关于埃舍尔比的两部经典作品

最近,一个名为巨人之肩的新嘉年华已经开始并且同样的第一版在A博客上全天候发布．我在由夹杂物和不均匀性引起的弹性应力去了嘉年华。我在这里交叉发布这篇文章，因为它可能也会引起iMechanica读者的兴趣(尽管我之前确实发布了一篇简短的注释)万博manbetx平台在这里这也是这篇文章的核心)。

Crystallanity

几乎所有在实际应用中使用的金属和合金都是结晶的，也就是说，组成金属或合金的原子或分子在空间中周期性地排列。为了简单起见(同时不失概括性)，在这篇文章中，我假设这种周期性的排列可以由立方体组成——立方体的角和面中心由原子组成。这种特殊的晶体结构被称为面心立方(fcc)。

晶体中原子/分子的周期性排列导致了许多重要而有趣的性质。其中之一是晶格参数，在我们的例子中，它是立方体的大小，或者占据立方体角的两个原子的中心之间的距离。

弹性也相当自然地来自晶体结构。在晶体固体中，原子就像弹簧一样连接在一起，某种金属或合金所选择的晶体结构在某种程度上也是由这些“弹簧”及其强度决定的。因此，在一个晶体中，如果你试图将任何一个原子从它的平衡位置(由晶格参数决定)移动，它会试图返回;如果它不能，将它连接到其他原子上的弹簧要么被拉伸，要么被压缩;这些拉伸和压缩使晶体具有弹性。一旦作用在这些原子上的力(使它们离开平衡位置的力)被移走，原子就会回到原来的位置。材料的弹性常数告诉我们，对于一个给定的力，这些原子可以被拉伸多少。

晶体结构，根据定义，使固体各向异性(也就是说，如果你坐在一个原子上，从不同的方向看，它的性质是不同的);因此，弹性常数自然地继承了底层晶体结构的各向异性。对于立方晶体，弹性常数具有明显的立方各向异性。这在实际中意味着，如果你观察立方体边的方向和立方体对角线的方向，弹性性质是不同的;更具体地说，立方体边缘方向或对角线方向与其他方向相比弹性更软;也就是说，对于一个给定的力，较软方向上的原子相对来说更柔韧。

双阶段

许多在实际应用中使用的金属材料不仅是合金(即由一种以上类型的元素组成)和多晶(即每种材料由几种晶体组成)，而且还由一种以上的相组成(即由具有不同物理性质的固体材料组成)。不同的相和晶体的不同组合产生了各种各样有趣的微观结构特征(最初在微米尺度上注意到的特征，因此得名)，这些特征反过来又产生了材料的几个有趣的(有时是重要的)特性。因此，难怪大部分材料科学家和工程师都对研究微观结构特征、它们对性能的影响以及调整两者的方法感兴趣。

在这篇文章中，我将考虑一种特定的模型合金，它由两种元素组成——镍和铝(实际上，还包括其他几种元素——但就我们的目的而言，处理这种合金就像它只由这两种元素组成一样就足够了)。它还包括两个阶段;其中富镍相具有FCC晶体结构;另一种是由每个铝原子对应三个镍原子的特定比例组成，其晶体结构非常接近fcc，称为$latex L1_2$;事实上，它是FCC结构，只是铝原子更喜欢占据立方体的角落，而镍原子占据面中心。自然，这两种相具有不同的晶格参数和弹性常数;然而，由于这两个相都是基于立方晶体结构，因此这两个相的弹性各向异性是相同的。该材料的典型微观结构由分布在fcc材料(基体)中的$latex L1_2$相(析出相)的长方体组成，使其看起来像砖石中砖块($latex L1_2$)和砂浆(fcc)的微缩版本。

失配和弹性不均匀性

在上述双相材料的情况下，材料微观结构的复杂性也导致了其他一些重要的材料性能和参数，其中有两个是我们特别感兴趣的。一种被称为失配，它给出了矩阵相和析出相之间晶格参数的差异(由矩阵相归一化)。第二个性质被称为不均匀性，即在材料的不同部分，性质(特别是弹性常数)是不同的(因为相是不同的)。

这两个失配和弹性不均匀性是合金强化的关键因素；事实上，这是导致其优异力学性能的关键过程高温合金——用于航空航天工业和制造燃气轮机的合金；在富镍催化裂化过程中，L1_2 Ni_3Al$析出为$latex的镍基高温合金的最重要成分。

这个问题

关于上述类型的双相(简单地说，单晶)合金材料的微观结构及其演变，人们可以提出几个有趣的问题。在这篇文章中，我们将提出这样一个问题，即与这种材料的微结构相关的弹性应力场和应变场是什么?弹性应力和应变的问题是有趣的(a)从理解这些材料及其特性的角度，和(b)从在实际应用中使用这些材料的角度;因此，J D Eshelby写的两篇概述了获得这些场的过程的论文(尽管对于一些特殊的几何图形)已成为该领域的经典也就不足为奇了。

这两篇文章都发表在伦敦皇家学会学报:a辑:数学和物理科学．第一本出版于1957年，书名是椭球体夹杂物弹性场的测定及相关问题[1]。第二部出版于1959年，比第一部晚了两年椭球包体外的弹性场[2]。这两篇论文非常容易理解，读起来很愉快——对于任何对理论材料科学感兴趣的人来说，都是必读的。

当然，Eshelby不是第一个研究这个问题的科学家;在他的第一篇论文中，他确实列出了几位讨论过该问题许多特殊情况的作者;然而，正如Eshelby自己所指出的，他的方法不仅简单直接，而且是最普遍的;这种通用性使得应用Eshelby的方法对不简单的形状进行更容易的泛化，并在这种情况下获得数值上的弹性解。此外，该方法的简单性以及他为特殊情况给出的精确解还具有另一个重要目的，即验证为评估与更复杂形状相关的应力和应变场而编写的代码。事实上，Eshelby的论文还指出，在此工作之前，对于某些特殊情况，这些领域的常用表达式中存在几个错误——有些是Eshelby自己给出的，有些是该领域的大师，如Landau和Lifshitz在他们的经典教科书中给出的。因此，这两个经典不仅澄清了几个重要的问题，而且在某种意义上，实际上为未来几十年固体缺陷的微观力学领域的工作指明了路线图;甚至在今天，人们不仅试图把埃舍尔比的方法推广到越来越普遍(也越来越复杂)的情况，而且还在努力为埃舍尔比所讨论的形状以外的形状，即旋转椭球，获得类似的、精确的解析表达式。

就像所有经典作品一样，读者对作品的鉴赏力总是随着对作者的一点点了解而增强。因此，在我继续发表这篇文章之前，我想提请读者注意由B A Bilby出版的关于Eshelby的回忆录英国皇家学会院士传记回忆录题为约翰·道格拉斯·埃希尔比，1916年12月21日- 1981年12月10日[3]。还有一页简短的评论(更多的是关于他本人而不是他的作品)，由亚历克斯·D·金发表在《纽约时报》上Posterminaries1999年7月《MRS Bulletin》专栏[4];这篇文章，除其他外，讲述了为什么Eshelby选择研究理论问题，而不是做实验，以及他是如何被授予FRS的；这两个故事都非常有趣和有趣(如果有点杜撰的话)。最后，我还应该提一下这本书材料科学的出现罗伯特·W·卡恩[5]，它把这本书和埃希尔比写的其他经典作品放在一起(是的;尽管他在整个职业生涯中只写了56篇左右的论文，但其中有几篇被认为是经典之作，从材料科学作为一门学科的发展的总体角度来看，人们仍怀着极大的兴趣——有时还怀着敬畏之情——继续研究。

相变时的弹性应力

要想象为什么在这种双相材料中可能存在弹性应力和应变，以及这些应力或应变可能是什么样子，最简单的方法是考虑一种最初处于fcc晶体结构中的材料;现在，让我们假设这种材料的一小部分转化为$latex L1_2$;由于这部分现在具有不同的晶格参数，因此与原始FCC相相比存在失配，因此转换后的区域要么想收缩，要么想扩张(取决于失配的符号)。

如果假设fcc相是无限刚性的，则所有与膨胀或收缩相关的应变都将由转换区域容纳;因此，与自由状态相比，它将处于扭曲的几何状态，也就是说，如果它没有被刚性FCC相包围。

另一方面，也可以想象fcc相与转换区域相比是无限柔顺的;在这种情况下，转换后的区域看起来就像没有周围物质的地方一样;然而，所有与转变相关的应变现在都由周围FCC相的应变容纳。

实际上，这两个相都不是无限刚性的;事实上，可以定义一个称为不均匀性比率$latex \delta$的参数，它告诉我们与原始相相比，转换后的区域是如何相对刚性的;对应$latex \delta$，失配应变分布在两相中;因此，问题是在给定失配和转换区域形状的情况下，找到各个点的应力和应变的确切值。

事实上，即使我们假设不同相具有相同的弹性常数，仅在晶格参数上存在差异，应变场也不容易求出;并且，根据转换区域的几何形状，所得到的应变场可能具有许多微妙而美观的特性(正如Eshelby首次指出的那样):例如，对于各向同性的圆形夹杂物，如果本征应变是膨胀的(没有剪切分量)，夹杂物外的剪应力为零;主应力大小相等，符号相反(其中一个在夹杂基体边界处不连续，另一个在夹杂基体边界处连续)。

正如论文标题所表明的那样，埃舍尔比只研究了一类特殊的形状，即旋转椭球。然而，他的方法形成了任意形状应变场数值评估的基础(这是这篇论文如此重要和有影响力的原因之一)。话虽如此，请注意，作为特殊情况，旋转椭球内包含了几个重要的形状，人们通常对评估许多材料性质感兴趣，如针、球、板等。因此，这篇论文和其中提出的一些结果本身是非常有用的。

弹性解决方案(使用优雅的Eshelbian切割，应变和焊接)

Eshelby解决的确切问题(“借助一组简单的想象切割、拉伸和焊接操作”)，用他自己的话说，是:

• 转换问题

无限均匀各向同性弹性介质中的区域(“包体”)经历形状和大小的变化，如果没有其周围环境(“矩阵”)的约束，该区域将是任意的均匀应变。夹杂物和基体的弹性状态是什么?

均匀应变被称为“本征应变”或“转换应变”。在同一篇论文中，Eshelby还引入了“等效包含”的概念，用于求解当矩阵和本征应变区域(即“非均匀性”)具有不同弹性常数时的变换问题。

Eshelby用来解决转换问题的操作如下:

• 从矩阵中移除感兴趣的区域。
• 让它取特征应变。
• 通过应用适当的表面牵引将区域恢复到其原始形状和大小，并将其放回矩阵并重新连接。
• 通过施加一个相等的和相反的体力层，在夹杂物和基体之间的界面上去除体力。

在步骤(3)中，应力在基体中为零，在夹杂物中为已知常数。步骤(4)中引入的附加应力是由点力弹性场的表达式积分得到的。

Eshelby(用他的切割、应变和焊接)已经表明，转换问题等价于求解已知体力分布的均匀体的弹性平衡方程;他还给出了应力和应变场的精确表达式，前提是所研究的区域是一个旋转椭球;他的方法已经被Khachaturyan和他的同事们推广到任意几何和多重包含/非均匀性(当然，由此产生的方程是数值求解的)[6]。

对于力分布已知的均匀体，采用弹性格林函数求解弹性平衡方程。Rob Philips和Mura详细描述了格林函数方法[7,8]。

如果你对包裹体问题的一些解决方案感兴趣，Rob Philips描述了与半径为“a”的球形包裹体相关的径向位移与使用Green函数获得的膨胀本征应变(参见第524页的图10.14)，并指出具有膨胀失配的球形包裹体的弹性能量与包裹体的体积成比例。椭圆解夹杂物而且inhomogeneinities也可于我googlepage；很快，我将上传用于获取这些字段的代码，并在这里提供一个页面链接。

Mura的经典是一个奇异的见证，绿色函数和Eshelby的本征应变方法的组合的力量。格林函数法最终得到的结果是计算椭圆积分来获得位移。这并不奇怪，因为我们是在椭圆几何上对物体的力进行积分(记住，包含物是椭球/椭圆)。位移梯度给出了应变-这意味着我们需要微分格林函数。因此，用Eshelby-Green方法计算弹性应力、应变或位移场是相当麻烦的。

一个题外话

顺便说一句，格林是科学/数学编年史上另一个迷人的人物，我理解这一点格林介绍以他的名字命名的函数思想的那篇论文本身就是经典．

非均质性的“等效包含”

“等价包含”的思想很简单——这是一种很好的数学技巧，我们通过将一个问题简化为另一个已经解决的问题来解决它。

让非均匀性有一个不同于基体的弹性常数。其思想是用包含取代不均匀性-假设包含中的特征应变是这样的，它对矩阵施加与原始不均匀性相同的作用。在数学上，在等效包含中找出特征应变相当于求解一组三个未知数中的三个方程(在2D中)或六个未知数中的六个方程(在3D中)。

超越《Eshelby》(至少在2D中):复杂变量形式主义

如果我们感兴趣的是椭圆而不是椭球(即二维问题)，就有可能避免前面提到的繁琐的积分。1960年，一篇论文发表在剑桥哲学学会会刊， Jaswon和Bhargava演示了如何使用复杂变量公式[9]避免椭圆积分。

Jaswon和Bhargava通过以下观察得出了他们复杂变量的公式:

• 虽然Eshelby已经证明了一些非常有趣的一般定理，使用优雅的方法，他的解涉及解析棘手的积分的一个可怕的性质。

Eshelby自己也有同样的感觉，因为在他1959年的论文[2]中，他说:

• 必须承认，除了最简单的情况外，计算外场是很费力的。

Jaswon和Bhargava将他们的复杂变量形式主义建立在Eshelby“利用点力概念”对变换问题的“巧妙攻击”之上。鉴于这种方法的“新颖性和重要性”，他们还对Eshelby的论点进行了简要描述;而且，他们的描述是迄今为止我在文献中看到的最好的之一。

Jaswon和Bhargava的解决方案基于以下想法/结果:

• Eshelby方法涉及到矩阵夹杂边界上点力的积分。
• 任意点$latex x$的位移表达式由于点力$latex F$作用于已知点$latex y$时，Eshelby问题现在简化为包含表面上力的连续分布的积分。
• Green和Zerna[10]和Mushkelishvili[11]给出了描述轮廓积分的表达式!

经典之作，永垂不朽!

Bilby在1990[3]中写道，这里讨论的Eshelby的第一篇论文是1955- 1986年科学引文索引涵盖的所有科学领域中被引用最多的100篇论文中的第二组。然而，引文只讲述了故事的一部分。由于Eshelby的想法和结果已经成为教科书材料，并被不断地使用;因此，有时引用的不是他的论文，而是一些描述相同方法的教科书。

Bilby在同一部回忆录中也提到

这项关于夹杂物和非均质性的研究工作，不仅被应用于计算夹杂物、非均质性、析出相、孪晶、马氏体板、空腔和裂纹的应力场和相互作用，而且还用于发现含有非均质性和空腔分布的体的体弹性性质，以及讨论多晶和复合材料的性质。Eshelby概述了许多这些应用，并指出该方法可以应用于发现刚性或变形椭球的存在在缓慢粘性流动中引起的扰动。(…)他对粘性问题特别感兴趣，因为椭球在均匀变形下仍然是椭球这一事实意味着，可以研究其形状的有限变化，而不需要寻找其外部复杂流动的细节。这一应用已经有了相当大的发展，与玻璃的均质化理论、岩石应变的测定、空洞的变形以及含有刚性或可变形颗粒的悬浮液的流动有关。

近18年后的今天，如果Bilby在写这些论文的评价，他会把他的成果继续发挥关键作用的其他几个领域包括在内——其中之一是对具有缺陷的弹性非均匀固体的微观结构演化的研究(Khachaturyan和他的同事在这方面做出了巨大贡献)。

然而，正如Eshelby自己似乎已经指出的那样，这两篇论文之所以成为经典，最重要的原因不是因为它们的结果，而是因为其中发展的方法论，在他发表这些论文50年后，这些方法论仍然在使用[3]:

然而，他喜欢把自己视为一个卑微的“贸易工具供应商”，经常把详细的使用方法留给别人。

在这个过程中，这家工具供应商，也使工具本身更受人尊敬(正如Eshelby之前的一篇论文所指出的那样，该论文也使用了假想的切割、拉伸和焊接操作)[3]:

在这篇1951年的论文中，值得注意的是他通过使用假想的切割、拉伸和焊接操作推导出的结果，他经常使用这种技术，而且效果很好。有些受过正规数学训练的人并不认为这种方法是值得尊敬的。

最后，和所有经典一样，埃舍尔比的这两篇论文应该阅读，不仅因为它们的相关性和用途，而且因为它们的美丽和优雅，给读者带来了如此多的乐趣!

参考文献

[1] J D Eshelby，椭球体夹杂物弹性场的测定及相关问题，伦敦皇家学会学报:a辑:数学和物理科学，241第376页，1957年。

[2] J D Eshelby，椭球包体外的弹性场，伦敦皇家学会学报:a辑:数学和物理科学，252第561页，1959年。

兔耳袋狸，约翰·道格拉斯·埃希尔比，1916年12月21日- 1981年12月10日、英国皇家学会院士传记回忆录、36，第126页，1990。

A H King，后nimnaries:来自J D Eshelby的教训， m.r.s公报，第80页，1999年7月。

R W卡恩，材料科学的出现，佩加蒙材料系列，爱思唯尔科学出版社，2003年。

A G哈恰图良，固体结构转变理论，约翰·威利父子(p. 198)， 1983年;A G哈丘图良，S Semenovskaya和T Tsakalakos，非均匀固体的弹性应变能《物理评论B》52，第15909页，1992。

飞利浦，晶体、缺陷和微观结构:跨尺度建模剑桥大学出版社(p. 520)， 2001年。

T Mura，固体缺陷的细观力学， Kluwer学术出版社(第74页)，1987年。

M A Jaswon和R D Bhargava，二维弹性夹杂问题《剑桥哲学学会会刊》57第669页，1960年。

[10] A E Green和W Zerna，弹性理论，牛津大学出版社，1968年。

[11] N我Muskhelishvili，弹性力学数学理论的一些基本问题，施普林格，1975。