你在这里gydF4y2Ba
非线性连续介质力学几何gydF4y2Ba
本文试图将连续介质力学中非线性问题的讨论置于现代微分几何的综合指导之下。有些人会说工程师不需要那么多数学知识，但这种观点无疑表明他们对数学知识缺乏了解。事实上，我是一名工程师、大学教师和结构工程设计师，我的经验是，如果在DG接受基础培训，我会省去很多麻烦。gydF4y2Ba
无论如何，它只是对DG的概念和概念的少量采用，这些概念和概念导致了在关于病态问题的辩论中浪费时间和精力。事实上，关于基本和计算问题的长期讨论和困难可以通过自然但谨慎的几何推理路径来解决。gydF4y2Ba
这条CM方法的第一个贡献已经发表在论文中gydF4y2Ba
G. Romano和R. Barretta:协变低弹性，2011，gydF4y2Ba欧洲力学杂志- A/固体gydF4y2Ba．gydF4y2Ba
doi: 10.1016 / j.euromechsol.2011.05.005gydF4y2Ba
欢迎知识渊博、思想开放的学者和科学家发表他们的宝贵意见。gydF4y2Ba
我们热忱邀请年轻有才华的研究人员体验这条通往物理与工程专业(CM)的激动人心的新途径。gydF4y2Ba
»gydF4y2Ba
- Giovanni Romano的博客gydF4y2Ba
- 登录gydF4y2Ba或gydF4y2Ba注册gydF4y2Ba发表评manbetx体育论gydF4y2Ba
- 112518年读gydF4y2Ba
评论gydF4y2Ba
非线性连续体力学的几何学gydF4y2Ba
嗨,乔凡尼,gydF4y2Ba
在你的一篇论文(或者是演讲?)中你提到变形梯度的乘法分解在几何上是不一致的。你能详细说明一下吗?gydF4y2Ba
——BiswajitgydF4y2Ba
乘法分解失败gydF4y2Ba
嗨Biswajit,gydF4y2Ba
让我试着用明确的论据来回答你这个有趣的问题。gydF4y2Ba
首先，让我们考虑以下问题，摘自您博客上的一条评论:gydF4y2Ba
对数自旋gydF4y2Ba提交的gydF4y2Ba安德鲁·诺里斯gydF4y2Ba星期一，2007-07-02 14:5gydF4y2Ba
其中引用了著名的公式L = \dot{F}F^{-1} = d+W。gydF4y2Ba
关键是gydF4y2Ba著名的gydF4y2Ba公式处理了gydF4y2Ba时间导数gydF4y2BaF \点{}gydF4y2Ba
它的定义从来没有明确给出。如果有人试图给出一个明确的答案，gydF4y2Ba
他很快就会被迫认识到，没有合适的方法来给出定义gydF4y2Ba
随时间变化的“变形梯度”的时间导数gydF4y2BaFgydF4y2Ba(t)。gydF4y2Ba
其实就是变形图gydF4y2BaφgydF4y2Ba源和目标体之间是否存在微分同构gydF4y2Ba
还有“变形梯度”gydF4y2BaFgydF4y2Ba是对应的切线映射吗gydF4y2BaTφgydF4y2Ba哪个是同构gydF4y2Ba
在身体相关位置的切线束之间。gydF4y2Ba
因此gydF4y2BaFgydF4y2Ba是一个材质贴图，以线性的方式变换，切线向量基于在gydF4y2Ba
源位置，转化为切线矢量基于在目标位置的相应位移点。gydF4y2Ba
假设目标位置是时间依赖的，唯一的方式是附加物理意义gydF4y2Ba
的时间导数gydF4y2BaFgydF4y2Ba是为它提供一个“自然”的定义，gydF4y2Ba
这是一个不涉及任意选择的定义。gydF4y2Ba
并且要求时间导数仍然是作用于的线性变换gydF4y2Ba
切线矢量基于源位置上的一点，这个属性使它成为一个材质张量gydF4y2Ba
出现在构成关系中gydF4y2Ba
然后，微分几何提供的工具被唯一地检测到gydF4y2Ba谎言gydF4y2Ba沿着运动的时间导数。gydF4y2Ba
不幸的是这个时间导数gydF4y2Ba消失相同gydF4y2Ba因为它只是时间的偏导数，gydF4y2Ba
在固定的源点，向前推的拉回，这就是恒等映射。gydF4y2Ba
文学中隐含采用的工具是，如果有任何证据，gydF4y2Ba
沿运动方向的平行(或协变)时间导数，gydF4y2Ba
根据空间歧管的连接。gydF4y2Ba
然而，这个衍生品受到两个致命bug的影响:gydF4y2Ba
1)连接的选择是相当随意的，所以gydF4y2Ba失去了自然性gydF4y2Ba．gydF4y2Ba
2)对于低维物体(如三维欧几里得空间中的导线和膜)的平行时间导数gydF4y2Ba
的gydF4y2BaFgydF4y2Ba(t)(或者更确切地说，它的空间沉浸)将在源位置的切线束之外有一个范围，gydF4y2Ba
因为空间中的平行移动不会将切向量转换为目标位置gydF4y2Ba
到源位置的切向量。gydF4y2Ba
因此，的平行时间导数gydF4y2BaFgydF4y2Ba(t)gydF4y2Ba不能出现在本构关系中gydF4y2Ba．gydF4y2Ba
然后，作为的时间导数gydF4y2BaFgydF4y2Ba(t)在本构关系中不能被采用，它还剩下什么呢gydF4y2Ba
一种塑性理论，用链式分解来描述其运动学gydF4y2Ba
随时间变化的变形梯度?gydF4y2Ba
这里不提已经讨论过的乘法分解的缺点，gydF4y2Ba
如中间线性空间固有的不确定性gydF4y2Ba
(这是中间配置的一个更好的名称)。gydF4y2Ba
关于整个事件的详细介绍将在一篇文章中发表gydF4y2Ba
我已经提交了一篇论文，我会让你知道的。gydF4y2Ba
真诚gydF4y2Ba
乔凡尼·罗马诺gydF4y2Ba
Re:乘法分解失败gydF4y2Ba
亲爱的乔凡尼:gydF4y2Ba
谢谢你有趣的讨论。我不同意你关于……的推理gydF4y2BaFgydF4y2Ba不是可接受的变形措施。gydF4y2Ba
我同意李氏导数gydF4y2BaFgydF4y2Ba沿着运动消失(我不认为这是“不幸的”;这只是一个事实)。的确，你可以选择不同的连接(在这里的环境空间中用于协变时间导数)。让我们不要忘记，我们确实需要在环境空间(和参考配置)中选择一个度量，以便能够从中生成标量gydF4y2BaFgydF4y2Ba(两点张量)。这可能看起来“不自然”或令人不快，但在弹性中，我们需要知道距离是如何在环境空间中测量的。如果弹性薄片附着在弯曲的2流形上，显然，必须有环境空间度量来计算存储的能量。关键是:你必须明确地将环境空间的度量和参考构型明确地包含在你的存储能量(或拉格朗日密度)中。现在有了一个度量，自然连接(在环境空间中)将是列维-奇维塔连接。然而，你可以选择任何其他连接，你最终会得到不同的“时间导数”gydF4y2BaFgydF4y2Ba．这不会使理论在任何意义上变得软弱或不一致，也不会gydF4y2BaFgydF4y2Ba一种不可接受的变形量。在连续介质力学中有不同的应力测量是一种灾难吗?不。只要选择适当的变形措施，理论是一致的。gydF4y2Ba
另一点:如果你选择的话gydF4y2BaFgydF4y2Ba作为一种变形测量，然后在计算存储能量的李氏导数时(假设你在看非线性弹性gydF4y2BaFgydF4y2Ba的李氏导数会消失gydF4y2BaggydF4y2Ba(环境空间度量)没有，它将是你的“应变率”。如果你选择协变时间导数你会得到协变时间导数gydF4y2BaFgydF4y2Ba但是的协变时间导数gydF4y2BaggydF4y2Ba消失(假设使用Levi-Civita连接)。gydF4y2Ba
现在关于"低维体"变形体是环境空间流形的一个子流形所以你可以使用诱导连接来得到正确的协变时间导数。gydF4y2Ba
我同意乘法分解gydF4y2BaFgydF4y2Ba有一些问题，但不是“失败”。我也同意你所说的“中间构型”，“中间线性空间”。gydF4y2Ba
问候,gydF4y2Ba
乔gydF4y2Ba
论CM的几何方法gydF4y2Ba
亲爱的乔,gydF4y2Ba
我很高兴有机会与一位具有扎实的微分几何背景的连续介质力学(CM)的科学家和研究员讨论基本问题。gydF4y2Ba
我想。gydF4y2Ba带gydF4y2Ba请注意gydF4y2Ba以下问题。gydF4y2Ba
空间(和时间)仿射流形中的度量张量场是CM理论的基本组成部分。不同的选择导致不同的理论。gydF4y2Ba
2)被赋予度量张量场的时空流形是一个黎曼流形，列维-西维塔连接是该流形中唯一的无扭(即对称)和度量连接，但实际上经常考虑不同的连接，例如由一般坐标系引起的连接，这些连接很可能是非对称的。然后是依赖于连接的时间速率定义gydF4y2Ba不是天然的gydF4y2Ba．gydF4y2Ba
3)给定环境空间流形中的连接，在低维物体(环境空间流形的子流形)的位置上的诱导连接定义了一个协变导数，该导数在每个点上沿着与子流形相切的向量执行。协变时间导数在它的定义域之外，因为它们是相互作用的gydF4y2Ba速度矢量gydF4y2Ba哪一个gydF4y2Ba五月gydF4y2Ba不gydF4y2Ba是gydF4y2Ba与子流形相切gydF4y2Ba．gydF4y2Ba
为了发展CM的一般理论，最合适的DG上下文是由四维事件流形和轨迹子流形提供的。gydF4y2Ba
致以最亲切的问候gydF4y2Ba
乔凡尼gydF4y2Ba
关于CM的几何方法gydF4y2Ba
亲爱的乔凡尼:gydF4y2Ba
谢谢你的夸奖。gydF4y2Ba
1)我同意度规张量是任何连续介质力学几何理论的基本成分。在固体的情况下，对于参考流形，如果要求参考结构无应力，则可能失去选择任意度量的自由。gydF4y2Ba
我同意你关于利未和奇维塔的联系的说法。在这里，也许你应该澄清一下“自然”的确切含义。列维和奇维塔的联系并不总是自然的联系。例如，给定一个具有分布位错的实体，自然连接(在参考配置中)是Weitzenbock连接(度量兼容，平坦，但有扭转)。这是由近藤和毕尔比在20世纪50年代首次实现的。gydF4y2Ba
3)诱导连接作用于子流形的切空间。我不认为这是讨论的主要问题。gydF4y2Ba
问候,gydF4y2Ba
乔gydF4y2Ba
变形梯度的时间导数是什么?gydF4y2Ba
亲爱的乔,gydF4y2Ba
让我们把讨论打下坚实的基础。gydF4y2Ba
在信中gydF4y2Ba乘法分解失败gydF4y2Ba，应比斯瓦吉特的要求，我揭示了我考虑时间导数\dot{定义的动机gydF4y2BaFgydF4y2Ba几何上站不住脚。gydF4y2Ba
既然你的观点与我反对塑性中的乘法分解的观点不一致，你能给时间导数\dot{提供一个定义吗?gydF4y2BaFgydF4y2Ba} ?gydF4y2Ba
这将有助于我们找到问题的核心。gydF4y2Ba
问候,gydF4y2Ba
乔凡尼gydF4y2Ba
Re:变形梯度的时间导数是什么?gydF4y2Ba
亲爱的乔凡尼:gydF4y2Ba
环境空间是一个黎曼流形。如果你需要时间导数gydF4y2BaFgydF4y2Ba在我看来，使用列维-奇维塔联系的协变时间导数是非常好的。如果你认为这不是一个自然时间导数，我想知道你对“自然时间导数”的定义是什么。gydF4y2Ba
问候,gydF4y2Ba
乔gydF4y2Ba
Re:变形梯度的时间导数gydF4y2Ba
谢谢Arash和Givoanni花时间解释你们的观点。我不太懂，我的理解可能是完全错误的。gydF4y2Ba
乔瓦尼的观点似乎是，如果没有gydF4y2Ba独特的gydF4y2Ba这种联系适用于实体力学，那么我们就会处于同样的情况下，当独特的客观比率是愤怒的时候。乔瓦尼，你能解释一下你天生的联系吗。gydF4y2Ba
Arash说我们只需要一般(局部?)协方差;这本质上是另一种形式的客观性。阿拉什，你能解释一下协方差的物理含义吗?gydF4y2Ba
而且，既然我们不是在处理相对论力学，在固体力学中不是更简单吗?我们能从相对论中得到结果并运用它们吗?gydF4y2Ba
如何通过实验来指导这些理论并为其奠定坚实的基础?有什么不寻常的预测可以帮助我们选择导数的正确定义吗?gydF4y2Ba
——BiswajitgydF4y2Ba
\•F的定义gydF4y2Ba
拜托，我们不要得意洋洋地说，\•F在连续介质力学中没有精确的定义，需要一个“正确的”定义。gydF4y2Ba
去看看Gurtin的《连续介质力学导论》吧。它是完全精确和自洽的。gydF4y2Ba
现在你可能会激动地说，我不想把三维欧几里得点空间中三维物体形态的两点的切空间看作是相同的——这是你的选择，但这并不意味着变形梯度率不能在有限维矢量空间的微分背景下给出精确的数学(和物理)意义。你认识一个点空间和它相关的平移空间学习一点Frechet导数就可以了。gydF4y2Ba
让我们不要把我们能控制的事情弄得很糟糕，并且知道如何精确地理解。在连续介质力学中有更大的问题要解决——比如解决连续介质力学中出现的一些困难的非线性偏微分方程——我可以向你保证，再多的微分几何化也不能减轻这个负担。gydF4y2Ba
重新定义\•FgydF4y2Ba
我同意阿米特的观点。我的观点是:的导数gydF4y2BaFgydF4y2Ba消去了，但是协变时间导数gydF4y2BaFgydF4y2Ba是一个定义良好且有效的时间导数，也是“客观的”。gydF4y2Ba
在我看来，我们应该避免发生在“理性力学”人身上的事情(痴迷于符号和“等在原理”等有趣的东西)。如果微分几何所能提供的只是让事情看起来更复杂，那么它就没有真正的贡献，我们应该忘记它。几何学确实可以带来重要的贡献，而不仅仅是对已知事物的简单重新解释。一个人应该关注的是解决现有理论/方法无法解决的问题。gydF4y2Ba
问候,gydF4y2Ba
乔gydF4y2Ba
关于时间导数的定义gydF4y2Ba
让我更详细地解释一下概念gydF4y2Ba自然性gydF4y2Ba以及为什么在环境空间中看似合适的协变时间导数不适合定义的时间速率的几何动机gydF4y2Ba材料张量gydF4y2Ba(进入本构关系的那些)作用于与当前物体位置相切的向量。gydF4y2Ba
1)对流时间导数，只依赖于运动;gydF4y2Ba
这是理论的基本组成部分，是吗gydF4y2Ba自然gydF4y2Ba的概念。gydF4y2Ba
相反，选择一个连接在轨迹歧管来执行gydF4y2Ba
一个物质张量的平行时间导数使gydF4y2Ba
自然性gydF4y2Ba时间-速率的概念。gydF4y2Ba
2)对于低维物体gydF4y2Ba
(如三维欧几里得空间中的导线和膜，如图1,2所示)gydF4y2Ba
沿着运动的回拉将物质矢量转化为物质矢量gydF4y2Ba
(图1,2中的红色箭头)。gydF4y2Ba
相反，浸入物质切矢量沿粒子的平行移动，gydF4y2Ba
通常会得到一个不与物体位置相切的空间向量吗gydF4y2Ba
(图1,2中的黑色箭头)。gydF4y2Ba
然后，对于低维物体，定义的时间导数gydF4y2BaFgydF4y2Ba如果结果在本构关系中被采用，那么通过平行移动是不可接受的，因为只有材料向量(与物体位置相切)而不是空间向量(与周围空间相切)是可接受的。gydF4y2Ba
我假设连续介质力学的概念和定义应该同样适用于任何维度的物体，即电缆，膜和球。gydF4y2Ba
作为最后的观察，我想指出的是，从采用的理论gydF4y2Ba自然gydF4y2Ba时间速率的定义显然更简单，更适合于计算应用。gydF4y2Ba
另一点需要考虑的是gydF4y2Ba欧拉gydF4y2Ba的拉伸公式是度规张量的对流时间导数的表达式。根据对偶性，应力的时间导数也是对流时间导数。那么，在处理变形梯度时，为什么要考虑用平行移动来求时间导数呢?只是因为对流导数消失了，但这表明其中涉及到一个基本的困难。实际上没有必要考虑的时间导数gydF4y2BaFgydF4y2Ba在本构关系中，测量变形的合适候选者是环境空间中的度量张量(或者更好的是它回拉到物体位置，以包括低维物体)。gydF4y2Ba
致以最亲切的问候gydF4y2Ba
乔凡尼·罗马诺gydF4y2Ba
关于时间导数的定义gydF4y2Ba
亲爱的乔凡尼:gydF4y2Ba
我知道你喜欢用回拉度规和它的时间导数。这完全没问题。你可以用空间度规的李导来做同样的工作。我想你同意连续介质力学可以同时使用空间和物质描述来表述吧?我也知道你喜欢用最小的几何结构。有了运动李氏导数，甚至不需要度规就可以定义。我的观点是，这个论点不足以驳回gydF4y2BaFgydF4y2Ba作为一种变形措施。我要强调的是，我并不提倡对变形梯度进行乘法分解，但同时也不认为它是不一致的。有问题的是使用中间“配置”，它仅在本地定义，正如您之前提到的，它甚至不是配置。gydF4y2Ba
我也假设你同意度规是一个基本要素我们必须有一种测量距离的方法来计算弹性能?那么黎曼流形中的自然联系就是列维-奇维塔联系(在经典框架中)如果有人对相对论效应感兴趣，也许更复杂的时空可以用来解释宇宙学缺陷，并使用的协变时间导数gydF4y2BaFgydF4y2Ba应该会得出一个可接受的理论。人们可能仍会争论哪个更自然或更基本。我认为不变量是能量密度的时间导数(一个标量)这个标量可以用后拉度规的时间导数和第二个Piola-Kirchhoff应力或者协变时间导数来表示gydF4y2BaFgydF4y2Ba以及第一个Piola-Kirchhoff应力。你觉得呢?gydF4y2Ba
让我们也记住，为了写出平衡方程我们确实需要使用协变导数，也就是说，使用列维-奇维塔联系是不可避免的;柯西应力的发散需要使用列维-奇维塔连接。我也想知道你对这一点的看法。gydF4y2Ba
问候,gydF4y2Ba
乔gydF4y2Ba
关于时间导数的定义gydF4y2Ba
我不懂复杂的几何，但我发现这个解释和它的含义很有趣。谢谢你！gydF4y2Ba
NachiketgydF4y2Ba
我也很有趣……也许gydF4y2Ba
我也很有趣……也许我们可以教我一下??gydF4y2Ba
_____________________________________________gydF4y2Ba
Lampu苏利耶gydF4y2BaLampu Jalan Tenaga SuryagydF4y2BaLampu Jalan太阳能电池gydF4y2Ba
傻鱼gydF4y2Ba
我看到了gydF4y2Ba鱼的油炸锅gydF4y2Ba以一种不太礼貌的方式进入博客。gydF4y2Ba
我并不想使他得意忘形，而是建议他这样做gydF4y2Ba学习烹饪的艺术gydF4y2Ba在吐槽他的食谱之前。错误的炸鱼可能有可怕的味道，对健康有害。gydF4y2Ba
对于其他读这个博客的朋友，我注意到了gydF4y2Ba邻衍生品gydF4y2Ba定义gydF4y2Ba在线性空间中gydF4y2Ba具有合适的拓扑结构。在这个博客开始的讨论中，问题是如何沿着gydF4y2Ba非线性轨迹流形gydF4y2Ba到线性空间上的(fracimet)导数。我所坚持的是，在微分几何(DG)提供的两种可能性中，即沿运动的平行移动和推拉变换，只有第二种可能性是自然的，适合于进入本构关系的物质张量场。这一点并没有被Morton Gurtin在他那本关于gydF4y2Ba连续介质力学导论。gydF4y2Ba
把这个讨论分开，把DG看作是一种无用的时尚，就像试图用线性代数的唯一工具求导数一样。gydF4y2Ba
我真的很惊讶，即使是知识渊博的研究人员也能对这种顽固的盲目观点表示赞同。我对努力说服别人改变信仰不感兴趣，而是想以一种礼貌的方式与其他思想开放的人讨论科学问题。gydF4y2Ba
乔凡尼·罗马诺gydF4y2Ba
用\•F表示的方程来分析bvpgydF4y2Ba
看一看Hill's Invariance in Solid Mechanics(1978)的文章，当方便的时候，可以把客观速率本构方程转换成变形梯度速率和名义应力(速率)的形式，在这里可能是有用的。这在分析速率无关的bvp和分岔时非常有用。这也是在三维物体力学的背景下。当然，希尔不是乘法分解的支持者，我同意他的观点。我认为最重要的是理解不同等价表示之间的转换。gydF4y2Ba
在那篇文章中，Hill还解释了对流导数(相对于流形的流动来说，这相当于一个更一般的设置——例如，Jaumann率(对于可变形的物体)只能在这种情况下被理解)，这对本博客的读者可能也很有用。在我看来，他很好地解释了李氏衍生品的回调-衍生品推进的概念，对于那些没有接触过DG的人来说，这是第一次接触这个概念。一旦人们理解了这一点，那么也许就很容易适应这种情况，即沿着流的相同材料点的切线空间不能被宣布为相同(如壳，膜，棒)-当然，在这种情况下，人们也可以理解为什么这是一个有用的概念。gydF4y2Ba
DG的概念在低维物体的CM中当然很重要——做过3-d CM以及玩过壳理论(并在数值上实现它们)的人都知道并欣赏这一点。但这篇博客的主要问题之一与乘法分解的失败有关，以及诺里斯的说法是否有意义。这些发展是在三维空间中的三维身体的背景下进行的——在那里它们有完美的精确意义(至少对我来说)。gydF4y2Ba
从西莫的作品开始，CM也有一段过去的眩晕史。对于本博客的读者(尤其是年轻的研究人员)来说，这可能也是一种开放的尝试，看看这些工作，并得出他们自己的结论，从这些实践中学到了什么。也许罗马诺教授的论文已经涵盖了这一点。gydF4y2Ba
用\•F表示的方程来分析bvpgydF4y2Ba
亲爱的阿米特:gydF4y2Ba
长期以来，人们(甚至是最杰出的人)一直对客观时间导数感到困惑。我认为主要原因是对几何技巧不熟悉。由于某种原因，研究连续介质力学的人(不是全部，而是大多数)把自己孤立起来，认为他们研究的是一种非常特殊的理论，而没有意识到这只是物理学众多场论中的一种。几何在物理学的许多发展中都起着至关重要的作用，我们应该从中吸取教训。我想你会同意我的看法吧?gydF4y2Ba
变形梯度具有固定腿和随变形体移动的腿(两点张量)。由于这个原因，除非一切都是欧几里得的，否则不能求(朴素的)时间导数。很可能古汀也是这么做的?gydF4y2Ba
我相信几何概念总是很重要的当你处理有残余应力的物体时，不管维度如何。gydF4y2Ba
西莫是极少数既懂几何又能在计算力学中正确运用几何的人之一。不幸的是，他英年早逝。gydF4y2Ba
让我再说一遍，我坚信解决具体(非线性)问题是使其他人相信几何技术有用性的正确方向。gydF4y2Ba
问候,gydF4y2Ba
乔gydF4y2Ba
Re: Arash关于CM的几何化gydF4y2Ba
乔,gydF4y2Ba
你问了一个有趣的哲学问题(几何在许多发展中都是必不可少的....)，我很乐意在我们有时间的时候讨论这个问题。但也许您应该首先启动一个单独的线程。gydF4y2Ba
- - - - - -阿米特gydF4y2Ba
阿拉什，我同意阿米特的观点。gydF4y2Ba
阿拉什，我同意阿米特的观点。这是一次令人振奋的讨论。如果你有时间，请开始一个单独的线程。gydF4y2Ba
此前,gydF4y2Ba
论连续介质力学的基础gydF4y2Ba
亲爱的同事,gydF4y2Ba
让我说几句关于gydF4y2Ba
希望这个博客能提供一个持续的讨论gydF4y2Ba
连续介质力学的基础(gydF4y2Ba厘米gydF4y2Ba）.gydF4y2Ba
这就是我开博客的目的，在我看来，这个目标是可以实现的gydF4y2Ba
只有在不像别人那样急于要求的情况下才会达到gydF4y2Ba
在他的训练中学到的，毋宁是一种思考和思索的态度gydF4y2Ba
耐心和深度将被实验，以提供建设性的批评。gydF4y2Ba
我曾经学过这一课gydF4y2Ba
更在我学术生涯结束的时候我才意识到，要克服的是深深的gydF4y2Ba
对大多数人的待遇感到不满gydF4y2Ba厘米gydF4y2Ba，gydF4y2Ba
特别是在速率公式和本构理论方面，gydF4y2Ba
为了在高度混乱的情况下找到一个基本原理，我必须学习基础知识gydF4y2Ba
微分几何的概念和概念，我在大学里没有学过gydF4y2Ba
我作为一名工程专业的学生所受的训练，后来被认为是gydF4y2Ba
科学界对数学作为一门复杂的学科毫不关心gydF4y2Ba
在应用力学中。gydF4y2Ba
有句老话说得好gydF4y2Ba
意大利的那不勒斯，翻译过来可以是gydF4y2Ba
最好的聋子是不打算去听的人。gydF4y2Ba
我理解观念的改变gydF4y2Ba
对专家来说，基本原理是一项非常艰巨的任务，但却是非凡的gydF4y2Ba
的经验gydF4y2Ba爱因斯坦gydF4y2Ba的gydF4y2Ba
相对论(gydF4y2BaAbsit iniuria verbisgydF4y2Ba）gydF4y2Ba
应该学会我们要心胸开阔。gydF4y2Ba
这个理论的财富是gydF4y2Ba
人们喜欢gydF4y2Ba希尔伯特gydF4y2Ba，gydF4y2Ba克莱因gydF4y2Ba，gydF4y2Ba庞加莱gydF4y2Ba和gydF4y2Ba闵可夫斯基gydF4y2Ba，gydF4y2Ba
非常有知识和权威的专家，被爱因斯坦的方法所吸引gydF4y2Ba
分享他孩子气的热情。gydF4y2Ba
有一些重要的gydF4y2Ba
这种情况与目前关于连续体的情况之间的相似之处gydF4y2Ba
力学。gydF4y2Ba
两种情况下都是agydF4y2Ba
牢固的理论，丰富的含义和解释gydF4y2Ba
实验事实，但有一些无法解释的困难和矛盾。gydF4y2Ba
在这两种情况下都是正确的想法gydF4y2Ba
通过收集其他人提出的旧建议的提示和部分答案来实现gydF4y2Ba
有价值的研究。gydF4y2Ba
在我们关注的领域，gydF4y2Ba
连续介质力学，主要的新思想如下。gydF4y2Ba
1）gydF4y2Ba
仔细的几何定义和区分gydF4y2Ba
在空间张量场和物质张量场之间。gydF4y2Ba
2）gydF4y2Ba
协方差范式的陈述(gydF4y2BaCPgydF4y2Ba)表示比较的规则gydF4y2Ba
在物质张量之间是按相关微分同构的推力gydF4y2Ba
转换。gydF4y2Ba
第一项是基本的，但简单明了gydF4y2Ba
从来没有明确地以适当的几何形式表示。第二件制作完成gydF4y2Ba
更微妙的是身体和周围环境在维度上的巧合gydF4y2Ba
空间，但对低维物体来说是自我提议的。gydF4y2Ba
为了掌握动机，应该注意到gydF4y2Ba
材料张量之间的比较意味着物体沿a的两个位置gydF4y2Ba
轨迹(无论是真实的还是虚拟的)被考虑，与gydF4y2Ba
它们之间的进化异胚性。的gydF4y2Ba自然gydF4y2Ba
进行比较的方法只是诉诸于进化gydF4y2Ba
微分同构本身，并对其切线映射，来执行推拉gydF4y2Ba
转换。这个想法可以追溯到gydF4y2Ba欧拉gydF4y2Ba对他的gydF4y2Ba庆祝gydF4y2Ba的公式gydF4y2Ba伸展运动。gydF4y2Ba
这种方法在概念上的清晰性是毋庸置疑的gydF4y2Ba
采用这种方法的非凡效果一旦显现gydF4y2Ba
它适用于制定本构关系，讨论基本问题等gydF4y2Ba
具有时无关性、时不变性、帧不变性和可积性gydF4y2Ba
条件。gydF4y2Ba
面临的虚构的困难gydF4y2Ba厘米gydF4y2Ba都被洪水冲走了吗gydF4y2BaCPgydF4y2Ba
是什么导致了速率本构关系的形成gydF4y2Ba
弹粘塑性(和类似的模型材料的行为)在一个直接gydF4y2Ba
确定的方法解决了长期以来关于物质速率的争论gydF4y2Ba
通过给出一个唯一的，简单的，定义明确的答案。gydF4y2Ba
这是这种新方法的首次亮相gydF4y2Ba
doi: 10.1016 / j.euromechsol.2011.05.005gydF4y2Ba
在论文中gydF4y2Ba
G. Romano和R. Barretta:协变低弹性，2011;gydF4y2Ba欧洲力学杂志- A/固体gydF4y2Ba．gydF4y2Ba
更全面的治疗方法是gydF4y2Ba在itineregydF4y2Ba．gydF4y2Ba
真诚gydF4y2Ba
乔凡尼·罗马诺gydF4y2Ba
关于连续介质力学的基础gydF4y2Ba
亲爱的乔凡尼:gydF4y2Ba
我完全同意一个人应该保持开放的心态，愿意对大多数人已经接受的东西提出质疑。我还认为，在科学讨论中，一个人在提问/回答问题时应该非常具体和明确。让我重复一下我之前的一个(未回答的)问题。在写线性动量的平衡时需要联系吗?如果不是，你会怎么写?gydF4y2Ba
问候,gydF4y2Ba
乔gydF4y2Ba
论线性连接在动力学中的作用gydF4y2Ba
亲爱的乔,gydF4y2Ba
我非常感谢你的问题，它将引导我们讨论经典连续体动力学中的一个基本问题(gydF4y2BaCCDgydF4y2Ba）.gydF4y2Ba
前段时间我也提出了同样的问题，为了得到一个令人满意的答案，我需要付出艰苦的调查努力，从文献中恢复基本信息，提取潜在的几何概念和结果，以及新的贡献。gydF4y2Ba
接下来，我将尝试总结基本思想，重点是线性连接在环境空间中的作用，并引用我和同事最近的一些文章，其中的基础gydF4y2BaCCDgydF4y2Ba详细处理。gydF4y2Ba
的基础gydF4y2BaCCDgydF4y2Ba是通过关于轨迹和相关演化算子的变分原理以最一般的方式确定的。这个原理可以用标准的几何形式表示gydF4y2Ba作用原理gydF4y2Ba其中变分原理的试验是通过置换容器歧管中的轨迹来进行的。为此，轨迹被认为是状态空间流形的子流形，定义为速度-时间(或速度-时间)流形gydF4y2Ba行动1 -gydF4y2Ba在状态空间上，通过适当提升标量拉格朗日量来设计。在通常的规则性假设下，作用原理可以局部化以提供微分gydF4y2Ba欧拉gydF4y2Ba方程gydF4y2Ba和gydF4y2Ba角条件gydF4y2Ba在奇点处。gydF4y2Ba
在此之前，状态空间流形中没有任何几何联系进入理论，因此可以肯定gydF4y2BaCCDgydF4y2Ba可能以一种自然的方式根据演化算子和拉格朗日量建立起来，不需要任何额外的假设，如gydF4y2Ba
G. Romano, R. Barretta和M. Diaco，论连续统动力学，gydF4y2Ba
j .数学。物理学报，50(2009):2903-1-26。DOI:gydF4y2Bahttp://dx.doi.org/10.1063/1.3215979gydF4y2Ba
一个等价的原理可以通过施加轨迹的位移使能量泛函不变来形成，从而得到gydF4y2BaMaupertuis最小作用原理gydF4y2Ba如gydF4y2Ba
G. Romano, R. Barretta和A. Barretta，论动力学中的Maupertuis原理，gydF4y2Ba
众议员数学。物理学报，63(3)(2009):331-346。DOI:gydF4y2Bahttp://dx.doi.org/10.1016/s0034 - 4877 (09) 00015 - 9gydF4y2Ba
然而，线性连接的引入为研究满足作用原理的轨迹的演化特性提供了一个非常有价值的工具，选择一个特殊的连接是一个方便的问题。例如，一个曲线坐标系将产生一个相关的远平行度和一个相应的具有消失的扭转和曲率形式的线性连接。通过一项gydF4y2BaLevi-CivitagydF4y2Ba相反，连接将产生具有不消失曲率的无扭转和度量连接。在这方面，我们必须注意到，只有线性连接的扭转才进入动力学方程。提供了一个重要的例子gydF4y2Ba庞加莱gydF4y2Ba该定律是由与曲线坐标相关的移动参照系引起的远距离平行移动的结果。在这种情况下，扭转形式等于gydF4y2Ba李氏括号gydF4y2Ba因此基向量场的李括号的分量(命名为gydF4y2Ba结构系数gydF4y2Ba)出现在动力学方程中。gydF4y2Ba
轨迹上的列维-奇维塔联系，以及由单位质量动能给出的拉格朗日量，导致了广义的gydF4y2Ba欧拉gydF4y2Ba的年代,gydF4y2Ba达朗贝尔gydF4y2Ba动力学定律。标准配方回收gydF4y2Ba欧几里得gydF4y2Ba空间通过平移被赋予了平行移动。这些问题在引用的参考文献中有详细的论述。gydF4y2Ba
总之，gydF4y2Ba回答gydF4y2Ba问题是:gydF4y2Ba
线性动量的平衡(这是欧拉动力学定律的一部分)是在欧几里德空间中选择与平移平行移动相关的标准连接的结果。它是一般表达式的一种特殊形式，不依赖于连接的选择。gydF4y2Ba
致以最良好的祝愿，圣诞快乐，新年快乐gydF4y2Ba
乔凡尼·罗马诺gydF4y2Ba
回复:关于线性连接在动力学中的作用gydF4y2Ba
亲爱的Giavanni:gydF4y2Ba
谢谢你详细而翔实的解释。我同意欧拉-拉格朗日方程都是用偏导数来表示的。我认为我们应该仔细考虑的一件事是弹性中的拉格朗日密度明显依赖于度规。这样就可以使用列维-奇维塔连接(应力散度……)将EL方程写成等价且众所周知的形式。下面的参考资料是相关的。gydF4y2Ba
J.E. Marsden, et al.，变分方法，多辛几何和连续介质力学，物理学报38(3-4)，pp. 253-284, 2001。gydF4y2Ba
我再补充一点。具有体积形式的散度是用李氏导数来定义的。有了连接，就可以定义兼容的卷形式(以显而易见的方式)。事实证明，标准黎曼体积形式是列维-奇维塔联系的相容体积形式。gydF4y2Ba
节日快乐!gydF4y2Ba
问候,gydF4y2Ba
乔gydF4y2Ba
微分几何和流体力学gydF4y2Ba
我有几个一般性的问题。微分几何被应用到流体力学的研究中了吗?有没有人或大学在这方面进行研究?将微分几何应用于流体力学是否有效?gydF4y2Ba
变形梯度的时间导数gydF4y2Ba
让我指出变形梯度的时间导数gydF4y2BaFgydF4y2Ba(t)是gydF4y2Ba精确的数学定义gydF4y2Ba就gydF4y2Ba物质时间导数gydF4y2Ba，通过gydF4y2Ba环境空间中的协变导数gydF4y2Ba，如[1](第1.4章Def. 4.19和第4.2章Prop. 2.2)所规定。一个gydF4y2Ba更复杂的推导gydF4y2Ba，基于gydF4y2Ba所有光滑嵌入的无限维黎曼流形gydF4y2Ba在[2]中进行了暴露，并在[1]中进行了回顾。有关更多信息，请参阅[3]gydF4y2Ba
b[1]马斯登，j.e.，休斯，t.j.r.:《弹性的数学基础》。多佛，纽约(1993)gydF4y2Ba
[10] Epstein, M.， Segev, R.:连续介质力学中的可微流形和虚功原理。j .数学。物理学21,1243-1245 (1980)gydF4y2Ba
[10]费亚华，张志强。目标时间导数修正。ZAMP 71，文章编号:4 (2020)gydF4y2Ba