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外延收敛(最大基)，裂纹扩展
在所附的论文中，我们使用变分分析技术(特别是外延收敛理论)证明了最大熵基函数的连续性。一般来说，对于非光滑泛函，移动目标和/或约束，牛顿-莱布尼茨微积分工具(梯度，点收敛)被证明是不够的;集合值映射、集合收敛等概念是必须的。epi -收敛与Gamma-或maco -收敛(广泛用于马氏体相变的数学处理)密切相关。在修订版中，关于凸分析和外延收敛的介绍性材料必须省略;因此，材料绝不是独立的。这里还有一些建议，将被证明是有帮助的。我们的主要参考点是RTR和RJBW的变分分析；普林斯顿经典RTR凸分析提供凸分析的重要工具。对于凸优化，文本基于SB和LV的凸优化(可在线获取)是优秀的。的演讲的幻灯片提供一个非常好的(温和的)介绍凸分析中的一些重要概念。的碑文景观。是非常丰富的，许多应用程序会引起机械师的共鸣。万博体育平台
在另一个主题上(非平面裂纹扩展)，我们已经将x-fem一种新的快速行进算法。这里有几个关于倾斜硬币裂纹在拉力下增长的动画(非结构化四面体网格，节点超过12K):更大的“时间”增量而且更小的“时间”增量．这是与Chopp, Bechet和Moes (NSF-OISE项目)的联合工作。当更多相关链接可用时，我将更新此页面。
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 maxentepi.pdf |
558.46 KB |
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- 18957年读
评论
回复:最大熵基函数
Sukumar,
我试着读了你的论文，但有几处不太明白(你推荐的阅读清单真的很吓人:)
我的问题相当基本:
1)另一个基函数空间的动机是什么?
2)最大熵基函数比其他基函数有什么优势?
我相信这些问题在文献中都有答案。然而，我也认为像iMechanica这样的论坛的好处之一是，我们可以得到作者的回答，而不必花费过多的时间去理解关于某个特定主题的大量万博manbetx平台文献。因此，您能否简单(且不严谨)地解释一下为什么您正在探索最大熵基，以及为什么这些基的连续性如此重要。
在一个略有不同但相关的注意事项上，我认为我们的读者会发现下面的讨论很有趣。这个讨论是由John Baez提出的，叫做为什么数学很无聊．
Biswajit
回复:最大基础
Biswajit，我只触及了表面，因此请放心，我有一种预感，除了变分分析(VA)书的作者之外，大多数人(包括凸分析专家)都会同意你的观点。我的目的只是提供一些背景，因此链接。关于max-ent，了解无网格环境的人可能会发表评论，因为这将是一个公正的观点。我的偏颇观点如下。关于你的问题:(1)和(2)如果你追溯无网格方法中使用的基函数的根，以及过去10多年来的发展(无论是SPH，径向基函数，移动最小二乘等)，一些需求已经出现在最前沿。(A)从fem到无网格近似的平滑过渡(因为整个域的无网格趋向于变得昂贵);(B)边界上类似fema的行为是必要的，可以轻易施加基本边界条件。使用凸近似(phi_i >= 0)是关键，正如Arroyo和Ortiz(2006)在文章中所揭示的那样。基本的边界条件是由任何凸近似处理的，他们使用了一个修改的熵函数(与统计力学有链接)来获得具有紧支持的基函数。当通过Kullback-Leibler距离的眼睛来看，人们可以通过选择一个先验(权重函数)，然后使用熵正则化来获得满足约束(线性再现条件)的基函数，来概括这个结构----。如果你回头看，尝试“纠正”SPH(恒定一致性到线性一致性)，就像在RKPM中所做的那样，具有相同的动机。现在，使用max-ent，这种方法是广义的----，您可以纠正任何具有紧支持的先验(权重函数)，以构造线性完整、紧支持的基函数，并将在边界上插值(凸包的bdry)。这是与其他无网格基函数相比的主要吸引力。在A&O的论文中可以找到凸近似的许多其他属性。 In这个文档，我提供了更多的细节，连接，也链接到上面的文章以及许多其他相关的文章。在阅读这篇文章时，凸优化的吸引力和地位将有望通过凸分析工具(如VA)的有用性体现出来。力学充满了变分公式(约束的、凸的、非凸的、鞍点的等)，它似乎只适合像Delaunay插值一样，无网格基函数也可以通过(约束的)变分路径获得。希望这能提供一些答案?
一个关于最大基的问题
亲爱的Sukumar教授:
我读了你的论文，并与Biswajit教授分享了类似的问题。看了你的回复，我还有两个具体的问题:
1)是否有紧支撑的权函数可以用来构造基函数?唯一的要求是它有紧凑的支撑?
(2)我们都知道无网格法的缺点之一是建立基函数的成本比有限元法高。那么你的最大基评估效率是多少呢?与有限元法或现有的无网格法相比，它是更耗时还是更高效?至少我从你的论文中了解到这种方法更加灵活和通用。
谢谢你！
Jinxiong
回复:Max-ent问题
金雄:关于你的问题:1）是的,任何连续可以使用具有紧凑支撑的权重函数。至少需要权值上的连续性才能得到C0基函数;如果使用更平滑的权重，可以得到更平滑的基函数(类似于mls)。如果使用恒定权重(
)则所有基函数在整个定义域的任意一点都是非零的，因此它们不是紧支持的。在我附上的论文中出现了一对不同权重的基函数图。2）如果只是简单地比较基函数的计算，没有哪种方案能胜过fem;一个更现实的比较是根据所能达到的精度以及能力是否可以扩展到fem的已知极限来比较总体运行时间。我还没有与mls进行直接比较(手头没有mls代码)。Marino去年在wccm上展示了一些这样的比较结果，我记得mls和max-ent的时间顺序是相同的。他将能够回答你的问题(用精确的数字)，并提供更多关于他所执行的计算和测试的细节。当然，最大计时将在一定程度上依赖于为满足再现(线性一致性)条件而设置的公差(如果需要12位而不是6位精度，则需要额外的牛顿迭代)。我没有提到的一点是(在我看来)在无网格方法中实现max-ent比大多数无网格基更容易，因为人们不需要担心基本边界条件的强加:如果基本边界条件是通过在基本边界上的FE插值来实现，则不需要区分不同类型的节点和不同的区域(FE, MLS和混合/界面区域)。与在mls中一样，必须预先分配节点的支持大小。我在Fortran 90中有一个最大的实现，相同的代码可以用于1D, 2D和3D，并选择选择不同的权重函数作为优先级。总的来说，这提供了灵活性和易用性。
谢谢Sukumar教授!
亲爱的Sukumar,
感谢您的快速回应和详细澄清!我完全同意你的观点，与标准的无网格方法相比，max-ent方法更灵活，具有Kronecker delta性质是一个独特的特点。它对双材料复合材料的处理具有重要意义。我会试试的!
Jinxiong
3 d E-FEM
Suku,
非常感兴趣的3D便士裂纹扩展-非常令人印象深刻的工作。如果您能给我发电子邮件或给我指出文献，我将不胜感激。
Qingda
回复:最大基础
Sukumar,
谢谢你的澄清和指点。你的文章很好地介绍了无网格方法所面临的问题。既然阿罗约读过《力学》，也许他能提供更万博manbetx平台多的见解?
Biswajit
回复:maxent基础
你好,
Biswajit，我理解你的问题，为什么要另一种无网格方法?首先，我想指出有许多无网格方法(至少有许多首字母缩写)，但没有那么多无网格近似方法。移动最小二乘的思想非常好，是大多数方法的基础。最大近似值提供了另一种方法和基本原理，从一个分散的点集构造近似值。
我认为Suku很好地说明了这些特殊形状函数与其他函数相比的优势。我将其总结为:(1)在任何空间维度，而不仅仅是1,2或3的有效和健壮的计算，(2)狄利克雷BCs是直接的，(3)由于它们是非负的，它们在冲击附近不显示吉布斯型振荡，(4)对于具有光滑解的PDE，基于这些近量值的伽辽金方法的精度非常好，因此对于给定的精度，它们比FE更有效。但说实话，我最兴奋的是它在不同领域之间建立的联系，如凸几何、信息论、近似理论和数值方法、统计学习等。事实上，已经为无监督统计学习设计了一种非常相似的方法，并且认为最大近似在有噪声的数据中具有非常鲁棒性，并且在高d情况下表现特别好。
http://idl.ee.washington.edu/publications/thesis.pdf
最好的问候,
马里诺