你在这里
估计条件数
共轭梯度等迭代方法的收敛性很大程度上取决于矩阵的条件数。我使用预条件共轭梯度(使用高斯-塞德尔预条件器或ILU(0))，我想知道是否有一种方法可以轻松估计矩阵的条件数。该矩阵系统来源于大变形力学的基本结构方程。是否有任何估计可以很容易地计算(我在脑海中有一种方法，例如使用元素纵横比…)。我的目标是对求解过程有更多的控制，并有能力预测求解器何时会失败。
谢谢你！
此外，如果有人知道如何估计预调节系统的条件数，那就更好了(而且更准确)!
论坛:
我发现了一篇有趣的论文....
由Shechuckwww.cs.berkeley.edu/青年队/论文/ elemj.pdf
K =最大/分钟
R. Chennamsetti，科学家，研发工程师，印度
你可以找出矩阵的最大和最小特征值。则条件数= Max/min。
据我所知的方法
据我所知，计算稀疏矩阵特征值的方法在计算上是昂贵的，我想避免这种方法的数值代价。这就是为什么即使是可以廉价计算的粗略估计也会非常有帮助。但可能有快速的方法来提取谱的两个极端特征值。有什么建议吗?
再保险:条件数
如果你想要一个数量级估计，那么你可以注意到(对于力学中的许多问题)特征值将与矩阵的对角线项具有相同的数量级。所以你可以通过找到对角线项的最大值和最小值以及它们的比值来估计条件数。这种方法对于完全耦合的孔弹性问题相当有效，其中对角线项相差许多数量级。然而，我不确定它是否适用于你的问题。
Biswajit
估计极值特征值
一些计算上便宜的数值算法可以给出最大和最小的特征值。对于对称矩阵，我想这在你的例子中是正确的，这个过程甚至可以更便宜。
如果您有Michael Heath的《科学计算:概论》一书，请阅读“计算选定特征值的方法”部分。
Re:最大/最小特征值的比率…为什么它会起作用?
我一直在关注这个话题。
我想知道为什么最大/最小特征值的比率确实估计了条件数，特别是通过迭代算法解决。
我想这个事实应该有一个基于物理的解释。毕竟，像这个特定比例这样的东西只是启发式的。它们当然不像已证明定理的推论，这是肯定的!
如果有人对这个比率(或类似的衡量标准)的原因有明确的解释，请在这里留下留言或链接。
所寻求的解释最好是用物理术语来解释。然而，这种解释也可以用“纯粹的”数学术语来表述。但如果是后者，解释应该是那种被写出来让人理解的. ...我怀疑这里是否有这样的解释。这似乎是每个人都认为有人肯定知道的话题之一，但事实上，实际上没有人知道!!
提前感谢!
R. Chennamsetti，科学家，
R. Chennamsetti，科学家，研发工程师，印度
是的，正如t。马科斯所说，有一些算法我们会直接给出最大和最小特征值。你可以用这些来计算条件数。
谢谢你！
都是为了你明智的回答!我将尝试一些数值算法的实现来计算极值特征值，我将把它与最小和最大对角线项进行比较，看看在我的情况下它是否是一个合适的近似。是Lanczos一个很好的选择来计算特征值跟着一个三对角线QR ?的确，矩阵是对称的。
R. Chennamsetti，科学家，
R. Chennamsetti，科学家，研发工程师，印度
亲爱的阿吉斯先生:
对于一个条件良好的矩阵，一般来说，所有的对角线项都是相同的顺序。正如Biswajit先生所提到的，对角支配矩阵的特征值将接近对角项。
现在，如果矩阵是条件良好的，那么最大与最小的比值(=条件数)应该得到一个更小的数，因为所有对角线项都是相同的顺序。如果条件数较大，则说明对角线项之间的差阶较大，说明该矩阵是病态的。
与问候,
——Ramdas
阿吉特，有趣的问题
正如Ajit Jadhav正确指出的那样，这种东西是每个人都“感觉”它行得通的东西之一，但当被要求证明或给出具体的物理例子时，它就变得棘手了。我很惊讶，当我检查我的数值线性代数书籍时，它们只是简单地陈述这些事情，没有一个提供适当的证明或证明。
我正在写一个证明为什么对称矩阵的条件数与极值特征值之比有关。这里也要提醒一下，它实际上是奇异值与特征值的比值，它给出了一般矩阵的条件数。但是如果矩阵是对称的，那么特征值就是奇异值的平方根。对于非对称矩阵，特征值与条件数之间没有任何关系。
这是我认为可以引出证明的论点
1.证明了cond(A) = ||A||*| A-1||其中||A||是由向量范数导出的矩阵范数。||A|| = sup||Ay||对于所有向量y，且||y|| = 1。许多数学书都直接以它作为条件数的定义开始，但对于像这样一个物理倾向的论坛，我们必须证明这个等式是根据条件对误差敏感性的定义得出的。
2.证明一个矩阵的欧氏范数等于最大奇异值(如果a是对称的，则ATA的特征值= a的特征值的平方)。这里也要注意，只有当我们使用欧几里得范数时，矩阵范数才能通过特征值来定义。
3.一个矩阵的奇异值和它的逆矩阵是倒数。
如果我们证明了这些表述，我们就做完了。
Cond(A) = ||A||*| A-1||…出自表述1
= max SV(A) * max SV(A-1)…出自表述二
=最大SV(A)/最小SV(A)…从3
我想我必须填写细节，并正确地写它可能是在LaTeX上。
在matlab中检查A =[1 1000]的条件数;0 1]。它是1e6。但是两个特征值都是1，这就给出了特征值的比值为1。如果我们用这个作为条件数，它不仅是错误的，而且会误导人。非常病态的矩阵可以有紧密聚类的特征值。如果你取奇异值，'svds'是matlab中的命令，比率给出的结果与'cond'命令相同。
现在说说它的物理方面。当特征值在不同的尺度上会发生什么?一个精确的解释取决于所考虑的物理主题，但大多数的出发点是，你可以分解一个解，一个变换，关于特征值和它对特征向量的作用。
例如，如果你有一个DE的dx/dt = Ax的线性方程组，它的解就是特征值的指数乘以特征向量的线性组合。如果有一个非常小的特征值，它几乎不会在解中显示出来，因为特征值较大的特征值在和中占主导地位。好像这个问题的规模更小。沿着特征值较小的向量的维数实际上没有贡献。实验人员使用相同的推理特征值，看看是否有些参数不是那么重要。
考虑一个应力张量。你可以用主方向上的正应力(特征向量)来表示它。特征值给出了主平面上的正应力，如果其中一个主平面的尺度很小，实际上问题可以从三维问题减少到二维问题，或者从平面应力问题减少到轴向应力问题。
你们可以提出额外的/不同的理由，或者改进我在这里的理由，我们应该能够得到这个事情的核心。
再保险:条件数
您可以在。中找到关于条件概念的稍微技术性但仍然可读的讨论
李志强(1966)，“条件理论”，《社会科学》第3卷第1期。JSTOR链接为在这里。
这个想法的简明描述可以在矩阵计算由Golub和Van Loan(第二版)，第79至84页(这一章被称为“平方系统的敏感性”)。估计条件数的算法可以在同一本书的第128页找到。它们需要矩阵中的一些结构来提高效率。我相信在最近的文献中有更有效的算法。但是，您必须询问求解器技术方面的专家。
Biswajit
你好Temesgen:这里是Matlab bug
clc
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A=[1 1000;0 1]
disp(' condition avec = function ')
气孔导度(A)
disp(' condition avaves Valeurs property:')
V = eig (A)
LM1 = max (abs (V (1)), abs (V (2)))
LM2 = min (abs (V (1)), abs (V (2)))
KL = LM1 / LM2
%的
B =发票(A)
C = A * B
L2 =标准(2)
L2i =规范(B, 2)
KN = L2 * L2i
disp(' condition selon Matlab avec les Normes 2 ')
KQ =电导率(A)
% =>响应fousse平均响应时间
disp(' condition avec / function svds:')
vd1 =圣言(A)
vd2 =圣言(B)
n1 = max (vd1 (1) vd1 (2))
N2 =max(1.0/vd1(1)， 1.0/vd1(2))
KV = n1 * n2
% =>响应fousse平均KV
disp(' values Singulieres avec ' s formulates Si A est non- symmetry ')
% D =矩阵的伴随矩阵A:
D=[1 -1000;0 1]
W = D *
世行= eig (W)
日元=√wb (1)
Y2 =√wb (2)
μ(1)= max (Y1, Y2)
S1 = 1.0 /日元
S2 / Y2 = 1.0
μ(2)= max (S1, S2)
disp(' condition avec = values Singulieres:')
KS =μμ(1)* (2)
% => exact
默罕默德人士
总结上面的m.file
用Matlab的第二个函数计算的条件数是错误的，因为它是
用上面的m.file中的几个方法进行了检查。矩阵的伴随矩阵是
在Matlab中计算得不是很好，相关文档是假的。
问候
默罕默德人士