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帮助:计算平面应力配置的超弹性材料的弹性张量
2012-10-03周三16:03 -Haofei刘
亲爱的所有,
我对平面应力形态下超弹性材料弹性张量的计算感到困惑。非常感谢你的帮助。以下是我的问题:
不可压缩应变能函数表示为U=***+p(J-1)。
因此，第二个皮奥拉-基尔霍夫应力是:S=***+pC^-1(拉格朗日乘数p在这里被视为任意常数，对吧?)
在平面应力条件下，S<33>=0，使p更新为变形的函数。
现在，计算弹性张量H=2*dS/dC。我应该继续把p当作常数，不受变形的影响，得到:
(1): H=***+2*p*d(C^-1)/dC，否则，我是否可以将其作为变形的函数，得到:
(2): H = * * * + 2 * (C ^ 1 * (dp / dC) + p * d (C ^ 1) / dC)
我不确定哪一个是正确的(或者都不是?)弹性张量H同时具有大对称和小对称(这总是正确的吗?)，如果H的形式为(1)，则大对称成立;
但如果H是(2)的形式，它就失去了主要的对称性。对此有何评论?非常感谢大家!
致以最亲切的问候
Haofei刘
评论
嗨Haofei,
我是这个领域的新手。你的问题很有趣。
然而，我想写一些评论。
首先，你有一个完整的三维不可压缩超弹性模型，p未定。
然后对其应用边界条件并求出p。然后将模型从3-d简化为2-d。
所以二阶张量就变成了2 × 2矩阵。那么所有张量要求可能不适用于新的二维模型。
这是因为二维模型不是张量。也因为该二维模型由于采用了边界条件而不是严格的材料本构关系。在其他情况下，边界条件可能会改变。
关于你关于大调和小调对称的问题，我不知道为什么第二个不满足大调，而第一个满足?你能解释一下吗?如果应力和应变不是张量，我也不确定大对称和小对称是否是一个验证点。
最好的
李翔杨
'p'是不可压缩材料中的拉格朗日乘子
嗨,刘,
我正在学习非线性固体力学。让我试着回答你们的问题。
在不可压缩材料的情况下，p是拉格朗日乘子。它是一个常数。当我们写应变能密度时，我们在应变能函数中加入约束J=1作为p(J-1)。为了计算应力(比如2nd PK = S)，我们对应变能密度wrt 'C'(右柯西-格林张量)求导。当p(J-1)对C求导时，它变成了pdJ/dC，其中p是常数。这里，p是从边界条件估计出来的。正如你所说的平面应变条件=> S33 = 0。这就给出了压强的值。
当计算弹性张量H时，我们对S求导，对C求导。'S'有两部分-等弦(Siso)和体积(Svol)。Svol = pC^-1。当Svol与“C”分化为“Hvol”时，“p”仍然保持不变。因为p(常数)是拉格朗日乘子。
因此第一个方程是正确的H'是对称的
如果材料是可压缩的，则应变能有两部分=等弦(Uiso) +体积(Uvol)。注意，Uvol = U(J)。在这种情况下，p是通过对U(J)求导得到的。这里p是一个变量。因此第二个方程对于可压缩材料是正确的。在第二个方程中，'J'也会和'p'一起出现。然后H变成对称的。
当不存在体偶且忽略转动惯量时，剪应力是互补的。这就产生了微小的对称性。这对于所有的材料都是存在的。
主要对称性是材料特有的，存在于超弹性材料中。在超弹性材料中，存在势。应力可以通过对应变的势能(应变能密度)求导来计算。
致以最良好的问候:
——华美达