围绕它的面进行积分(很明显，每一个都是零尺度)，而不是从一个有限的体积开始，然后通过一个适当的极限过程接近它的零尺寸?
我不这么认为。牛顿本人也煞费苦心地强调这一点(尽管微积分太新，甚至连他自己也无法很有效地传达)。而且，没有功能分析学家或测量理论家能够推翻牛顿自己所知道的基本考虑。
简单地说，最好这样记住，有两个要点:
(1)所有的连续统理论定义最终都涉及一个微分元。顺便说一句，这正是我刚刚指出的我的第一个评论是w·r·t·福尔克内曼的理论就在去年。令人满意的是，许多/所有这些要点后来都被其他机械师注意到了。万博体育平台这也包括“标量”的定义，比如压强或温度。(甚至温度也不是点现象——它的定义也需要微分元素。)
(2)正如牛顿本人所强调的(以及此后所有数学家所强调的)，微分元素具有无限小的尺寸，也就是说，即使它可以像你希望的那样小(仅仅因为它被用于极限过程)，它的尺寸也绝对不是零。和都是用著名的表示方式非-大小为零。
结论:在数学上就像机械地一样，你说的话是做不到的。如果你有其他证据，我想知道。
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如果读者允许我插话:客观主义哲学家哈利下肢痉挛性他认为，也许是基于某些古希腊人的观点，即使是像运动本身这样基本和简单的事情也不能被描述为发生的事情在一个点;它只能用越来越小的长度(dl)和持续时间(dt)来描述，两者都不可能为零。原则上．是后来的理性主义传统普及了在空间的某一点上发生的事情的观念，即使这个点本身，正如大家所知，在欧几里得的原始文本中没有定义。
换句话说，零甚至不能作为运动的数学定义的基础。(我用一个非常有意义的双关语(自制的)来记住它:“零是无的基础”，或者更强一点:“无可以以零为基础。”)零是一个严格的衍生概念，只有在某些更高层次的操作上下文中才有意义。
如果你把空间看作一个连续体(一个不保留物质性，只保留空间属性的概念)，这个想法很容易理解。
[顺便说一句，关于宾斯旺格的立场，我只能通过浏览安·兰德书店和其他类似来源的免费课程小册子等来收集一些信息。我已经好几年没钱了(包括我在美国的那段时间)，无法买他的产品。所以，想要了解他的立场，请直接与他联系。]
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就在你读到这篇文章的时候，我仍然没有工作(多年来一直如此)。
最近的一篇论文
亲爱的瑞和富:
欧文和柯克伍德是一篇经典的论文，正如里奇指出的那样，是最早建立离散力学和连续力学之间联系的几篇论文之一。最近有一个纸伊恩·默多克教授的书，阐述得非常清晰严谨。我和我的学生已经研究了一段时间的相关主题，我发现这篇论文是最有用的，因为它将原子学与连续介质力学联系起来——特别是大多数力学家学习的连续介质力学的品牌和风格。万博体育平台
欧文和柯克伍德
Pradeep,
默多克教授的论文非常出色，特别是对于那些受过连续介质力学训练的人来说。一直困扰我的是，Ian的权函数不是非负的。因此，不能排除负质量。
这是一篇非常优秀却鲜为人知的论文热力学分析与统计力学分析沃尔特·诺尔著。(见
从统计力学推导连续统热力学基本方程这是一篇引人注目的论文，其中导出了连续体平衡(与Irving&Kirkwood导出的近似线性动量和能量平衡相反)。Noll之所以能够做到这一点，是因为在论文末尾引入了两个引理(Murdoch的工作大量使用了这些引理)。
英文翻译和我正在修改的评论将由《弹性杂志》发表。你也可以阅读周动力学的统计力学基础1 .质量和动量守恒定律我们证明了欧文-柯克伍德导出的连续统理论不是经典的连续统理论。经典理论是由随后的近似产生的。
丰富的
祝贺你最近获奖。
我同意……诺尔的论文是
我同意……诺尔的论文很棒....我没有意识到这篇论文已经被翻译(由你!)并发表在arxiv上——谢谢你指出这一点。我会再读一遍。我们也用了诺尔的结果。翻译后的论文预计什么时候在J. El上发表?我会看一下周围动力学的论文....
普拉迪普，我想
Pradeep,
我想报纸会在今年夏天的某个时候出版。我会发到机械师那里。万博manbetx平台
应该感谢艾略特·弗里德和罗杰·福斯迪克，他们听说我是为自己的研究而翻译的，然后努力使翻译出版。
丰富的
瑞的第0点
亲爱的芮(和其他人):
在你的观点中没有。(0)以上，你说:
“…连续体中某一点的状态，如温度和压力，是一个代表性体积中许多粒子的统计平均值。
我认为，从理论上讲，这里包含“统计”这个词使它有点太狭隘了。
“统计”这个词意味着随机性……现在，我们是否必须假设状态属性，如温度和压力，在每一个连续体中都必须经历随机波动?为什么这些波动不能是非随机的或系统的波动呢?毕竟，连续体只是一个抽象概念，对吧?(在这里，关于连续体的基本性质，我想起了志刚关于为什么我们必须发明连续体，如果它不存在的话……)因为连续统基本上是一个抽象概念，你总是可以假设它有一个非随机波动，对吧?一个简单的例子:电子波函数是随机的;但它在MD模拟中的表现是完全确定的。
进一步思考，我甚至不确定连续体中某一点的状态是否必须是一个平均(无论是统计的还是确定性的)。事实上，这在某种意义上是不是暗示了循环?考虑一下:点P的状态是由其他点的状态决定的(在点P取其平均值)，而其他点的状态是由点P的状态决定的……显然，这是一个循环，“状态的价值”这个概念基本上一直没有定义……
认识到连续体描述基本上(甚至是公理化地)在每个点都包含一个状态定义，这种循环很容易被打破。
对热波动等更复杂的现象进行更稳定或更低微分阶的描述时，求平均值是有用的。然而，连续统模型本身不需要被取平均值的过程所束缚——这是基本的观点。
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除此之外，芮，你的努力是非常值得称赞和赞赏的。我的意思是，这是一个很好的要点列表。
平均方程是一回事;闭包又是另一回事
Pradeep,
一个不太知名的作者发表了一篇不太知名的论文，使用了时空平均，我觉得很有用
(1997)颗粒材料的平均平衡方程，国际。工程学报，vol . 35, p. 523-548。
这实际上处理了，如果我可以说，碰撞的MD问题。
作为相关的，我希望，最后，主要的问题，在我看来，是封闭的，你如何写这些平均余额中出现的项，根据微观实体，根据平均量或这些平均量集合的一个小增量来定义。这是一个重要的问题，也是记忆效应预测的核心，与微观保守物理相关的宏观耗散，宏观粘滑作为混合微观快速运动和死停等的极限....
有一本发人深省的书探讨了这个大问题的一小部分:
从双曲系统到动力学理论——个性化的探索
系列:
意大利数学联合会的课堂讲稿
，第6卷
凶悍的人,卢克
2008年第28期，282页，软版
ISBN: 978-3-540-77561-4
我理解的技术部分!(我想我要花两辈子的时间来学习才能真正理解鞑靼)是纯金——在我看来，你也会从我们这个时代和上个世纪最严肃的思想家之一那里得到关于科学和科学家的有趣而个人的观点。
- - - - - -阿米特
阿米特,谢谢…我没有
阿米特,谢谢…我没有一个ware of Babic's paper. I will take a look
“闭包”?
关闭?确切地说，是关于什么操作的?
题外话:既然我使用了精确的数学术语，这应该足以很好地表达我对这个主题的想法，对吧?或者，我真的错了吗?可以如果我说了我刚才在旁边做的事?]
粒子及其性质
粒子的密度是它的性质之一，它决定了它在单位体积下的质量。如果我们需要在连续域中积分我们可以用微分体积dV的定义。和流体力学一样，这些性质也可以应用于固体力学。动能可以用(1/2)来定义。(点V) ^ 2。
粒子及其性质
粒子的密度是它的性质之一，它决定了它在单位体积下的质量。如果我们需要在连续域中积分我们可以用微分体积dV的定义。和流体力学一样，这些性质也可以应用于固体力学。动能可以用(1/2)来定义。(点V) ^ 2。
连续体与粒子
亲爱的黄锐先生
在你博客的第(2)点中，你定义了一个具有有限体积和有限质量的离散系统。我更喜欢你们叫它微分体积dV(或基本体积)和微分质量dm(或基本质量)连续域可以由连续域精确积分得到，也可以由连续域数值离散得到。
穆罕默德·拉明·穆萨维