连续介质力学的第一课

作为对志刚的论坛话题在连续介质力学的第一节课上，很巧这学期我也在教连续介质力学的课。我将列出我们在伯克利教授的连续介质力学课程大纲。

伯克利在连续介质力学方面有自己的传统和特色。历史可以追溯到保罗·纳格迪，汤姆·休斯，杰里·马斯登，胡安·西莫，大卫·博吉，科比·路比林纳，鲍勃·泰勒，卡尔·皮斯特，詹姆斯·凯西，乔治·约翰逊和其他一些人。

以往的研究重点是微分拓扑在流形上的有限变形和非线性有限元方法的应用。多年来，在我之前，伯克利的教师可能已经形成了自己的连续介质力学课程——所谓的“西海岸体系”。

我们先从张量代数和分析开始。在第一门课中，我们主要教授欧几里得空间中的笛卡尔张量，但我们也引入了诸如“前推”、“后拉”等概念。盖托导数，李导数，协变和反变张量，切线空间，等等，尽管我们在这门课上不需要任何预先要求除了高级材料力学和多变量微积分。

在初步的数学准备之后，我们开始讨论运动学，这是在有限变形的背景下。介绍了变形梯度、左/右柯西-格林张量、拉格朗日-格林应变、欧拉-阿尔曼西应变等应变测量方法。重点研究了变形梯度的极坐标分解，得到了旋转张量和左右张量。我们将有限变形简并为无穷小的情况，并详细讨论了无穷小变形的物理意义，如小应变和圣维南相容条件，我们不假设学生已经学过任何弹性课程。

在运动学之后，我们研究了平衡。我们介绍了柯西应力，第一和第二皮奥拉-基尔霍夫应力，Biot应力等概念。重点介绍了应力的转换和应力测量的物理意义。

然后，我们研究了平衡定律、材料时间导数、变形率以及各种应力率，如Jaumann率、Treusdell率、Oldroyd率、Green-Naghdi率等。一旦完成了这一点，我们就开始讨论物质框架-无差异和客观性，为过渡到本构关系的研究做准备。

本课程的第三个主要部分是本构关系。目前，我们讨论了四种类型的本构关系:

(1)弹性:包括线弹性、低弹性、高弹性;例如，我们讨论了Neo-Hooken材料，Mooney-Revilin材料等。

(2)准连续统理论:包括嵌入原子法和准连续统法;

(3)塑性:包括无穷小塑性理论和大变形理论。但对于有限变形塑性，我们只讨论了速率公式。我们把李e . H. Lee的有限分解和超弹塑性理论留到后面的课程。这部分课程与非线性有限元理论密切相关。例如，许多材料取自Tom Hughes和Juan Simo的“计算弹性”和Ted Belytschko, Wing Liu和Brian Moran的“非线性有限元方法”。例如，我们讨论了连续正切和Simo-Taylor算法正切在线性化方面的区别。

(4)粘弹性

这是这门课的大纲。我每周上三节课，持续14周。我们有一次期中考试，一次计算机项目和一次期末考试。每个星期，学生将交一个HW来回答大约六个问题。

总的来说，这门课对很多学生来说都是一个挑战，但至少我能看出他们喜欢这种智力上的挑战。

由于时间限制，我们不能涵盖连续介质热力学，变分原理和变分微积分，梯度理论等。这些都留给下个春天的高级连续介质力学。

此外，我们不能像Timonsheko和其他方法那样解决许多应用问题，但这还是留给了一些其他面向应用的力学课程，比如我下学期要教的“引入微观力学和纳米力学”。其中包括Green函数理论、位错理论和位错动力学理论、一些断裂力学理论、构型力力学、包体理论、空穴生长理论和多尺度均质化理论。