2012年8月期刊俱乐部主题:内聚元素建模中的网格依赖

经典断裂粘结带理论起源于Dugdale、Barenblatt和Rice的开创性著作[1-3]。在他们的工作中，断裂被认为是一种渐进现象，在这种现象中，分离发生在裂纹尖端前面的内聚区，并受到内聚力的抵抗。内聚区模型被科学家和工程师广泛采用，这可能是由于它们在传统有限元框架内的直接实现。目前将断裂粘结理论引入有限元分析的主流技术有扩展有限元法(X-FEM)和粘结单元法。

Sukumar et al.[4]首次利用X-FEM通过在有限元中添加不连续函数和渐近裂纹尖端场来模拟三维裂纹扩展。随后，将该方法推广到粘性裂缝[5]。虽然X-FEM方法可以处理任意裂纹路径，但对于涉及普遍断裂和破碎的问题，它变得越来越复杂。

另一方面，内聚单元方法包括沿二维或三维网格的边缘或面插入相应的内聚有限元[6-9]。尽管这种方法非常适合于涉及预定义裂纹方向的问题，但在处理包括任意裂纹路径在内的模拟时，许多已知问题会影响其精度，例如弹性应力波的传播问题(人工柔度)、伪裂纹尖端速度效应(离度)和网格依赖效应(完整回顾参见c.f[10])。然而，该方法的鲁棒性使其成为普遍断裂和碎片化分析的最常用方法之一。

通过使用初始刚性内聚律[8]，或者更优雅地使用带有内聚元素激活准则的间断伽辽金公式[11,12]，可以避免人为的柔度和升力效应。然而，网格依赖性问题，更准确地说是网格诱导的各向异性和网格诱导的韧性，是一个活跃的研究领域。

当在内聚单元公式中引入网格来表示连续断裂问题时，由于网格无法表示任意裂纹的形状，问题中引入了约束。如果我们将任意裂缝视为可矫正的路径(2D)或曲面(3D)，网格在细化时表示直线(2D)或平面(3D)的能力是内聚单元方法[14]收敛的必要条件。在二维问题中，网格表示直线段的能力由路径偏差比来表征，路径偏差比定义为连接两个节点的网格边缘上的最短路径与它们之间的欧氏距离之间的比值(见图1a)。因此，我们希望路径偏差比与分段方向无关(以避免网格引起的各向异性)，并在网格尺寸趋向于零时趋向于1(在极限情况下避免网格引起的韧性)。满足这些要求的网格称为等周网格。

[img_assist | nid=12896 | title=图1 | desc=(a) 4k网格，(b)带节点扰动的4k网格，(c) K-Means网格，(d)共轭方向网格。在所有网格中，路径偏差比定义为红色实线与蓝色虚线的长度之比。| link=none | align=center | width=640 | height=480]

Radin和Sadun[13]的工作表明，平面的风车平铺具有等周性。基于这一结果，Papoulia et al.[14]观察到，与其他类型的网格相比，通过风车网格得到的裂纹路径随着网格的细化而更加稳定。然而，值得注意的是，风车网格很难生成，并且在三维情况下没有已知的扩展。在最近的一项工作中，Paulino et al.[15]分析了通过节点扰动和边缘交换算子修改的4k网格的行为(见图1b)。他们的结果表明，对于给定的网格尺寸，路径偏差比(在所有可能的方向上)的期望值是降低的。然而，值得注意的是，即使通过这种方式降低了网格诱导韧性，所考虑的网格仍然表现出相当大的各向异性[16]。

最近，通过应用Delaunay三角剖分对聚类随机点产生的节点生成K-Means网格(见图1c)，被提出作为一种缓解网格引起的各向异性的方法，同时保持可接受的三角形质量[16]。在合理的网格尺寸下，K-Means网格在完全各向同性的情况下，路径偏差比的平均值与带有节点扰动的4k网格相同。在同一篇文章中，介绍了另一种网格，称为共轭方向网格。共轭方向网格是通过对K-Means网格应用重心细分生成的，如图1d所示。通过这种方式，以重心为中心的细分为现有的K-Means网格添加了新的方向，这些方向往往与原始方向正交，因为K-Means趋于平滑(即，因为K-Means算法应用于更多的随机点)。这可以解释为用新的共轭方向丰富原始网格提供的方向集。因此，共轭方向网格表现出在K-Means网格中观察到的相同的各向同性，同时对相同的网格尺寸产生显著降低的路径偏差比的平均值。图2显示了4k、K-Means和共轭方向网格的路径偏差比与网格方向的极坐标图。

[img_assist | nid=12897 | title=图2 | desc=所考虑网格的路径偏差比(- 1)作为网格方向的函数的极坐标图。|
| align=center | width=352 | height=264]

此外，初步结果表明，K-Means网格在减小[17]的网格尺寸下，在路径偏差比平均值上的收敛性与4k网格相似，如图3a所示。同时，与4k网格相比，标准差的下降速度最快，如图3b所示。然而，数值证据表明，两个网格的路径偏差比趋于饱和在1.04左右。另一方面，同样的数值实验表明，在所研究的网格尺寸范围内，共轭方向网格没有饱和的迹象。总之，K-Means网格是各向同性的，因此不能提供首选的裂纹扩展方向。除了各向同性外，共轭方向网格在路径偏差比方面表现出更好的收敛行为，使其成为裂纹扩展问题内聚元分析的良好候选者，其中裂纹路径先验未知。

[img_assist | nid=12898 | title=图3 | desc=收敛的路径偏差比;(a)其平均值;(b)其标准差。|
| align=center | width=640 | height=480]

最后，我们应该强调，尽管路径偏差比意义上的收敛是内聚单元公式收敛的必要条件，但在处理有限网格时，内聚裂纹中偶尔出现的边缘不对中可能足以导致模拟裂纹路径与物理裂纹路径的偏离。自不必说，粘结单元公式中的裂纹路径收敛问题仍然是一个悬而未决的问题。前面提到的许多研究工作都希望通过网格设计(预处理)实现任意裂纹扩展。

参考文献

[1]达格代尔，d.s.，“含裂隙钢板的屈服”，固体力学与物理学报，第8卷，第2期，1960年，第100-104页。
Barenblatt, G. I.，“脆性断裂平衡裂纹的数学理论”，应用力学进展，Vol. 7, 1962, pp. 55-129。
梁振华，“断裂力学中的数学分析”，《断裂:一项先进的论文》，第2卷，1968年，第191 - 311页。
[4] Sukumar, N.， Moes, N.， Moran, B.和Belytschko, T.，“三维裂缝建模的扩展有限元方法”，国际工程数值方法杂志，第48卷，2000,pp. 1549-1570。
[5] Moes, N.和Belytschko, T.，“内聚性裂纹扩展的扩展有限元方法”，工程断裂力学，Vol. 69, 2002, pp. 813-833。
[6]徐晓平，李晓明，“固体裂纹快速扩展的数值模拟”，固体力学与物理学报，Vol. 42, 1994, pp. 1397-1397。
[7]徐旭平，“裂纹沿界面动态扩展的数值模拟”，力学学报，Vol. 32, 1995, pp. 89 - 89。
[8]卡马乔，G. T.和Ortiz, M.，“脆性材料冲击损伤的计算模型”，国际固体与结构杂志，第33卷，1996,pp. 2899-2938。
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[11] Noels, L.和Radovitzky, R.，“非线性固体动力学的显式间断Galerkin方法:公式，并行实现和可扩展性属性，”国际工程数值方法学报，第74卷，2008,pp. 1393-1420。
[12] Radovitzky, R.， Seagraves, A.， Tupek, M.， and Noels, L.，“一种基于混合、不连续Galerkin、内聚单元方法的可扩展3D断裂和破碎算法”，应用力学与工程计算机方法，Vol. 200, No. 1-4, 2011, pp. 326-344。
[13] Radin, C.和Sadun, L.，“针轮平头的等周问题”，《数学物理通讯》，Vol. 177, No. 1, 1996, pp. 255-263。
[14] Papoulia, K.D, Vavasis, S.A，和Ganguly, P.，“基于针轮网格的内聚有限元模型的裂纹形核的空间收敛性”，国际工程数值方法学报，Vol. 67, No. 1, 2006, pp. 1-16。
[15] Paulino, G. H.， Park, K.， Celes, W.，和Espinha, R.，“基于节点摄动和边缘交换算子的自适应动态粘性裂缝模拟”，工程学报，Vol. 84, No. 11, 2010, pp. 1303-1343。
[16] Rimoli, J. J.， Rojas, J. J.，和Khemani, F. N.，“裂纹扩展分析的内聚区模型的网格依赖性”，第53届AIAA结构，结构动力学和材料会议，檀香山，HI, 2012。
[17] Rimoli, J. J.和Rojas, J. J.，“内聚单元模型中网格诱导效应的网格划分策略”，提交。预印:http://arxiv.org/abs/1302.1161