如何为位移梯度张量提供可视化

你好,

[警告:文章很长，因为我的帖子通常都是这样:)]

这一切都始于我为即将在印度召开的会议提交的一篇论文。当然，加长的摘要被接受了，但我的工作还在进行中，今天我不确定是否能赶上最后期限。所以，我可能会撤回它，然后把一个更长的版本提交给期刊，稍后。

无论如何，这是这篇论文背后的一个要点。我正在构建一个非常小的教学软件，叫做“toyDNS”。DNS代表Displacement,品系N，和……年代这个缩略词中的字母顺序强调了我(现在)认为这三个概念的正确层次顺序。不管怎样，让我们把等级顺序放在一边，看看软件是怎么做的——我想这可能更有趣。

该软件非常非常小和简单。它首先向用户展示一个规则的二维网格(即正方形)。用户使用鼠标扭曲网格(有点类似于图像扭曲软件的操作)。然后，软件立即(实时，无需使用菜单等)计算并显示相邻窗口中的以下字段:(i)位移矢量场，(ii)位移梯度张量场，(iii)旋转场，(iv)应变场，(v)应力场。该软件假定平面应力，线性弹性，并使用nu和e等材料属性的静态配置数据。该软件还显示维持用户指定的位移场所需的边界牵引力(力)。

基本上，这个想法是让初学的本科生第一次接触材料的力学，看到旋转场的重要性(这在教科书或课程中通常没有强调)，从而能够直接理解为什么一个任意的位移场唯一地决定了对应的应力场，而反过来为什么不成立——为什么一个任意的应力/应变场不能唯一地决定一个对应的位移场。为了说明这一点(如果您愿意，可以称之为兼容性问题)，这是这个玩具软件背后的全部原理。

现在，当要可视化这些场时，我总是可以用箭头来表示位移和力的向量场。对于应变和应力，我可以使用Lame椭圆(2D)。事实上，由于应变场和应力场是对称的，在二维，它们每个都只有3个分量，这意味着对称张量对象作为一个整体可以直接映射到RGB(或HLS)色彩空间，因此，我也可以显示应变(或应力场)的单个全彩色场图。

好的。到目前为止，一切顺利。

问题是位移梯度张量(这里简称DG)。由于位移场是任意的，所以DG张量没有对称性。因此，即使在2D中，它也有4个独立的组件。一个成分比三成分色彩空间所能容纳的多。所以，把张量物体作为一个整体来直接描述是不可能的，必须做一些别的事情。所以，我想到了下面这个主意。

首先是符号。假设DG张量被描述为:

DG11 DG12
DG21 DG22

=

du / dx du / dy
dv / dx dv / dy

其中DGij是DG张量的分量，u和v是位移场的x和y分量，d代表部分differentation。(同样想象一下，如果矩阵符号的方括号放在上面列出的组件周围。)

考虑DGij可以用来表示指向第i个面和第j个方向的向量的一个分量。对于应力张量，理解这种格式更容易。对于应力张量，Sij是作用于i-面并指向第j个方向的牵引矢量的分量。例如在图2.3中:http://en.wikipedia.org/wiki/Stress_(力学)， T^{e_1}是作用于与1轴垂直的面上的向量。

即使DG张量不是对称的，基本思想仍然适用，不是吗?

因此，DG张量中的每一行都代表一个向量:第一行是作用于与x轴垂直的面的向量，第二行是作用于与y轴垂直的面的另一个向量(对于DG来说，它完全独立于第一行)。对于2D，用“线”代替“面”。

如果我现在给出这两个向量，它们就能完全描述DG张量。这种表示有点类似于工程软件中常用的应力张量的“横条”可视化，其中张量场使用周期性横条显示——如果网格是规则和均匀的，并且具有方形元素，则非常方便。

然而，请注意一个显著的区别。因为DG张量是不对称，这两个向量通常不会彼此成直角。后者仅适用于对称张量，如应变张量和应力张量。

我的问题是:你看到DG张量的这种可视化有什么问题吗?遵循这种可视化方案是否会失去一般性?我的意思是，我读了一些关于非对称张量可视化的文献，注意到他们有时担心特征值是复的，而不是实的。我认为复特征值不会是上述DG张量描述的考虑因素——无论如何，旋转部分将在单独的窗口中单独显示。但是，我还是想对其通用性进行交叉检查。因此这篇文章。我错过什么了吗?假设太多?如果有的话，我还需要考虑什么?另外:你会“直观地”对这个方案感到满意吗? Can you think of or suggest any alternatives?

欢迎评论。

——特

(E&OE)