2018年10月杂志俱乐部:薄板的Ruga力学:褶皱、皱褶和折叠

腾张

雪城大学机械与航天工程系

介绍

正如标题所示，我们将讨论Rgua(1)和thin films(2,3)。对于“Ruga”，我直接借用了之前Journal club的开篇介绍。Ruga机制由Mazen Diab博士、Ruike Zhao博士和Kyung-Suk Kim教授组织。“ruga”是一个拉丁术语，意思是各种波纹材料配置的单一状态，它们在固体表面、界面和薄膜上形成不同的2d图案。典型的ruga结构包括大幅皱纹，折痕，褶皱，脊，皱纹，褶皱和皱褶。薄膜在自然界和工程结构中无处不在，从纳米级的石墨烯薄膜到毫米级的聚合物薄膜，从厘米级的衣服到公里级的太空气球和漂浮的冰盖(图1)。在这次俱乐部讨论中，我们将重点讨论薄膜与ruga构型力学的交集，这肯定只是薄膜力学和ruga力学的一个子集。此外，我们最近与锡拉丘兹大学物理系约瑟夫·保尔森博士在漂浮薄膜不稳定性方面的合作也激发了我们的讨论。因此，我将从漂浮在水面上的薄膜的起皱、皱缩和折叠开始，以它们为代表的例子，探讨重力、表面张力、曲率和弯曲变形的非线性耦合在确定一般薄膜结构的各种褶皱图案中的作用。

图。1。(a)拉伸石墨烯片上的皱纹(4)，(b)环形石墨烯片上的扭转引起的皱纹(5)，(c)用薄膜包裹液滴(6)，(d)浮动薄膜的折叠(7)，(e)圆柱形外壳中的皱纹和褶皱(8,9)，(f)基于数值模拟的衣服上的皱纹(10)，(g)谷歌气球，(f)浮动冰盖。(g)和(f)中的图片来自互联网。

这是一个很长的帖子，虽然我一开始并没有预料到。所以我尽量让每一部分都是独立的。我只有很短的时间准备这次俱乐部讨论，很可能会错过一些有趣的和相关的研究。请指出这些研究并参与讨论．也请原谅我写作中的错别字。

薄板起皱的普遍结垢规律

在我们开始讨论特定薄膜的皱纹之前，我们想回顾一下薄膜起皱的普遍规律。Cerda和Mahadevan(11)以拉伸聚乙烯薄片的起皱为例，推导出薄片起皱波长的普遍规律为

λ=2π(B/K_eff)^(1/4)， (1)

式中B和K_eff分别为薄板弯曲模量和有效刚度。对于拉伸板，K_eff来自于拉应力。另一个简单的例子是液体基材，其刚度为K_eff=ρg。式(1)中的标度规律也适用于固体基材，其有效刚度取决于波长(12)。

图。2。(a)起皱的几何和物理(11)，(b)薄膜中曲率对起皱的影响(13)。

近年来，具有固有曲率和变形诱导曲率的弯曲结构中的起皱问题引起了人们的广泛关注。Paulsen et al.，(13)对式(1)进行了扩展，使其包含变形曲率的影响，

K_eff (r)=K_sub+σ_|| (x) [Φ'(x)/Φ(x)^ 2+(Et) R_|| (x)^(-2)， (2)

基底的刚度(例如，K_sub= ?ρG为液体底物)，σ_ | |(x)和R_ | |(x)分别为沿起皱方向的拉应力和曲率半径，Et为薄板的拉伸模量Φ^2 (x)与皱纹吸收的分数长度Δ成正比。我们将在下面的章节中回顾一下Eq.(2)的应用。Matteo和Dominic(14)进一步讨论了球壳内禀曲率引起的有效刚度。

因此，在不同的情况下(如液体或固体)、应力场和皱褶曲率等，推导皱褶的K_eff是分析皱褶的重要任务。我们将在一些设置中突出这个问题，并尝试回答其中的一些问题。还应该指出，式(1)和式(2)中的标度律是由局部性质决定的，这可能并不总是正确的。但这些起皱与材料和几何性能之间的一般关系仍然可以为分析问题提供重要的指导。

膜上的液滴-重力与表面张力的耦合

Huang等人(15)表明，当将液滴放在漂浮的聚合物薄膜上时，会形成皱纹(图3a)。Chang等人(16)最近的一项研究进一步揭示了非常薄的薄膜中复杂的褶皱(例如，两个傅立叶模式)(图3b)。这些褶皱被发现是测量纳米薄膜力学性能的有效方法。Schroll等人(17)发现，受内外边缘张力差的影响，这种膜上液滴问题可以很好地形成环形薄板(图3c)。结果表明，这种简单的结构具有非常丰富的起皱行为，这是微扰理论和特征值分析无法描述的。专注于这个远离阈值的区域，Benny等人(18)提出了一种无压缩理论，并应用能量最小化方法推导出皱纹数的缩放律，该律由所谓的可弯曲性ε^(-1)=(T_out R_in^2)/B(图3d)控制。

图。3。(a)水滴诱导的漂浮薄膜皱褶(15)，(b)水滴诱导的更复杂的漂浮薄膜皱褶(16)，(c)这些皱褶的理论模型(17)，(d)不同皱褶的相图(即近阈和远阈皱褶)(18)。

平行的努力也致力于理解在一个真实的环形片的起皱，屈曲和折叠。Pineirua等人(19)使用PDMS板材，通过向环空外的水中添加表面活性剂(如液体肥皂)，在环空结构的内外边界产生了表面张力差异(图4a)。他们的结果表明，褶皱(例如波长)受重力控制，可以通过公式(1)中的通用缩放来很好地描述。Paulsen等人(20)将类似的设置应用于非常薄的PS薄膜并观察折叠(图4b)，并开发了一个几何模型来解释他们的发现。虽然皱纹数量没有直接测量，但预计表面张力将发挥重要作用，并且结构可能在FFT体制中。在我们强调几个悬而未决的问题之前，我们想指出在超薄薄片上模拟褶皱的数值挑战。Taylor等人(21)比较了几种数值方法，发现尽管仍然需要几何扰动，但动态松弛法一般可以给出非常好的结果(图4c)。

图。4。(a)厚聚合物薄膜(t~10µm)中的毛细环褶皱(19)，(b)薄聚合物薄膜(t~100 nm)中的毛细环屈曲和折叠(20)，(c) FFT下褶皱的数值模拟(21)。

有趣的问题：

a)我们已经可以理解两种极限情况:(1)重力主导褶皱和(2)张力主导褶皱。然而，对于重力和张力都很重要的一般情况，我们仍然缺乏理解。

b)折叠可以发生在非常薄的环形薄片上，但从褶皱到折叠的确切过渡仍然未知。

c)在非常薄的薄片上观察到的“两种傅立叶模式”皱褶尚未完全理解。

d)对于这种复杂的皱纹构型，哪种数值模拟会更好(牛顿-拉夫森方法还是类动力学方法)?

e)在实验和模拟中，我们是否只观察到局部最小配置?

液滴上的薄膜——曲率、张力和重力的耦合

让我们来看看另一个相反的设置，在液滴的顶部放置一个最初平坦的薄片。King等人(22)揭示了在这样的实验设置中，起皱和皱缩是对称性破坏的不稳定性(图5a-b)。除可弯曲性外，褶皱还受约束α=YW/2γR^2的影响，其中Y为拉伸刚度，γ为表面张力，W为薄膜半径，R为液滴。可弯曲性(ε^(-1))和约束(a)决定了褶皱是处于NT还是FFT状态。注意，通常可以通过线性扰动和特征值分析来理解NT体系中的褶皱，而FFT体系中的褶皱通常远远超过初始不稳定性，需要后屈曲分析。Paulsen et al.，(13)成功地应用公式(2)中的通用标度定律来解释所设置的液滴上膜的皱折数。此外，他们还将理论预测与在戳下的浮动薄膜中测量的皱纹数量进行了比较。

图。5。(a)液滴上的薄膜皱褶(22)，(b)未皱褶和皱褶区域作为约束的函数(22)，(c)戳下的浮动薄膜皱褶(13)。

对于拨动一个漂浮的薄膜，合力是另一个非常有趣的测量和研究的量，除了皱褶结构。Holmes和Crosby(23)发现了褶皱折叠的转变，并报道了当折叠发生时力下降(图6a)。在力滞回线也可以看到。Benny, Dominic和他们的合作者(24-27)通过仔细研究几何非线性变形和褶皱的形成和演变，揭示了力-压痕深度关系遵循不同规则的几种变形机制。最近，我的合作者Joseph Paulsen和Vincent dsamery，利用实验和几何模型，确定了另一种大型压痕的非线性机制，其中力是恒定的，并且与表面张力和膜半径呈线性关系(28)。

图。6。(a)戳戳作用下薄膜的起皱和折叠(23)(b)戳戳作用下漂浮薄膜的力压痕深度的4种非线性状态(28)。

为了更好地理解拨动浮动薄膜时不同的非线性变形机制，我们开发了一个晶格模型来模拟这个问题(28)，其中弹性薄片和液体表面张力分别由三角形晶格模型(29)和零静止长度的弹簧(30)描述(图7a)。重力直接作用于弹性片中的粒子，F_g=v3/2 r_0^2 ρgz，其中重力只沿z方向作用，其系数表示三角形晶格模型中粒子的有效面积。对于较大的压痕，在考虑倾斜变形的情况下，对每个三角形施加重力。如图(7b)所示为戳下膜的典型起皱构型。与以前的理论(27)相比，我们的数值模拟和实验可以很好地捕捉到前三种非线性变形状态(图7c)。关于该制度的更详细的分析将很快发布在网上。

图。7。(a)模拟戳戳下浮动薄膜的点阵模式，(b)模拟皱折构型，(c)模拟和实验所得的力压痕深度(28)。

有趣的问题：

f)重力、张力和曲率对皱纹数量、轮廓和系统刚度(合力)的耦合效应。

g)接触、摩擦和粘附在薄膜折叠中的作用。

h)我们的初步结果表明，皱缩不会改变力响应，但为什么呢?

本征曲率对壳的起皱和折叠的影响

我们之前的讨论主要集中在最初的扁平薄膜上，在具有本征曲率的薄壳中也发现了非常丰富的起皱行为。Aharoni等人(31)研究了浮球壳中的褶皱(图8a)，这是为了克服几何不相容。Albarran等人(32)将实验与ABAQUS模拟相结合，进一步将研究扩展到更一般的曲面壳(图8b)。需要注意的是，表面张力在这两项研究中并没有起到重要作用。除了漂浮的弯曲壳外，对圆柱壳(8,9,33 -35)和球形壳(36)的起皱/屈曲进行了大量的研究。

图8。(a)平面水体上的球壳褶皱(31)，(b)对浮壳曲率控制模式的更一般研究(32)，(c)圆柱壳屈曲(34)，(d)通过圆柱屈曲形成的表面变形(35)，(e)通过圆柱屈曲形成的起皱到折叠转变(9)，(f)通过约束屈曲形成的球形壳可逆图案(36)。

有趣的问题：

i)表面张力会不会以及如何改变浮壳的起皱模式?

j)已经提出了一些几何模型来理解圆柱体和球体在约束下的图案，是否可以为这些图案开发更复杂的戏剧模型?

多个稳定

曲率的一个后续问题是薄膜或壳中的多个稳定构型。即使对于一维漂浮薄膜，Diaman和Witten(37)也表明，在无限长系统中，对称解和反对称解都可以存在(图9a)。Demery等人(38)通过数值模拟研究了同一体系中大褶皱的能量，发现反对称褶皱的能量低于对称褶皱(图9b)。Rivetti和Neukirch(39)研究了有限长浮动弹性体局部化的模态分支路径(图9c)。

图9。(a)浮动薄膜中起皱和折叠的精确解(37)，(b)界面薄膜中大褶皱的力学(38)，(c)有限长度浮动弹性材料中的模态分支路线(39)。图9。(a)浮动薄膜中起皱和折叠的精确解(37)，(b)界面薄膜中大褶皱的力学(38)，(c)有限长度浮动弹性材料中的模态分支路线(39)。

在弯曲壳、应变不匹配的双层膜和折纸结构等元结构中，可以发现更多具有双稳态或多稳态构型的结构(40-46)。Taffetani等人(41)展示了球形帽的双稳态构型(图10a)。Chen等人(42)证明了预应力双层结构的双稳定性(图10b)。Silverberg等人(43)揭示了由于隐藏自由度而导致的折纸结构的双稳定性(图10c)。Chung等人(44)表明，长圆柱形弹性板在适当加载时，可以用于存储弹性位、局部凹陷和凸起，并且可以在其任意位置随意写入和删除(图10d)。Fu等人(45)介绍了一组概念，用于不同材料的可变形三维细观结构和长度从微米到毫米不等的完全形成的平面器件(图10e)。

图10。(a)球形帽的静态双稳性(41)，(b)基于预应力双层的双稳变形结构(42)，(c)双稳折纸结构(43)，(d)弹性壳上的可编程盲文(44)，(e)基于多重屈曲力学的可变形三维细观结构(45)。

多重稳定性的一个重要应用是了解圆柱壳屈曲中的力击倒因子(47,48)。众所周知，圆柱壳所能承受的最大力通常小于基于特征值分析的理论预测(48)，这是由于壳的屈曲和对缺陷的敏感。这种几何敏感性可以归因于多种稳定构型的存在，其能量势垒可以决定屈曲应力(48)。近年来，这一经典问题受到了新的实验和理论建模的广泛关注。Virot等人(49)利用单个局部探针探索了圆柱形壳体在压缩下的能量景观。Marthelot等人(50)进行了联合实验和模拟，通过点力探测半球形壳体来评估壳体的不稳定性。在理论方面，Horak等人(51)运用山口定理寻找圆柱壳屈曲的能垒。Hutchinson和Thomson(52)在Maxwell载荷框架下计算了球壳的能垒，确定了最低的屈曲载荷。

图11。(a)壳屈曲应力实验数据(47)，(b)圆柱壳的poke (49)， (c)球壳的局部探针(50)，(d) Maxwell荷载法(52)，(e)寻找壳屈曲能垒的山口定理(51)。

有趣的问题：

k)对于给定结构，如何预测多个稳定构型?这是一个寻找具有复杂能量景观的系统的尽可能多的局部能量最小配置的问题。

l)假设我们能找到局部最小构型，从一个位置移动到另一个局部最小位置的能量最小路径是什么?

m)我们可以从这些具有多重稳定性的结构中获得哪些新功能和/或设备?

n)能否利用不同局部最小构型间的能量势垒信息来理解壳体屈曲应力的几何敏感性?

高度可拉伸的薄板

以前的讨论大多集中在具有几何非线性变形的薄板/壳上。在高度可拉伸薄板上的褶皱研究也投入了大量的精力，其中几何和材料非线性都很重要(53)。Zheng等人(54)通过模拟和实验表明，弹性体膜在拉伸下可以形成皱纹并消失(图12a)。Nayyar等人(55,56)通过实验和建模来了解超弹性薄片的应力模式和褶皱(图12b)。Taylor等人，(57)考虑了有限应变对薄弹性薄片皱褶图案的影响。Li和Healey(58)研究了弹性薄片的不同超弹性模型，并计算了膨胀系统通过延拓的褶皱演化路径(图12c)。Zhang等人(59)通过实验和模拟两种方法研究了戳戳作用下软球壳的起皱模式(图12d)。除了纯弹性薄膜外，Feher还发现了Mullins效应下高度拉伸薄膜的非常有趣的起皱行为(60)。

图。12。(a)弹性体膜起皱形成和消失的有限元模拟(54)，(b)超弹性薄片起皱实验(56)，(c)新胡克弹性薄片起皱模式演变(58)，(d)软球壳在poke作用下的起皱模式(59)，(e)高拉伸薄膜起皱行为中的Mulins效应(60)。

有趣的问题：

从理论上证明这些高度拉伸的薄片的褶皱很重要，但也很有挑战性。

p)在具有塑性的薄金属片上，我们可以有什么样的起皱行为?

q)目前的有限元软件(即ABAQUS)可以很好地处理几何和材料的非线性，但对于非线性失稳问题和失稳路径的跟踪似乎还缺乏通用的、强大的工具。此外，大多数后屈曲分析的模拟仍然需要几何缺陷。一个问题可能是如何将经过良好测试和强大的有限元软件与新的不稳定性分析延拓方法相结合?

谁会在意呢?

感谢您阅读这篇长文。你可能会想“有趣的模式，那又怎样?”这是一个很难回答的问题，但也非常重要。我试图用一种笼统而模糊的方式回答这个问题。我认为大多数研究可以总结为皱，还是不皱”。这里我列举了两个例子，我相信还有很多其他的例子。非常欢迎你加入讨论。

去皱纹

最近，Chen等人(61)表明，Sarracenia毛状体中的分层微通道是超快速水收集和输送的关键(图13a)。我们可以看到Sarracenia的毛状纹(图13b)。皱纹是我自己的诠释，可能是错的。即使它们是皱褶，它们也可能被视为粘接在固体基材上的薄膜，这是非常重要的，但在前面的章节中没有讨论。我选择这种结构主要是因为它完美地包含了上面讨论的几个关键特征:(1)锥形表面的不同曲率，(2)两个或多个傅立叶模式皱纹，(3)皱纹分岔，可能表明皱纹数量的变化。

图13。(a) Sarracenia trichome的原位光学显微镜图像及其水分运输过程，(b) Sarracenia trichome的外观和表面褶皱结构(61)。

不会起皱

在某些情况下，我们不希望薄薄片有褶皱。一个例子是通过重拉伸产生的薄玻璃片(图14a)(62-65)。Filippov和Zheng(62)分析了这些粘性薄板的动力学和形状不稳定性，并使用椭圆区和双曲区来定义稳定和不稳定区(图14b)。Srinivasan等人(65)用控制薄片中表面位移的线性偏微分方程的特征值问题确定了面外起皱不稳定性发生的条件(图14c)。

图14。(a)加热薄板重绘过程的实例和建模(65)，(b)椭圆区和双曲区理论模型和图(62)，(c)中间变形的特征模态(65)。

致谢

我感谢约瑟夫·d·保尔森、哈利姆·库苏马特马贾、文森特·德默里和蒂莫西·j·希利的有益讨论。

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