将一个函数展开成一个基集

0.请允许我澄清一下(即我很容易变得多么愚蠢)。澄清是关于第一季度。

1.注意e^x的泰勒级数展开式。它是$\sum \dfrac{x^n}{n!}$。因此，$\sum a_n e^{nx}$已经包含在(一)类别即$\sum a_n x^n$。因此,第一季度是多余的。【著名遗言:我早该知道……】

2.我怎么能犯这么愚蠢的错误?这是借口……

实际上，在写这篇文章的同时，我也在思考一些其他的事情，而不是上面所明确指出的。

3.这里的核心问题是多项式展开式$\sum a_n x^n$和傅里叶展开式$\sum a_n e^{inx}$。这两者构成了完全不同的类别。

众所周知，如果一个函数的展开式可以“自然”地用其中一种形式表示，那么用另一种形式表示就会很麻烦。例如，电气工程师(或任何处理周期性现象的人，如信号处理人员)经常被建议不要尝试多项式展开，而从事静态分析(但不包括振动问题)的机械/土木/航空工程师通常只采用多项式展开(这就是为什么通常的CFD/FEM中的频谱方法出现得这么晚的原因)。

所以，我想到了这两个范畴在数学上的完备性问题(作为展开一个任意但整洁的函数的手段)。

4.然后我想确保我涵盖了所有可能的实数和虚数的组合，包括底数和指数。

特别是，(仅)在我的脑海中，我正在考虑$x^{I}$的可能性，这在上面的帖子中没有明确提到。然而，当我在写我的帖子时，我的一部分头脑仍然在“弄清楚”它是否会被$e^{inx}$覆盖。我“感觉”它被覆盖了，所以，无论如何，继续写下去。(当时我还没有在纸上详细写出来。)

我的“感觉”是对的。但是这种注意力的转移意味着我最终引入了这个愚蠢的错误第一季度。我只是在发表了那篇文章后才意识到它的多余。

5.顺便说一句，如果你还不清楚为什么$x^i$被$e^{ixn}$覆盖，请看这里的Math[sic] StackExchange线程[^]。

…

6.好的。那么，让我们回到正题。现在,只第二季幸存。你觉得怎么样?

很抱歉弄得这么乱，还有，

——特

(E&OE)

亲爱的斯蒂芬,

谢谢你的友好(和易于阅读)和非常信息回复。以下是我的评论，排名不分先后。请随时纠正我和/或补充我的知识:

1.关于贝塞尔函数和球谐波，是的，我应该想到的。

这些可以被看作是由多项式和复指数形式组合而成吗?我想是的。如果我遗漏了什么重要的考虑因素，请纠正我。

2.关于窗函数、短时傅里叶变换、韦尔奇函数、小波等思想。

这类方法完全逃过了我的眼睛!!

…．这样的话，我对这些概念就比较熟悉了。我已经为我的软件产品ToneBrush实现了一个短时间的转换(该产品提供了音乐的可视化)。即使在那时，我也完全没有在这种背景下想到这个想法。所以，谢谢你把它列入你的清单。

还有另一个问题，我目前正在研究，关于一个解的支持程度，特别是对于扩散方程。这条思路包括各种线程，如bump函数、分析性和扩展支持在解决过程的开始;子域搭配(近似分析);等。现在，窗口是一个绝对，非常，非常相关的概念，虽然我在之前关于扩散的论文中提到过小波，但我现在已经忘记了。谢谢你再次强调它的相关性。(当然，对于这个问题，我需要更好地学习小波和窗口!)

(这也是为什么像这样的讨论具有非常明确的价值的另一个原因。我可能花了几个月，甚至几年的时间，才从这个角度看待窗户的想法，因为在过去的5年多里，它已经从我的视野中消失了。)

3.你提到的另一个有趣的点是表明这样一个函数系统在整个空间内是密集的。“我想追求他们使用的工具和技术，来展示这些东西。如果你能想到任何关于这个话题的简化笔记，请留下一条线。

4.然而，现在让我们注意一下您所做陈述的本质:从一些以特定方式定义的特定函数开始，如果发现它们形成了一个密集的系统，那么可以提取一个基来扩展在该空间中定义的任何任意函数。因此，流程是:从特定的函数到在该空间中得到展开的基集。然而，我还有另一个担忧。除了列出这类函数的两个主要类别(这个列表现在需要扩展)，它还涉及到完整性;看下一点。

5.实数和虚数的4种组合(也感谢Stefan的回复，组合后得到的更高层次的函数/级数)似乎已经穷尽了所有构造这样的函数的可能性，它们可以产生一个基集。更高级或更抽象的产物，如贝塞尔函数，包括在组合中，也包括那些使用窗口思想得到的。

所以，所有这样的函数类别似乎都来自于{base}^{exponent}的四种组合，其中{base}和{exponent}中的每一个都是实数或虚数。这个事实似乎关键地依赖于关于代数闭包的高斯定理。问题是:这4种组合真的耗尽了建筑的元素吗任何这样的功能呢?这4种组合，所有有必要吗?…如果高斯定理是最重要的是与此相关，然后证明其完备性。如果它是相关的，但是不关键是相关的，然后不是。那么，它往哪个方向走呢?…我不知道，虽然我想答案是肯定的。

7.结束前再问一个问题。在一般的理论中，多项式和复指数的区别似乎仍然存在。例如，给定一个凹凸函数形式的初始浓度曲线，如果你尝试它的瞬态扩散，多项式方法会失败，傅里叶分析最终会给你无限的信号传播速度。然而，对于应力分析问题，比如线性应变三角形，使用(co)正弦波似乎不太适合这个想法. ...不管怎样，我们可以暂时把这一点放在一边;这并不重要;4个组合完备性的可证明性为。

8.致所有人:我确实想单独说明一下Stefan在这里的回复对我来说是多么有帮助/富有成效/富有成效。

[…好吧，在此期间，请允许我从当前感兴趣的角度继续讨论所提供的参考资料。

——特

(E&OE)

你好斯蒂芬,

再次感谢您的帮助回复，但是由于我在旅行中遇到了几个工作面试，所以不能立即回复您。事实上，正如我在个人博客上迅速写的最新一篇文章所表明的那样，事情就是这样发展的，而且这种趋势还会持续一段时间，大概会持续到7月中旬。所以，如果我不总是及时回复，请原谅我(尤其是在回复之前需要阅读一本书或思考很多的时候)。

与此同时，请允许我快速指出一点，即使我不熟悉希尔伯特-施密特理论。如果这个理论主要依赖于自伴的算子，那么，不，我不认为我们在考虑函数展开的问题。这是我的直觉，但让我再考虑一下，并在以后的日期(也许是很久以后)回到你身边。

同时，提前感谢您对我的容忍，并致以最诚挚的问候。

——特

(E&OE)