两点张量

这里有两个独立的问题:两点张量和拉格朗日描述。虽然两点张量不是必须的，但通常需要拉格朗日系统来正确地描述固体。与欧拉系统相反，拉格朗日系统通过其原始(参考)位置而不是当前位置来跟踪物质点(因此坐标系在变形过程中移动)。前者在固体力学中常用，后者在流体力学中常用，这是由于两种材料的物理性质的关系。

固体(尤其是弹性固体)与流体的不同之处在于它们具有“记忆”:固体在某种程度上知道自己的原始状态，而流体只关心自己的当前状态(有一些例外)。因此，为了充分描述一个固体，我们需要指定一个参考状态，并测量其当前状态与参考状态之间的差异。一个两点张量，即变形梯度，自然会被用来桥接这两种状态。通过引入右边的柯西-格林变形张量F'F(或格林应变)和第二个PK应力，两个“腿”都处于参考状态，可以避免两个点张量。实际上，这些张量会去除刚体旋转，它包含在F中。

然而，仅用欧拉张量来描述弹性固体的变形状态是不可能的。你需要告诉材料在哪里。

亲爱的魏,

关于你所说的，我有一个问题。

如果我们考虑一个物体只是做了刚体旋转，那么变形梯度F=R, R为旋转。如果我们假设只有一个坐标系(欧拉坐标系)，那么R不是一个两点张量，R=RijEiEj, Ei和Ej都是同一个名字

然而，如果我们仍然假设存在拉格朗日坐标系和欧拉坐标系，那么F=R=Rij*ei*Ej是一个两点张量?

根据你所说的，这是正确的吗?

我在书中已经详细地描述了这些思想我的课堂笔记是关于有限变形的．以下是一些要点:

变形梯度

• 要理解这些思想，你所需要的只是一个物体在三维空间中的均匀变形，从参考状态到当前状态。
• 考虑当物体处于参考状态时，在空间中形成一段直线的一组物质粒子。由于变形是均匀的，当物体处于当前状态时，同一组材料粒子在空间中形成另一条直线的一段。
• 在引用状态下，段是一个元素Y也就是说，U中的两个线段的线性组合是U中的另一个线段，由通常的向量相加来定义。
• 在当前状态下，段是一个元素y注意U和V是两个不同的向量空间:我们不会形成U中的一个元素和V中的一个元素的线性组合。
• 变形梯度F是一个线性映射，它将U中的一个元素映射到V中的一个元素，y＝财政年度．这两个元素分别代表参考状态和当前状态下的同一组物质粒子。
• 两个向量空间U和V是不同的。我们可以为这两个向量空间选择不同的基底。根据定义，变形梯度是一个两点张量。(我们将两点张量定义为将一个向量空间中的元素映射到另一个向量空间中的元素的线性映射。)

变形梯度的几何表示

• 考虑在参考状态下形成单位立方体的另一组物质粒子。由于变形是均匀的，同一组材料颗粒在当前状态下形成平行六面体。
• 我们选择单位立方体的三条边作为两个向量空间的基。
• 相对于这个基础，我们表示每个直线段Y在参考状态下用一列表示，并表示同一组物质粒子y在当前状态下的另一列。我们表示变形梯度F通过一个矩阵。
• 各柱的变形梯度F表示一个向量，对应于平行六面体的一条边。

格林变形张量

• 如果物体在当前状态下进行刚体旋转，物质的状态不会改变。
• 因此，为了描述没有刚体旋转的变形，我们需要描述平行六面体的大小和形状，而不是平行六面体的方向。
• 平行六面体的大小和形状完全由六个量决定:三条边的长度和三条边之间的夹角。这六个量不构成张量。
• 平行六面体边的内积包含相同的长度和角度信息。此外，六个内积形成一个张量如果我们把这些内积写成FTF．这个张量是格林变形张量。

我的有限变形课堂笔记发展这些思想，同时也包含名义应力张量的发展。

也看到一个线程上线性代数，张量，线性空间之间的线性映射．