2018年10月杂志俱乐部:薄片的Ruga力学:起皱，皱褶和折叠

腾张

雪城大学机械与航空航天工程系

介绍

如标题所示，我们将讨论Rgua(1)和thin films(2,3)。对于“Ruga”，我直接借用了之前Journal club的开场介绍。《Ruga》机制由Mazen Diab博士、Ruike Zhao博士和Kyung-Suk Kim教授组织。“ruga是一个拉丁术语，意思是各种波形材料配置的单一状态，在固体表面、界面和薄膜上形成不同的2d图案。典型的ruga结构包括大幅皱纹、折痕、褶皱、脊、皱纹、皱和皱褶。”薄膜在自然界和工程结构中无处不在，从纳米级的石墨烯薄膜到毫米级的聚合物薄膜，从厘米级的衣服到千米级的太空气球和浮动冰盖(图1)。在本次俱乐部讨论中，我们将重点讨论薄膜和ruga构型力学之间的交集，这绝对只是薄膜力学和ruga力学的一个子集。此外，我们最近与雪城大学物理系的约瑟夫·保尔森博士就浮动薄膜的不稳定性进行了合作，这也是本讨论的动机。因此，我将从漂浮在水面上的薄膜的起皱、皱褶和折叠入手，以其为代表实例，探讨重力、表面张力、曲率和弯曲变形在确定一般薄膜结构中各种ruga模式时的非线性耦合。

图。1。(a)拉伸石墨烯薄片的褶皱(4)，(b)环形石墨烯薄片的扭转引起的褶皱(5)，(c)用薄膜包裹液滴(6)，(d)漂浮薄膜的折叠(7)，(e)圆柱壳的褶皱和褶皱(8,9)，(f)基于数值模拟的衣服褶皱(10)，(g)谷歌气球，(f)漂浮冰盖。(g)和(f)中的图片来自互联网。

这是一个很长的帖子，虽然我一开始没有想到。所以我试着让每个部分都独立。我只有很短的时间来准备这个俱乐部的讨论，很可能会错过一些有趣和相关的研究。请指出这些研究并参与讨论．也请原谅我写作中的错别字。

适用于薄板褶皱的通用标度定律

在我们开始讨论特定薄膜中的皱纹之前，我们想回顾薄膜起皱的普遍规律。以拉伸聚乙烯薄片的褶皱为例，Cerda和Mahadevan(11)推导出了薄片褶皱波长的普遍规律为

λ=2π(B/K_eff)^(1/4)， (1)

式中，B和K_eff分别为薄板弯曲模量和有效刚度。对于拉伸的薄板，K_eff来自于拉伸应力。另一个简单的例子是液体基底，刚度是K_eff=ρg。式(1)中的标度定律同样适用于固体衬底，其有效刚度取决于波长(12)。

图。2。(a)起皱的几何和物理(11)，(b)薄膜中起皱的曲率效应(13)。

近年来，弯曲结构中的褶皱，无论是具有固有曲率还是变形引起的曲率，都引起了人们的广泛关注。Paulsen et al.，(13)将式(1)扩展到包括变形曲率的影响，

K_eff (r)=K_sub+σ_|| (x) [Φ'(x)/Φ(x)]^2+(Et) R_|| (x)^(-2)， (2)

基板的刚度(例如，K_sub=ρG为液体底物)，σ_ | |(x)和R_ | |(x)分别为拉伸应力和沿褶皱的曲率半径，Et为板材的拉伸模量Φ^2 (x)与褶皱吸收的分数长度Δ成正比。我们将在下面几节中回顾式(2)的应用。Matteo和Dominic(14)进一步讨论了球壳内固有曲率引起的有效刚度。

因此，分析褶皱的一个重要任务是推导不同情况下的K_eff，这取决于衬底(例如，液体或固体)、应力场和褶皱的曲率。我们将在一些设置中强调这个问题，并尝试回答其中的一些问题。还应该指出，式(1)和式(2)中的标度定律是由局部性质决定的，这可能并不总是正确的。但这些褶皱与材料和几何性质之间的一般关系仍可为分析问题提供重要指导。

薄膜上的液滴——重力与表面张力的耦合

Huang等人(15)表明，当将液滴放在浮动的聚合物薄膜上时，会形成褶皱(图3a)。Chang等人最近的一项研究(16)进一步揭示了极薄膜中复杂的褶皱(例如，两种傅里叶模式)(图3b)。这些褶皱被发现是有效的测量纳米薄膜的机械性能。Schroll et al.，(17)发现这种液滴在膜上的问题可以很好地形成一个环形薄板，受内外边缘张力差的影响(图3c)。结果表明，这种简单的结构具有非常丰富的起皱行为，这是非常薄的薄片无法用摄动理论和特征值分析来描述的。针对这种远离阈值的情况，Benny等人(18)提出了一种无压缩理论，并应用能量最小化方法推导出皱纹数的标度定律，该定律受所谓的可弯曲性ε^(-1)=(T_out R_in^2)/B(图3d)的控制。

图。3。(a)水滴诱导浮动薄膜产生的皱纹(15)，(b)水滴诱导浮动薄膜产生的更复杂的皱纹(16)，(c)这些皱纹的理论模型(17)，(d)不同皱纹的相图(即近阈值皱纹和远阈值皱纹)(18)。

同时，研究人员还致力于了解实际环形薄板的起皱、屈曲和折叠。Pineirua等人使用PDMS薄片，(19)通过向环空外的水中添加表面活性剂(如液皂)，在环空结构的内外边界处产生了表面张力差异(图4a)。他们的结果表明，褶皱(例如，波长)受重力控制，可以用公式(1)中的通用缩放来很好地描述。Paulsen等人，(20)将类似的设置应用于非常薄的PS薄膜并观察到折叠(图4b)，并开发了一个几何模型来解释他们的发现。虽然没有直接测量皱纹数，但预计表面张力将发挥重要作用，结构可能在FFT体系中。在我们强调几个悬而未决的问题之前，我们想指出模拟超薄薄片褶皱的数值挑战。Taylor等人，(21)比较了几种数值方法，发现动态松弛方法可以给出一般非常好的结果(图4c)，尽管仍然需要几何扰动。

图。4。(a)厚聚合物薄膜(t~10 μ m)中的毛细管环形皱褶(19)，(b)薄聚合物薄膜(t~100 nm)中的毛细管环形屈曲和折叠(20)，(c) FFT体系中皱褶的数值模拟(21)。

有趣的问题：

a)我们已经理解了两种极限情况:(1)重力主导皱纹和(2)张力主导皱纹。然而，对于重力和张力都很重要的一般情况，仍然缺乏理解。

b)折叠可以发生在非常薄的环形薄片上，但从褶皱到折叠的确切转变仍不清楚。

c)在非常薄的薄片中观察到的“两傅立叶模”褶皱尚未完全理解。

d)对于如此复杂的褶皱构型，采用哪种数值模拟比较好(Newton-Raphson方法还是类动力学方法)?

e)在实验和模拟中，我们是否只观察到局部最小配置?

液滴上的薄膜——曲率、张力和重力的耦合

让我们来看看另一个相反的设置，将一个最初平坦的薄片放在液滴上。King等人(22)在实验设置中揭示了褶皱和皱褶作为对称性破坏的不稳定性(图5a-b)。除了可弯曲性外，褶皱还受到另一个无因次变量的影响，称为约束α=YW/2γR^2，其中Y是拉伸刚度，γ是表面张力，W是薄膜的半径，R是液体的液滴。弯曲性(ε^(-1))和限制(a)决定了褶皱是在NT区还是FFT区。需要注意的是，NT区域的褶皱通常可以从线性摄动和特征值分析中理解，而FFT区域的褶皱通常远远超过起始不稳定性，并且需要后屈曲分析。Paulsen et al.，(13)成功地应用式(2)中的通用标度定律解释了液滴建立时薄膜中的皱数。此外，他们还将理论预测与在poke下的浮动薄膜中测量的皱纹数进行了比较。

图。5。(a)液滴上薄膜上的皱纹(22)，(b)作为约束函数的未皱区域和皱区域(22)，(c)在poke下浮动薄膜上的皱纹(13)。

对于拨弄浮动薄膜，除了起皱结构外，合力是另一个非常值得测量和研究的量。Holmes和Crosby(23)发现了褶皱折叠的转变，并报告了折叠发生时的力下降(图6a)。力滞回线也可以看到。通过仔细研究几何非线性变形和皱纹的形成和演变，Benny, Dominic和他们的合作者(24-27)揭示了几种变形机制，力-压痕深度关系遵循不同的规则。最近，我的合作者Joseph Paulsen和Vincent Démery使用实验和几何模型，确定了大压痕的另一种非线性状态，其中力是恒定的，与表面张力和薄膜半径呈线性关系(28)。

图。6。(a)薄膜在poke作用下的起皱和折叠(23)(b)浮动薄膜在poke作用下的力-压痕深度的4个非线性体系(28)。

为了更好地理解戳开浮动薄膜的不同非线性变形情况，我们开发了一个晶格模型来模拟该问题(28)，其中弹性薄片和液体表面张力分别由三角形晶格模型(29)和零休息长度的弹簧(30)描述(图7a)。重力直接作用于弹性片中的粒子，F_g=v3/2 r_0^2 ρgz，其中重力仅沿z方向，系数表示三角形晶格模型中粒子的有效面积。对于较大的压痕，在考虑倾斜变形的情况下，对每个三角形施加重力。薄膜在poke作用下的典型起皱结构如图7b所示。与之前的理论(27)(图7c)相比，我们的数值模拟和实验可以很好地捕捉到前三种非线性变形状态。关于该制度的更详细的分析将很快发布在网上。

图。7。(a)模拟在poke作用下浮动薄膜的晶格模式，(b)模拟的皱纹配置，以及(c)来自模拟和实验的力-压痕深度(28)。

有趣的问题：

f)重力、张力和曲率对褶皱数量、轮廓和系统刚度(合力)的耦合效应。

g)接触、摩擦和粘附在薄膜折叠中的作用。

h)我们的初步结果表明，皱缩不会改变力响应，但为什么?

壳体内曲率对起皱和折叠的影响

我们之前的讨论主要集中在最初平坦的薄膜上，在具有内曲率的薄壳中也发现了非常丰富的起皱行为。Aharoni等人(31)研究了漂浮球壳的褶皱(图8a)，目的是克服几何不相容。Albarran et al.，(32)通过结合实验和ABAQUS模拟进一步将研究扩展到更一般的弯曲壳层(图8b)。值得注意的是，表面张力在这两项研究中并没有发挥重要作用。除了浮动弯曲壳外，对圆柱壳(8,9,33 -35)和球壳(36)的褶皱/屈曲进行了大量研究。

图8。(a)置于平坦水体上的球壳的褶皱(31)，(b)浮动壳中曲率控制模式的更一般研究(32)，(c)圆柱壳屈曲(34)，(d)通过圆柱屈曲的表面变形(35)，(e)圆柱屈曲中的起皱到折叠转变(9)，(f)通过约束屈曲的可逆球壳图形(36)。

有趣的问题：

i)表面张力是否会以及如何改变浮壳的起皱模式?

j)已经提出了一些几何模型来理解圆柱体和球体在约束条件下的图案，是否可以为这些图案开发更复杂的戏剧模型?

多个稳定

曲率的一个后续问题是薄膜或壳层中的多个稳定构型。即使对于一维浮动薄膜，Diaman和Witten(37)表明对称解和反对称解都可以存在于一个无限长的系统中(图9a)。Demery et al.，(38)通过数值模拟研究了同一系统中大褶皱的能量，发现反对称褶皱的能量低于对称褶皱(图9b)。Rivetti和Neukirch(39)研究了有限长度浮动弹性体的模态分支路径(图9c)。

图9。(a)浮动薄膜中起皱和折叠的精确解(37)，(b)界面薄膜中大折叠的力学(38)，(c)有限长度浮动弹性材料中的模式分支路径(39)。图9。(a)浮动薄膜中起皱和折叠的精确解(37)，(b)界面薄膜中大折叠的力学(38)，(c)有限长度浮动弹性材料中的模式分支路径(39)。

在弯曲壳、应变失配的双层膜和折纸结构等超结构中可以发现更多双稳或多稳构型的结构(40-46)。Taffetani等人，(41)展示了球面帽的双稳态构型(图10a)。Chen等人(42)证明了预应力双分子层结构的双稳定性(图10b)。Silverberg等人(43)揭示了折纸结构中由于隐藏自由度而存在的双稳定性(图10c)。Chung等人(44)表明，当加载适当时，长圆柱形弹性板可以用于存储弹性位、局部酒坑和凸点，可以在沿其任意位置写入和擦除(图10d)。Fu等人，(45)介绍了一组关于不同材料中可变形的三维细观结构的概念，以及跨越微米到毫米长度尺度的完全成形的平面器件(图10e)。

图10。(a)球形帽的静态双稳定性(41)，(b)基于预应力双层结构的双稳态变形结构(42)，(c)双稳态折纸结构(43)，(d)弹性壳上的可重编程盲文(44)，(e)基于多重屈曲力学的可变形三维介结构(45)。

多重稳定的一个重要应用是理解圆柱壳屈曲中的力的冲击因子(47,48)。众所周知，圆柱壳所能承受的最大力通常小于基于特征值分析的理论预测(48)，这是由于壳体屈曲和对缺陷敏感所致。这种几何灵敏度可以归因于多个稳定构型的存在，这些构型的能垒可以决定屈曲应力(48)。这一经典问题近年来在新实验和理论建模方面引起了广泛关注。Virot等人(49)利用单个局部探头，探索了圆柱壳在压缩下的能量格局。Marthelot et al.，(50)通过点力探测半球形壳体来评估壳体的不稳定性，并进行了联合实验和模拟。从理论方面，Horak et al.，(51)应用山口定理搜索了圆柱壳屈曲的能量势垒。Hutchinson和Thomson(52)在Maxwell载荷框架下计算了球壳的能量势垒，并确定了屈曲载荷的最低值。

图11。(a)壳体屈曲应力的实验数据(47)，(b)圆柱形壳体的凸点(49)，(c)球壳的局部探针(50)，(d) Maxwell载荷法(52)，(e)壳体屈曲中能量势垒搜索的山口定理(51)。

有趣的问题：

k)对于给定的结构，如何预测多个稳定构型?这是一个在具有复杂能量格局的系统中寻找尽可能多的局部能量最小配置的问题。

l)假设我们可以找到局部最小配置，那么从一个位置移动到另一个局部最小位置的能量最小路径是什么?

m)我们可以从这些具有多重稳定性的结构中实现哪些新功能和/或设备?

n)通过不同局部最小构型之间的能垒信息，能否了解壳体屈曲应力的几何敏感性?

高度拉伸的薄板

先前的讨论大多集中在具有几何非线性变形的薄板材/壳层上。大量的工作也被用于研究高度可拉伸薄片中的褶皱，其中几何和材料非线性都很重要(53)。Zheng et al.，(54)通过模拟和实验表明弹性膜在拉伸作用下可以形成和消失褶皱(图12a)。Nayyar等人(55,56)进行了实验和建模，以了解超弹性薄片的应力模式和褶皱(图12b)。Taylor et al.，(57)考虑了有限应变对薄弹性薄板皱纹的影响。Li和Healey(58)研究了弹性薄板的不同超弹性模型，并计算了膨胀系统通过延拓的褶皱演化路径(图12c)。Zhang et al.(59)通过实验和模拟研究了软球壳在poke作用下的起皱模式(图12d)。除了纯弹性薄片，Feher发现在具有Mullins效应的高度拉伸薄膜中存在非常有趣的起皱行为(60)。

图。12。(a)弹性体膜皱褶形成和消失的有限元模拟(54)，(b)超弹性薄片皱褶的实验(56)，(c)新胡克弹性薄片皱褶图案的演化(58)，(d)软球壳在poke作用下皱褶图案(59)，(e)高拉伸薄膜皱褶行为中的穆林斯效应(60)。

有趣的问题：

o)从理论上证明这些高度拉伸的薄板起皱是重要的，但具有挑战性。

p)具有塑性的薄金属片会有什么样的起皱行为?

q)目前的有限元软件(即ABAQUS)可以很好地处理几何和材料非线性问题，但对于非线性失稳问题和失稳路径跟踪，似乎仍然缺乏通用的、强大的工具。此外，大多数后屈曲分析的模拟仍然需要几何缺陷。一个问题可能是如何将经过良好测试和健壮的有限元软件与新的不稳定性分析延拓方法集成起来?

谁会在乎呢?

感谢你阅读这篇长文章。你可能会想“有趣的模式，那又怎样?”这是一个很难回答的问题，但也非常重要。我试图用一种笼统而模糊的方式来回答这个问题。我认为大多数研究可以总结为“皱，还是不皱”。这里我列举了两个例子，我相信还有很多其他的例子。非常欢迎你加入讨论。

去皱纹

最近，Chen等人(61)表明，毛状Sarracenia trichome中的分层微通道是超快速水收集和运输的关键(图13a)。我们可以看到Sarracenia trichome上的分层皱纹(图13b)。皱纹是我自己的诠释，也可能是错的。即使它们是褶皱，它们也可能被视为粘结在固体基底上的薄膜，这是非常重要的，但在前面的章节中没有讨论。我选择这个结构主要是因为它漂亮地包含了上面讨论过的几个关键特征:(1)锥形表面曲率的变化，(2)两个或多个傅里叶模皱纹，(3)皱纹分叉，可能表明皱纹数量的变化。

图13。(a) Sarracenia trichome的原位光学显微镜图像及其水运输过程，(b) Sarracenia trichome的外观和表面褶皱结构(61)。

不皱

在某些情况下，我们不希望薄片有褶皱。一个例子是通过重拉产生的薄玻璃板(图14a)(62-65)。Filippov和Zheng(62)分析了这些粘性薄片的动力学和形状不稳定性，并使用椭圆带和双曲带来定义稳定带和不稳定带(图14b)。Srinivasan等人，(65)确定了面外起皱失稳发生的条件，用控制薄板中表面位移的线性偏微分方程的特征值问题表示(图14c)。

图14。(a)重绘过程中加热薄玻璃板的实例和建模(65)，(b)椭圆区和双曲区理论模型和图(62)，(c)背板变形的特征模态(65)。

确认

我非常感谢Joseph D. Paulsen, Halim Kusumaatmaja, Vincent Demery和Timothy J. Healey的有益讨论。

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