径向膨胀的圆柱体会弯曲吗?

Koiter-Sanders-Budiansky弯曲应变测量及其非线性推广

从材料的强度可知，纤维沿梁截面的不均匀拉伸会产生弯矩。但是这种情况一定对应于“弯曲”变形吗?对于这个问题，当我们谈论弯曲变形时，运动学上的确切含义是什么?

为了使问题更具体，考虑一个沿所有径向射线均匀膨胀的圆柱体。圆柱体的这种变形是否对应于弯曲?我认为公平地说，大多数人会说这纯粹是一种拉伸变形，没有弯曲。那么，弯曲变形到底是什么呢?

最经典的定义是将第二种基本形式的变化作为弯曲应变。这是指以下内容。计算变形壳和未变形壳上的单位法向场(即曲率张量)的梯度。这些曲率的差异，适当地调整，因为在每个材料点上，它们是不同切空间上的张量，可以有非常不同的方向，被指定为弯曲应变。但是你看，外壳的拉伸改变了曲率，因此径向膨胀的圆柱体将被描述为弯曲变形，根据这个经典的测量。

所以，这里有些地方不太对劲。从KOITER开始，然后是SANDERS和BUDIANSKY，引入了线性运动学的弯曲应变测量，它没有这个缺点，直到线性理论的精度。Koiter和Budiansky后来提出了非线性应变测量，预测在圆柱体的双轴拉伸中消失的弯曲应变，在径向和轴向位移中达到二阶。

在我看来，Koiter, Sanders, Budainsky的发展是开创性的工作，它阐明了弯曲在运动学上的含义。然而，一个清晰的物理定义导致一个精确的数学陈述是什么构成了壳的弯曲变形是缺乏的。首先，如果这样的测量是可用的，那么它将没有近似地将弯曲应变与圆柱体的双轴拉伸联系起来。

在所附的论文中，我试图解决这个问题的物理定义和相应的数学形式在非线性设置与线性KSB测量的联系。这个看似无伤大雅的问题变得异常微妙——至少对我来说——像钻头轮换这样的事情破坏了节目的成功。物理定义很自然地涉及到流形上变形梯度的极分解，几乎整个过程都围绕着对拉伸张量和旋转张量的定义域和范围的关注。

对于那些读过它的人，我希望你们喜欢它，就像我在解决这个问题时一样。